Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN  Mã số: ……………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8” Người thực hiện: Bùi Thị Thủy Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán  - Lĩnh vực khác: …………  Có đính kèm  Mô hình Phần mềm Phim ảnh Năm học: 2014-2015 Hiện vật khác SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Bùi Thị Thủy Ngày tháng năm sinh: 20/9/1976 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Tổ 14 - Khu 10 - Tân Phú - Đồng Nai Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 01652793569 Fax: ………… E-mail: buithuydtnt@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao: Giảng dạy môn Toán 8, Lý 9 Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên huyện Tân Phú – Định Quán II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Đại học sư phạm - Năm nhận bằng: 2005 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS - Số năm có kinh nghiệm: 17 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: + Làm để dạy tốt định lý hình học đạt hiệu + Giúp học sinh lớp hình thành phát triển số kĩ trình học hình học + Giúp học sinh lớp phát tránh sai lầm giải toán bậc hai + Một vài kinh nghiệm giúp học sinh yếu, học tốt môn Toán + Phương pháp giải số dạng toán tỉ lệ thức dãy tỉ số đại số RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học môn khoa học coi chủ lực, trước hết Toán học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học toán nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học toán nói riêng trường THCS tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (2 lớp giảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử không khó, nhiều học sinh làm sai lúng túng chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: “ Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, môn toán môn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu Việc học toán học SGK, không làm tập thầy, cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng môn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, … Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua ví dụ cụ thể, việc phân tích không phức tạp không ba nhân tử Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn Cơ sở thực tiễn Tồn nhiều học sinh yếu tính toán, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn em tư yếu, không nhớ kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, lười biếng học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Giáo viên đôi lúc chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng phương tiện dạy học vào giảng dạy Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm đến việc học tập em việc học tập em khoán trắng cho giáo viên III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Giải pháp 1: Các phương pháp sai lầm cần tránh 1.1) Phương pháp đặt nhân tử chung a) Phương pháp Bước 1: Tìm nhân tử chung Nhân tử chung đơn thức đa thức có mặt tất hạng tử Nhân tử chung tích hệ số với phần biến: + Hệ số ƯCLN hệ số hạng tử (nếu hệ số số nguyên) + Phần biến gồm có biến chung hạng tử với số mũ nhỏ Bước 2: Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác Bước 3: Viết nhân tử chung dấu ngoặc viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) b) Ví dụ * Nhân tử chung đơn thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 4x3 – 12x2 + 18x b) 28x2y4 - 21xy5 + 14x2 y2; Phân tích giải: a) Ta thấy: ƯCLN (4;12;18) = 2, biến chung x với số mũ nhỏ  nhân tử chung 2x Vì 4x3 – 12x2 + 18x = 2x.2x2 – 2x.6x + 2x.9 = 2x(2x2 – 6x + 9) b) Ta thấy: ƯCLN (28;21;14) = 7, biến chung x với số mũ nhỏ biến y với số mũ nhỏ  nhân tử chung 7xy2 Vì 28x2y4 - 21xy5 + 14x2 y2 = 7xy2.4xy2 – 7xy2.3y3 + 7xy2.2x = 7xy2 4xy2 (4xy2 – 3y3 + 2x) * Nhân tử chung đa thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 3x2(x + 1) – 2x(x + 1) b) (x – y + z)2 – z(x – y + z) + x – y + z Phân tích giải: a) Dễ dàng nhận nhân tử chung x(x + 1) Vì 3x2(x + 1) – 2x(x + 1) = x(x + 1)(3x – 2) b) Dễ dàng nhận nhân tử chung x – y + z Vì (x – y + z)2 – z(x – y + z) + x – y + z = (x – y + z)2 – z(x – y + z) + (x – y + z) = (x – y + z)(x – y + z – z + 1) = (x – y + z) (x – y + 1) * Nhiều để xuất nhân tử chung, ta phải đổi dấu hạng tử Chú ý: A = -(-A) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 