Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và họctoán nói riêng trong trường THCS h
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN
Mã số: ………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: Bùi Thị Thủy
2 Ngày tháng năm sinh: 20/9/1976
3 Nam, nữ: Nữ
4 Địa chỉ: Tổ 14 - Khu 10 - Tân Phú - Đồng Nai
5 Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 01652793569
6 Fax: ………… E-mail: buithuydtnt@gmail.com
7 Chức vụ: Giáo viên
8 Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán 8, Lý 9
9 Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liênhuyện Tân Phú – Định Quán
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Đại học sưphạm
- Năm nhận bằng: 2005
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS
- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
+ Làm thế nào để dạy tốt được một định lý hình học 8 đạt hiệu quả
+ Giúp học sinh lớp 7 hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản trongquá trình học hình học
+ Giúp học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn
bậc hai
+ Một vài kinh nghiệm giúp học sinh yếu, kém học tốt môn Toán
+ Phương pháp giải một số dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
Trang 3RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC
SINH LỚP 8
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hìnhthành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… vìthế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cậnvới nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết
bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và họctoán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạtđộng tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học,nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩnăng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử lànội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đadạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phânthức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việctheo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (2 lớp đang giảng dạy),việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinhlàm sai hoặc còn lúng túng và chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc cácphương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vàotừng bài toán cụ thể
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ
và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng caochất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng phân tích đa thứcthành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1 Cơ sở lý luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thôngtin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳđổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ vàthách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảmnhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồidưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thôngtheo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duynhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông Làgiáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễdàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứngđầy đủ những yêu cầu đó
Trang 4Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập
do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoávấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thànhnhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, lànền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rútgọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phươngtrình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà
mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích
đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quáphức tạp và không quá ba nhân tử
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốtđiều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát,nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bàitoán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên
cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt
bộ môn
2 Cơ sở thực tiễn
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi
và thực hành giải toán, phần lớn do các em tư duy yếu, không nhớ kiến thức cănbản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8,
do lười biếng trong học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tựhọc, tự rèn, ý thức học tập yếu kém
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khigặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, khôngbiết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào làphù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất
Giáo viên đôi lúc chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mớichưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng các phươngtiện dạy học mới vào giảng dạy
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mìnhviệc học tập của các em hầu như khoán trắng cho giáo viên
III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1 Giải pháp 1: Các phương pháp cơ bản và những sai lầm cần tránh.
1.1) Phương pháp đặt nhân tử chung.
a) Phương pháp.
Bước 1: Tìm nhân tử chung Nhân tử chung là những đơn thức hoặc đa thức
có mặt trong tất cả các hạng tử Nhân tử chung này là tích của hệ số với phần biến: + Hệ số là ƯCLN của các hệ số của các hạng tử (nếu các hệ số là số nguyên).+ Phần biến gồm có các biến chung của các hạng tử với số mũ nhỏ nhất
Trang 5Bước 2: Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tửkhác.
Bước 3: Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc rồi viết các nhân tử còn lại củamỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng)
b) Ví dụ.
* Nhân tử chung là đơn thức
Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 4x3 – 12x2 + 18x
b) 28x2y4 - 21xy5 + 14x2 y2;
Phân tích và giải:
a) Ta thấy: ƯCLN (4;12;18) = 2, biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là 1
nhân tử chung là 2x Vì vậy
4x3 – 12x2 + 18x = 2x.2x2 – 2x.6x + 2x.9 = 2x(2x2 – 6x + 9)
b) Ta thấy: ƯCLN (28;21;14) = 7, biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là 1 vàbiến y với số mũ nhỏ nhất là 2
nhân tử chung là 7xy2 Vì vậy
28x2y4 - 21xy5 + 14x2 y2 = 7xy2.4xy2 – 7xy2.3y3 + 7xy2.2x
= 7xy2 4xy2 (4xy2 – 3y3 + 2x)
* Nhân tử chung là đa thức
Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
Trang 63x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x – z) = 3x2y2(x – y + z) - 2xy(x – y + z)
= xy(x – y + z)(3xy – 2)
c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
* Học sinh xác định nhân tử chung không hết, dẫn đến phân tích không triệt để.
Chẳng hạn: Một học sinh phân tích như sau:
x2(x – 1) + 2x(x – 1) = (x – 1)(x2 + 2x)!
