MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I II III IV Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận II Thực trạng vấn đề nghiên cứu III Nội dung vấn đề Xây dựng các phương pháp giải bản về phân tích đa thức thành nhân tư Sắp xếp bài toán theo các mức độ , những dạng toán bản Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh phân tích Một số lưu ý quá trình phân tích đa thức thành nhân tư IV Kết quả thực hiện C KẾT LUẬN, KIẾN NGHI I Kết luận II Kiến nghi Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 12 Trang 13 Trang 13 Trang 14 A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Theo điều 28.2 của Luật giáo dục( 14/6/2005) ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác ,chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm ,đem lại niềm vui , hứng thú học tập cho học sinh” Với quan điểm dạy học tích cực hiểu: "phương pháp dạy học là cách thức, là đường, là hệ thống và trình tự các hoạt động giữa giáo viên và học sinh, được giáo viên sư dụng để tổ chức đạo và hướng dẫn học sinh tự lực và tích cực đạt tới kiến thức, rèn luyện và phát triển kỹ năng, các lực nhận thức góp phần hình thành các phẩm chất nhân cách mà mục tiêu dạy học đề ra" Trong xu thế chung của dạy học hiện nay, người ta coi dấu hiệu bản của phương pháp là tính chất tổ chức đạo hoạt động nhận thức của giáo viên đối với học sinh Do vậy việc dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng trường THCS hiện cần tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Toán học là một những bộ môn khoa học được có vai trò vô quan trọng, bởi vì Toán học giúp hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic đặc biệt thời đại ngày nay, công nghệ phát triển để tiếp cận được những thông tin kip thời và chính xác đòi hỏi người phải có một kiến thức, một sự hiểu biết nhất đinh Do đó, công tác giảng dạy giáo viên cần trang bi cho các em học sinh có lượng kiến thức đầy đủ và vững chắc để tiếp tục lĩnh hội, tiếp thu kiến thức Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, nhận thấy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tư là nội dung hết sức quan trọng, việc vận dụng của dạng toán này có liên quan chủ đạo đến việc học sau này rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Vì vậy cần giúp học sinh tháo gỡ, giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc phần này thì việc tiếp thu kiến thức ở các phần liên quan sẽ dễ dàng hơn.Với những lí nêu trên, bản thân chọn đề tài: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp Trường PTDTBT THCS Trung Tiến ” để nghiên cứu và áp dụng năm học 2015-2016 II Mục đích nghiên cứu: Đưa các giải pháp giúp rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tư cho học sinh lớp Nhằm giúp các em có những kĩ bản giải các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tư nói riêng và kĩ giải toán nói chung, tạo nền tảng vững chắc cho các em góp phần nâng cao chất lượng môn toán cho học sinh khu vực miền núi III Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 8A, 8B của trường PTDTBT THCS Trung Tiến, qua các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư ở chương trình SGK, SBT Toán IV Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của đối tượng học sinh B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Toán học là bộ môn khoa học có tính tư tính trừu tượng cao, có khả giúp học sinh phát triển các lực và phẩm chất trí tuệ, có vai trò quan trọng việc rèn luyện khả tư duy, sáng tạo cho học sinh Do tính chính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, nên Toán học có khả giúp cho học sinh tư chính xác, tư hợp với logic Việc tìm lời giải của một bài