Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8

40 1.3K 1
Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Buæi 1 : h»ng ®¼ng thøc a. môc tiªu: * Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ phÐp nh©n ®a thøc – h»ng ®¼ng thøc * TiÕp tôc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ phÐp nh©n ®a thøc – h»ng ®¼ng thøc * T¹o høng thó cho HS trong qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b. ho¹t ®éng d¹y häc: I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: 1. Nh©n ®a thøc víi ®a thøc: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II. Bµi tËp ¸p dông: Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS HS ghi ®Ò, thùc hiÖn theo nhãm 1. Bµi 1: Rót gän biÓu thøc 2 HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i a) (x + 1) (x + 2x + 4) a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän 2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4 b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + 1 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bµi 2: T×m x biÕt: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = HS ghi ®Ò bµi 172 gi¶i theo nhãm Ýt phót ¸p dông c¸c H.®¼ng thøc (1), (2), (3) ¸p dông c¸c H.®¼ng thøc nµo ®Ó gi¶i 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = BiÕn ®æi, rót gän vÕ tr¸i 172 ⇔ 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – 9) = 172 ⇔ …. ⇔ 8x = 96 ⇔ x = 12 Bµi 3: Cho x + y = a; xy = b. tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu HS ghi ®Ò bµi, tiÕn hµnh bµi gi¶i thøc sau theo a vµ b: 2 2 4 4 Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x +y; x +y x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 Bµi 4: chøng minh r»ng a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh gi¶i cïng víi GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy31 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra ®iÒu g×? c) NÕu: x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0 th× x = y = z Tõ : x + y + z = 0 ⇒ (x + y + z)2 =? Tõ ®o ta cã ®iÒu g×? d) cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 2 c/m: a4 + b4 + c4 = 2 HD c¸ch gi¶i t¬ng tù Bµi 5: So s¸nh: a) A = 1997 . 1999 vµ B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 3128 - 1 TÝnh 4 theo 32 – 1? y4 = x4 – y4 = VP (®pcm) b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇒ a2 - 2ab + b2 = 0 ⇒ (a – b)2 = 0 ⇒ a – b = 0 ⇒ a = b (®pcm) c) Tõ : x + y + z = 0 ⇒ (x + y + z)2 = 0 ⇒ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0 ⇒ x2 + y2 + z2 = 0 ( v× xy + yz + zx = 0) ⇒ x=y=z d) Tõ a + b + c = 0 ⇒ (a + b + c )2 = 0 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ⇒ ab + bc + ca = -1 (1) Ta l¹i cã: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4 (2) Tõ (1) ⇒ (ab + bc + ca)2 = 1 ⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2 a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – 1 < 19982 ⇒ A < B b) V× 4 = 32 − 1 nªn 2 A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 32 − 1 2 (3 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 1 = (34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 1 = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 1 16 = (3 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) 2 1 32 = (3 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 2 1 1 1 = (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B 2 2 2 Khi ®ã A = ? ¸p dông h»ng ®¼ng thøc nµo liªn tiÕp ®Ó so s¸nh A vµ B = Bµi 6: a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100…05( cã n – 1 ch÷ sè 0) Cmr: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng VËy: A < B Ta cã: b = 10n + 5 = 9….9 + 6 = 9(1…1) + 6 = 9a + 6 ⇒ ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1 b) Cho Un = 11…155…5 (cã n ch÷ sè 1 vµ n = (3a + 1)2 lµUmét n = sè chÝnh ph¬ng ch÷ sè 5) n sè 1 n sè 5 Cmr: Un + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng Ta viÕt: 2 + n sè 1 n sè 0 n sè 5 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn = = 11…1.10n + 5. 11…1 §Æt: a = 11…1 th× 9a + 1 = 10n Do ®ã : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: cho x + y = 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1 Bµi 2: Chøng minh r»ng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bµi 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n vµ n2 cñng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng Bµi 5: So s¸nh: x−y x2 − y2 A= víi B = 2 (Víi 0 < y < x ) x+y x + y2 3 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Buæi 2 : h»ng ®¼ng thøc ( TiÕp) a. môc tiªu: * Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ h»ng ®¼ng thøc * TiÕp tôc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ h»ng ®¼ng thøc * T¹o høng thó cho HS trong qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b. ho¹t ®éng d¹y häc: I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) LËp ph¬ng mét tæng: (A + B)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (4) LËp ph¬ng mét hiÖu: (A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (5) Tæng hai lËp ph¬ng: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (6) HiÖu hai lËp ph¬ng: a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (7) B×nh ph¬ng tæng ba h¹ng tö: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II. Bµi tËp ¸p dông: Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) 1HS lªn gi¶i Cho HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = ...= 5x - 8 HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i 2 2 b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) b) (x - 2)(x - 2x + 4)(x + 2)(x + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 Bµi 2: T×m x biÕt (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 §Ó t×m x ta lµm thÕ nµo? HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i 1HS lªn b¶ng gi¶i (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 ⇔ x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1 ⇔ x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1 ⇔ x3 - 27 - x3 + 4x = 1 ⇔ 4x = 28 ⇔ x = 7 Bµi 3: ViÕt biÓu thøc sau díi d¹ng tæng cña ba b×nh ph¬ng: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i §¹i diÖn HS lªn tr×nh bµy( NÕu kh«ng gi¶i ®îc th× theo Hd cña GV) 4 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i NÕu HS cha gi¶i ®îc th× gîi ý: H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2 Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt khi biÕt gi¸ tri Bt kh¸c a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña Bt A = x3 + y3 Cho HS gi¶i ViÕt A thµnh tÝch §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy. TÝnh xy nh thÕ nµo? Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. H·y t×m c¸ch tÝnh xy b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1 TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ? §Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo? NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×? §Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×? Khi ®ã ab + bc + ca = ? a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS gi¶i A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy Tõ x + y = 2 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 4 ⇒ xy = - 3 (2) Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi ®Ò B×nh ph¬ng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1 ⇒ a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i b×nh ph¬ng Bt: (ab + bc + ca) Ta b×nh ph¬ng Bt: a + b + c = 0, ta cã: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 1 1 ⇒ (ab + bc + ca)2 = 2 4 1 ⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = 4 1 ⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 = (2) 4 ⇒ ab + bc + ca = − Thay (2) vµo (1) ta cã: 1 1 1 =1- = 4 2 2 Tõ ®©y, lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña Bt B B = 1 - 2. Bµi 5: HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i { ; b = 1....1 { vµ c = 6....6 { Cho a = 1....1 2n n +1 n Chøng minh r»ng: A = a + b + c + 8 lµ mét sè chÝnh ph¬ng §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m g×? §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m nã b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè A=a+b+c+8=? = 9 9 Ta cã: 11...1 { = (11...1) { . ViÕt thµnh luü n thõa 10? n { + 1....1 { + 6....6 { +8 A = 1....1 2n n +1 n 9 1....1 9 { { )+8 ({ ) + (1....1 ) + 6( 1....1 2n n + 1 n 9 9 102n − 1 10n +1 − 1 10n − 1 = + + 6. +8 9 9 9 5 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn 102n + 10n +1 + 10 n + 64 102n + 16.10n + 64 = = 9 9 2 2 2   10n + 8   100...08   = = 33...36 =  ÷  ÷ 3 ÷ 3  12  3   n −1  Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 tho· m·n ®¼ng thøc: ⇔ (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0 x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 H·y biÕn ®æi vÕ tr¸i ®¼ng thøc thµnh d¹ng ⇔ (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0 Râ rµng, vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lµ mét sè d¬ng tæng c¸c b×nh ph¬ng? víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng 0 VËy kh«ng tån t¹i c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng Cã nhËn xÐt g× vÒ hai vÕ cña ®¼ng thøc? thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Ta cã kÕt luËn g×? Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 khi x = 2 ; y = − 1 vµ 2 z=4 Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bµi 2: a) Cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . TÝnh x3 + y3 theo a vµ b Bµi 3: Chøng minh r»ng NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3 abc 6 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn 7 Buæi 3 : ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, h×nh thang Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn a. môc tiªu: - Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ h×nh thang, ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, ®êng trung b×nh cña h×nh thang - TiÕp tôc rÌn luyÖn kû n¨ng chøng minh h×nh häc cho HS - t¹o niÒm tin vµ høng thó cho HS trong khi häc n©ng cao b. ho¹t ®éng d¹y häc: I. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc bµi häc: A 1. §êng trung b×nh cña tam gi¸c * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c E F gäi lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c - E lµ trung ®iÓm AB, F lµ trung ®iÓm AC thi EF lµ ®êng trung b×nh cña ∆ ABC B C - NÕu E lµ trung ®iÓm AB vµ EF // BC th× F lµ trung ®iÓm AC - EF lµ ®êng trung b×nh cña ∆ ABC th× EF // BC vµ EF = 4. §êng trung b×nh cña h×nh thang: * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang gäi lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang + H×nh thang ABCD (AB // CD) cã M lµ trung ®iÓm AD, N lµ trung ®iÓm BC th× MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD + NÕu MA = MD, MN // CD // AB th× NB = NC + MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD th× MN // AB // CD vµ MN = II. Bµi tËp ¸p dông: 1 BC 2 1 (AB + CD) 2 Bµi 1: Cho ∆ ABC ®Òu c¹nh a. Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC a) Tø gi¸c BCMN lµ h×nh g×? v× sao? b) TÝnh chu vi cña tø gi¸c BCNM theo a Cho HS t×m lêi gi¶i Ýt phót Dù ®o¸n d¹ng cña tø gi¸c BCNM? §Ó c/m tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n ta cÇn c/m g×? V× sao MN // BC µ =C µ? V× sao B Tõ ®ã ta cã KL g×? HS ghi ®Ò bµi ViÕt GT, KL, vÏ h×nh HS suy nghÜ, t×m lêi gi¶i HS dù ®o¸n c/m: MN // BC vµ A M B C µ =C µ B Tõ GT ⇒ MN lµ ®êng trung b×nh cña ∆ ABC ⇒ MN // BC (1) vµ MN = 1 BC (2) 2 µ =C µ = 600 (3) ∆ ABC ®Òu nªn B Chu vi h×nh thang c©n BCNM tÝnh nh thÕ N Tõ (1) vµ (3) suy ra tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n Chu 8 vi h×nh thang c©n BCNM lµ PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: 1 µ = 900); AB = CD = AB Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, A 2 kÎ CH ⊥ AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F a) Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×? b) C/m : AC ⊥ BC c) EF = 1 1 DC = AB 2 4 Bµi 2: Chøng minh r»ng: §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai ®êng chÐo cña h×nh thang th× song song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa hiÖu hai ®¸y Buæi 4 – ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a. môc tiªu: * Cñng cè, kh¾c s©u vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö * HS sö dông thµnh th¹o c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö * VËn dông viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµo c¸c bµi to¸n chøng minh, t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc, cña biÕn b. ho¹t ®éng d¹y häc: I. Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc: C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: * Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: Sö dông H®t ®Ó viÕt ®a thøc thµnh tÝch * Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö: Nhãm c¸c h¹ng tö nµo ®ã víi nhau ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc 9 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn * Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö : Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau: ViÕt tÝch ac = b1b2 = b3b4 = sau ®ã chän ra 2 thõa sè cã tæng b»ng b. T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2 Khi ®ã a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: §Æt Èn phô ®Ó ®a biÓu thøc cÇn ph©n tÝch thµnh mét biÓu thøc dÔ ph©n tÝch h¬n * Ph¬ng ph¸p Thªm bít cïng mét h¹ng tö : Thªm hoÆc bít cïng mét h¹ng tö ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc mét h»ng ®¼ng thøc * Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p: sö dông ®ång thêi nhiÒu ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch II. Bµi tËp vËn dông: Ho¹t ®éng cña Gi¸o viªn Ho¹t ®éng cña häc sinh HS: ¸p dông PP dïng H®t Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 4 2 2 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2 a) 25x – 10x y + y ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ®a = (5x2 – y)2 thøc nµy b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x4 + 2x3 – 4x - 4 Ta ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ¸p dông ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x3 +2x2y – x – 2y b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) 3. Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x2 – 6x + 8 HS ghi ®Ò ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch? C¸ch 1: Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo? V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) t¸ch nh thÕ nµo? 2 2 Cã thÓ t¸ch nh thÕ nµo kh¸c n÷a ®Ó xuÊt nªn ta cã: x – 6x + 8 = (x - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) hiÖn h»ng ®¼ng thøc råi tiÕp tôc ph©n C¸ch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …? tÝch C¸ch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? 10 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn T¬ng tù, GV cïng HS t×m ra c¸c c¸ch ph©n tÝch kh¸c trong ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö b) a4 + a2 + 1 H·y t¸ch a2 thµnh 2 h¹ng tö ®Ó ph©n tÝch c) x3 – 19x – 30 H·y t¸ch h¹ng tö -19x ®Ó ph©n tÝch Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) a4 + 64 D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn mét h»ng ®¼ng thøc b) x5 – x4 - 1 c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta ®· cã a3 + b3, vËy nªn thªm bít c¸c h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sö dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS lµm t¬ng tù nh c©u a Bµi 6: C¸ch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..? HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thªm vµ bít 2ab ta cã; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – 1 = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghÜ, tr¶ lêi c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) §Æt (x2 + x ) = y ta cã (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) §Æt y = x2 + 8x + 7 th× x2 + 8x + 15 = y + 8 ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) 11 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b + c = 0 ⇒ ? b) cho xy ≠ 0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 C/m: a b = x y a) Tõ a + b + c = 0 ⇒ (a + b + c )2 = 0 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ⇒ (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 ⇒ a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) ⇒ a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). V× a + b + c = 0 ⇒ a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 ⇒ (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0 ⇒ a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = 0 ⇒ a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0 ⇒ (ay – bx)2 = 0 ⇒ ay – bx = 0 ⇒ ay = bx ⇒ a b = (®pcm) x y III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 c) x2 – 7xy + 10y2 d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bµi 2: Chøng minh r»ng a) HiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè lÎ liªn tiÕp th× chia hÕt cho 8 b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hÕt cho mét sè chÝnh ph¬ng kh¸c 1 víi ∀n ∈ N bµi 5: h×nh b×nh hµnh – h×nh ch÷ nhËt A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình bình haønh vaø hình chöõ nhaät * Vaän duïng thaønh thaïo kieán thöùc vaøo caùc baøi taäp veà Hbh vaø hcn * HS coù höùng thuù vaø nghieâm tuùc trong hoïc taäp B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Nhaéc laïi kieán thöùc baøi hoïc: Kieán Hình bình haønh Hình chöõ nhaät thöùc µ =B µ =C µ =D µ = 900 AB // CD 1. Ñònh ABCD laø Hcn ⇔ A ABCD laø Hbh ⇔ AD // BC  nghóa 2. Tính ABCD laø Hbh , AC ∩ BD = O ABCD laø Hcn , AC ∩ BD = O AB = CD, AD = BC AB = CD, AD = BC chaát µ µ µ µ A = C , B = D ⇒ OA = OC, OD = OB AC = BD  µ µ µ µ ⇒ A =C,B=D OA = OC, OD = OB  12 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn 3. Daáu hieäu nhaän bieát AB // CD, AD // BC  AB = CD, AD = BC   µ =B µ ,C µ =D µ A ⇒ OA = OC, OB = OD   ( O = AC ∩ BD)   + + ABCD coù AB // CD Vaø + ABCD laø Hbh coù: - AC = BD ABCD laø Hbh ⇒ ABCD Laø hcn II. Baøi taäp vaän duïng: Hoaït ñoäng cuûa GV 1. Baøi 1: µ = 1200 . Ñöôøng Cho Hbh ABCD coù A phaân giaùc cuûa goùc D ñi qua trung ñieåm cuûa AB a) C/m: AB = 2AD b) Goïi F laø trung ñieåm cuûa CD. C/m ∆ADF ñeàu, ∆AFC caân c) C/m AC ⊥ AD Giaûi Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB. Ta coù ∆ADE laø tam giaùc gì? Vì sao? Haõy C/m ñieàu ñoù Haõy C/m ∆ADF caân taïi A coù moät goùc 600 Hoaït ñoäng cuûa HS HS ghi ñeà, veõ hình E A D F B C a) ∆ADE laø tam giaùc caân µ = 1200 , maø ABCD laø Hbh neân Ta coù A µ = 600 ⇒ ADE · · D = AED = 300 ⇒ ∆ ADE caân taïi A ⇒ AD = AE maø AB = 2 AE Neân AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD laø Hbh) 1 1 CD, AD = AB. Suy ra 2 2 µ = 600 AD = DF ⇒ ∆ADF caân traïi D coù D vaäy: ∆ADF laø tam giaùc ñeàu maø DF = Haõy C/m ∆AFC caân taïi F Töø ∆ AFC caân taïi F ta suy ra ñieàu gì? Goùc DFA baèng hai laàn goùc naøo cuûa ∆ AFC · =? DAC 2. Baøi 2: Cho ∆ ABC vaø O laø ñieåm thuoäc mieàn Ta coù AF = DF (do ∆ADF ñeàu) Maø DF = FC (F laø trung ñieåm cuûa BC) Suy ra AF = FC ⇒ ∆ AFC caân taïi F · · c) ∆ AFC caân taïi F ⇒ DFA (Goùc ngoaøi = 2FAC taïi ñænh cuûa tam giaùc caân) · Maø FDA = 600 (do ∆ADF ñeàu). Suy ra · · FAC = 300 ⇒ DAC = 900 hay AC ⊥ AD HS ghi ñeà, veõ hình 13 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn trong cuûa tam giaùc ñoù. Goïi D, E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC, CA vaø L, M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA, OB, OC Chöùng minh raèng caùc ñoaïn thaúng EL, FM, DN ñoàng quy Giaûi Ñeå C/m ba ñoaïn thaúng EL, FM, DN ñoàng quy ta C/m gì? Ta C/m caùc ñoaïn thaúng ñoù laø ñöôøng cheùo cuûa hai hbh coù chung moät ñöôøng cheùo Ñeå C/m töù giaùc EFLM laø Hbh ta c/m nhö theá naøo? Töông töï ta coù töù giaùc NLDE laø hình gì? Hai Hbh naøy coù chung ñöôøng cheùo naøo? Töø ñoù ta coù keát luaän gì? Nhöõng Hbh naøo coù taâm truøng nhau? 3. Baøi 3: Cho hìn chöõ nhaät ABCD; keû BH ⊥ AC. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AH, CD. Chöùng minh BE ⊥ EF Giaûi Goïi K laø trung ñieåm cuûa AB ta coù ñieàu gì? Vì sao? A L D F O M B N C E HS suy nghó , phaùt bieåu HS ghi nhôù phöông phaùp c/m E, F laø trung ñieåm cuûa BC, CA ⇒ EF laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ ABC suy ra EF // AB, EF = 1 AB (1) 2 Töông töï LM laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ OAB 1 2 suy ra LM // AB, LM = AB (2) Töø (1) vaø (2) suy ra töù giaùc EFLM laø Hbh C/m töông töï ta coù töù giaùc NLDE laø Hbh (Vì coù NE //= LD) Hai Hbh EFLM vaø NLDE coù chung ñöôøng cheùo LE hay ba ñoaïn thaúng EL, FM, DN ñoàng quy taïi trung ñieåm cuûa LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM vaø NLDE coù taâm truøng nhau HS ghi ñeà, veõ hình F D C H E I Goïi K laø trung A K B ñieåm cuûa AB ta coù EK // HB (Vì EK laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ AHB) maø BH ⊥ AC ⇒ EK ⊥ AC suy ra Töù giaùc BCFK laø hình gì? Vì sao? · CEK = 900 ⇒ ∆ CEK vuoâng taïi E EI coù tính chaát gì? Vì sao? Töù giaùc BCFK coù BK //= CF vaø coù µ = 900 neân laø hình chöõ nhaät neân hai ñöôøng B cheùo BF vaø CK caét nhau taïi I vaø BF = CK 14 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn ∆ BFE laø tam giaùc gì? Vìa sao? 4. Baøi 4: Cho ∆ ABC caân taïi A. Töø ñieåm D treân BC keû ñöôøng vuoâng goùc vôùi BC caét AB, AC laàn löôït taïi E, F. Döïng caùc hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK a) C/m: ba ñieåm A, H, K thaúng haøng b) C/m: A laø trung ñieåm cuûa HK c) Goi I, J theo thöù töï laø taâm cuûa caùc hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK. Tìm taäp hôïp trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng IJ khi D di ñoäng treân BC Ñeå C/m A, H, K thaúng haøng ta c/m gì? Haõy C/m AH, AK cuøng song song vôùi moät ñöôøng thaúng naøo ? Haõy c/m töù giaùc AIDJ laø Hbh? Nhö theá naøo? Töø I, J laø taâm cuûa caùc hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy ra ñieàu gì? Töø MI // AH vaø MJ // AK ta suy ra ñieàu gì Coù caùch C/m naøo khaùc? Ta ñaõ coù A, H, K thaúng haøng neân ñeå c/m A laø trung ñieåm cuûa HK ta C/m gì? Haõy C/m AB // DK vaø keát hôïp vôùi I laø trung ñieåm cuûa DH ñeå ⇒ AH = AK Keû MN ⊥ BC vaø ñöôøng cao AG thì MN coù tính chaát gì? M caùch BC moät khoaûng khoâng ñoåi thì m ⇒ I laø trung ñieåm cuûa BF , CK ⇒ EI laø trung tuyeán thuoäc caïnh huyeàn CK cuûa ∆ CEK 1 1 ⇒ EI = CK = BF 2 2 1 ∆ BFE coù trung tuyeán EI = BF neân laø tam 2 giaùc vuoâng taïi E ⇒ BE ⊥ EF HS ghi ñeà , veõ hình H F A I P E M K Q J B G N D C HS phaùt bieåu C/m AH, AK cuøng song song vôùi IJ HS neâu caùch c/m Töø I, J laø taâm cuûa caùc hình chöõ nhaät BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy ra MI vaø MJ laàn löôït laø ñöôøng trung bình cuûa caùc tam giaùc AHD vaø AKD Neân MI // AH vaø MJ // AK hay AH vaø AK cuøng song song vôùi IJ neân A, H, K thaúng haøng (theo tieân ñeà Ôclít) HS neâu caùch C/m khaùc · · ∆ ABC caân taïi A neân ABC (1) = ACB I laø taâm cuûa hcn BDEH neân suy ra ∆ BID caân · · · · taïi I ⇒ BDI hay ABD (2) = DBI = BDI Töø (1) vaø (2) suy ra AB // DK maø IH = ID neân AH = AK maø A, H, K thaúng haøng neân A laø trung ñieåm cuûa HK c) Keû MN ⊥ BC (N ∈ BC); ñöôøng cao AG ta 1 coù MN = 2 AH (vì MN laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ ADG )khoâng ñoåi, neân M naèm treân ñöôøng thaúng song song vôùi BC vaø caùch BC 15 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn naèm treân ñöôøng naøo? 1 moät khoaûng baèng 2 AH khoâng ñoåi chính laø ñöôøng trung bình PQ cuûa ∆ ABC (PQ // BC) III. Baøi taäp veà nhaø: 1. Cho hình chöõ nhaät ABCD. Keû BH vuoâng goùc vôùi AC. Goïi M, K theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa AH vaø CD. Chöùng minh BM vuoâng goùc vôùi MK 2. cho hình bình haønh ABCD. Veõ ra phía ngoaøi hình bình haønh caùc tam giaùc ñeàu ABM, AND. Goïi E, F, Q theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa BD, AN, AM a) tam giaùc MNC laø tam giaùc gì? Vì sao? · b) Tính FEQ BUOÅI 6 – PHEÙP CHIA ÑA THÖÙC A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao veà pheùp chia ña thöùc * Tieáp tuïc reøn luyeän, naâng cao kyõ naêng vaän duïng pheùp chia ña thöùc vaøo caùc baøi toaùn khaùc * Taïo höùng thuù cho HS trong quaù trình hoïc taäp vaø vaän duïng vaøo thöïc tieã B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Nhaéc laïi moät soá kieán thöùc: 1. Ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B khi luyõ thöøa cuûa bieán trong A chia heát cho luyõ thöøa cuøng bieán ñoù trong B 2. Ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B khi: A = B.Q 3. Neáu A = B.Q + R thì: A chia heát cho B khi R = 0 ; A khoâng chia heát cho b khi R ≠ 0 II. Xaùc ñònh heä soá ñeå ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B: 1. Phöông phaùp: 1.1- Caùch 1: + Chia A cho B ñöôïc thöông laø Q, dö laø R + Cho R = 0, tìm heä soá töông öùng baèng ñoàng nhaát thöùc 2.1- Caùch 2: Duøng heä soá baát ñònh 16 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Ña thöùc bò chia coù baäc laø m, ña thöùc chia coù baäc laø n thìo thöông coù baäc laø m – n Neáu goïi thöông laø xm – n + C (C laø moät ña thöùc chöa xaùc ñònh) Thì A = (xm – n + C ). B A chia heát cho B khi heä soá cuûa cuøng moät luyõ thöøa ôû hai veá phaûi baèng nhau 3.1 - Caùch 3: duøng giaù trò rieâng (chæ aùp duïng khi ña thöùc bò chia coù nghieäm) Goïi thöông cuûa pheùp chia A cho B laø C thì A = B.C Tìm moät giaù trò cuûa bieán ñeå C = 0 roài duøng heä soá baát ñònh ñeå xaùc ñònh heä soá III. Baøi taäp aùp duïng: Hoaït ñoäng cuûa GV Hoaït ñoäng cuûa HS III.1 - Daïng 1: HS ghi ñeà , tìm caùch giaûi Baøi 1: xaùc ñònh a, b ñeå A(x) = x3 + ax + b 2 chia heát cho B(x) = x + x – 2 HS thöïc hieän pheùp chia: Haõy thöïc hieän pheùp chia A(x) cho B(x) x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b -2 Ñeå A(x) chia heát cho B(x) thì phaûi coù Ñk gì Ñeå A(x) M B(x) ⇔ (a + 3)x + b - 2 = 0 Haõy duøng heä soá baát dònh ñeå tìm a vaø b a + 3 = 0 a = - 3 ⇔ ⇔ b - 2 = 0 b = 2 Thöû laïi xem coù ñuùng khoâng Baøi 2: Tìm a, b ∈ Q ñeå A = x4 + ax + b chia heát cho B = x2 – 4 Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc naøo? HS thöû laïi: HS ghi ñeà vaø tìm caùch giaûi Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c ) ⇔ x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi ∀x ∈ Q neân Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi ∀x ∈ Q neân ta coù ñieàu gì? Haõy tìm a, b, c töông öùng a = 0 a = 0   c − 4 = 0 ⇔ c = 4 b = −4c b = −16   III.2 – Daïng 