Đến đây, học sinh đó dừng lại
Rõ ràng, học sinh này phân tích chưa triệt để vì xác định nhân tử chung khônghết Nhân tử chung chính xác phải là x(x - 1)
Phân tích bài làm của một số học sinh:
a) Nhiều em không phân tích được vì không biết đổi dấu số hạng để xác địnhnhân tử chung hoặc phân tích được nhưng lại sai do đổi dấu không đúng:
x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2)!
Rõ ràng, việc đổi dấu sai (x – y = y – x!) dẫn tới việc phân tích sai
Cách làm đúng: x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) + 2(x – y) = (x + 2)(x – y)
b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)]
Đến đây, học sinh không biết đổi dấu số hạng để làm xuất hiện nhân tử chungdẫn tới việc phân tích không triệt để
Cách làm đúng:
x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)]
Trang 7= xy[xy(x – y + z) - 2(x – y + z)]
= xy(xy – 2)(x – y + z)
* Học sinh không quan sát kĩ các số hạng nên gặp bế tắc khi phân tích
Chẳng hạn, khi phân tích đa thức: 3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y) thành nhân tử,một số học sinh vì quan sát không kĩ nên gặp bế tắc vì tưỏng rằng các số hạngkhông có nhân tử chung Nhưng nếu chúng ta quan sát kĩ từng số hạng thì thấytừng số hạng có thể phân tích tiếp, và khi đó nhân tử chung mới xuất hiện:
3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y) = 3y.2(3x – 2y) + 2x.3(3x – 2y)
= (3x – 2y)(6y + 6x) = 6(x + y)(3x – 2y)
1.2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
a) Phương pháp.
Vận dụng một trong các hằng đẳng thức sau đây để phân tích:
1 Bình phương của một tổng: (A + B)2 =A2 + 2AB + B2
2 Bình phương của một hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3 Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4 Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5 Lập phương của một hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3
6 Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7 Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ngoài ra, ta có thể áp dụng các hằng đẳng thức sau:
8 Bình phương của một tổng ba biểu thức:
A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC)
Trang 8b) Ta viết: 8y3 = (2y)3, đa thức có dạng hiệu hai lập phương
x3 – 8y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
c) Ta viết: 27 = 33, 64y6 = (4y2)3, đa thức có dạng tổng hai lập phương
27 + 64y6 = 33 + (4y2)3 = (3 + 4y2)(9 – 12y2 + 16y4)
Ví dụ 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
Chú ý: Nhiều khi ta phải đổi dấu đa thức mới nhận ra hằng đẳng thức:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: -16 + 24x - 9x2
Phân tích và giải: Đa thức đã cho không có dạng hằng đẳng thức nào Nhưng
nếu ta đối dấu đa thức thì sẽ nhận ra hằng đẳng thức ở trong dấu ngoặc
-16 + 24x - 9x2 = - (9x2 - 24x + 16) = [(3x)2 – 2.3x.4 + 42] = - (3x – 4)2
Trang 9* Nếu đa thức có bốn số hạng, ta thường nghĩ đến việc vận dụng các hằngđẳng thức 4, 5.
27x3 - 18x2y2 + 36xy4 – 8y6 = (3x)3 – 3.(3x)2 .2y2 + 3.3x.(2y2)2 – (2y2)3
Đến đây, ta thấy đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ 5 Vì vậy:
a) Ta thấy đa thức chỉ là bình phương thiếu của một hiệu:
x2 - 2xy + 4y2 = x2 - x.2y + (2y)2
Đa thức này có dạng A2 - AB + B2 chứ không phải là A2 - 2AB + B2!
