chuyên đề rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

PHỊNG GD & ĐT BÌNH XUN TRƯỜNG THCS ĐẠO ĐỨC CHUYÊN ĐỀ RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP Người viết chuyên đề: Nguyễn Thi Vân Anh Nguyễn Thị Tuyết Thanh Tổ: Khoa học tự nhiên Đạo Đức, tháng năm 2020 Tên chuyên đề: RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP A LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ: Một mục tiêu giáo dục đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thời đại Là giáo viên cấp trung học sở, ý thức trách nhiệm thân tầm quan trọng mơn học đảm nhiệm Qua năm giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy mơn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực học tập học sinh, giúp học sinh trở thành người chủ nghĩa xã hội Ngồi ra, việc học tốt mơn Tốn cịn giúp cho học sinh học tốt mơn học khác Vì vậy, góc độ giáo viên dạy Tốn thấy việc hướng dẫn em nắm vững dạng toán cần thiết Toán học môn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic, … chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học tốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy thân qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (các lớp giảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: “ Rèn kĩ phân tíchđa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” Nội dung đề tài cung cấp số công thức kĩ thuật áp dụng cơng thức vào tập ví dụ minh họa B THỰC TRẠNG Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, học sinh lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Nhận xét: -Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích tốn, đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải cịn lúng túng Ngun nhân: - Do tư học sinh hạn chế nên khả tiếp thu chậm, lúng túng từ khơng nắm kiến thức, kĩ bản, mà khó giải tập phân tich đa thức thành nhân tử - Khả vận dụng phương pháp phân tích thành nhân tử cịn - Kĩ giải tốn học sinh chưa tốt Một số nhược điểm học sinh q trình giải tập phân tích đa thức thành nhân tử : - Đọc đề hấp tấp, qua loa, khả phân tích đề, tổng hợp đề cịn yếu, lượng thơng tin cần thiết để giẩi tốn cịn hạn chế - Kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học sinh kém, quy tắc dấu ngoặc sử dụng cịn lúng túng - Chưa có thói quen định hướng cách giải cách khoa học trước toán phân tích đa thức thành nhân tử Giải pháp sử dụng trước đây: Dựa vào đặc điểm địa phương, tình hình chung nhà trường chất lượng học tập học sinh năm qua Tôi tiến hành giải pháp sau: - Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở,đặt giải vấn đề kết hợp với việc sử dụng thiết bị dạy học - Chấm điểm theo quy chế chuyên môn - Tổ chức cho học sinh thảo luận theo nhóm để giải vấn đề cử đại diện nhóm lên trình bày (đại diện thường học sinh khá, giỏi ) Nguyên nhân - Ý thức học tập học sinh chưa cao - Giáo viên chưa biết cách phát huy tính tích cực, chủ động học sinh - Giáo viên chưa kịp thời bổ sung kiến thức cho em học sinh bị kiến thức - Học nhà thiếu kèm cặp phụ huynh em thường làm tập theo kiểu chống đối Trong tất nguyên nhân nguyên nhân chủ yếu dẫn đến kết mơn Tốn cịn hạn chế giáo viên chưa phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh học toán C NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ: Các biện pháp thực Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử - Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử - Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) +Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán +Củng cố phép biến đổi hồn thiện kĩ thực hành +Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán - Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giới thiệu bốn phương pháp) + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm bớt hạng tử + Phương pháp đặt ẩn phụ Biện pháp : Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc đổidấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần chúý: -Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) -Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào?Áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) -Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán * Lưu ý: Kinh nghiệm phân tích tốn thành nhân tử Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước tốn thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức * Chú ý: - Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền - Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền -Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền - Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử - Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá toán theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác Nội dung 2.1:Các phương pháp bản: 2.1.1:Phương pháp đặt nhân tử chung Để học sinh áp dụng tốt phương pháp giáo viên cần cho học sinh ôn tâp,vận dụng linh hoạt kiến thức : nhân đa thức với đơn thưc, nhân đa thức với đa thức, chia đa thức cho đơn thức Đặc biệt giáo viên cần nhắc lại cho học sinh kiến thức từ lớp như: ước chung, bội chung, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhât… Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3x2 y – 21xy2 + 27x2 y2 -12xy thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung số 3, -21,27, -12 hạng tử ? - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2 , x2 y2 ,xy ? - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho gì?(nếu học sinh trả lời sai giáo viên gợi ý nhân tử chung 3xy ) -Hãy đặt nhân tử chung đó:Áp dụng A.B + A.C + A.D + A.E =A ( B +C +D +E) Giải: 3x2 y – 21xy2 + 27x2 y2 - 12xy = 3xy.x – 3xy.7y + 3xy.9xy -3xy.4 = 3xy.(x – 7y + 9xy - 4) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 15x(x – y) – 5y(y – x) thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 15 -5 ? - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? - Hãy thực đổi dấu tích 15x(x – y) tích – 5y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 5y(y – x) = 5y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 15x(x – y) = –15x(y – x) Giải: Cách : 15x(x – y) – 5y(y – x) = 15x(x – y) + 5y(x – y) = 5(x – y).3x + 5(x – y).y = 5(x – y)(3x + y) Cách 2: : 15x(x – y) – 5y(y – x) = –15x(y – x) – 5y(y – x) = –5 (y – x ).3x – 5( y– x).y = –5 (y – x )(3x + y) = 5(x – y)(3x + y) Qua ví dụ giáo viên cần cho học sinh thấy mối quan hệ (x –y ) ( y – x ) hai biểu thức đối nhau,biến đổi chúng để xuất nhân tử chung Tổng quát: A = - (- A ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Giáo viên cần cho học sinh thấy : A2 = ( -A)2 (Với A –A hai biểu thức đối nhau) Vậy -10( y – x )2 = -10 ( x – y )2 Giải : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: -Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) -Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x) b/ 10x – 5y = 5(2x – y) c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y) d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(2x + 5) Đây tập khơng khó, chủ quan học sinh dễ bị mắc phải sai lầm Chẳng hạn ví dụ a, dễ dàng học sinh thấy nhân tử chung hai hạng tử xy, học sinh thực cách nhanh chóng Tuy nhiên ví dụ b, số học sinh khẳng định khơng có nhân tử chung (vì x ≠ y) trọng quan sát phần biến mà quên hệ số hạng tử, cịn trường hợp ví dụ c, học sinh gặp khó khăn khơng hiểu nhân tử chung đa thức (x – 1) Riêng ví dụ d, học sinh dễ mắc sai lầm chọn nhân tử chung (x – 3) Vì thế, việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân tử chung giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ lưu ý trường hợp thường mắc sai sót Để tránh sai sót trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất đổi dấu A = -(-A) Bài tập áp dụng:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/( x + 2)2 – (x – 2)(x + 2) b/2x2 + 5x2 +x2 y 2.1.2.Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)33 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2 Giáo viên cần cho học sinh vận dụng linh hoat đẳng thức đáng nhớ theo hai chiều.Trong lần vận dung cần biểu thức A, B đẳng thức Ví dụ 5: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức nào? (HS: có dạng A2 – B2 ) Giáo viên yêu cầu học sinh viết đẳng thức biểu thức A B A = ( x + y ); B = ( x – y ) Giải: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu (ví dụ học sinh sai lầm sau): (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai) Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh quy tắc dấu ngoăc: đặt dấu ngoặc xác trường hợp, quy tắc phá ngoặc (đặc biệt phá dấu ngoặc đằng trước có dấu trừ) - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu (Cần cho học sinh rõ đâu biểu thức A,B đẳng thức đó) Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp - Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử - Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn 6 Phân a − b 6tích = (a )a2 −–(bb3 )2 thành nhân tử = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) Ví dụ 6: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử Chú ý: vận dụng đẳng thức cách linh hoạt Giải: a − b = (a )2 − (b3 )2 = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Qua ví dụ ta thấy đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x2 + 6x + = x25 + 2.3.x5 + 32 = (x + 3)2 b/ x2 – = (x + )(x - ) 3 c/ – 27x = – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2) d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2= = (x – y – x – y)2 = (-2y)2 = 4y2 Ở ví dụ đẳng thức khai triển, việc phân tích cách viết theo chiều ngược lại đẳng thức em học sinh dễ dàng thực em thuộc biết cách vận dụng đẳng thức Thế như, chủ quan học sinh dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ví dụ b, học sinh gặp khó khăn nhận dạng đẳng thức, hạng tử thứ hai (5) chưa có dạng bình phương, để có dạng hằng5 đẳng thức giáo viên phải nhắc lại khái niệm bậc hai số (5 =( )2), ví dụ c học sinh thường gặp khó khăn viết 27x3 = (3x)3 Riêng ví dụ d, học sinh khó nhận dạng đẳng thức, thơng thường tập hay cho dạng hạng tử đơn thức, gặp hạng tử đa thức học sinh chưa hình dung nhận diện Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b) = 4(a + b) [x(a – b) + 2] = 4(a + b) (ax – bx + 2) b/ x2– 2xy + y2– z2 = (x2– 2xy + y2) – z2 = (x – y)2 – z2 = (x – y – z)(x – y + z) Ở ví dụ này, phân tích đa thức thành nhân tử không riêng dùng đẳng thức đủ mà phải có phối hợp tốt phương pháp : đặt nhân tử chung nhóm hạng tử Do việc nhóm hạng tử thích hợp góp phần thuận lợi cho phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập áp dụng: 1/ Chứng minh ( 2n + )2 – 25 chia hết cho với số tự nhiên n 2/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ ( x + y )3 + ( x – y )3 b/ 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 2.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Để phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử ta cần phải lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ :Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: - Mỗi nhóm phân tích - Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 9: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Giáo viên hướng dẫn học sinh cách nhóm để xuất nhân tử chung (khi nhóm ý đặc biệt đến quy tắc dấu ngoặc) Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) – (xy + y ) Giải Cách 1: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) 2 Cách 2: x – xy + x – y = (x + x) – (xy + y ) = x( x + ) – y( x + ) = (x – y)(x + 1) Ví dụ 10: Phân tích đa thức : 2xy + 3z + 6y + xz thành nhân tử Giải : Ta nhóm cách thích hợp hạng tử sau : 2xy + 3z + 6y + xz = ( 2xy + 6y ) + ( 3z + xz ) =2y ( x + ) + z ( x + ) = ( x + )( 2y + z) Trong phần học sinh thường hay lúng túng để nhóm hạng tử thích hơp.Giáo viên cần cho học sinh cách nhóm để xuất nhân tử chung đẳng thức Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 11: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử 10 Giáo viên gợi ý hạng tử nhóm với xuất đẳng thức (Đối với học sinh yếu cần rõ x – 2x +1 có dạng đẳng thức nào? ) Giải: x – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) Ví dụ 12: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 thành nhân tử Giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhóm hạng tử để xuất đẳng thức đặc biệt ba hạng tử cuối (chú ý quy tắc dấu ngoặc ) Giải: x – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 = ( x2 – 2xy + y2) – ( z2 - 2zt + t2 ) = ( x – y )2 – ( z – t )2 = ( x – y + z – t )( x – y – z + t ) Bước giáo viên cho học sinh thấy sử dụng đẳng thức: A – B2(học sinh cần biểu thức A =( x – y ); B = ( z – t )) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 13: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Giải : x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Ví dụ học sinh dễ nhầm quy tắc dấu ngoặc,giáo viên cần nhắc lại quy tắc dấu ngoặc cho học sinh hướng dẫn học sinh nhóm hạng tử.Tương tự ví dụ sau : Ví dụ 14: Phân tích đa thức 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 thành nhân tử Giải : 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 =( 2x – 2y ) – (x2 - 2xy + y2 ) = 2( x – y ) – ( x – y )2 = ( x – y )( – x + y ) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm 11 Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 b/ x2 + 4x – y2 + 2.2:Phát triển tư duy:Giới thiệu phương pháp phân tích khác: (Nâng cao) 2.2.1.Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác Ví dụ 15: Phân tích đa thức : 3x2 – 8x + thành nhân tử Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Cách (tách hạng tử : 3x2 = 4x2 – x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2= (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x)= (x – 2)(3x – 2) Tách hạng tử 3x2 xuất đẳng thức hiệu hai bình phương Cách (tách hạng tử : – 8x = – 6x – 2x ) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + 4= 3x(x – 2) – 2(x – 2)= (x – 2)(3x – 2) Tách hạng tử – 8x làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – Cách (tách hạng tử : = – 12 + 16) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) = (x – 2)(3x – 2) Tách hạng tử làm xuất đẳng thức nhân tử chung Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tư thành nhiều hạng tử nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán Khai thác cách giải:Tách hạng tử: – 8x (Cách 2) Nhận xét:Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số số hạng là: 3, – 6, –2, tỷ lệ −6 = −2 hay (– 6).( – 2)= 3.4 (– 6) + ( – 2)= – Trong đa thức 3x2 – 8x + đặt a = 3, b = – 8, c = Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + cthành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac 12 Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – thành nhân tử Ta có: a = – ; b = ; c = – Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2:ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3:b = = + Khi ta có lời giải: – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Ví dụ 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 4x – Ta có: a = ; b = - ; c = – Bước 1: ac = 4.(–3) = - 12 Bước 2:ac = 6.(–2) = 4.(–3) =12.(–1) = (- 6).2 = (-4).3 = (-12).1 Bước 3:b = -4 = + (-6) Giải: Tách hạng tử thứ hai: 4x2 – 4x – = 4x2 + 2x – 6x – = 2x( 2x + ) – 3( 2x + ) = ( 2x + )( 2x – ) Ví dụ 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : g( x ) = x3 – x2 – Giải: Lần lượt kiểm tra với x = 1, x = -1, x = 2, x = -2, x = 4, x = -4 ta thấy g ( ) = 23 – 22 – = Đa thức có nghiệm x = 2, chứa nhân tử x – Ta tách hạng tử sau: Cách 1: x3 – x2 – = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x – = x2 (x – 2) + x (x – 2) + 2( x – 2) = ( x – 2)( x2 + x +2 ) Cách 2: x3 – x2 – = x3 – – x2 + = ( x – 2)( x2 + 2x +4 ) – (x – 2)(x + 2) = ( x – 2)( x2 + 2x + – x – 2) = ( x – 2)( x2 + x +2 ) Ví dụ 18: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 13 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) Bài tập áp dung: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x2 – 4x – b/ 3x3 – 7x2 + 17x – 2.2.2.Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta có phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 20: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 1:Thêm x3 bớt x3(làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Cách 2:Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) 14 Chú ý:Các đa thức có dạngx4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + Ví dụ 21: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Gợi ý: Thêm 2x2 bớt 2x2 : (làm xuất đẳng thức) Giải: x + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Khai thác toán: - Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có tốn: x4 + 64y4 Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) 2.2.3Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp thường áp dụng đa thức có dạng A(x).B(x) + C Trong A(x), B(x) biểu diễn qua Ví dụ A(x) viết dạng B(x) ngược lại Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + = y ; x2 + x + = y + Ta có y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – + y – = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + + 1) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + ta : (y – 3)(y + 4) = (x2 + x + – 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 5) = (x2 – + x – 1)(x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5) = (x – 1)(x + + 1)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5) Ở ví dụ ta đổi biến x thành biến y sau phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử quay trở lại đa thức với biến ban đầu x Cuối ta lại tiếp tục phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử b/ 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 Với đa thức cho để ngun khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm : 15 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m Ta có : 4m(m + yz) + y2 z2= 4m2 + 4myz + y2 z2= (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz ta : (2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Bài tập áp dụng:Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = x ( x + 4)( x + )( x + 10 ) +128 b/ B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + D TRIỂN KHAI BÀI GIẢNG CỤ THỂ: Tiết 13: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ I/ MỤC TIÊU Kiến thức:+HS biết phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử +HS biết nhận xét hạng tử đa thức để nhóm hạng tử thích hợp phân tích đa thức thành nhân tử nhóm để làm xuất nhân tử chung nhóm Kỹ năng:+Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử +Biến đổi chủ yếu với đa thức có hạng tử khơng qua biến 3.Thái độ: Giáo dục tính linh hoạt tư lôgic 4.Định hướng phát triển lực +Năng lực tư +Năng lực tính tốn +Năng lực hợp tác +Năng lực giải vấn đề II CHUẨN BỊ GV: Soạn giáo án HS: Làm BTVN III.PHƯƠNG PHÁP -Đặt giải vấn đề -Vấn đáp gợi mở III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 1.Ổn định tổ chức lớp 2.Kiểm tra cũ - HS1: Chữa 44c /20 SGK c) (a+b)3 + (a-b)3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + (a3 - 3a2b+ 3ab2 - b3) = 2a3 + ab2 = 2a ( a2 + 3b2) -Đã dùng đẳng thức để làm tập trên?Cịn cách khác khơng? 16 -HS2 chữa 29b /6 SBT 872 + 732 - 272 - 132 = ( 872- 272) + (732- 132) = (87 - 27)(87 + 27) + (73- 13)(73 + 13) = 60.114 + 60.86 = 60.(144+ 96) = 60.200 = 12 000 - Yêu cầu HS khác nhận xét bạn - GV nhận xét cho điểm HS ĐVĐ vào 3.Bài HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Hoạt động 1: Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung GV nêu ví dụ: Phân tích đa thức x2 – xy + x Ví dụ 1: Phân tích đa thức x – xy + x – y thành nhân tử – y thành nhân tử Giải Cách 1: +Em có nhận xét hạng tử đa thức x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) GV: Giáo viên hướng dẫn học sinh cách = x(x – y) + 1.(x – y) nhóm để xuất nhân tử chung (khi nhóm = (x – y)(x + 1) ý đặc biệt đến quy tắc dấu ngoặc) Cách 2: Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y ) Cách 2: nhóm (x + x) – (xy + y ) = x( x + ) – y( x + ) = (x – y)(x + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức : 2xy + 3z + 6y Ví dụ 2: Phân tích đa thức : 2xy + 3z + 6y + xz thành nhân tử + xz thành nhân tử GV yêu cầu HS hoạt động nhóm để giải HS lên bảng trình bày tốn 2xy + 3z + 6y + xz = ( 2xy + 6y ) + ( 3z + xz ) =2y ( x + ) + z ( x + ) = ( x + )( 2y + z) GV lưu ý: đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử GV: Cách làm gọi PTĐTTNT P2 nhóm hạng tử - GV lưu ý HS : + Khi nhóm hạng tử mà đặt dấu “ – ” trước ngoặc phải đổi dấu tất hạng tử ngoặc + Khi nhóm hạng tử phải nhóm thích hợp, cụ thể là: * Mỗi nhóm phân tích 17 * Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích phải tiếp tục Hoạt động 2: Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: GV đưa ví dụ: Phân tích đa thức x – 2x + – 4y2 thành nhân tử GV: Những hạng tử nhóm với xuất đẳng thức (Đối với học sinh yếu cần rõ x – 2x +1 có dạng đẳng thức nào? ) GV đưa ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 thành nhân tử GVHD : Chú ý nhóm hạng tử để xuất đẳng thức đặc biệt ba hạng tử cuối (chú ý quy tắc dấu ngoặc ) Chú ý sử dụng HĐT : A2 – B2 Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) Ví dụ 4: Phân tích đa thức x – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 thành nhân tử x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 = ( x2 – 2xy + y2) – ( z2 - 2zt + t2 ) = ( x – y )2 – ( z – t )2 = ( x – y + z – t )( x – y – z + t ) Nếu tất hạng tử đa thức có thừa số chung nên đặt thừa số trước nhóm Khi nhóm, ý tới hạng tử hợp thành đẳng thức Phân tích đa thúc thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức (có bậc khác 0) Trong tích khơng thể phân tích tiếp thành nhân tử Hoạt động 3: Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: GV đưa ví dụ : Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử GV nhắc lại quy tắc dấu ngoặc cho học sinh hướng dẫn học sinh nhóm hạng tử Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) GV đưa ví dụ: Phân tích đa thức 2x – 2y Ví dụ 6: Phân tích đa thức 2x – 2y – x + – x2 + 2xy – y2 thành nhân tử 2xy – y2 thành nhân tử GV yêu cầu học sinh thảo luận nhóm để 18 trình bày GV lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm -Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 =( 2x – 2y ) – (x2 - 2xy + y2 ) = 2( x – y ) – ( x – y )2 = ( x – y )( – x + y ) Củng cố Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) xz + yz - 5(x+ y) b/ x2– 2xy + y2– z2 a) xz + yz - 5(x+ y) = (xz + yz) - 5(x + y) = z(x + y) - 5(x + y) = (x + y) (z - 5) b/ x2– 2xy + y2– z2 = (x2– 2xy + y2) – z2 = (x – y)2 – z = (x – y – z)(x – y + z) Hướng dẫn nhà -Nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học - Xem lại ví dụ chữa - Làm tập 48, 49,50 (SGK-Tr 22;23) - BT :nếu n số tự nhiên lẻ A=n3+3n2-n-3 chia hết cho - BT 31, 32 ,33/6 SBT * Làm tập nâng cao Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử a) xa + xb + ya + yb - za - zb b) a2+ 2ab + b2- c2+ 2cd - d2 c) xy(m2+n2) - mn(x2+y2) * Đáp án: a) (a+b)(x+y-z) 19 b) (a+b+c-d)(a+b-c+d) c)(mx-ny)(my-nx) Bài : Tìm y biết : a) y + y2- y3- y4= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ b) y(y+1) - y3(y+1) = (y+1)(y-y3) = y(y+1)2(1-y) = y = 0, y = 1, y = -1 y(2y-7)- 4y + 14 = y(2y - 7) - 2(2y - 7) =  (2y - 7) (y - 2) =  2y - = y - =  y = 7/2 y = E KẾT LUẬN -Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau: - Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải tốn, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK - Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi sy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức -Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hố vấn đề để việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em - Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích 20 cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Trên số kinh nghiệm mà thân rút từ thực tế q trình giảng dạy mơn tốn trường THCS nói chung, kinh nghiệm rút sau thực chuyên đề nói riêng Tuy nhiên điều kiện thời gian, tình hình thực tế nhận thức điều kiện học tập học sinh địa phương nơi cơng tác lực cá nhân có hạn, nên việc thực chuyên đề chắn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong đồng chí bạn đồng nghiệp, trao đổi góp ý để giúp tơi hồn thiện chun mơn Đạo Đức, ngày 15 tháng năm 2020 Người viết chuyên đề Nguyễn Thị Vân Anh 2.Nguyễn Thị Tuyết Thanh 21 ... HẠNG TỬ I/ MỤC TIÊU Kiến thức: +HS biết phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử +HS biết nhận xét hạng tử đa thức để nhóm hạng tử thích hợp phân tích đa thức thành nhân tử nhóm... đặt nhân tử chung Để học sinh áp dụng tốt phương pháp giáo viên cần cho học sinh ôn tâp,vận dụng linh hoạt kiến thức : nhân đa thức với đơn thưc, nhân đa thức với đa thức, chia đa thức cho đơn thức. .. nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần chúý: -Nhận