2: Caùc baøi toaùn chöùng minh 1. Baøi 1: Chöùng minh ñònh lí Bô-du “ Soá dö trong pheùp chia f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò ña thöùc aáy taïi x = a” Neáu goïi thöông laø q(x) dö laø r thì f(x) = ? Khi x = a thì f(x) = ? HS tieáp caän yeâu caàu Ta coù f(x) = (x – a). q(x) + r Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r ⇒ f(x) = r (soá dö cuûa f(x) : (x – a)) 2. Baøi 2: chöùng minh raèng: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 M x – 1 Aùp duïng ñònh lí Bô- du ta coù ñieàu gì? HS tieáp caän ñeà baøi Ta coù: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 = (x – 1). Q(x) + r (ñònh lí Bô-du) 17 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn f(1) = (1 + 1 – 1)10 + (1 – 1 + 1)10 – 2 = 0 ⇒ (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 M x – 1 3. Baøi 3: Chöùng minh raèng Vôùi m, n ∈ Z thì: A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia HS tieáp caän ñeà baøi heát cho B = x2 + x + 1 3m + 1 3n + 2 Ñeå C/m : A = (x +x + 1) chia heát 2 HS phaùt bieåu: cho B = x + x + 1 ta C/m A M(x3 – 1) Vì x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) M (x2 + x + Vì sao? Ñeå C/m ñieàu naøy ta laøm theá naøo? 1) 3m 3 3m – 1 3m – 2 A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2 + x + x – 1 = (x – 1)(x +x + … + 1) coù 1) chia heát cho x3 – 1? = x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1) x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) Töông töï ta coù keát luaän gì? chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1 ⇒ x(x3m – 1) M x2 + x + 1 (1) Töông töï: x2 (x3n – 1) M x2 + x + 1 (2) III. 3- Daïng 3: Caùc baøi toaùn khaùc Vaø x2 + x + 1 M x2 + x + 1 (3) Töø (1), (2), (3) suy ra ñpcm 1. Baøi 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia A(x) = x50 + x49 + ... + x + 1 cho B(x) = x2 – 1 Goïi thöông laø Q(x) , dö laø R(x) = ? Khi ñoù A(x) =? Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân ta coù ñieàu gì? Goïi thöông laø Q(x), dö laø R(x) = ax + b ta coù: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân x2 – 1 = 0 ⇒ x = 1 hoaëc x = -1  A(1) = a + b 51 = a + b  a = 25 ⇔ ⇔   A(-1) = - a + b 1=-a+b  b = 26 Vaäy R(x) = 25x + 26 2. Baøi 2: Tìm ña thöùc f(x) bieát raèng f(x) chia x – 3 thì dö 2; chia x + 4 thì dö 9 vaø chia cho x2 + x – 12 ñöôïc thöông laø x2 + 3 coøn dö * So saùnh x2 + x – 12 vôùi (x + 3)(x + 4) ? Goïi dö cuûa f(x) : (x2 + x – 12 ) laø ax + b Thöông cuûa f(x) chia cho x + 3; x + 4 laàn löôït laø p(x), q(x) ta coù ñieàu gì? HS ghi ñeà baøi x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) HS phaùt bieåu f(x) = (x - 3).p(x) + 2 (1)  (2) f(x) = (x + 4).q(x) + 9 f(x) = (x - 3)(x + 4)(x 2 + 3) + ax + b (3)  Töø (1) ⇒ f(3) = 2 ; töø (3) ⇒ f(3) = 3a + b ⇒ 3a + b = 2 (4) Töø (1) vaø (3) suy ra ñieàu gì? 18 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Töø (2) vaø (3) suy ra ñieàu gì? Töø (4) vaø (5) ta coù a =?; b = ? Vaäy ña thöùc caàn tìm laø ña thöùc naøo? Töø (2) vaø (3) sy ra : -4a + b = 9 (5) Töø (4) vaø (5) suy ra: a = -1; b = 5 Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + 5 = x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31 III. Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Xaùc ñònh a; b ñeå a) A = x4 + a x2 + b chia heát cho B = x2 + x + 1 b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – 2 coù dö laø R = 2x – 3 c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + 1 dö - 6 vaø chia R = x – 2 dö 21 Baøi 2: Chöng minh raèng a) mn(m2 – n2) chia heát cho 6 vôùi moïi soá nguyeân m, n b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia heát cho 24 vôùi moïi soá nguyeân n Baøi 3: a)Tìm soá dö trong pheùp chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x + 11 b) Tìm soá nguyeân x ñeå giaù trò bieåu thöùc A = x3 – 3x2 – 3x – 1 chia heát cho giaù trò bieåu thöùc B = x2 + x + 1 BUOÅI 7 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ HÌNH THOI, HÌNH VUOÂNG Ngaøy soaïn: 28 – 11 - 2010 Ngaøy daïy: - 11 - 2010 A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình thoi, hình vuoâng: tính chaát vaø daáu hieäu nhaän bieát * Vaän duïng tính chaát cuûa hình thoi vaø hình vuoâng vaøo caùc baøi toaùn chöùng minh caùc ñoaïn thaúng, goùc baèng nhau, ñöôøng thaúng vuoâng goùc, song song,… * Naâng cao kyõ naêng chöùng minh hình hoïc cho HS B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Heä thoáng kieán thöùc: Hình thoi Hình vuoâng Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau vaø 4 goùc Ñònh Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau baèng nhau nghóa - Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau - Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau - caùc goùc ñoái baèng nhau - caùc goùc ñoái baèng nhau Tính - Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau - Hai ñöôøng cheùo baèng nhau, vuoâng goùc chaát taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø truïc ñoùi vôùi nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø xöùng cuûa hình thoi truïc ñoùi xöùng cuûa hình vuoâng - moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa - moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa hai 19 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn hai goùc ñoái nhau - Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo goùc ñoái nhau - Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo - Ñöôøng trung bình laø truïc ñoái xöùng - Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau - Töù giaùc coù 4 caïnh vaø 4 goùc baèng nhau - Hbh coù 2 caïnh keà baèng nhau - hình thoi coù 1 goùc vuoâng Daáu - Hbh coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi - hình thoi coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau - hình chöõ nhaät coù 2 caïnh keà baèng nhau hieäu nhau nhaän - hbh coù ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc - hình chöõ nhaät coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng cuûa 1 goùc goùc vôùi nhau bieát - Hình chöõ nhaät coù ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc cuûa 1 goùc II. Heä thoáng Baøi taäp HS ghi ñeà vaø veõ hình Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD AB // CD, AB < CD. Goïi M, N, P , Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa CD, AB, DB, CA · a) C/m: NM laø tia phaân giaùc cuûa PNQ A N B / / b) Tính soá ño caùc goùc cuûa töù giaùc MPNQ bieát caùc goùc nhoïn cuûa hình Q P 0 µ µ thang ABCD laø C = D = 50 c) Hình thang ABCD thoaõ maõn ñieàu // // M D C kieän gì thì töù giaùc MPNQ laø hình vuoâng? * Ñeå C/m MN laø tia phaân giaùc cuûa · Ta C/m töù giaùc MPNQ laø hình thoi PNQ Ta caàn C/m gì? Ñeå C/m MPNQ laø hình thoi ta C/m nhö theá naøo? Haõy C/m MPNQ laø Hình bình haønh Baèng caùch C/m coù hai caïnh ñoái vöøa song song vöøa baèng nhau, ñoù laø hai caïnh naøo? Haõy C/m NP //= MQ ? C/m MP = MQ ñeå suy ra H.b.h MPNQ C/m MPNQ laø hình bình haønh coù hai caïnh keà baèng nhau Töø GT ⇒ NP laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ ADE 1 neân NP // AD vaø NP = 2 AD (1) MQ laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ ADC neân 1 MQ // AD vaø MQ = 2 AD (2) Töø (1) vaø (2) ⇒ NP // MQ vaø NP = MQ suy ra töù giaùc MPNQ laø H.b.h 1 1 Maët khaùc MP = 2 CB = 2 AD (Vì AD = CB). 20 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn laø hình thoi MPNQ laø hình thoi ta suy ra ñieàu gì ? · CMQ baèng goùc naøo? Vì sao? · baèng goùc naøo? Vì sao? PMD · · · =? CMQ + PMD = ? ⇒ PNQ · · MPN = MQN =? Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng khi naøo? Suy ra MP = MQ ⇒ MPNQ laø hình thoi (H.b.h coù 2 caïnh keà baèng nhau) ⇒ NM laø tia phaân · giaùc cuûa PNQ · · = CMQ = 500 (3) b) MQ // AD ⇒ ADC · · MP // CE ⇒ ECD = PMD = 500 (4) · · + PMD = 1000 Töø (3) vaø (4) ⇒ CMQ · · · · ⇒ PMQ = 800 ⇒ PNQ = 800 ⇒ MPN = MQN = 1000 c) Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng · · · ⇔ PMQ = 900 ⇔ CMQ + PMD = 900 µ +D µ = 900 ⇔ C µ =D µ = 45 0 ⇔ C µ = 45 0 thì Vaäy: Hình thang caân ABCD coù Cµ = D töù giaùc MPNQ laø hình vuoâng A M E Baøi 2: Q HS ghi ñeà baøi vaø veõ D Cho ∆ ABC vuoâng caân taïi B. töø ñieåm hình D thuoäc caïnh AB veõ DE ⊥ AC taïi E, N tia ED caét tia CB taïi F. Goïi M, N, P, Q C F P B laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, DF, FC, CA Chöùng minh MNPQ laø hình vuoâng Ñeå C/m töù giaùc MNPQ laø hình vuoâng ta caàn C/m MNPQ vöøa laø hình chöõ nhaät vöøa laø hình Ñeå C/m töù giaùc MNPQ laø hình vuoâng thoi ta caàn C/m ñieàu gì? MNPQ laø hình bình haønh coù moät goùc vuoâng Töø Gt ⇒ MN laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ FCA Ñeå C/m töù giaùc MNPQ laø hình chöõ nhaät ta caàn C/m gì? Haõy C/m töù giaùc MNPQ laø hình bình haønh? Ñeå C/m H.b.h MNPQ laø hình chöõ nhaät thì ta C/m gì? · Haõy C/m MNP = 900 ⇒ MN // FA vaø MN = 1 FA (1) 2 1 Töông töï ta