toán có tác dụng to lớn việc cho học sinh các phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, học tập và việc giải quyết các vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo Môn Toán còn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức cuộc sống và lao động Các kiến thức Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, giúp các em hoạt động có hiệu quả mọi lĩnh vực Trong quá trình giảng dạy cần phát triển ở học sinh lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động đắn các lĩnh vực hoạt động học tập hiện và mãi về sau Giáo dục cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân, phát triển ở mọi học sinh khả tiếp thu môn Toán Vì vậy việc dạy và học môn toán không phải dừng lại ở các kiến thức SGK, không làm những bài tập giáo viên yêu cầu mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút được những nội dung trọng tâm, rèn những kĩ bản một cách thành thạo Trong bộ môn toán học thì dạng toán phân tích đa thức thành nhân tư là một dạng toán rất quan trọng là công cụ, là nền tảng là sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, … II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong các bộ môn toán học được xem là một môn học khó vì đòi hỏi khả tư của học sinh Đặc biệt đối với học sinh các khu vực miền núi thì môn học này càng khó khăn vì khả tính toán của các em còn chậm, phần lớn các em chưa biết quan sát nhận xét, tìm cách giải quyết bài toán nên các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt Hơn nữa điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nên đa số các em miền núi nói chung và học sinh Trung tiến nói riêng còn thiếu các loại sách bài tập, chưa có điều kiện tiếp cận với các tài liệu tham khảo nên gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào cho phù hợp nhất, hướng giải nào là tối ưu Giáo viên chưa thật sự đổi phương pháp dạy học hoặc đổi chưa triệt để, ngại sư dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, tồn tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác đinh dạy học phương pháp còn mơ hồ Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm mức đến việc học tập của em mình theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức, nhận thấy việc “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp Trường PTDTBT THCS Trung Tiến” là thực sự cần thiết Bởi vì, là cách giúp học sinh rèn được kĩ quan sát, nhận xét và vận dụng linh hoạt các phương pháp học vào bài tập cụ thể Từ đó, giúp các em tìm tòi, phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách tốt nhất III Nội dung vấn đề 1)Một số phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến Khi đó, nhân tử chung đa thức tích nhân tử chung số nhân tử chung biến Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C) Ví dụ1: Phân tích đa thức 5x2 yz – 15xy2 z+ 20x2y2 z thành nhân tư Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tư chung của các hệ số: 5, 15, 20 ? - Học sinh : 5, vì ƯCLN(5, 15, 20 ) = - Tìm nhân tư chung của biến:x2 yz, xy2 z, x2y2 z - Học sinh tả lời: xyz - Vậy nhân tư chung của các hạng tư là 5xy Giải: 2 5x yz – 15xy z+ 20x y z = 5xyz.x2 – 5xyz.3y + 5xyz.4xy = 5xyz.(x2 – 3y + 4xy) Ví dụ2: Phân tích đa thức 21x(x – y) – 14y(y – x) thành nhân tư Giáo viên gợi ý: - Nhân tư chung của 21 và 14 ? - Học sinh: - Tìm nhân tư chung của x(x – y) và y(y – x) ? - Học sinh: (x – y) hoặc (y – x) - Thực hiện phép đổi dấu tích 21x(x – y) hoặc tích – 14y(y – x) để có nhân tư chung (y – x) hoặc (x – y)? Cách 1: Đổi dấu – 14y(y – x) = 14y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 21x(x – y) = –21x(y – x) Giải 21x(x – y) – 14y(y – x) = 21x(x – y) + 14y(x – y) = 7(x – y).3x + 7(x – y).2y = 7(x – y)(3x + 2y) 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức Sư dụng bảy đẳng thức đáng nhớ để đưa về dạng tích A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 3: phân tích (x +3y)2 – (x – 3y)2 thành nhân tư Hướng dẫn: Đa thức có dạng đẳng thức nào? HS: A2 – B2 Giải (x + 3y)2 – (x – 3y)2 = [(x + 3y) – (x – 3y)].