4x(x – 2y) – 12(2y – x) b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x – z) Phân tích giải: a) Hạng tử thứ có nhân tử x – 2y, hạng tử thứ hai có nhân tử 2y -x Ta thấy: 2y – x = - (x – 2y) Từ xuất nhân tử chung (x – 2y) Vì vậy: 4x(x – 2y) – 12(2y – x) = 4x(x – 2y) + 12(x - 2y) = 4(x – 2y)(x + 3) b) Hạng tử thứ có nhân tử (x – y + z), hạng tử thứ hai có nhân tử (x – y - z) Ta thấy: (y – x - z) = - (x – y + z) Từ xuất nhân tử chung (y – x - z)) Vì vậy: 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x – z) = 3x2y2(x – y + z) - 2xy(x – y + z) = xy(x – y + z)(3xy – 2) c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải * Học sinh xác định nhân tử chung không hết, dẫn đến phân tích không triệt để Chẳng hạn: Một học sinh phân tích sau: x2(x – 1) + 2x(x – 1) = (x – 1)(x2 + 2x)! Đến đây, học sinh dừng lại Rõ ràng, học sinh phân tích chưa triệt để xác định nhân tử chung không hết Nhân tử chung xác phải x(x - 1) Cách làm đúng: x2 (x - 1) + 2x(x - 1) = x(x - 1)(x + 2) * Học sinh cách đổi dấu hạng tử đổi dấu hạng tử sai, dẫn đến việc không phân tích được, phân tích không triệt để, phân tích sai Chẳng hạn: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(x – y) – 2(y – x) ; b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) Phân tích làm số học sinh: a) Nhiều em không phân tích đổi dấu số hạng để xác định nhân tử chung phân tích lại sai đổi dấu không đúng: x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2)! Rõ ràng, việc đổi dấu sai (x – y = y – x!) dẫn tới việc phân tích sai Cách làm đúng: x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) + 2(x – y) = (x + 2)(x – y) b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)] Đến đây, học sinh đổi dấu số hạng để làm xuất nhân tử chung dẫn tới việc phân tích không triệt để Cách làm đúng: x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)] = xy[xy(x – y + z) - 2(x – y + z)] = xy(xy – 2)(x – y + z) * Học sinh không quan sát kĩ số hạng nên gặp bế tắc phân tích Chẳng hạn, phân tích đa thức: 3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y) thành nhân tử, số học sinh quan sát không kĩ nên gặp bế tắc tưỏng số hạng nhân tử chung Nhưng quan sát kĩ số hạng thấy số hạng phân tích tiếp, nhân tử chung xuất hiện: 3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y) = 3y.2(3x – 2y) + 2x.3(3x – 2y) = (3x – 2y)(6y + 6x) = 6(x + y)(3x – 2y) 1.2) Phương pháp dùng đẳng thức a) Phương pháp Vận dụng đẳng thức sau để phân tích: Bình phương tổng: (A + B)2 =A2 + 2AB + B2 Bình phương hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Lập phương tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 Lập phương hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ngoài ra, ta áp dụng đẳng thức sau: Bình phương tổng ba biểu thức: A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) = (A + B + C)2 Hiệu hai lũy thừa số mũ an - bn = (a – b)(an - + an - 2b + + abn - + bn - 1) Hệ quả: an – = (a – 1) )(an - + an – + + a + 1) 10 Tổng hai lũy thừa bậc lẻ a2k + + b2k+1 = (a + b)(a2k - a2k - 1b + a2k - 2b2 - + b2k) b) Ví dụ * Nếu đa thức có hai số hạng, ta thường nghĩ đến việc vận dụng đẳng thức 3, 6, 7, 9, 10 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) an - bn = (a – b)(an - + an - 2b + + abn - + bn - 1) a2k + + b2k+1 = (a + b)(a2k - a2k - 1b + a2k - 2b2 - + b2k) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 4x2 – 9y2 ; b) x3 – 8y3 ; c) 27 + 64y6 Phân tích giải: a) Ta viết: 4x2 = (2x)2, 9y2 = (3y)2, đa thức có dạng hiệu hai bình phương 4x2 – 9y2 = (2x)2 - (3y)2 = (2x – 3y)(2x + 3y) b) Ta viết: 8y3 = (2y)3, đa thức có dạng hiệu hai lập phương x3 – 8y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) c) Ta viết: 27 = 33, 64y6 = (4y2)3, đa thức có dạng tổng hai lập phương 27 + 64y6 = 33 + (4y2)3 = (3 + 4y2)(9 – 12y2 + 16y4) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x7 - 1; b) + x10 Phân tích giải: a) Ta thấy x7 - = x7 - 17 Đa thức có dạng đẳng thức số Vì vậy: x7 - = (x – 1)(x6 + x5+ x4 + x3 + x2 + x + 1) * Nếu đa thức có ba số hạng, ta thường nghĩ đến việc vận dụng đẳng thức 1, (A + B)2 =A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 4x2 - 4x + 1; b) x2 + x + Phân tích giải: a) 4x2 - 4x + = (2x)2 – 2.2x.1 + 12 = (2x – 