coù: PQ // FA vaø PQ = 2 FA (2) Töø (1) vaø (2) suy ra MNPQ laø H.b.h Maët khaùc D laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cao AB vaø FE cuûa ∆ FAC neân CD laø ñöôøng cao coøn laïi cuûa ∆ FAC ⇒ CD ⊥ FA ⇒ PN ⊥ FA · ⇒ PN ⊥ MN (Vì MN // FA) ⇒ MNP = 900 Neân töù giaùc MNPQ laø hình chöõ nhaät (*) µ = 450 ( ∆ ABC vuoâng ∆ FCE vuoâng taïi E vaø coù C caân taïi A) ⇒ ∆ FCE vuoâng caân taïi E ⇒ ∆ DBF vuoâng caân taïi B ⇒ BD = BF neân suy 21 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn ra ∆ ABF = ∆ CBD ⇒ FA = CD Maët khaùc NP laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ FCD, 1 Haõy C/m H.b.h MNPQ laø hình thoi baèng caùch C/m NP = MN 1 neân NP = 2 CD = 2 FA = MN ⇒ hình bình haønh MNPQ laø hình thoi (**) Töø (*) vaø (**) suy ra MNPQ laø hình vuoâng HS ghi ñeà vaø veõ hình Baøi 3: Cho hình vuoâng ABCD, goïi I, K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, DC; E laø giao ñieåm cuûa BI vaø AK a) chöùng minh: BI ⊥ AK b) Chöùng minh CE = AB c) So saùnh AK, BI, BK · d) C/m: BD laø phaân giaùc cuûa IBK * Ñeå C/m BI ⊥ AK ta C/m gì? A / 1 _ 1 I F / 1 M B / C E _ D / K a) HS suy nghó, traû lôøi: µ 1 + $I1 = 900 C/m A µ 1 + $I1 = 900 do ∆ ABI vuoâng taïi A B Ta caàn C/m ∆ AIB = ∆ DKA Vì coù AB = DA (ABCD laø hình vuoâng) AI = DK (nöûa caïnh hình vuoâng ABCD) µ 1 + $I1 = 900 ta C/m A µ 1 baèng Ñeå C/m A µ =D µ = 900 ⇒ ∆ AIB = ∆ DKA(c.g.c) A goùc naøo? Vì sao? µ1 = A µ 1 maø B µ 1 + $I1 = 900 ⇒ A µ 1 + $I1 = 900 ⇒B µ 1 + $I1 = 900 ⇒ AEI · ta coù A = 900 ⇒ BI ⊥ AK b) Goïi F laø trung ñieåm AB Haõy C/m ∆ AIB = ∆ DKA? ⇒ AKCF laø H.b.h vì coù FA //= CK ⇒ AK // CF ⇒ CM ⊥ BE hay CM laø ñöôøng cao cuûa cuûa ∆ BCE (1) Ñeå C/m CE = AB ta C/m gì? F laø trung ñieåm AB maø MF // AK neân M laø AB =? Vaäy ñeå C/m CE = AB ta C/m trung ñieån BE hay CM laø ñöôøng trung tuyeán CE = CB baèng caùch C/m hai tam giaùc ∆ naøo baèng nhau? Hay tam giaùc naøo caân? cuûa BCE (2) Töø (1) vaø (2) suy ra ∆ BCE caân taïi B suy ra CE = CB maø CB = AB neân CE = AB c) BI = AK (do ∆ AIB = ∆ DKA(c.g.c)- C/m ôû caâu a) . ∆ IDB = ∆ KDB (c.g.c) vì coù: ID = KD · · (nöûa caïnh hình vuoâng ABCD); IDB = KDB = 450 (ñöôøng cheùo DB laø phaân giaùc cuûa goùc D); DB AK = BI? Vì sao? chung ⇒ BI = BK Ta caàn C/m gì? (AK = BK hoaëc BI = 22 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn BK) Vaäy: AK = BI = BK · · d) ∆ IDB = ∆ KDB (c.g.c) neân IBD hay = KBD · BD laø tia phaân giaùc cuûa IBK · · hay khoâng? Vì sao? IBD = KBD III. Baøi taäp veà nhaø: · = 900 , tia Ax caét CD Baøi 1:Cho hình vuoâng ABCD . Töø ñieåm E treân caïnh BC döïng EAx taïi F. Goïi I laø trung ñieåm FE, AI caét CD taïi M. Veõ Ey // CD, Ey caét AI taïi K a) Tam giaùc AFE laø tam giaùc gì? Vì sao? b) Töù giaùc KFME laø hình gì? Vì sao? c) Chöùng minh chu vi CEM khoâng ñoåi khi E chuyeån ñoäng treân BC Baøi 2: Cho ABCD laø hình vuoâng. Goïi M, N, I, L laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC, CD, DA; DN laàn löôït caét AI, CM taïi K vaø P; BL caét AI, CM taïi H vaø Q a) Chöùng minh PA = DA b) Töù giaùc KPQH laø hình gì? Vì sao? BUOÅI 8 – RUÙT GOÏN PHAÂN THÖÙC Ngaøy soaïn: 06 - 12 - 2010 Ngaøy daïy: - 12 - 2010 A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà ruùt goïn phaân thöùc, qua ñoù tieáp tuïc reøn luyeän theâm veà kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû * Tieáp tuïc reøn luyyeän cho HS kyõ naêng tìm nhaân töû chung ñeå ruùt going phaân thöùc * Khaéc saâu vaø vaän duïng thaønh thaïo kyõ naêng ruùt goïn phaân thöùc ôû möùc ñoä cao hôn B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. HEÄ THOÁNG KIEÁN THÖÙC: * Caùc böôùc ruùt goïn phaân thöùc: + Phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû + Tìm nhaân töû chung + chia caû töû vaø maãu cho nhaân töû chung A -A A -A  A A * Quy taéc ñoåi daáu B = - B ; − B = B ; −  − B ÷ = B   II. BAØI TAÄP: Hoaït ñoäng cuûa GV Hoaït ñoäng cuûa HS HS ghi ñeà vaø tìm caùch giaûi Baøi 1: Ruùt goïn phaân caùc thöùc 23 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn 4a 2 + 12a + 9 a) 2a 2 − a − 6 Ta laøm theá naøo ñeå ruùt gon phaân thöùc ñaõ cho? Phaân tích töû vaø maãu nhö theá naøo? Tìm nhaân töû chung roài ruùt goïnh phaân thöùc ñaõ cho x 2 - xy + 2x - 2y b) 2 2 x -y +x-y Goi HS leân baûng trình baøy 3x 3 - 7x 2 + 5x - 1 c) 2x 3 - x 2 - 4x + 3 Cho HS caû lôùp giaûi ít phuùt Goïi 1 HS leân baûng trình baøy Neáu HS chöa thöïc hieän ñöôïc thì gôïi yù: Töû vaø maãu laø 2 ña thöùc baäc 3 coù daïng ñaëc bieät naøo? Coù nhaân töû naøo? Taùch töû vaø maãu ñeå laøm xuaát hieän nhaân töû laø x – 1 Phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû, tìm nhaân töû chung roài chia caû töû vaø maãu cho nhaân töû chung ñoù ( 2a + 3) = 2a + 3 4a 2 + 12a + 9 = a) 2 ( 2a + 3)( a − 2) a − 2 2a − a − 6 2 x(x - y) + 2(x - y) x 2 - xy + 2x - 2y = (x - y)(x + y) + (x - y) 2 2 x -y +x-y (x - y)(x + 2) x+2 = = (x - y)(x + y + 1) x + y + 1 b) HS ghi ñeà, tieán haønh giaûi 1HS leân baûng trình baøy HS ghi ñeà baøi vaø tieán haønh giaûi taïi lôùp Töû vaø maãu laø 2 ña thöùc baäc 3 coù daïng 2 ña thöùc coù toång caùc heä soá baèng 0 neân coù nhaân töû laø x – 1 HS thöïc hieän: 3x 3 - 7x 2 + 5x - 1 2x 3 - x 2 - 4x + 3 (3x 3 - 3x 2 ) − (4x 2 − 4x) + (x - 1) = 2x 3 - 2x 2 + (x 2 - x) - (3x - 3) 3x 2 (x - 1) − 4x(x − 1) + (x - 1) (x - 1)(3x 2 − 4x + 1) = = 2 2x (x - 1) + x(x - 1) - 3 (x - 1) (x - 1)(2x 2 + x - 3) 3x 2 − 4x + 1 (3x 2 − 3x) - (x - 1) 3x - 1 = = 2 = ... = 2 2x + x - 3 (2x - 2x) + (3x - 3) 2x + 3 a 4 - 3a 2 + 1 d) 4 2 a - a - 2a - 1 AÙp duïng phöông phaùp taùch haïng töû ñeå phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû Tìm nhaân töû chung roài ruùt goïn phaân thöùc x 4 + x3 + x + 1 e) 4 x − x3 + 2 x 2 − x + 1 HS phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû Baèng phöông phaùp taùch haïng töû vaø caùc phöông phaùp boå sung ñaõ hoïc Tìm nhaân töû chung roài ruùt goïn phaân thöùc HS ghi ñeà baøi a 2 − 1) − a 2 ( a 4 - 3a 2 + 1 (a 4 - 2a 2 + 1) - a 2 = 4 = 4 2 a 4 - a 2 - 2a - 1 a - (a 2 + 2a + 1) a − ( a + 1) 2 = (a 2 − 1) − a 2 ( a 2 + a − 1) ( a 2 - a - 1) 2 a 4 − ( a + 1) 2 a2 + a −1 = ( a 2 + a + 1) ( a 2 - a - 1) a 2 + a +1 HS ghi ñeà baøi, phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân x 4 + x3 + x + 1 x 4 + x3 + x + 1 = töû: 4 3 x − x + 2 x 2 − x + 1 x 4 − x3 + x 2 + x 2 − x + 1 24 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn = x 3 ( x + 1) + ( x + 1) x 2 ( x 2 − x + 1) + ( x 2 − x + 1) ( x + 1) ( x3 + 1) ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) f) a(b2 - c2 ) + b(c 2 - a 2 ) + c(a 2 - b 2 ) = Haõy phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû ( phaân tích töû xong roài ñeán maãu) ( x + 1) = (x (x 2 2 − x + 1) ( x 2 + 1) = ( x + 1) (x 2 2 (x 2 − x + 1) − x + 1) ( x 2 + 1) 2 + 1) HS ghi ñeà Phaân tích töû: ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) = ab(a – b) – bc[(a – b) + (c – a)] + ca(c – a) = [ab(a – b) – bc(a – b)]+[bc(c – a) + ca(c – a)] = …= (a – b)(b – c) (a – c) Phaân tích maãu: a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) = … = (a – b)(b – c) (a – c) Baøi 2: Chöùng minh raèng vôùi ∀n ∈ Z thì ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) a(b 2 - c 2 ) + b(c 2 - a 2 ) + c(a 2 - b 2 ) (a - b)(b - c) (a - c) = (a - b)(b - c) (a - c) = 1 Neân: 15n 2 + 8n + 6 phaân soá: a) toái giaûn 30n 2 + 21n + 13 Ñeå C/m 1 phaân soá toái giaûn ta laøm theá naøo? Ñeå C/m ÖCLN cuûa töû vaø maãu baèng 1 ta laøm theá naøo? Goïi ÖCLN(15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13) = d (d ≥ 1) ta coù ñieàu gì? 15n2 + 8n + 6 coù theå phaân tích thaønh toång coù chöùa nhaân töû (5n + 1) nhö theá naøo? Töø ñoù ta suy ra ñieàu gì? 1 + n 2 + n7 b) khoâng toái giaûn 1 + n + n8 HS tieáp caän ñeà baøi Ñeå C/m 1 phaân soá toái giaûn ta C/m ÖCLN cuûa töû vaø maãu baèng 1 Goïi ÖCLN cuûa töû vaø maãu laø d (d ≥ 1) ta C/m d = 1 (15n2 + 8n + 6) M d vaø (30n2 + 21n + 13) M d hay [2 (15n2 + 8n + 6 ) + 5n + 1] M d ⇒ 5n + 1 M d Maø 15n2 + 8n + 6 = [(3n + 1)(5n + 1) + 5] M d ⇒ 5 M d ⇒ 5n M d maø 5n + 1 M d ⇒ 1 M d ⇒ d = 1 Hay 15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13 nguyeân toá Ñeå C/m phaân soá khoâng toái giaûn ta laøm 15n 2 + 8n + 6 theá naøo cuøng nhau neân phaân soá toái giaûn 30n 2 + 21n + 13 Haõy phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû ñeå tìm nhaân töû chung Ñeå C/m phaân soá khoâng toái giaûn ta C/m töû vaø maãu coù ÖC khaùc 1 7 2 6 Ta coù: 1 + n + n = (1 + n + n ) + n(n − 1) 25 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn = (1 + n + n ) + n(n + 1)(n − 1) 2 4 5 =…….= (1 + n + n 2 )(1 − n + n − n + n ) 2 1 + n + n2 lôùn hôn 1 khoâng? Vì sao? Vaäy ta coù keát luaän gì? 3 1 + n + n8 = (1 + n + n 2 ) + n 2 ( n 6 − 1) = (1 + n + n ) + n (n + 1)(n − 1) 2 3 5 6 =…….