[(x + 3y) + (x – 3y)] = (x + 3y – x + 3y)(x + 3y + x – 3y) = 4y.2x = 8xy Đối với học sinh khá giỏi GV có thế cho các em bài tập phức tạp Ví dụ 4: Phân tích a6 – b6 thành nhân tư (BT-26c)-SBT-tr6) 2 Giải: a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Phương pháp này các em cần nhớ kĩ các dẳng thức, biết nhận dạng mà sư dung đẳng thức cho phù hợp 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn các hạng tư “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện nhân tử chung đẳng thức Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau: - Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tư bài toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích được + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực được - Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung: Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – 9x + xy – 9y thành nhân tư Gợi ý: - Các hạng tử có nhân tử chung không? - Làm thế để xuất nhân tử chung? (Học sinh trả lời: nhóm (x2 – 9x) (xy – 9y)) Giải: x2 – 9x + xy – 9y = (x2 – 9x) + (xy – 9y) = x(x – 9) + y(x – 9) = (x – 9)(x + y) - Nhóm nhằm xuất đẳng thức: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 + 2x + – 4y2 thành nhân tư Gợi ý: x2 + 2x + có dạng đẳng thức nào? (Học sinh: A2+ 2AB +B2=(A+B)2) Giải: 2 x + 2x +1– 4y = (x + 2x +1) – (2y)2 = (x + 1)2 – (2y)2 = (x + 1– 2y)(x +1+2y) - Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ7: Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y thành nhân tư Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành nhóm, hai hạng tử sau thành nhóm Giải 2 x + 2xy + y + 5x + 5y = (x + 2xy + y2) + (5x + 5y) = (x + y)2 + 5(x + y) = (x + y)(x + y + 5) Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm trình phân tích thành nhân tử không thực được nữa, cách nhóm sai, phải thực lại 1.4 Phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp chung: Là sự phối hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tư, đặt nhân tư chung, dùng đẳng thức Cho nên học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tư và tìm hướng giải thích hợp Khi sư dụng phương pháp này thì ta cần để ý lần lượt các phương pháp học: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử? Ví dụ8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tư a) 10x3 + 20x2y + 10xy2 b) x2 – 2xy + y2 – 16 Gợi ý: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Hay phối hợp phương pháp trên? Giải a) 10x + 20x y + 10xy = 10x(x + 2xy + y2)= 10x(x + y)2 b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x2 – 2xy + y2) – 16 = (x – y)2 – 42 = (x – y – 4)(x – y + 4) 2) Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán Trong một lớp, mức độ tiếp nhận kiến thức của học sinh không đồng đều, có học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh, ngược lại có những học sinh tiếp thu rất chậm Do đó, để học sinh nắm bắt và tiếp thu kiến thức dễ dàng giáo viên nên sắp xếp các bài toán theo các mức độ khác Đồng thời, hình thành những dạng toán bản thường gặp để học sinh dễ dàng việc học tập và giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh 2.1 Đối với học sinh yếu, kém: Giáo viên nên cho học sinh làm những bài tập bảncó vận dụng phương pháp đặt nhân tư chung, phương pháp dùng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tư