1)2; 2 1 1 b) x + x + = x2 + 2.x +   =  x   2  2 Chú ý: Nhiều ta phải đổi dấu đa thức nhận đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: -16 + 24x - 9x2 Phân tích giải: Đa thức cho dạng đẳng thức Nhưng ta đối dấu đa thức nhận đẳng thức dấu ngoặc -16 + 24x - 9x2 = - (9x2 - 24x + 16) = [(3x)2 – 2.3x.4 + 42] = - (3x – 4)2 * Nếu đa thức có bốn số hạng, ta thường nghĩ đến việc vận dụng đẳng thức 4, (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 (A – B)3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 + 15x2 + 75x + 125; b) 27x3 - 18x2y2 + 36xy4 – 8y6 Phân tích giải: a) Để kiểm tra xem đa thức có dạng đẳng thức hay không, ta phân tích: x3 + 15x2 + 75x + 125 = x3 + 3.x2.5+ 3.x.52 + 53 Đến đây, ta thấy đa thức có dạng đẳng thức thứ Vì vậy: x3 + 15x2 + 75x + 125 = (x + 5)3 b) Ta phân tích: 27x3 - 18x2y2 + 36xy4 – 8y6 = (3x)3 – 3.(3x)2 2y2 + 3.3x.(2y2)2 – (2y2)3 Đến đây, ta thấy đa thức có dạng đẳng thức thứ Vì vậy: 27x3 - 18x2y2 + 36xy4 – 8y6 = (3x - 2y2)3 c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải * Học sinh xác định đẳng thức sai Chẳng hạn, phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - 2xy + 4y2 b) 125x3 - 25x2 + 15x – Một số học sinh phân tích: a) x2 - 2xy + 4y2 = (x + 2y)2! b) 125x3 - 25x2 + 15x – = (5x - 1)3! Sai lầm học sinh nhận dạng sai đẳng thức, nên vội vàng phân tích mà không kiểm tra xem đa thức có dạng đẳng thức biết hay chưa: a) Ta thấy đa thức bình phương thiếu hiệu: x2 - 2xy + 4y2 = x2 - x.2y + (2y)2 Đa thức có dạng A2 - AB + B2 A2 - 2AB + B2! b) Phân tích đa thức 125x3 - 25x2 + 15x – = (5x)3 – (5x)2.1 + 3.5x.12 – 13 Đa thức có dạng A3 – A2 B + 3AB2 – B3 A3- 3A2B+ 3AB2 - B3 * Học sinh lúng túng đa thức xếp không theo thứ tự đẳng thức Chẳng hạn, phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) - x2 + 4y2 b) – 4x + x2 + Nhiều học sinh lúng túng dẫn tới việc không phân tích Dễ dàng nhận đẳng thức ta đổi chỗ số hạng a) - x2 + 4y2 = 4y2 - x2 = (2y – x)(2y + x) b) – 4x + x2 + = x2 – 4x + = (x – 2)2 * Học sinh đổi dấu số hạng để nhận đẳng thức đổi dấu sai dẫn tới nhận nhầm đẳng thức Chẳng hạn, phân tích đa thức – 16 + 24x – 9x2 thành nhân tử, nhiều học sinh lúng túng áp dụng đẳng thức áp dụng sai đẳng thức: – 16 + 24x – 9x2 = (– – 3x)2! Cách làm đúng: – 16 + 24x – 9x2 = - (9x2 - 24x +16) = - (3x – 4)2 Một ví dụ phân tích đa thức – x2 – 4y2 thành nhân tử, có học sinh phân tích sau: – x2 – 4y2 = - (x2 – 4y2) = - (x – 2y)(x + 2y) = (2y – x)(2y + x) Sai lầm học sinh đổi dấu số hạng sai dẫn tới nhận nhầm đẳng thức hiệu hai bình phương Thực ra, đa thức không phân tích dạng đẳng thức * Học sinh không phân tích triệt để Chẳng hạn, phân tích đa thức x4 – thành nhân tử, có học sinh phân tích sau: x4 – = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + 3)! Ở đây, học sinh áp dụng lần đẳng thức hiệu hiệu hai bình phương hài lòng phân tích Cách làm đúng: Ta thấy x2 – = x2 –   = (x )( x + ) Vì vậy: x4 – = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + 3)= (x - )( x + )(x2 + 3) * Học sinh chưa khéo léo áp dụng đẳng thức Chẳng hạn, phân tích đa thức x6 – thành nhân tử, học sinh phân tích sau: x6 – = (x2)3 – 13 = (x2 – 1)(x4 + x2 +1) = (x – 1)(x + 1)( x4 + x2 +1) Nhìn qua, ta thấy hợp lý, đa thức phân tích chưa triệt để Nếu ta thay đổi cách áp dụng đẳng thức, đa thức phân tích triệt để: x6 – = (x2)3 – 13 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)( x2 - x +1) = (x – 1)(x + 1) )(x2 + x + 1)( x2 - x +1) Thực cách thứ nhất, ta phân tích: x4 + x2 +1 = x4 + 2x2 +1 – x2 = (x2 – 1)2 – x2 = (x2 + x + 1)( x2 - x +1) Nhưng rõ ràng cách học sinh nhìn làm 1.3) Phương pháp nhóm hạng tử a) Phương pháp - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm 10 * Nếu đa thức có bậc nhất, ta thường tách hạng tử thành đa thức có chứa nhân tử x – a như: x – a; kx – ka (k số) * Nếu đa thức có bậc hai, phân tích bẳng phương pháp ta thường tách hạng tử thành đa thức có chứa nhân tử x – a như: x2 – ax = x(x – a); x2 – a2 = (x – a)(x + a); x2 – 2ax + a2 = (x – a)2 * Nếu đa thức có bậc ba, phân tích bẳng phương pháp ta thường tách hạng tử thành đa thức có chứa nhân tử x – a như: x3 – ax2 = x2(x – a); x3 – ax = x(x – a)(x + a); x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2); x3 – 2ax2 + a2x = x(x – a)2 * Nếu đa thức có bậc bốn, ta có cách tách tương tự: x4 – ax3 = x3(x – a); x4 – a2x2 = x2(x2 – a2) = x2(x – a (x + a) ; 2.3) Phương pháp thêm bớt hạng tử a) Phương pháp Thêm bớt hạng tử nhằm làm xuất đẳng thức (hiệu hai bình phương, hiệu hai lập phương, tổng hai lập phương làm xuất nhân tử chung b) Ví dụ Ví dụ 19 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2- 2x – y2 + 2y; b) x2 + x – y2 – y Phân tích giải: Quan sát nhanh, ta thấy đa thức phân tích phương pháp nhóm hạng tử Ngoài cách ra, ta thêm bớt hạng tử để phân tích: a) Cách 1: x2 - 2x – y2 + 2y = (x2 – y2) – (2x – y) = = (x – y)(x + y – 2) Cách 2: Ta thấy x2 – 2x = x2 – 2.x.1, -y2 + 2y = -(y2 – 2.y.1) Các đa thức cần thêm 12 = để trở thành đẳng thức x2- 2x – y2 + 2y = x2 - 2x + – y2 + 2y – = (x – 1)2 – (y – 1)2 = (x – – y + 1)(x – + y – 1) = (x – y)(x + y – 2) b) Cách 1: x + x – y2 - y = (x2 – y2) + (x – y) = = (x – y)(x + y + 1) Cách 2: x2 + x – y2 - y = x2 + x + = (x + 1 1 – y2 – y - = (x + )2 – (y + )2 4 2 1 1 - y - )(x + + y + ) 2 2 = (x – y)(x + y + 1) Ví dụ 20 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4 + x2 + 1; b) x4 + 21 Phân tích giải: a) Ta thêm bớt theo nhiều cách sau: - Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) - Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung x4 + x2 + Cách 2: = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 3: x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) b) Ta thêm bớt theo nhiều cách sau: - Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) - Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 21 Phân tích đa thức x5 + x – thành nhân tử Phân tích giải: Cách 1: x5 + x – = x5 - x4+ x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - = x3(x2 - x + 1) + x2(x2- x + 1) - (x2- x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 + x2 - 1) Cách Thêm bớt x2 : x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - 1= x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2 (x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 + x2 - 1) 2.4) Phương pháp đổi biến a) Phương pháp Phương pháp đổi biến nhằm mục đích hạ bậc đa thức để đưa đa thức ban đầu dạng đa thức dễ phân tích b) Ví dụ * Với đa thức: a(f(x))2 + bf(x) +c, f(x) đa thức biến x Cách giải: Đặt t = [f(x)]2 đưa đa thức dạng: at2 + bt + c, phân tích tiếp Ví dụ 22 Phân tích đa thức thành nhân tử 22 a) x4 + 24x2 – 112; b) x6 + 9x3 + 8; c) (x2 – 2x – 1)2 - 5(x2 – 2x – 1) – 14; d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Phân tích giải: a) Đặt t = x2 , đa thức trở thành : t2 + 24t – 112 = (t – 4)(t + 28) Suy : x4 + 24x2 – 112 = (x2 – 4)(x2 + 28) = (x – 2)(x + 2)(x2 + 28) b) Đặt t = x3 , đa thức trở thành : t2 + 9t + = (t + 1)(t + 8) Suy : x6 + 9x3 + = (x3 + 1)(x3 + 8) = (x + 1)(x2 – x + 1)(x + 2)(x2 – 2x + 4) = (x + 1)(x + 2)(x2 – x + 1)(x2 – 2x + 4) c) Đặt t = x2 – x – , đa thức trở thành : t2 – 5t – 14 = (t + 2)(t – 7) Suy : (x2 – 2x – 1)2 - 5(x2 – 2x – 1) – 14 = (x2 – 2x – + 2)(x2 – 2x – – 7) = (x2 – 2x + 1)(x2 – 2x – 8) = (x – 1)2(x + 2)(x – 4) d) Đặt t = x2 + x + , đa thức trở thành : t(t + 1) – 12 = t2 + t – 12 = (t – 3)(t + 4) Suy : (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x + – 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2) (x2 + x + 5) * Đa thức: f(x) = (x + a)4 + (x + b)4 +c Cách giải : Đặt t = x + ab , đưa đa thức dạng mt4 + nt2 + p Ví dụ 23 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + 1)4 + (x + 3)4 - 16 Phân tích giải: Đặt x + = t, phương trình cho trở thành: (t – 1)4 + (t +1)4 – 16 = t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + - 16 = 2t4 + 12t2 – 14 = 2(t2 – 1)(t2 + 7) Suy : (x + 1)4 + (x + 3)4 – 16 = 2(x2 – 1)(x2 + 7) = 2(x – 1)(x + 1)(x2 + 7) * Đa thức: f(x) = (x + a(x + b(x + a(x + d) +m, với a + c = b + d Cách giải: Đặt t = x2 + (a + c)x + k, k số thực chọn thích hợp Ví dụ 24 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x – 1)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 112; b) (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24 23 Phân tích giải: a) Ta biến đổi đa thức cho thành : [(x – 1)(x + 4)][(x – 2)(x + 5)] – 112 = (x2 + 3x – 4)(x2 + 3x – 10) - 112 Đặt t = x2 + 3x – 7, ta được: (t + 3)(t – 3) - 112 = t2 - 121 = (t – 11)(t + 11) Hay (x – 1)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 112 = (x2 + 3x – 18)(x2 + 3x + 4) = (x – 3)(x + 6)(x2 + 3x + 4) b) Ta thấy đặt ẩn phụ Dễ thấy đa thức ngoặc phân tích được: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 Đặt t = x2 + 5x + 5, ta được: (t – 1)(t + 1) – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5) Hay: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24 = (x2 + 5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5) (x2 + 5x + 10) Chú ý: Một số dạng tương tự giải theo cách Ví dụ 25 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (3x – 2)(6x + 5)(2x + 1)(x – 1) - 10 Phân tích giải: Ta biến đổi đa thức thành : [(3x – 2)(2x + 1)][(6x + 5)(x – 1)] – 10 = (6x2 – x – 2)(6x2 – x – 5) - 10 Đặt t = 6x2 – x – 5, ta được: (t + 3)t - 10 = t2 + 3t – 10 = (t – 2)(t + 5) Suy : (3x – 2)(6x + 5)(2x + 1)(x – 1) – 10 = (6x2 – x – 7)(6x2 – x) = (x + 1)(6x – 7)x(6x – 1) = x(x + 1)(6x – 1)(6x – 7) * Đa thức dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e với e d2  a b2 Cách giải : Xét x ≠ 0, chia hai vế đa thức cho x2 ≠ đặt t = x + d , bx đưa đa thức bậc hai biến t Ví dụ 26 Phân tích đa thức A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + thành nhân tử Phân tích giải: Cách 1: Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng:    1   2  A = x2  x  x      x  x    6 x    7 x x  x   x    Đặt x - 1 = y x2 + = y2 + Do đó: x x 24 A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2   =  x x    3x = (x2 + 3x -1)2 x    Dạng phân tích với x = Cách 2: A = x4 + 6x3 -2x2 + 9x2- 6x + = x4 + (6x3- 2x2) + (9x2- 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 2.5) Phương pháp hệ số bất định a) Phương pháp Phân tích cho thành tích hai hay nhiều đa thức phân tích với hệ số chưa biết Sau đồng hệ số đa thức cho với đa thức để tìm hệ số chưa biết b) Ví dụ Ví dụ 27 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 19x - 30 Phân tích giải: Nếu đa thức phân tích thành nhân tử tích phải có dạng: x3 - 19x - 30 = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac a  b  Vì hai đa thức đồng nên: ab  c  19 ac  30  Từ ac = - 30 ta chọn giá trị thích hợp Ở chọn a = 2; b = -15 Khi ta tìm b = - thoả mãn điều kiện Vậy x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x -15) = (x + 2)(x2 - 5x + 3x - 15) = (x + 2)[(x2 - 5x) + (3x - 15)] = (x - 5)(x + 2)(x + 3) 2.6) Phương pháp xét giá trị riêng a) Phương pháp Coi đa thức cần phân tích đa thức biến (trong biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể Nếu giá trị đa thức không, ta đưa nhân tử tiếp tục làm với biến khác b) Ví dụ Ví dụ 28 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) A = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y); b) B = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3; c) C = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Phân tích giải: 25 a) Ta thấy thay x y, y z, z x giá trị A  A có dạng: k(x - y)(y - z)(z - x)  x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z – x) với x, y, z Dễ thấy k đa thức bậc ba  k số Cho x = 0, y = 1, z = -1 ta được: -1 - = k (-1) 2.(-1)  k = -1 Vậy A = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) b) Ta thấy thay x y, y z, z x giá trị B  B có dạng: k(x - y)(y - z)(z - x)  B = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = k(x - y)(y - z)(z Dễ thấy k số B đa thức bậc ba Cho x = 0, y = 1, z = -1 thì: -1 + – = k.(-1).2.(-1)  k = B = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) c) Nếu thay a = - b, b = - c, c = - a giá trị  C = k(a + b)(b + c)(c + a) Như vậy: (a + b + c)3 - a3- b3 - c3 = k(a + b)(b + c)(c + a) Nếu coi a biến, b, c a có bậc hai vế đẳng thức Suy k số Cho a = 0, b = 1, c = thì: - - = k.1.2.1  k = Vậy (a + b + c)3 - a3- b3- c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) 2.7) Một số đa thức có dạng đặc biệt a) Đa thức: A3 + B3 + C3 – 3ABC Ví dụ 29 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) a3 + b3 + c3- 3abc ; b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 Giải: a) a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3- 3a2b - 3ab2 + c3- 3abc = [(a + b)3 + c3]- 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2- (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab – bc - ca) b) Cách 1: Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c a + b + c = Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3- 3abc =  a3 + b3 + c3 = 3abc 26 Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Cách 2: Xem ví dụ 27.b b) Đa thức: (A + B + C)3 – A3 - B3 - C3 Ví dụ 29 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (a + b + c)3- a3- b3- c3; b) 8(x + y + z)3- (x + y)3- (y + z)3- (z + x)3 Giải: a) Cách 1: (a + b + c)3- a3- b3- c3 = [(a + b) + c]3- a3- b3- c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3- b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a+ b)(a2- ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2- ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Cách 2: Xem Ví dụ 27c b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức cho có dạng : (a + b + c)3- a3- b3- c3 Theo kết câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3- b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3- (x + y)3- (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) Sau áp dụng Giải pháp thấy, việc nắm phương pháp bản, học sinh khá, giỏi biết sử dụng phương pháp phân tích nâng cao khác vào tập đồng thời tránh sai lầm áp dụng phương pháp nâng cao, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt Các em hình thành thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em Lớp Khi chưa áp dụng giải pháp Sau áp dụng giải pháp ĩ số i i % há % TB % 28 % 25 8% 20 % 29 20,7 % 24,1 12 % ếu 41,4 % ém % 28 % % 16 % 17,2 % % IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 27 Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng trải suốt chương trình học học sinh, liên quan kết hợp với phương pháp khác, dạng toán khác tạo lên lôgíc chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Trong năm học qua vận dụng sáng kiến vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em hào hứng trình tìm tòi lời giải hay hợp lý nhất, tránh sai lầm mà hay mắc phải Có nhiều em tìm nhiều cách giải từ toán, qua thấy em yêu thích học môn toán hơn, tự tin học tập, phát huy tư sáng tạo, khả suy ngẫm em Số học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng vào tập 89,7% Khi thực xong chuyên đề cho học sinh, thăm dò em phiếu trắc nghiệm cho em làm kiểm tra Qua kiểm tra em, thấy chất lượng học tập học sinh tăng lên, nhiều em học sinh yếu vươn lên trung bình Kết sau: a/ Khảo sát yêu thích “dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử” phiếu trắc nghiệm thu kết sau: Lớp ĩ số ất hứng thú % Hứng thú % ình thường % hông hứng thú % Khi chưa áp dụng 13,8 38,5 65 7,7% 25 26 40% chuyên % % đề Sau áp dụng 27,9 44,1 19,1 68 19 30 13 8,8% chuyên % % % đề b/ Khảo sát chất lượng qua kiểm tra tiết thu kết sau: ĩ Lớp i i % há % TB % ếu % ém % số Khi chưa 6,1 15,4 41,5 27,7 9,2 áp dụng 65 10 27 18 % % % % % chuyên đề Sau áp 13,2 27,9 48,5 10,3 dụng 68 19 33 0% % % % % chuyên đề V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG * Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh 28 thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK * Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức * Đối với học sinh gi i: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em *Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thông tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, Trong khuôn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, trình bày đề tài không tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh đạt hiệu cao Xin chân thành cảm ơn! 29 VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Đình Châu cộng (2011) Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên module 18 THCS, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Nguyễn Kế Hào (2011) Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên module THCS, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Phan Đức Chính cộng (2008) Sách giáo khoa Toán 8, tái lần thứ 4, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Phan Đức Chính cộng (2008) Sách giáo viên Toán 8, tái lần thứ 4, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Lộc cộng (2010 ) èn luyện kĩ giải tập Toán tập 1, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, công ty cổ phần đầu tư phát triển giáo dục Đà Nẵng Tôn Thân cộng (2009) Các dạng toán phương pháp giải Toán tập 1, tái lần thứ Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, công ty cổ phần dịch vụ xuất giáo dục Đà Nẵng Vũ Hữu Bình (2010) Toán nâng cao Toán tập 1, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, công ty cổ phần đầu tư phát triển giáo dục Hà Nội Vũ Hữu Bình (2008) Nâng cao phát triển Toán tập 1, tái lần thứ 4, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Bùi Văn Tuyên (2005) ài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 10 Lê Hồng Đức cộng (2008) Phương pháp giải tập tự luận câu h i trắc nghiệm Toán tập 1, Nhà xuất Giáo dục, công ty cổ phần đầu tư phát triển giáo dục Đà Nẵng 30 VII PHỤ LỤC PHIẾU KHẢO SÁT THÁI ĐỘ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH Khi làm tập đại số mà em gặp toán tỉ lệ thức dãy tỉ số em cảm thấy nào? (đánh dấu x vào ô sau) Rất hứng thú Bình thường Hứng thú Không hứng thú KHẢO SÁT CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN KHI PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH (30’) Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f) x2 – 2xy – x + 2y a) 4x3 – 12x2 + 18x b) 3x2(x + 1) – 2x(x + 1) g) 2x2 + 4x + - 2y2 c) 4x2 – 9y2 h) x(x – y) – 2(y – x) d) x7 - i) x2 - 2xy + 4y2 e) 4x2 - 4x + k) x2 – xy + x - y Hết KHẢO SÁT CÁC PHƯƠNG PHÁP NÂNG CAO KHI PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH (30’) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x2 + 8x + b) x3 – x2 + c) 4x3 – 13x2 + 9x - 18 d) x2- 2x – y2 + 2y e) x4 + 24x2 – 112 f) x3 - 19x - 30 g) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y); h) a3 + b3 + c3- 3abc Hết 31 KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH SAU KHI THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ (45’) Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x  x ; b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x – z); c) 3x  xy  y  12 ; d) 4x2 - 4x + 1; e) x2 + 3xy – 4x – 6y + 4; f  xy     x  y  ; g) x  x  4 h) 4x  y i)  x  3x  1  12  x  3x  1  27 k) x  3x  x  x  2 Bài Tìm x, biết: a) 12x(3 – 4x) +7(4x – 3) = b) x   c) x2 -5x + = d) 2010x2 – x – 2011 = Bài Cho M = 4(x – 2)(x – 1)(x + 4)(x + 8) + 25x2 Chứng minh M giá trị âm Hết 32 I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Trang Cơ sở lý luận Trang 2 Cơ sở thực tiễn Trang III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Trang Giải pháp 1: Các phương pháp sai lầm cần tránh Trang 1.1) Phương pháp đặt nhân tử chung Trang 1.2) Phương pháp dùng đẳng thức Trang 1.3) Phương pháp nhóm hạng tử Trang 1.4) Phối hợp phương pháp Trang 13 Giải pháp 2: Các phương pháp nâng cao sai lầm cần tránh Trang 14 2.1) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử 2.2) Phương pháp nhẩm nghiệm Trang 15 2.3) Phương pháp thêm bớt hạng tử Trang 20 2.4) Phương pháp đổi biến Trang 21 2.5) Phương pháp hệ số bất định Trang 24 2.6) Phương pháp xét giá trị riêng IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Trang 24 V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Trang 27 VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 29 VII PHỤ LỤC Trang 30 Trang 17 Trang 27 Tân Phú, ngày 16 Tháng năm 2015 Người thực Bùi Thị Thuỷ 33 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường PT DTNT liên huyện Tân Phú - Định Quán CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Tân Phú, ngày 25 tháng năm 2015 PHIẾU NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2014-2015 Tên sáng kiến kinh nghiệm: “RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8” Họ tên tác giả: Bùi Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Tổ khoa học Tự nhiên; Trường phổ Thông Dân tộc Nội trú liên huyện Tân Phú - Định Quán Lĩnh vực: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học môn: Toán  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác: ……………………  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính - Đề giải pháp thay hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Đề giải pháp thay phần giải pháp có, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Hiệu - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực toàn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực toàn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực đơn vị có hiệu  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Khả áp dụng - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại  NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN Tôi cam kết chịu trách nhiệm, N tôi, không chép tài liệu người khác chép nội dung N cũ XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Bùi Thị Thủy Nguyễn Thị Hồng Thương Lê Văn Mười 34 35 [...]... bậc đa thức để đưa đa thức ban đầu về dạng đa thức mới dễ phân tích hơn b) Ví dụ * Với đa thức: a(f(x))2 + bf(x) +c, trong đó f(x) là đa thức biến x Cách giải: Đặt t = [f(x)]2 rồi đưa đa thức về dạng: at2 + bt + c, rồi phân tích tiếp Ví dụ 22 Phân tích các đa thức thành nhân tử 22 a) x4 + 24x2 – 112; b) x6 + 9x3 + 8; c) (x2 – 2x – 1)2 - 5(x2 – 2x – 1) – 14; d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Phân tích. .. + 1) = x2(y2 + 1) + (y2 + 1) = (x2 + 1)(y2 + 1) Một ví dụ khác, khi phân tích đa thức: x(x + 2) – (y – 1)(y + 1), có học sinh cho rằng đa thức này không phân tích được vì nhìn các số hạng không có nhân tử chung! Sai lầm này xuất phát từ việc khi đa thức không phân tích được, học sinh không nghĩ đến khai triển đa thức Ta phân tích đa thức như sau: x(x + 2) – (y – 1)(y + 1) = x2 + 2x – y2 + 1 = (x2 +... 3y)(2x + y) * hông phải đa thức nào có dạng đa thức f(x) = ax2 + bx + c cũng phân tích được Chẳng hạn, khi phân tích đa thức f(x) = x2 + x + 1, nhiều học sinh cố gắng phân tích theo các cách đã nêu nhưng không thể tìm ra cách tách thích hợp nào! Thực ra, đa thức trên không phân tích được Tại sao? Vì đa thức này không có nghiệm Những đa thức bậc hai không có nghiệm thì không thể phân tích được Vậy, ta giải... hạng tử thành các đa thức có chứa nhân tử x – a như: x – a; kx – ka (k là hằng số) * Nếu đa thức có bậc hai, khi phân tích bẳng phương pháp này ta thường tách hạng tử thành một trong các đa thức có chứa nhân tử x – a như: x2 – ax = x(x – a); x2 – a2 = (x – a)(x + a); x2 – 2ax + a2 = (x – a)2 * Nếu đa thức có bậc ba, khi phân tích bẳng phương pháp này ta thường tách hạng tử thành một trong các đa thức. .. nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá... pháp Coi đa thức cần phân tích là đa thức của một biến nào đó (trong các biến của đa thức, rồi gán cho biến đó giá trị cụ thể Nếu giá trị của đa thức bằng không, ta đưa ra nhân tử rồi tiếp tục làm như vậy với các biến khác b) Ví dụ Ví dụ 28 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) A = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y); b) B = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3; c) C = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Phân tích và... sau đó là hiệu hai bình phương Ví dụ 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x2 – 9y2 + 9 - 6x; b) x2 + 3xy – 4x – 6y + 4; 11 c) x3 – 3x2 - 3xy + 3x + 3y – 1 Phân tích và giải: a) Ta thấy nếu nhóm hai hạng tử thì đa thức không phân tích thành nhân tử được.Từ đó, ta nghĩ đến việc nhóm ba hạng tử Hạng tử thứ nhất và hai hạng tử cuối lập thành một hằng đẳng thức Do đó, ta có thể làm như sau: x2 –... 1) = (x – 1)(x2 – 2x – 3y + 1) * Nhiều khi ta phải khai triển đa thức rồi mới tìm cách nhóm thích hợp Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz Phân tích và giải: Đây là một đa thức khó phân tích vì không thể áp dụng các phương pháp trên ngay được Nhưng nếu ta khai triển đa thức thì đa thức có thể phân tích được Cách 1: Khai triển A ta được: A = xyz + xy2 + xz2 +... là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân 3 tử là 3x – 1 Ta phân tích như sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) d) Chú ý Để việc phân tích theo phương pháp này được thuận lợi, ta cần nắm được một số cách thêm số hạng để xuất hiện nhân tử chung là x – a Việc này gi p ta dễ dàng phân tích hơn và có thể phân tích đa thức theo nhiều cách 20 * Nếu đa thức có bậc nhất,... – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y) = x(x – 2y) – (x - 2y) = (x – 2y)(x – 1) * Học sinh không nghĩ đến việc khai triển đa thức nên bế tắc trong phân tích Chẳng hạn, khi phân tích đa thức (xy – 1)2 + (x + y)2, nhiều học sinh cho rằng đa thức này không phân tích được vì không có dạng hằng đẳng thức nào Thực ra, nếu khai triển đa thức, ta thấy: (xy – 1)2 + (x + y)2 = x2y2 – 2xy + 1 + x2 + 2xy + y2 13 = x2y2