= (1 + n + n 2 )(1 − n + n − n + n ) Vôùi n nguyeân döông thì 1 + n + n 2 > 1 Suy ra töû vaø maãu cuûa phaân soá coù ÖC lôùn hôn 2 2 1 neân phaân soá III. BAØI TAÄP VEÀ NHAØ: Baøi 1: ruùt goïn caùc phaân thöùc sau: 2a 3 − 12a 2 + 17a − 2 a) a−2 3 x5 − 2 x 4 + 2 x3 − 4 x 2 + 3x + 6 b) x2 + 2 x − 8 3 3 1 + n 2 + n7 khoâng toái giaûn 1 + n + n8 x3 − 7 x − 6 c) 2 x ( x − 3) 2 + 4 x (3 − x) 2 + 4( x − 3) 2 Baøi 2: Chöùng minh raèng : 6 + 8 x + 15 x 2 phaân soá toái giaûn vôùi moïi x nguyeân döông 13 + 21x + 30 x 2 BUOÅI 9 – CAÙC PHEÙP TOAÙN VEÀ PHAÂN THÖÙC Ngaøy soaïn: 11 - 12 - 2010 Ngaøy daïy: - 12 - 2010 A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá, naâng cao kieán thöùc caùc pheùp toaùn veà quy ñoàng maãu, coäng phaân thöùc * Tieáp tuïc reøn luyeän kyõ naêng quy ñoàng maãu thöùc nhieàu phaân thöùc, caùc pheùp toaùn veà coäng phaân thöùc * Tieáp tuïc phaùt trieån kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû, ruùt goïn phaân thöùc caøc caùc pheùp toaùn veà phaân thöùc vaø taïo höùng thuù cho HS trong quaù trình hoïc toaùn B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I . Kieán thöùc baøi hoïc: 1. Pheùp coäng phaân thöùc: Quy ñoàng maãu thöùc (Neáu khaùc maãu) Coäng töû vôùi töû vaø giöõ nguyeân maãu 2. Tính chaát cuûa pheùp coäng phaân thöùc: a) Tính chaát giao hoaùn: A C C A + = + B D D B 26 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn A C E A C E b) Tính chaát keát hôïp:  + ÷+ = +  + ÷  B D F B D F * Löu yù: Coù khi ta caàn ñoåi daáu ñeå thöïc hieän pheùp tính moät caùch nhanh hôn II. Baøi taäp taïi lôùp: Baøi 1: Thöïc hieän pheùp tính: a) 4 3 12 + + 4 2 x +2 2−x x −4 2 HS ghi ñeà baøi, tieán haønh caùch giaûi HS suy nghó traû lôøi Ñoåi daáu phaân thöùc thöù hai HS hoaøn thaønh baøi giaûi Coù nhaän xeùt gì veà caùc maãu? Ñeå coù MTC ta caàn laøm gì? Haõy tìm MTC, tieán haønh baøi giaûi 4 3 12 4 −3 12 4(x 2 − 2) − 3(x 2 + 2) + 12 + + = + + = x 2 + 2 2 − x 2 x 4 − 4 x 2 + 2 x 2 − 2 (x 2 + 2)(x 2 − 2) (x 2 + 2)(x 2 − 2) 4x 2 − 8 − 3x2 − 6 + 12 x2 − 2 1 = = 2 = 2 2 2 2 (x + 2)(x − 2) (x + 2)(x − 2) x + 2 2y + x 2y − x 8x b) 2 y 2 − xy + x 2 − 4 y 2 + 2 y 2 + xy Phaân tích moãi maãu thaønh nhaân töû Caàn ñoåi daáu khoâng? Vì sao? HS phaân tích maãu thaønh nhaân töû, ñoåi daáu 8x Tìm MTC Thöïc hieän caùc pheùp toaùn moät caùch lieân tuïc Goïi moät soá HS traû lôøi vaø cuøng giaûi 2y + x 2y − x 8x −8 x phaân thöùc x 2 − 4 y 2 = 4 y 2 − x 2 Tìm MTC HS thöïc hieän pheùp toaùn moat caùch lieân tuïc Moät soá HS ñaïi dieän traû lôøi caâu hoûi vaø cuøng giaûi vôùi GV 2y + x −8 x 2y − x b) 2 y 2 − xy + x 2 − 4 y 2 + 2 y 2 + xy = 2 y 2 − xy + 4 y 2 − x 2 + 2 y 2 + xy 2y + x −8 x 2y − x = y (2 y − x) + (2 y − x)(2 y + x) + y(2 y + x) = (2y + x)(2y + x) − 8xy + (2y − x)(2y − x) y(2y − x)(2y + x) = 4 y 2 + 4 xy + x 2 − 8 xy + 4 y 2 − 4 xy + x 2 8 y 2 − 8 xy + 2 x 2 2(4 y 2 − 4 xy + x 2 ) = = y (2 y − x)(2 y + x) y (2 y − x)(2 y + x ) y (2 y − x )(2 y + x ) = 2(2 y − x) 2 2(2 y − x) = y (2 y − x)(2 y + x) y (2 y + x ) c) 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 x + x x + 3x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 2 Ta neân thöïc hieän nhö theá naøo? Haõy phaân tích moãi maãu thaønh nhaân töû Coù nhaän xeùt gì veà moái quan heä giöõa caùc maãu HS: Thöïc hieän pheùp tính trong ngoaëc tröôùc HS phaân tích HS neâu nhaän xeùt: Moãi maãu laø tích cuûa 2 soá lieân tieùp, Maãu tieáp theo laø tích cuûa 27 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn thöøa soá thöù 2 cuûa maãu thöù nhaát vaø thöøa Ta neân quy ñoàng maãu hay thöïc hieän pheùp soá ñoù coäng theâm 1 toaùn nhö theá naøo? HS phaùt bieåu 1 1 1 1 Ta coù: x 2 + x = x( x + 1) = x − x + 1 vaäy toång caùc phaân thöùc treân coù theå vieát nhö theá naøo? GV vaø HS tieán haønh lôøi giaûi 1 1 1 HS neâu caùch giaûi HS cuøng GV tieán haønh baøi giaûi 1 c) x 2 + x + x 2 + 3x + 2 + x 2 + 5 x + 6 + x 2 + 7 x + 12 1 1 x+4− x 4         =  x − x + 1 ÷+  x + 1 − x + 2 ÷+  x + 2 − x + 3 ÷+  x + 3 − x + 4 ÷ = x − x + 4 = x( x + 4) = x( x + 4)         1 d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2a 4a 3 8a 7 + + 2 + + a − b a + b a + b 2 a 4 + b 4 a 8 + b8 Coù neân phaân tích moãi maãu thaønh nhaân töû hay khoâng? Vì sao? Ta thöïc hieän pheùp coäng hai phaân thöùc ñaàu roài tieáp tuïc coäng vôùi phaân thöùc tieáp theo HS suy nghó, phaùt bieåu HS thöïc hieän d) Ta coù: 1  2a 4a 3 8a 7 1 1 2a 4a 3 8a 7  1 + + + + + + + + = ÷ 2 2 4 4 8 8  a −b a +b  a +b a +b a +b a − b a + b a 2 + b 2 a 4 + b 4 a 8 + b8 2a 4a 3 8a 7 2a  4a 3 8a 7  a +b+ a−b   2a + 4 + 8 8 = 2 2 + 2 + 4 + 8 8 = ÷+ 2 2 2 2 4 2 ÷ 4  a −b  a +b a +b a +b  a −b a +b  a +b a +b  2a (a 2 + b 2 ) + 2a ( a 2 − b 2 )   4a 3 4a3 8a 7 4a 3  8a 7 =  + a 4 + b 4 + a 8 + b8 =  a 4 − b 4 + a 4 + b 4 ÷+ a 8 + b 8 a4 − b4     4a 3 ( a 4 + b 4 ) + 4a 3 ( a 4 − b 4 8a 7 8a 7 8a 7 8a 7 (a 8 + b8 ) + 8a 7 (a 8 − b8 ) + = + = a 8 − b8 a 8 + b8 a 8 − b 8 a 8 + b 8 a16 − b16 8a15 − 8a 7b8 + 8a15 − 8a 7b8 16a15 = = 16 16 a16 − b16 a −b = Baøi 2: Tính A + (- B) bieát 1 1 1 1 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) HS ghi ñeà baøi Tieán haønh giaûi n(n + 3) vaø B = 4(n + 1)(n + 2) 1 Vieát n(n + 1)(n + 2) thaønh keát quaû cuûa HS bieán ñoåi töø haïng töû cuoái ñeå tìm ra quy 28 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn toång hai phaân soá cuøng töû? Töø ñoù ta coù toång treân tính nhö theá naøo? Ta coù: 1 1 1 luaät 1 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) 1 1 1  1 1 1 1 1 1  1 1 1 1  1 1  = 2  1.2 − 2.3 ÷+ 2  2.3 − 3.4 ÷+ 2  3.4 − 4.5 ÷+ ... + 2  n(n + 1) − ( n + 1)(n + 2)          1 1 1 1 1  1 = 2  1.2 − 2.3 + 2.3 − 3.4 + 3.4 − 4.5 + ... + n(n + 1) − (n + 1)(n + 2) ÷    (n + 1)(n + 2) − 2 1 1 1 n 2 + 3n n(n + 3) − = = = 2  2 (n + 1)(n + 2)  4( n + 1)(n + 2) 4(n + 1)( n + 2) = 4(n + 1)(n + 2)   n(n + 3) n(n + 3) Vaäy: A + (- B) = 4(n + 1)(n + 2) - 4(n + 1)(n + 2) = 0 Baøi 3: Cho a,b,c laø 3 số ñoâi moät khaùc nhau. Chứng minh rằng : b−c c−a a−b 2 2 2 + + = + + ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) a − b b − c c − a b−c HS thöïc hieän pheùp tính vaø traû lôøi Haõy tính: ( a − b ) ( a − c ) b−c 1 1 + a −b c−a c−a 1 1 = + ( b − a )( b − c ) b − c a − b a−b 1 1 = + ( c − a )( c − b ) b − c c − a Laøm theá naøo ñeå coù ñaúng thöùc caàn chöùng Coäng veá theo veá caùc ñaúng thöùc treân ta coù minh? ñpcm Töông töï ta coù: c−a ( b − a) ( b − c) = ? a −b ( c − a) ( c − b) = ? ( a − b )( a − c ) = III. Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Thöïc hieän caùc pheùp tính 3x + 2 6 3x − 2 − 2 − 2 x − 2x + 1 x −1 x + 2x + 1 2x + 3y 6 − xy x2 + 9 − − b) xy + 2 x − 3 y − 6 xy + 2 x + 3 y + 6 x 2 − 9 b b b b c) x 2 + bx + x 2 + 3bx + 2b 2 + x 2 + 5bx + 6b 2 + .. + ( x + kb) [ x + (k + 1)b ] a) 2 Baøi 2: Cho a + b + c = 1 vaø a 2 + b 2 + c 2 = 1 , Nếu Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0. 29 x y z = = . a b c Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Buæi 10: C¸c bµi to¸n vÒ diÖn tÝch Ngµy so¹n: 19 - 12 - 2010 Ngµy d¹y: - 12 - 2010 A. môc tiªu: 1) Cñng cè, n©ng cao kiÕn thøc vÒ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c 2) HS biÕt so s¸nh ®é dµi ®o¹n th¼ng mµ kh«ng sö dông kiÕn thøc vÒ tam gi¸c b»ng nhau 3) VËn dông kiÕn thøc vµo bµi tËp cô thÓ; thùc tiÔn cuéc sèng b.ho¹t ®éng d¹y häc: I. KiÕn thøc bæ trî: * DiÖn tÝch tam gi¸c b»ng nöa tÝch ®êng cao vµ c¹nh t¬ng øng * C¸c tam gi¸c cã chung c¹nh vµ ®é dµi ®êng cao t¬ng øng th× cã cïng diÖn tÝch * Hai tam gi¸c cïng ®é dµi ®êng cao th× diÖn tÝch tû lÖ thuËn víi c¹nh t¬ng øng víi ®êng cao ®ã ii. bµi tËp ¸p dông: HS ghi ®Ò vµ vÏ h×nh Bµi 1: Nèi c¸c ®Ønh B vµ C cña ∆ ABC c©n t¹i A A víi trung ®iÓm O cña ®êng cao AH. C¸c D E ®êng th¼ng nµy lÇn lît c¾t AC, AB t¹i D N vµ E. TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c AEOD O theo diÖn tÝch S ABC B 30 H C Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn NÕu gäi N lµ trung ®iÓm cña CD th× ta cã ®iÒu g×? Gäi N lµ trung ®iÓm cña CD th× NH lµ ®êng trung b×nh cña ∆ DBC nªn NH // BD suy ra OD // HN ⇒ D lµ trung ®iÓm AN ⇒ AD = DN = 1 1 AC ⇒ SAOD = SAOC (V× cã chung ®3 3 1 êng cao h¹ tõ O xuèng AC vµ AD = AC) 3 1 1 MÆt kh¸c SAOC = SAHC (v× cã AO = AH vµ 2 2 NC = T×m mèi quan hÖ gi÷a SAOD vµ SAOC ? cïng ®êng cao CH) So s¸nh SAOC vµ SABC ; SAHC vµ SABC ? Tõ ®ã suy ra SAOD b»ng bao nhiªu SABC ? Bµi 2: TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c c©n cã chiÒu cao øng víi c¹nh ®¸y b»ng 10 cm, chiÒu cao øng víi c¹nh bªn b»ng 12 cm Gi¶i SABC tÝnh nh thÕ nµo ?