ở mức độ đơn giản học sinh nhận dạng phương pháp cần áp dụng Ví dụ 8: Phân tích đa thức các đa thức sau thành nhân tư a x2 –3 x b x2 – 6x + c x2 – xy + 7x – 7y Giải: a x – 3x (Học sinh dễ dàng nhận nhân tử chung x) x2 – x = x(x –3) b x2 – 6x + (Học sinh thấy được dạng đẳng thức A2 – 2AB + B2 = (A – B)2) x2 – 6x + = (x – 3)2 c x2 – xy + 7x – 7y (Học sinh thấy được hai hạng tử đầu x – xy có nhân tử chung x; hai hạng tử cuối 7x – 7y có nhân tử chung nhóm hạng tử) x2 – xy + 7x – 7y = (x2 – xy) + (7x – 7y) = x(x – y) + 7(x – y) = (x – y)(x + 7) 2 2.2 Đối với học sinh trung bình: Giáo viên cho học sinh làm các bài tập bản vận dụng phương pháp đặt nhân tư chung, phương pháp dùng đẳng thức,phương pháp nhóm hạng tư ở mức độ cao Đồng thời, vận dụng phối hợp các phương pháp nêu Ví dụ 9: Phân tích đa thức đa thức x2 + 6x – y2 + thành nhân tư Gợi ý: - Có thể nhóm hạng tử để xuất đẳng thức, sau tiếp tục vận dụng đẳng thức Giải: 2 x + 6x – y + = (x + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + – y)(x + + y) 2.3 Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc những bài tập bản phải làm tốt, học sinh phải biết sáng tạo việc làm thêm các bài tập nâng cao như: Tính nhanh giá trị biểu thức, toán tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… - Dạng tính nhanh giá trị của biểu thức: Ví dụ 10: (?2a – trang 23 sgk Toán tập 1) Tính nhanh giá trị biểu thức P = x 2+2x +1 – y2 x = 94,5 y = 4,5 Gợi ý:Nếu để thay x,y vào để tính rất phức tạp, nên ta cần làm gì? HS: Phân tích đa thức x2 + 2x + – y2 thành nhân tư thay số vào tính Giải: 2 P = x + 2x + – y = (x + 2x + 1) – y2 = (x+1)2– y2 = (x+1– y)(x+1+ y) Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức P ta được: P = (94,5 + – 4,5) (94,5 + + 4,5) = 91.100 = 9100 - Dạng toán tìm x (dạng phương trình đưa dạng phương trình tích): Ví dụ 11: Tìm x biết: x(x + 4) + x + = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử Giải x(x + 4) + x + = ⇔ x(x + 4)+(x + 4)=0 ⇔ (x + 4)(x +1)=0 ⇔ x + = hoặc x + 1=0 ⇔ x = - hoặc x = -1 Vậy: x = - ; x =-1 - Dạng toán rút gọn phân thức đại số Ví dụ 12: (Bài 12a – trang 40 sgk Toán tập 1) x − 12 x + 12 Rút gọn phân thức x − 8x Gợi ý: Phân tích tư và mẫu thành nhân tư Giải 3x − 12 x + 12 3( x − x + = x − 8x x x3 − ( ) ) 3( x − 2) 3( x − ) = = x x + 2x + x( x − ) x + x + ( ) ( ) Bên cạnh đó, đối với học sinh khá, giỏi giáo viên còn giới thiệu cho học sinh các bài toán vận dụng hai phương pháp phân tích nâng cao là tách hạng tư, thêm bớt hạng tư và những bài toán có cách giải hay để phát triển tư tạo hứng thú học tập Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác Ví dụ 13 Phân tích đa thức sau thành nhân tư: x2 +4x+3 Gợi ý: bốn cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Cách 1: ( Sư dụng phép tách hạng tư 4x): Ta có: x2 +4x+3 = x2 +x +3x +3 = ( x2 +x) + (3x+ 3) = x (x+1) +3 (x +1) = (x+ 1)(x+ 3) Cách 2: ( Sư dụng phép tách hạng tư x2): Ta có: x2 +4x+3 = 4x2 – 3x2 +4x+3 = ( 4x2 +4x) - (3x2 - 3) = 4x(x+1) – 3(x2 -1) = 4x(x+1) – 3(x+1)(x -1) = ( x+1) (4x – 3x +3) = (x+ 1)(x+ 3) Cách 3: ( Sư dụng phép tách hạng tư 3): Ta có: x2 +4x+3 = x2 +4x +4 -1 = ( x2 -1) + (4x+ 4) = (x-1)(x +1)+ 4(x+1) = (x+ 1)(x-1+4) = (x+ 1)(x+ 3) Cách 4: ( Sư dụng phép tách tạo đẳng thức): Ta có: x2 +4x+3 = x2 +2.2x +22 -1 =( x+2)2 – = (x+2-1)(x +2+1) = (x+ 1)(x+ 3) Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm hết sức cần thiết học sinh giải toán Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp thêm và bớt một hạng tư nhằm sư dụng phương pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tư chung hoặc dạng đẳng thức Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tư Ta phân tích: Cách 1: Thêm x2 và bớt x2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + x2 + = x4 + x2 + x2 +1 – x2 = x4 + 2x2 +1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 2: Thêm x và bớt x:(làm xuất đẳng thức nhân tử chung) x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Như vậy, với một bài toán ta tìm nhiều cách giải khác nhau, phương pháp giải hay để phát triển tư tạo hứng thú học tập đối với học sinh khá giỏi 3) Chữa sai lầm thường gặp của học sinh phân tích : Do học sinh chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên lúc làm bài học sinh thường nhầm lẫn mà không biết nên dẫn đến kết quả sai 3.1 Sai lầm 1: Chưa hiểu phân tích đa thức thành nhân tử làm nào? Ví dụ 15: Khi phân tích đa thức 4(x – y) – 7x(x – y) thành nhân tư học sinh làm sau: 4(x – y) – 7x(x – y) = (x – y) + (4 – 7x) Sai lầm của học sinh ở là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tư là biến đổi đa thức cho thành tích của những đa thức Khi đặt nhân tư chung xong các em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc dấu “–” Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh đặt nhân tư chung thì phép tính tiếp theo là phép nhân Lời giải đúng: 4(x – y) – 7x(x – y) = (x – y).(4 – 7x) 3.2 Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung Ví dụ 16: Phân tích đa thức x2 –2xy + x –2y thành nhân tư Lời giải sai: x2 –2xy + x –2y = (x2 – 2xy) + (x – 2y) = x(x – 2y) + (x – 2y) = (x – 2y)x (kết dấu sai bỏ sót số 1) 10 Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tư sau đặt nhân tư chung (HS cho ở ngoặc thứ hai đặt nhân tư chung (x – 2y) thì hết, có nghĩa là còn lại là số 0) Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích (x – 2y) = (x – 2y) thì đặt nhân tư chung x – 2y thì học sinh còn nhìn thấy số còn lại là Lời giải đúng: x2 – 2xy + x – 2y = (x2 – 2xy) + (x – 2y) = x(x – 2y) + 1.(x – 2y) = (x – 2y)(x + 1) GV : Lưu ý học sinh còn cách nhóm nào nữa không ? 3.3 Sai lầm 3: Vận dụng đẳng thức chưa thành thạo Ví dụ 22: Phân tích đa thức x2 – 9y2 thành nhân tư Lời giải sai: x2 – 9y2 = (x + 9y)(x – 9y) (kết sai) Sai lầm học sinh là: dùng đẳng thức A2 – B2 mà không đưa về dạng Chưa phân tích 9y2 về dạng bình phương của một biểu thức Lời giải đúng: x2 – 9y2 = x2 – (3y)2 = (x + 3y)(x – 3y) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi vận dụng các đẳng thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa các hạng tư về dạng 3.4 Sai lầm 4: Thực thiếu dấu ngoặc trình phân tích: Vídụ 17: phân tích (x +3y)2 – (x – 3y)2 thành nhân tư Hướng dẫn: Đa thức có dạng đẳng thức nào? HS: A2 – B2 Lời giải sai: (x + 3y)2 – (x – 3y)2 = (x + 3y – x – 3y)(x + 3y + x – 3y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = Giáo viên cần nhấn mạnh dấu ngoặc rất quan trọng Lời giải đúng: (x + 3y)2 – (x – 3y)2 = [(x + 3y) – (x – 3y)].[(x + 3y) + (x – 3y)] = (x + 3y – x + 3y)(x + 3y + x – 3y) = 4y.2x = 8xy Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tư (x - y)2 – 4x2 Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2) Lời giải sai: (x - y)2 – 4x2 = (x - y)2 – 2x2 (kết sai thiếu dấu ngoặc (2x)2) = (x + y – 2x)(x + y + 2x) Sai lầm học sinh là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết quả nhầm lẫn 4x2 = 2x2 mà học sinh không hề hay biết Lời giải đúng: (x - y)2 – 9x2 = (x - y)2 – (2x)2 11 = (x - y – 2x)(x - y + 2x) Ở trường hợp này, giáo viên nên rèn cho học sinh cách trình bày từ học về những đẳng thức Nếu A hoặc B có từ hai nhân tư hoặc từ hai hạng tư trở lên thì dùng đẳng thức nên bỏ vào dấu ngoặc 3.5 Sai lầm 5: Cách nhóm hạng tử đặt dấu sai Ví dụ 21: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tư Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: Nhóm và đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) thay vì x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (–2x – 4y ) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (–2x – 4y) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x +2y) = (x + 2y)(x – 2y– 2) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau nhóm Cách nhóm các hạng tư và đặt dấu: - Nếu nhóm các hạng tư và đặt dấu “+” ở trước dấu ngoặc thì giữ nguyên dấu tất cả các hạng tư mang vào - Nếu nhóm các hạng tư và đặt dấu “–” ở trước dấu ngoặc thì phải đổi dấu tất cả các hạng tư mang vào 3.6 Sai lầm 6: Phân tích chưa triệt để Ví dụ 19:Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tư Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: (BT- ?2 -SGK-tr22) Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Các sai lầm học sinh thường mắc phải Lời giải chưa hoàn chỉnh: a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) hoặc (phân tích chưa triệt để) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) 12 x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ở trường hợp này giáo viên cần rèn cho học sinh cách đặt nhân tư chung một cách triệt để Nên tìm hết nhân tư chung của các hạng tư và dừng lại công việc phân tích không còn phân tích được nữa 3.7 Sai lầm 7: Đổi dấu sai Ví dụ 20: Phân tích đa thức 3x(x – y) – 7(y – x)2 thành nhân tư Lời giải sai: 3x(x – y) – 7(y – x)2 = 3x(x – y) + 7(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[3x + 7(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(10x – 4y) (kết sai ) Sai lầm học sinh là: Thực hiện đổi dấu sai: 3x(x – y) – 7(y – x)2 = 3x(x – y) + 7(x – y)2 Sai lầm ở là đổi dấu ba nhân tử : –7 và (y – x)2 của tích –7(y – x)2 (vì (y – x)2 = (x – y)2) Lời giải đúng: 3x(x – y) – 7(y – x)2 = 3x(x – y) – 7(x – y)2 = (x – y)[3x – 7(x – y)] = (x – y)(7y –4 x) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách tìm nhân tư chung của các hạng tư (tìm nhân tư chung của các hệ số và nhân tư chung của các biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tư một tích 4) Một số lưu ý trình phân tích đa thức thành nhân tử: Để phân tích được đa thức thành nhân tư thì : + Đối với giáo viên phải thực hiện được một số việc sau: - Xây dựng các phương pháp giải bản về phân tích đa thức thành nhân tư - Củng cố các phương pháp phân tích bản - Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán bản - Giới thiệu nâng cao hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư - Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh giải toán - Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán - Một số lưu ý quá trình phân tích đa thức thành nhân tư + Đối với học sinh : * Cần phải nắm vững các phương pháp bản như: Đặt nhân tư chung; dùng đẳng thức; nhóm các hạng tư; phối hợp nhiều phương pháp Ngoài ra, đối với học sinh khá, giỏi giới thiệu thêm hai phương pháp phân tích (nâng cao): Tách hạng tử; thêm bớt hạng tử Lời giải đúng: 13 * Quan sát đặc điểm của toán; nhận dạng toán; chọn lựa phương pháp giải thích hợp: - Quan sát đặc điểm của bài toán: Xem xét mối quan hệ giữa các hạng tư bài toán (về các hệ số, các biến) - Nhận dạng bài toán: Xem bài toán cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau - Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Sau quan sát, nhận dạng bài toán ta cần chọn lựa cách giải cho phù hợp với bài toán * Khi thực phân tích một đa thức thành nhân tử cần lưu ý: - Phương pháp đặt nhân tư chung sư dụng liên tiếp ở hai bước liền - Phương pháp nhóm sư dụng liên tiếp ở hai bước liền - Phương pháp dùng đẳng thức sư dụng liên tiếp ở hai bước liền IV Kết thực Qua giảng dạy bộ môn toán và kinh nghiệm rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tư cho học sinh lớp 8, nhận thấy đề tài này rất thiết thực và góp phần tích cực việc đổi phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh Qua quá trình vận dụng đề tài này vào giảng dạy đối với cả lớp 8A và 8B ở trường PTDTBT THCS Trung Tiến, nhận thấy chất lượng môn toán ngày càng tiến bộ rõ rệt Tôi tiến hành khảo sát trước và sau áp dụng SKKN và thu được kết quả cụ thể sau : LỚP 8A 8B Cả khối Tổng số HS 24 24 48 Kết khảo sát trước áp dụng SKKN Số HS đạt TL% điểm >=5.0 15 62,5 17 70,8 32 66,7 Kết khảo sát trước áp dụng SKKN Số HS đạt TL% điểm >=5.0 20 83,3 21 87,5 41 85,4 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHI I Kết luận: Qua quá trình áp dụng phương pháp này nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này Phương pháp này giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững về cách phân tích đa thức thành nhân tư chương trình học và rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác thông qua 14 một chuỗi bài tập Bên cạnh còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh học toán Các em tích cực học tập và hứng thú giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tư Đặc biệt là vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư vào các dạng toán sau này một cách có hiệu quả Tuy nhiên dạy học để có kết quả tốt cần ý đến việc phân luồng đối tượng học sinh để lựa chọn phương pháp cho phù hợp II Kiến nghị: Môn Toán là môn học sinh miền núi tương đối ngại học vì nhiều nguyên nhân, bởi vậy để chất lượng môn toán ngày càng được nâng cao và đề tài đạt hiệu quả cao xin có một số kiến nghi sau: - Nhà trường,chính quyền đia phương, các hội khuyến học, hội phụ huynh cần có chế độ khen thưởng cho những em đạt giải môn toán các kì thi - Nhà trường, đia phương cần mua sắm, hỗ trợ các em tài liêu tham khảo dành cho môn toán - Cần có sự phối hợp giữa chặt chẽ giữa nhà trường, đia phương và gia đình việc quản lí việc học tập ở nhà của các em Trên là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân về việc giúp học sinh rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tư Trong quá trình nghiên cứu sẽ không tránh khỏi những thiếu sót rất mong các anh chi, bạn bè đồng nghiệp tham khảo góp ý để giúp hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI Quan Sơn, ngày 07 tháng 04 năm 2016 Tôi xin cam đoan là SKKN của mình viết, không chép nội dung của người khác Nguyễn Hữu Tuyển 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán Tập I, II - Phan Đức Chính (Chủ biên) – NXB Giáo dục Sách giáo viên Toán Tập I, II - Phan Đức Chính– NXB Giáo dục Vở Bài tập Toán Tập I, II-Nguyễn Văn Trang – NXB Giáo dục Một số vấn đề về đổi phương pháp dạy học ở trường THCS môn Toán Bộ Giáo dục và Đào tạo Tài liệu tập huấn “Dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn kiến thức, kĩ chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cấp THCS – năm 2010” của Bộ Giáo dục và đào tạo Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên môđun THCS 25: Viết sáng kiến kinh nghiệm trường THCS Một số tư liệu khác cổng CNTT 16 ... Mỗi nhóm phân tích được + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực được - Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung: Ví dụ 5: Phân tích đa thức... nhận thấy việc Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp Trường PTDTBT THCS Trung Tiến” là thực sự cần thiết Bởi vì, là cách giúp học sinh rèn được kĩ quan sát, nhận... giải phân tích đa thức thành nhân tử 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến Khi đó, nhân tử chung