b) Phân tích đa thức 125x3 - 25x2 + 15x – 1 = (5x)3 – (5x)2.1 + 3.5x.12 – 13
Đa thức này có dạng A3 – A2 B + 3AB2 – B3 chứ không phải A3- 3A2B+ 3AB2 - B3
* Học sinh lúng túng khi đa thức được sắp xếp không theo thứ tự như các hằng đẳng thức.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) - x2 + 4y2 b) – 4x + x2 + 4
Trang 10Nhiều học sinh sẽ lúng túng dẫn tới việc không phân tích được
Cách làm đúng: – 16 + 24x – 9x2 = - (9x2 - 24x +16) = - (3x – 4)2
Một ví dụ nữa là khi phân tích đa thức – x2 – 4y2 thành nhân tử, có học sinhphân tích như sau: – x2 – 4y2 = - (x2 – 4y2) = - (x – 2y)(x + 2y) = (2y – x)(2y + x).Sai lầm ở đây là học sinh đổi dấu số hạng sai dẫn tới nhận nhầm hằng đẳngthức hiệu hai bình phương Thực ra, đa thức không phân tích được vì nó không códạng hằng đẳng thức nào
* Học sinh không phân tích triệt để.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức x4 – 9 thành nhân tử, có học sinh phântích như sau: x4 – 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + 3)! Ở đây, học sinh chỉ áp dụng mộtlần hằng đẳng thức hiệu hiệu hai bình phương và hài lòng khi phân tích được nhưvậy
Cách làm đúng: Ta thấy x2 – 3 = x2 – 2
3 = (x - 3)( x + 3) Vì vậy:
x4 – 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + 3)= (x - 3)( x + 3)(x2 + 3)
* Học sinh chưa khéo léo khi áp dụng hằng đẳng thức.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức x6 – 1 thành nhân tử, một học sinh phântích như sau: x6 – 1 = (x2)3 – 13 = (x2 – 1)(x4 + x2 +1) = (x – 1)(x + 1)( x4 + x2 +1).Nhìn qua, ta thấy có vẻ hợp lý, nhưng đa thức đã được phân tích chưa triệt để.Nếu ta thay đổi cách áp dụng hằng đẳng thức, thì đa thức sẽ được phân tích triệtđể:
x6 – 1 = (x2)3 – 13 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)( x2 - x +1) = (x – 1)(x + 1) )(x2 + x + 1)( x2 - x +1)
Trang 11* Thông thường ta hay nhóm hai hạng tử rồi xem có thể đặt nhân tử chung
hoặc dùng các hằng đẳng thức (số 3, 6, 7) được hay không.
Ví dụ 9 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 2xy – x + 2y ;
b) 2xy - 4y2 + 3x + 9;
c) 125x3 – 10x2 + 2x – 1
Phân tích và giải:
a) Ta thấy, có thể nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc nhóm hạng
tử thứ nhất với hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư Còn nếu nhómhạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hai hạng tử còn lại thì đa thức khôngthể phân tích được Vì vậy, ta chỉ có hai cách làm như sau:
Cách 1: x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y) = x(x – 2y) – (x – 2y)
c) Nếu nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc hạng tử thứ nhất vớihạng tử thứ ba, hạng tử thứ hai với thứ tư thì đa thức không phân tích được Do đó,
ta nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hạng tử thứ hai với thứ ba:125x3 – 10x2 + 2x – 1 = (125x3 – 1) – (10x2 – 2x)
= (5x – 1)(25x2 + 5x + 1) – 2x(5x – 1)
= (5x – 1)(25x2 + 3x + 1)
* Nếu nhóm hai hạng tử mà đa thức không phân tích được thì chuyển sạng
nhóm ba hạng tử và có thể nghĩ đến việc áp dụng các hằng đẳng thức như bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu rồi sau đó là hiệu hai bình phương.
Ví dụ 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Trang 12x2 + 3xy – 4x – 6y + 4 = (x2 – 4x + 4) + (3xy – 6y) = (x – 2)2 + 3y(x – 2) = (x – 2)(x + 3y – 2).
c) Đa thức có sáu số hạng, nếu nhóm hai số hạng hoặc ba số hạng bất kì vớinhau thì đa thức sẽ không phân tích được Ta thử nhóm bốn số hạng Khi đó, tanghĩ nhóm này phải có dạng hằng đẳng thức 4 hoặc 5 Ta thấy, nếu nhóm hai hạng
tử đầu với hạng tử thứ tư và thứ 6 thì có dạng hằng đẳng thức lập phương một hiệu.Vậy ta làm như sau:
x3 – 3x2 - 3xy + 3x + 3y – 1 = (x3 – 3x2 + 3x – 1) – (3xy + 3y)
= (x – 1)3 – 3y(x – 1)
= (x – 1)(x2 – 2x – 3y + 1)
* Nhiều khi ta phải khai triển đa thức rồi mới tìm cách nhóm thích hợp.
Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz
Phân tích và giải:
Đây là một đa thức khó phân tích vì không thể áp dụng các phương pháp trênngay được Nhưng nếu ta khai triển đa thức thì đa thức có thể phân tích được.Cách 1: Khai triển A ta được:
A = xyz + xy2 + xz2 + x2z + x2y + y2z + yz2 + xyz + xyz
= (x2y + xy2 + xyz) + (xyz + y2z + yz2) + (x2z + xyz + xz2)
= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + y + z)
Cách 2: Đặt t = x + y + z x + y = t – z, y + z = t – x, z + x = t – y Từ đó :
A = (t – z)(t – x)(t – y) + xyz = t3 – t2y – t2x + xzt – t2z + yzt + xyt – xyz + xyz
Trang 13= t3 – (x + y + z)t2 + (xy + yz + zx)t = t3 – t3 + (xy + yz + zx)t
= (xy + yz + zx)(x + y + z)
c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
* Học sinh nhóm hạng tử đồng thời biến thành nhân tử dẫn tới phân tích sai.Chẳng hạn, khi phân tích x2 – xy + x - y thành nhân tử, có em làm như sau:
* Học sinh nhóm hạng tử không linh hoạt dẫn tới bế tắc trong phân tích
Chẳng hạn, khi phân tích xy – y2 + 3x + 9 thành nhân tử, có em làm như sau:
Chẳng hạn, khi phân tích x2 – 2xy – x + 2y thành nhân tử, có em làm như sau:
x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x + 2y) = x(x – 2y) – (x + 2y)
Rõ ràng việc không đổi dấu số hạng khi đưa hạng tử vào trong dấu ngoặc màđằng trước có dấu trừ dẫn tới bế tắc trong phân tích
Cách làm đúng: x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y)
= x(x – 2y) – (x - 2y) = (x – 2y)(x – 1)
* Học sinh không nghĩ đến việc khai triển đa thức nên bế tắc trong phân tích.
Chẳng hạn, khi phân tích đa thức (xy – 1)2 + (x + y)2, nhiều học sinh cho rằng
đa thức này không phân tích được vì không có dạng hằng đẳng thức nào
Trang 14Thực ra, nếu khai triển đa thức, ta thấy:
(xy – 1)2 + (x + y)2 = x2y2 – 2xy + 1 + x2 + 2xy + y2
= x2y2 + 1 + x2 + y2 = (x2y2 + x2) + (y2 + 1)
= x2(y2 + 1) + (y2 + 1) = (x2 + 1)(y2 + 1)
Một ví dụ khác, khi phân tích đa thức: x(x + 2) – (y – 1)(y + 1), có học sinhcho rằng đa thức này không phân tích được vì nhìn các số hạng không có nhân tửchung! Sai lầm này xuất phát từ việc khi đa thức không phân tích được, học sinhkhông nghĩ đến khai triển đa thức Ta phân tích đa thức như sau:
Trang 15c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
* Học sinh không đặt nhân tử chung ngay mà hay nghĩ đến việc nhóm hạng
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng Giải pháp 1 tôi nhận thấy học sinh nắm vững
kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này Kinh nghiệm này đãgiúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân tích đa thứcthành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hànhtheo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thôngqua một chuỗi bài tập Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiệntìm hiểu một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằmphát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinhtrong học toán
Khảo sát chất lượng qua bài kiểm tra một tiết thu được kết quả như sau:
2 Giải pháp 2: Các phương pháp nâng cao và những sai lầm cần tránh.
Các phương pháp sau chủ yếu hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh khá, giỏi;cũng có một số phương pháp có thể rèn luyện cho học sinh trung bình khá, tùy
Trang 16từng đối tượng học sinh mà giáo viên áp dụng các phương pháp vào bài tập saocho phù hợp và hiệu quả
2.1) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
a) Phương pháp.
Ở đây chúng ta chỉ xét đa thức bậc hai
Xét đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, có ba hướng tách hạng tử:
2 2
2
4 4
2 2
a
b a
c a
b a
b x x a a
c x a
b x a
4
4
ac b
a
b x
Trang 17163
4 23
3
43
4 3
2 3
4 3 9
4 3
4 2
x x
Chú ý: Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 2AC + c hoặc ax2 2BC + C2 thì
ta tách như sau: f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
hoặc f(x) = ax2 – B2 + B2 ± 2BC + C2 = (ax2 – B2) + (B – C)2
Ví dụ 14 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử