Rèn kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS nga thắng

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụngthiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạyvà học toán nói riêng trong trường THCS hi

MỤC LỤC

2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Trang 1

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụngthiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy

và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động họctập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khảnăng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện

và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thựctiễn

Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân

tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú,

đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiềuphân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Qua thực tếgiảng dạy cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinhlớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiềuhọc sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phươngpháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từngbài toán cụ thể

- Mục đích nghiên cứu:

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo

gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng

cao chất lượng bộ môn nên Tôi đã chọn đề tài: “rèn luyện kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng”

- Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Sách giáo khoa Toán 8, Sách giáo viên, Sách bài tậptoán tập 1, Sách tham khảo nâng cao…

Nhiệm vụ đề tài: “rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng”

- Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp điều tra

+ Phương pháp thống kê

+ Phương pháp quan sát

+ Phương pháp thực hành

+ Phương pháp thực nghiệm

+ Phương pháp đàm thoại và nghiên cứu vấn đề

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học; tựnghiên cứu rất cao.Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quátrình tự giáo dục Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo; tưduy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội

Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môntoán (cụ thể là môn đại số lớp 8) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm mộtlượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan Để làmđược như vậy thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâukiến thức của các em học sinh

2.2.Thực trạng vấn đề:

*Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu

Tìm hiểu qua học sinh và đồng nghiệp, tôi pháp hiện một số nguyên nhân cơ bảnsau:

- Do học sinh chưa khai thác hết đề bài một cách triệt để,toàn diện

- Chưa nắm được bản chất của một số bài toán cơ bản

- Chưa chịu khó tìm tòi, sáng tạo khi làm bài

- Đặc biệt các em chưa phát hiện ra cái mới qua những kiến thức đã biết vậndụng đúng lúc đúng chỗ

Từ những nguyên nhân trên, tôi thiết nghĩ:

Để phát huy khả năng tư duy của học sinh, người thầy phải giúp các emnhìn nhận một số vấn đề dưới một góc độ khác nhau Đặc biệt từ điều đúng đãbiết, bằng hình thức diễn tả khác nhau, rồi chọn hình thức phù hợp với trình độhọc sinh, yêu cầu học sinh giải bài tập đó hoặc từ khai thác tri thức đó tìm ratình huống áp dụng cụ thể bằng việc giải quyết các bài tập tương ứng, các nộidung ấy lại chính từ sách giáo khoa,vì vậy tri thức ấy đã được khai thác sử dụnghiệu quả nhất Điều này được làm sáng tỏ qua một số khảo sát sau

Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên, trước khi ápdụng đề tài tôi đã ra một đề toán cho 23 em học sinh trong lớp 8A của trườngTHCS Nga Thắng

Với những bài tập tôi đưa ra, học sinh giải một cách độc lập và tự giác,được thống kê theo bảng sau:

Năm học

Chưaápdụng

Tổng

số HSlớp8A

Số HS giải được theo các mức độLoại giỏi Loại khá Loại TB Loại yếu -kém

Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh không có phương pháp phântích đa thức thành nhân tử đạt hiệu quả Lời giải thường dài dòng, không chínhxác, đôi khi còn ngộ nhận

2.3 Các giải pháp và tổ chức thực hiện:

2.3.1 Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:

Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.

Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

* Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh yếu kém:

- Phương pháp Đặt nhân tử chung

- Phương pháp Dùng hằng đẳng thức

- Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử

*Vận dụng và phát triển kỹ năng đối vơi học sinh đại trà:

- Phối hợp nhiều phương pháp

- Rèn kĩ năng biến đổi cơ bản hoàn thiện cách tình bày lời giải

- Giới thiệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao)

* Phát triển tư duy đối với học sinh giỏi: (Giới thiệu phương các pháp )

- Phương pháp tách môt hạng tử thành nhiều hạng tử

- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

- Phương pháp đổi biến

- Phương pháp dùng hệ số bất định

2.3.2.Các phương pháp cơ bản:

a Phương pháp đặt nhân tử chung

- Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng

tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

35a2b2  21ab2 + 49a2b

Giải: 35a2b2  21ab2 + 49a2b = 7ab(5ab  3b + 7a)

Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2x(y – z) + 3y(z –y )

Giải: 2x(y – z) + 3y(z –y ) = 2x(y  z) – 3y(y  z) = (y – z)(2x  3y)

Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài 4: Chứng minh rằng:

a) 432 + 43.17 chia hết cho 60 ; b) 275 - 311 chia hết cho 80

b Phương pháp dùng hằng đẳng thức

 Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

 Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

25x2 – 4

Giải: 25x2 – 4 = (5x)2 – 22 = ( 5x– 2)(5x + 2)

Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

64 – 27a3b6

Giải: 64 – 27a3b6 = 43 – (3ab2)3 = (4 – 3ab2)( 16 + 12ab2 + 9a2b4)

Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên

Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8 Ta suy ra ĐPCM

a) 2110 – 1chia hết cho 200 ; b) 3920 + 3913 chia hết cho 40

c) 260 + 530 chia hết cho 41 ; d) 20052007 + 20072005 chia hết cho 2006

c Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Giải: x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2  42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

d Phối hợp nhiều phương pháp

 Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.

Giải: 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2

Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

Giải: 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Ví dụ 4 Cho a + b + c = 0 Chứng minh a3 + b3 + c3 =3abc

Giải : Thay a3 + b3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) và a + b = - c, ta được

a3 + b3 + c3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) + c3 = - c3 – 3ab.(-c) + c3 = 3abc

Vậy đẳng thức được chứng minh

e Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.

e.1)Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax 2 + bx + c)

3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2)

e.2) Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên

Trước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau :

Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0 Khi đó, f(x) có một nhân tử là x –

a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)

Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử

là x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là mộtước của hệ số tự do

Thật vậy, giả sử đa thức

, trong đó b n1,b n2, , ,b b1 0 là các số nguyên Hạng tử bậc thấp nhất ở vế phải

là – ab 0 , hạng tử bậc thấp nhất ở vế trái là a 0 Do đó – ab 0 = a 0 , suy ra a là ước của a 0

Ví dụ 1 Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử

Lời giải

Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0 Đathức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2 Từ đó, tatách như sau

Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau :

Hệ quả 1 Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1 Từ

Hệ quả 2 Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các

hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1 Từ đó f(x) có một nhân tử là x + 1.

Chẳng hạn, đa thức f(x) = x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là mộtnghiệm của đa thức Đa thức có một nhân tử là x + 1 Ta phân tích như sau :f(x) = x3 – 5x2 + 3x + 9

Do f(1) ≠ 0 nên a ≠ 1, suy ra q(1) = 



( )

f 1

a 1 Vì các hệ số của f(x) nguyên nên

các hệ số của q(x) cũng nguyên Do đó, q(1) là số nguyên Vậy



( )

f 1

a 1 là sốnguyên

Thay x = –1 vào (1) và chứng minh tương tự ta có 

18 1 không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ±

18 không là nghiệm của f(x) Chỉ còn –2 và 3 Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm củaf(x) Do đó, ta tách các hạng tử như sau :

3 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1 Ta phântích như sau :

Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

f Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.

f.1)Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương

Ví dụ 1 Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử

x4 + 64 =( x2)2 + 82 + 2.x2.8 – 16x2

= ( x2 + 8)2- (4x)2

=( x2 + 8+4x)( x2 + 8 - 4x)

= ( x2+4x +8)(x2 - 4x+8)

f.2)Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ 1 Phân tích đa thức x5 + x  1 thành nhân tử

c) x4 + 4 (thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2 )

d) 64a2 + b4 (ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2)

g Phương pháp đổi biến.

Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd

x4  3x3 + 6x2  5x + 3 = x4 + (a+b)x3 + (ab +4)x2 + (3a + )x + 3

Hai đa thức trên đồng nhất với nhau nên ta có :

- Học sinh giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanhhơn, xác định ngay được hướng làm và lựa chọn cách trình bày đơn giản nhất Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau nhiều năm dạy toán 8, bảnthân tôi nhận thấy: Khi dạy học sinh làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử,học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng Học sinhphân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phân tích đa thức thànhnhân tử và từ đó có thể giải được hầu hết các bài tập phần này, xóa đi cảm giáckhó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc tổng quát Qua đó, rèn luyện chohọc sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũngthấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu Điều đó giúp cho

học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn toán.

* Kết quả cụ thể: Với những bài tập tôi đưa ra, học sinh giải một cách độc lập

và tự giác, được thống kê theo bảng sau:

Năm học Đã

ápdụng

đề tài

TổngsốHSlớp8a

Số HS giải được theo các mức độLoại giỏi Loại khá Loại TB Loại yếu -kém

Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ nhữngkiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theomức độ tăng dần từ dễ đến khó Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó

mới bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giảinhiều bài tập Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lậpluận trình bày của học sinh.

Đối với học sinh đại trà thì việc học của các em chính là những vấn đề xungquanh SGK nếu nhận được sự dìu dắt tận tình cụ thể của giáo viên thì việc họccủa các em đỡ vất vã hơn có hứng thú hơn Đây là dạng toán cần quan tâm nó đadạng và phong phú đề cập đến kiến thức trong trường phổ thông nó có tính tổnghợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một lúc để giải quyết vấnđề.Với cách hướng dẫn học sinh làm như vậy không những nâng cao kiến thứccho các em mà còn là hình thức cũng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh

Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết quả sau:

+ Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập

và yêu thích bộ môn toán

+ Học sinh tránh được những sai sót cơ bản, biết lựa chọn lời giải ngắn gọn

và có kĩ năng vận dụng thành thạo cũng như phát huy được tính tích cực của họcsinh

+ Học sinh có được cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán đã được học và tựhình thành cho mình một phương pháp mới

Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viêncần xây dựng cho học sinh từ kiến thức cũ đến kiến thức mới từ cụ thể đếntổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp, tạo cho học sinh cách tiếp cận một bài toánphù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

Người thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng tạo củahọc sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toánđúng đắn Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáodục trong nhà trường

-Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên.

-Tiếp tục chỉ đạo, kiểm tra, đánh giá việc thực hiện các chuyên đề của tổchuyên môn

-Thường xuyên giao lưu liên trường để giáo viên có điều kiện trao đổi, họchỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp

Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo tình huống, dẫn dắthọc sinh học tập bằng cách tự học là chính Thông qua đó phát huy tính tích cựcchủ động của học sinh Tuy nhiên để làm được điều đó phải tốn không ít thờigian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình Nhưngtheo tôi một trong những phương pháp giúp chất lượng học tập của học sinhngày một nâng cao là phải làm như vậy

Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy

phần “rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng ” ở lớp 8 Trong khi vấn đề bồi dưỡng học

sinh giỏi toán đối với giáo viên THCS còn nhiều trăn trở thì bản thân tôi muốnđóng góp một kinh nghiệm nhỏ của mình Mặc dù đề tài đã đạt được một số kếtquả nhất định, song không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Rất mongnhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài thêm phongphú và có hiệu quả hơn, trong năm học tới bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quảcao hơn hơn

Nga Thắng,ngày 10 tháng 4 năm 2017

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

ĐƠN VỊ viết không sao chép nội dung của người khác

Người thực hiện

Dương Thị Hoa

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 8 Nhà xuất bản giáo dục

2- Nâng cao và phát triển Toán 8 Tác giả: Vũ Hữu Bình

3- Tuyển tập các đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất bản giáo dục

4- Tuyển tập các tập chí của Toán tuổi thơ các số Nhà Xuất bản giáo dục

5- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8 Tác giả: Bùi Văn Tuyên

6- Các loại tài liệu khác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

CỦA HỌC SINH LỚP 8 TRƯỜNG THCS NGA THẮNG

Người thực hiện: Dương Thị Hoa Chức vụ : Giáo Viên

Đơn vị công tác : Trường THCS Nga Thắng SKKN thuộc môn: Toán