(theo AH vµ BK) Tõ ®ã ta suy ra ®iÒu g×? H·y tÝnh BC theo AC ®Ó cã CH 2 2 2 ¸p dông ®Þnh lÝ Pytago vµo ∆ ACH ta cã g×? Thay AC = 12,5 cm ta cã SABC = ? Bµi 3: TÝnh diÖn tÝch cña ∆ ABC cã ®é dµi ba c¹nh lµ AB = 20 cm, AC = 34 cm, BC = 42 cm Gi¶i VÏ ®êng cao AH 1 1 SABC (V× Cã CH = BC Vµcïng ®2 2 1 êng cao AH ) ⇒ SAOD = SABC 12 1 T¬ng tù ta cã: SAOE = SABC 12 1 1 SADOE = SAOD + SAOE = 2. SABC = SABC 12 6 SAHC = HS ghi ®Ò vµ vÏ h×nh A SABC = = K 1 BC. AH 2 1 AC. BK 2 H B C BC BK 6 = = AC AH 5 36 AC 2 36 AC 2 ⇒ BC2 = ⇒ CH2 = 25 100 ¸p dông ®Þnh lÝ Pytago vµo ∆ ACH ta cã: 36 AC 2 AC2 - CH2 = 100 ⇒ AC2 = 100 100 ⇔ 64AC2 = 1002 ⇔ AC = 12,5 cm 1 SABC = AC. BK = 12,5 . 6 = 75 cm2 2 ⇒ BC. AH = AC. BK ⇒ A HS ghi ®Ò bµi vµ vÏ h×nh ¸p dông ®Þnh lÝ Pytago vµo ∆ AHC, ∆ AHB ta cã: 31 B H C Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn §Ó tÝnh SABC ta lµm thÕ nao? (tÝnh AH) AH tÝnh nh thÕ nµo? §Æt CH = x, ta cã AC2 = ? AH2 = AC2 - CH2 = AB2 - BH2 ®Æt CH = x ta cã: AC2 - x2 = AB2 - (BC -x)2 ⇒ AC2 - x2 = AB2 - BC2 + 2BCx - x2 ⇒x = AC2 - AB2 + BC2 342 − 202 + 422 = = 30 cm 2BC 2.42 ⇒ AH2 = AC2 - CH2 =342 - 302 = 162 ⇒ AH = 16 cm 1 1 SABC = BC. AH = . 42. 16 = 336 cm2 2 2 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC , AB > AC ,trªn AB HS ghi ®Ò vµ vÏ h×nh 1 AB , trªn 3 1 AC lÊy ®iÓm N sao cho : AN = AC . Gäi 3 lÊy ®iÓm M Sao cho: AM = O lµ giao ®iÓm cña BN vµ CM , F lµ giao ®iÓm cña AO vµ BC , vÏ AI vu«ng gãc víi BC t¹i I , OL vu«ng gãc víi BC t¹i L , BD vu«ng gãc víi FA t¹i D, CE ⊥ FA t¹i E So s¸nh: CE víi BD ; OL víi IA ; OA víi FO Gi¶i ∆ AON , ∆ CON cã chung ®êng cao h¹ tõ 1 O xuèng AC vµ AN = NC nªn ta cã 2 ®iÒu g×? KÏ AH ⊥ ON , CK ⊥ ON ,khi ®ã SAON , SCON tÝnh nh thÕ nµo? Tõ (1) , (2) , (3) ⇒ ? Tõ ®ã suy ra? Chøng minh t¬ng tù nh trªn ta cã ®iÒu g×? ∆ AON , ∆ CON cã chung ®êng cao h¹ tõ O 1 xuèng AC vµ AN = NC nªn: 2 1 SAON = 2 SCON (1) kÏ AH ⊥ ON , CK ⊥ ON ,khi ®ã : 1 SAON = 2 ON . AH (2) 1 SCON = ON . CK (3) 2 1 Tõ (1) , (2) , (3) ⇒ AH = CK 2 ⇒ BO. CK = 2 BO. CH ⇒ SBOC = 2 SBOA T¬ng tù: SBOM = 2 SAOM ⇒ SBOC = 2 SCOA ⇒ SBOA = SCOA ⇒ AO . CE = AO. BD ⇒ CE = BD ⇒ CF = BF ( ∆CEF = ∆BDF - tr- êng hîp : c¹nh huyÒn – gãc nhän) ⇒ SABC = 2SCOB nªn: AI . BC = 2 OL . BC ⇒ AI = 2 OL Tõ : BF = CF vµ C/m trªn ⇒ SCOF = SCOA ⇒ OA = FO 32 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn c.bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Trªn c¸c c¹nh AB, AC cña ∆ ABC cã diÖn tÝch S, lÊy c¸c ®iÓm D, E sao cho AD = 1 1 AB, AE = AC. Gäi K lµ giao ®iÓm cña BE, CD. TÝnh SADKE theo S 4 4 Bµi 2: Tam gi¸c ABC cã ba c¹nh dµi 26 cm, 28 cm, 30 cm. TÝnh ®é dµi ®êng cao øng víi c¹nh 28 cm Bai 3: Cho ∆ ABC, ph©n gi¸c trong AD, ph©n gi¸c ngoµi Ay, kÎ BE ⊥ Ay t¹i E, CF ⊥ Ay t¹i F. So s¸nh SABC vµ SEDF Buæi 11 : BiÓn ®æi biÓu thøc h÷u tØ - gi¸ trÞ ph©n thøc Ngµy so¹n: 27 - 12- 2010 Ngµy d¹y: - 12 - 2010 A.môc tiªu: 1) Cñng cè ,n©ng cao kiÕn thøc vÒ biÕn ®æi biÓu thøc h÷u tØ 2) HS lµm thµnh th¹o c¸c bµi to¸n vÒ biÕn ®æi biÓu thøc h÷u tØ,gi¸ trÞ cña ph©n thøc 3) VËn dông thµnh th¹o kiªns thøc vµo c¸c bµi tËp n©ng cao vÒ chuyªn ®Ò nµy B.bµi tËp t¹i líp  x2 + y 2   1 2  1. VÝ dô 1: Rót gän biÓu thøc A =  x − ÷ + ÷ x + y  y x − y   Ta thöïc hieän pheùp tính theo thöù töï naøo Haõy bieán ñoåi, thöïc hieän pheùp tính trong töøng daáu ngoaëc GV keát hôïp cuøng HS hoaøn thaønh lôøi giaûi Gi¶i: Thöïc hieän pheùp tính trong ngoaëc tröôùc HS thöïc hieän pheùp tính theo thöù töï HS cuøng GV hoaøn thaønh baøi giaûi  x2 + y 2   1 2   x( x + y ) − ( x 2 + y 2 )   x − y + 2 y  x 2 + xy − x 2 − y 2 x + y x − + . A=  ÷ ÷=  = x + y   y x − y   x+ y x+ y y( x − y)    y(x − y)  2 xy − y x+ y y ( x − y )( x + y ) . = =1 = x + y y ( x − y ) y ( x − y )( x + y ) 33 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn 2. VÝ dô 2: x 4 − 16 Cho A = 4 x − 4 x 3 + 8 x 2 − 16 x − 16 a) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh b) Rót gän A c) T×m x ®Ó A cã gi¸ tri b»ng 2 d) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn Gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi nµo? Gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 − 16 x − 16 ≠ 0 §Ó t×m ®îc gi¸ trÞ cña x ®Ó mÉ kh¸c 0 ta Ta ph©n tÝch mÉu thµnh nh©n tö, cho mÉo kh¸c 0 lµm thÕ nµo? khi mäi nh©n tö kh¸c 0 T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó mÉu kh¸c 0 HS gi¶i vµ t×m gi¸ trÞ t¬ng øng cña x Muèn rót gän biÓu thøc A ta lµm thÕ nµo? HS tr¶ lêi H·y rót gän biÓu thøc A Y/c HS rót gän biÓu thøc A vµ tr¶ lêi kÕt HS rót gän qu¶ HS tr¶ lêi BiÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn khi nµo? H·y t×m gi¸ trÞ t¬ng óng cña x HS t×m gi¸ trÞ t¬ng øng cña x Hoµn thµnh bµi gi¶i HS hoµn thµnh bµi gi¶i a) Ta cã: x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 − 16 x − 16 = ( x 4 − 16 ) − ( 4 x 3 − 8 x 2 ) − ( 16 x − 32 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) − 4 x 2 ( x − 2 ) − 16 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) − 4 x 2 − 16  2 3 2 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 x + 4 x + 8 − 4 x − 16 ) = ( x − 2 ) ( x3 − 2 x 2 + 4 x − 8 ) = ( x − 2 ) ( x 2 + 4 ) = BiÓu thøc A x¸c ®Þnh ⇔ (x - 2)2(x2 + 4) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 (v× x2 + 4 ≠ 0 víi mäi x) b) Rót gän : x2 − 4 ) ( x2 + 4) ( x − 2) ( x + 2 ) ( x2 + 4 ) x + 2 ( x 4 − 16 = = = A= 4 2 x − 4 x3 + 8 x 2 − 16 x − 16 ( x − 2 ) 2 ( x 2 + 4 ) x−2 ( x − 2) ( x2 + 4) c) A = 2 ⇔ x+2 x + 2 2( x − 2) =2⇔ = ⇔ x + 2 = 2x - 4 ⇔ x = 6 (t/m) x−2 x−2 x−2 d) Chia x + 2 cho x - 2 ta cã A = 1 + 4 x−2 §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn víi x nguyªn th× x - 2 lµ ¦(4). Nªn ta cã:  x − 2 = −4  x = −2  x − 2 = −2 x = 0    x − 2 = −1 x = 1 ⇔ ⇒ x∈  x − 2 = 1 x = 3   x − 2 = 2 x = 4   x − 2 = 4 x = 6 { - 2; 0; 1; 3; 4; 6 } 3. VÝ dô 3: 34 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn   b  a  c  b  a c Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam gi¸c biết rằng: 1 + 1 + 1 +  = 8 Chứng minh rằng tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c đều. §Ó C/m tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu th× ta §Ó C/m tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu th× ta ph¶i ph¶i C/m g×? C/m a=b=c ⇔ a-b=b-c=c-a=0 H·y biÕn ®æi biÓu thøc trªn ®Ó cã ®îc HS biÕn ®æi ®iÒu cÇn C/m a +b b+c a+c  b  c   a  . . =8  1 + ÷1 + ÷1 + ÷ = 8 ⇔ a b c  a  b   c  a 2b + ab 2 + a 2c + abc + abc + b 2c + ac 2 + bc 2 − 8abc ⇔ =0 abc (a 2b − 2abc + bc 2 ) + (ab 2 − 2abc + ac 2 ) + (a 2c − 2abc + b 2c) b(c − a ) 2 + a (b − c) 2 + c (a − b) 2 ⇔ =0 ⇔ =0 abc abc ( a − b) 2 = 0 a − b = 0 2 2 2   a − b b − c c − a 2 ( ) ( ) ( ) ⇔ + + = 0 ⇔ (b − c) = 0 ⇔ b − c = 0 ⇔ a = b = c  (c − a ) 2 = 0 c − a ) = 0 ab bc ca   hay tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu 4. VÝ dô 4: Cho 1 1 1 + + =0 . a b c b+c c +a a +b + + a b c §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña M víi ®iÒu kiÖn ®· cho §Ó tÝnh ®îc gi¸ trÞ cña M theo ®iÒu kiÖn cña bµi th× ta ph¶i lµm g×? ra th× ta ph¶i biÕn ®æi M thµnh mét biÓu thøc trong ®ã cã chø biÓu thøc ®· cã gi¸ trÞ nh GT ®· cho H·y biÕn ®æi M thµnh mét biÓu thøc tho· HS biÕn ®æi m·n ®iÒu ®ã a+ b+ c a+ b+ c a+b+ c  b+ c   c+ a   a+b  + 1÷ +  + 1÷ +  + 1÷ − 3 = + + Ta cã: M =  a b c  a   b   c  TÝnh gi¸ trÞ cña BT : M = 1 1 1 = ( a + b + c )  + + ÷− 3 = 0. a b c 1 1 1  + + ÷-3=-3 a b c 1 a 1 b 1 c 5. VÝ dô 5: Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn + + = 1 . a+ b+ c Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng : 1 a 2009 + 1 b 2009 + 1 c 2009 = 1 a 2009 +b 2009 + c 2009 . Lêi gi¶i Ta cã : a+ b a+ b 1 1 1 1 1 1 1 1 + =0 ⇔ + + =0 ⇔ + + = ab c(a + b + c) a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c 35 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn éb + c = 0 ê c(a + b + c) + ab = 0 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û êa + b = 0 Û ⇔ (a + b). ê abc(a + b + c) êc + a = 0 ë 1 1 1 1 1 1 1 + 2009 = 2009 Tõ ®ã suy ra : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + 2009 a b c a (- c) c a 1 éa = - b ê êb = - c ê êc = - a ë 1 1 = 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 1 1 ⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009 . a b c a + b 2009 + c 2009 2009 2009 2009 = 2009 C) Bµi tËp vÒ nhµ: 1) Ruùt goïn caùc bieåu thöùc: 1 1 1 1 a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n( n + 1)  1 3b 2 a − b)  a 2 − ab a 4 − ab3 − a 3 + a 2b + ab2   a2  . b + ÷ ÷ a+b  2) Cho ba sè a , b, c ≠ 0 tho¶ m·n : a + b + c = 2010 vµ 1 1 1 + + =0 a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = a2 + b2 + c2 3) Chøng minh r»ng: NÕu 1 1 1 1 1 1 + + = 2 vµ a + b + c = abc Th× : 2 + 2 + 2 = 2 a b c a b c Buæi 12: ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng: ax + b = 0 ph¬ng tr×nh tÝch Ngµy so¹n : 31 - 01 - 2010 a. môc tiªu : * Cñng cè , hÖ thèng kiÕn thøc vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng ax + b; ph¬ng tr×nh tÝch * N©ng cao kû n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho HS * VËn dông thµnh th¹o kü n¨nggi¶i Pt vµo c¸c bµi to¸n cô thÓ b. bµi tËp : Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS 1. VÝ dô 1 a) 8(3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x Gi¶i c¸c Pt: ⇔ 24x - 16 - 14x = 8 - 14x + 15x a) 8(3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x ⇔ 24x - 14x + 14x - 15x = 8 + 16 BiÕn ®æi Pt nh thÕ nµo? ⇔ 9x = 24 ⇔ x = b) ( x + 5 ) ( x + 2 ) − 3 ( 4 x − 3) = ( 5 − x ) 2 24 8 ⇔x= 9 3 b) ( x + 5 ) ( x + 2 ) − 3 ( 4 x − 3) = ( 5 − x ) 36 2 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn Thùc hiÖn phÐp nh©n, thu gän Pt ®Ó da vÒ d¹ng ax = - b c) x(x + 3)2 - 3x = (x + 2)3 + 1 H·y biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó gi¶i Pt nµy d) x − 4 3x + 1 9 x − 2 3x − 1 − = + 3 4 8 12 BiÕn ®æi ®Ó gi¶i Pt nµy nh thÕ nµo? 2. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c Pt a) 1909 − x 1907 − x 1905 − x 1903 − x + + + +4=0 91 93 95 97 Ta cã nªn quy ®ång mÉu hay kh«ng? V× sao ? Em cã nhËn xÐt g× vÒ tæng cña tö vµ mÉu cña mçi ph©n thøc VËy, ta biÕn ®æi Pt nh thÕ nµo? b) x − 999 x − 896 x − 789 + + =6 99 101 103 3. VÝ dô 3 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a) (x-1)3 + x3 + ( x + 1 )3 = ( x + 2 )3 Ta biÕn ®æi Pt nh thÕ nµo? Thu gän pt ⇔ (x2 + x +1) ( x – 4 ) = 0 khi nµo? ⇔ x 2 + 7 x + 10 − 12 x + 9 = 25 − 10 x + x 2 6 ⇔ 5x = 6 ⇔ x = 5 2 c) x(x + 3) - 3x = (x + 2)3 + 1 ⇔ x(x2 + 6x + 9) - 3x = x3 + 6x2 +12x + 8 + 1 ⇔ x3 + 6x2 + 9x - 3x = x3 + 6x2 +12x + 9 ⇔ 6x = 12x + 9 ⇔ - 6x = 9 ⇔ x = d) x − 4 3x + 1 9 x − 2 3x − 1 − = + 3 4 8 12 −3 2 ⇔ 8(x - 4) - 6(3x + 1) = 3(9x - 2) + 2(3x - 1) ⇔ 8x - 32 - 18x - 6 = 27x - 6 + 6x - 2 ⇔ -10x - 38 = 33x - 8 ⇔ - 43x = 30 −30 ⇔x = 43 HS ghi ®Ò bµi, t×m c¸ch gi¶i HS tr¶ lêi 1909 − x 1907 − x 1905 − x 1903 − x + + + +4=0 91 93 95 97 1  1 1 1 ⇔ (2000 - x)  + + + ÷ = 0  91 93 95 97  ⇔ 2000 - x = 0 ⇔ x = 2000 x − 999 x − 896 x − 789 + + =6 b) 99 101 103  x − 999   x − 896   x − 789  ⇔ − 1 ÷+  − 2 ÷+  − 3÷= 0  99   101   103  x − 1098 x − 1098 x − 1098 ⇔ + + =0 99 101 103 1 1   1 ⇔ (x - 1098)  + + ÷ = 0 ⇔ x = 1098  99 101 103  a) a) (x-1)3 + x3 + ( x + 1 )3 = ( x + 2 )3 ⇔ x3 – 3x2 + 3x – 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8 ⇔ x3 – 3x2 – 3x – 4 = 0 ⇔ x3 - 1 - 3x2 -3x - 3 = 0 ⇔ ( x – 1 )( x2 + x +1) - 3(x2 + x +1) = 0 ⇔ (x2 + x +1) ( x – 4 ) = 0 ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4 (v× x2 + x +1 = (x + 37 1 2 3 ) + > 0 víi 2 4 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn ∀x ∈ R ) b) ( x + 3 ) (x – 3 ) ( x – 11 ) + 3 = 2 H·y biÕn ®æi Pt trªn Ta nªn gi¶i Pt theo ph¬ng ph¸p nµo? §Æt : x2 – 9 = y ; th× (1) ⇔ ? b) ( x + 3 ) (x – 3 ) ( x2 – 11 ) + 3 = 2 ⇔ (x2 – 9 ) (x2 – 11 ) +1 = 0 (1) §Æt : x2 – 9 = y ; th× (1) ⇔ y ( y – 2 ) + 1 = 0 ⇔ y2 – 2y + 1 = 0 ⇔ ( y + 1)2 = 0 ⇔ y + 1 = 0 ⇔ y = - 1 ⇒ x2 – 9 = 1 ⇔ x2 = 10 ⇔ x = ± 10 3 2 c) 2x + 7x +7x + 2 = 0 c) 2x3 + 7x2 +7x + 2 = 0 Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö nh thÕ nµo? ⇔ 2x3 + 2x2 + 5x2 + 5x + 2x + 2 = 0 d) ( x +3)4 + ( x + 5 )4 = 2 (2) ⇔ … ⇔ (x+1)(x+2)(2x+1) = 0 ⇔ … §Æt x + 4 = y ; th× pt (2) ⇔ ? d) ( x +3)4 + ( x + 5 )4 = 2 (2) BiÕn ®æi Pt thµnh Pt tÝch §Æt : x + 4 = y ; th× (2) ⇔ (y – 1)4 + ( y + 1 )4 – 2 = 0 2 2 2 2 2 ⇔ ( y −1)  + ( y + 1)  − 2 = 0     2 2 2 ⇔ ( y − 1) + ( y + 1)  − 2 ( y −1) ( y + 1) − 2 = 0   2 2 2 ⇔  ( y − 1 + y + 1) − 2 ( y − 1) ( y + 1)  − 2 ( y 2 − 1) − 2 = 0   2 2 ⇔ … ⇔ 2 y 4 + 12 y 2 = 0 ⇔ y 2 ( y 2 + 6) = 0 ⇔ y = 0 (V× y 2 + 6 ≠ 0 ) e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (*) x = 0 cã phaØ lµ nghiÖm cña Pt (*) ? Chia 2 vÕ cho x2 ta ®îc pt nµo? Gi¶i Pt (**) nh thÕ nµo? 1 1 §Æt : x + = y ⇒ x 2 + 2 = y 2 − 2 . x x Th× Pt (2) trë thµnh Pt nµo? Víi : y = 0 th× x = - 4 e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (*) NhËn xÐt : x = 0 kh«ng phaØ lµ nghiÖm cña Pt , Nªn chia c¶ 2 vÕ Pt (*) cho x2 ta cã : (*) 1   1  ⇔  x 2 + 2 ÷− 3  x + ÷+ 4 = 0 (**) x   x  HS tr¶ lêi §Æt : x + 1 1 = y ⇒ x 2 + 2 = y 2 − 2 . Th× x x y =1 y = 2 2 (**) ⇔ y − 3 y + 2 = 0 ⇔ ( y − 1) ( y − 2 ) = 0 ⇔  +Víi y =1 th× ta cã Pt : x2 – x + 1 = 0 2 1 3  ⇔  x − ÷ + = 0 , Pt v« nghiÖm 2 4  4. VÝ dô 4: Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 – (a +b +c) x2 + (ab +ac+bc) x = abc H·y biÕn ®æi vÒ d¹ng Pt tÝch? +Víi y = 2 , ta cã : x2 – 2x + 1 = 0 2 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 a) x3 – ( a + b + c ) x2 + ( ab + ac + bc ) x = abc 38 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn ⇔ x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx + bcx – abc = 0 ⇔ ... ⇔ (x – a) (x2 – bx – cx – bc ) x2 x x2 x x 2 x 1 b) x + + + + + + + =0 a ac b bc c ab abc 3 BiÕn ®æi Pt nµy b»ng c¸ch nµo? =0 ⇔ (x – a) [x(x – b) – c(x – b)] = 0 ⇔ (x – a)(x – b)(x – c) = 0 ⇔ ... ⇔ b) x3 + x2 x x2 x x2 x 1 + + + + + + =0 a ac b bc c ab abc  x 2   x 2 x   x2 x   x 1  ⇔  x3 + ÷+  + ÷+  + ÷+  + ÷= 0 a   c ac   b ab   bc abc   1 x 1 x 1 1  1  ⇔ x 2  x + ÷+  x + ÷+  x + ÷ +  x + ÷ = 0 a c a b a  bc  a  1  x x 1   ⇔  x + ÷ x 2 + + + ÷ = 0 a  b c bc   1  1 1 1   ⇔  x + ÷ x  x + ÷+  x + ÷ = 0 a  b c b       ⇔  x + ÷ x + ÷ x + ÷ = 0 ⇔ ... ⇔ c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = 0 a  b  c  Ph©n tÝch vÕ tr¸i cña Pt thµnh nh©n tö b»ng c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = 0 ph¬ng ph¸p nµo? ⇔ (x7 + x5 + x3 ) +( x4 + x2 +1) = 0 ⇔ x3 (x4 + x2 + x ) +( x4 + x2 +1) = 0 ⇔ ( x4 + x2 +1) (x3 + 1) = 0 1 1 1  x3 + 1 = 0 ⇔ 4 ⇔ x 3 + 1 = 0 ⇔ x = −1 2  x + x + 1 = 0 2 1 3  V× x + x +1 =  x 2 + ÷ + > 0 . Víi ∀ x 2 4  10 8 6 4 2 d) x + x + x + x + x + 1 = 0 ⇔ x6 (x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = 0 ⇔ (x6 + 1)( x4 + x2 + 1) = 0 4 d) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 = 0 h·y gi¶i t¬ng tù nh c©u trªn 2 ⇔ (x6 + 1) [( x + 1 2 3 ) + ]= 2 4  x6 + 1 = 0  0 ⇔  1  2 3 + =0  x + 2 ÷  4  V× : x6 + 1 ≥ 1 víi mäi x∈ R; Nªn Pt : x6 + 1 = 0 v« nghiÖm 1 2 3 3 ) + ≥ víi mäi x∈ R . nªn Pt : 2 4 4 1 2 3 ( x + ) + = 0 v« nghiÖm 2 4 (x+ VËy Pt ®· cho v« nghiÖm 5. VÝ dô 5: Cho Pt x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) a)V× x = 1 lµ nghiÖm cña Pt (1) , nªn ta cã : 1 – (m2 – m + 7) – 3m2 +3m + 6 = 0 39 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: NguyÔn TiÕn ThuËn = 0 (1) a) X¸c ®Þnh m ®Ó Pt cã nghiÖm b»ng 1 b) Gi¶i Pt t¬ng øng víi gi¸ trÞ m võa t×m b) Thay : m2 – m = 0 Vµo Pt (1) ta cã (1) trë thµnh Pt nµo? m = 0 ⇔ - 4m 2 + 4m = 0 ⇔  m = 1 b) Thay : m2 – m = 0 Vµo Pt (1) ta cã : ( 1) ⇔ x 3 - 7x + 6 = 0 ⇔ (x 3 − x ) - ( 6x - 6 ) = 0 ⇔ (x - 1) ( x 2 + x - 6 ) = 0  x −1 = 0 x = 1 ⇔ ( x − 1)( x − 2)( x + 3) = 0  x − 2 = 0 ⇔  x = 2  x + 3 = 0  x = −3 Bµi tËp vÒ nhµ 1) Gi¶i Pt : a) (x - 2)(x + 2) - (2x + 1)2 = x(2 - 3x) x +1 x + 3 x + 5 x + 7 x - 4 3x - 2 2x - 5 7x + 2 + -x = + = + c) 5 10 3 6 65 63 61 59 x - 29 x - 27 x - 25 x - 23 x - 1970 x - 1972 x - 1974 x - 1976 + + + + + + + d) -8=0 1970 1972 1974 1976 29 27 25 23 b) 2) Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 c)(x – 2)4+ (x – 3)4 = 1 b) 6x4 – x3 – 7x2+ x + 1 = 0 d) x6 – 9 x3 + 8 = 0 e) (x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) +16 = 0 3) Cho Pt : x3 + (m2 – 2)x2 – (m – 1)x – 2 = 0 a) X¸c ®Þnh m , biÕt Pt cã mét nghiÖm : x = - 1 b) T×m nghiÖm cßn l¹i cña Pt víi m võa x¸c ®Þnh 40 [...]... 3 8a 7  a +b+ a−b   2a + 4 + 8 8 = 2 2 + 2 + 4 + 8 8 = ÷+ 2 2 2 2 4 2 ÷ 4  a −b  a +b a +b a +b  a −b a +b  a +b a +b  2a (a 2 + b 2 ) + 2a ( a 2 − b 2 )   4a 3 4a3 8a 7 4a 3  8a 7 =  + a 4 + b 4 + a 8 + b8 =  a 4 − b 4 + a 4 + b 4 ÷+ a 8 + b 8 a4 − b4     4a 3 ( a 4 + b 4 ) + 4a 3 ( a 4 − b 4 8a 7 8a 7 8a 7 8a 7 (a 8 + b8 ) + 8a 7 (a 8 − b8 ) + = + = a 8 − b8 a 8 + b8 a 8 − b 8. .. – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) §Ỉt y = x2 + 8x + 7 th× x2 + 8x + 15 = y + 8 ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) 11 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: Ngun TiÕn Thn a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b... 4a 3 8a 7 + + 2 + + a − b a + b a + b 2 a 4 + b 4 a 8 + b8 Có nên phân tích mỗi mẫu thành nhân tử hay không? Vì sao? Ta thực hiện phép cộng hai phân thức đầu rồi tiếp tục cộng với phân thức tiếp theo HS suy nghó, phát biểu HS thực hiện d) Ta có: 1  2a 4a 3 8a 7 1 1 2a 4a 3 8a 7  1 + + + + + + + + = ÷ 2 2 4 4 8 8  a −b a +b  a +b a +b a +b a − b a + b a 2 + b 2 a 4 + b 4 a 8 + b8 2a 4a 3 8a 7 2a... = + = a 8 − b8 a 8 + b8 a 8 − b 8 a 8 + b 8 a16 − b16 8a15 − 8a 7b8 + 8a15 − 8a 7b8 16a15 = = 16 16 a16 − b16 a −b = Bài 2: Tính A + (- B) biết 1 1 1 1 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) HS ghi đề bài Tiến hành giải n(n + 3) và B = 4(n + 1)(n + 2) 1 Viết n(n + 1)(n + 2) thành kết quả của HS biến đổi từ hạng tử cuối để tìm ra quy 28 Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 8 - GV: Ngun TiÕn Thn tổng hai phân... HS thực hiện phép toán moat cách liên tục Một số HS đại diện trả lời câu hỏi và cùng giải với GV 2y + x 8 x 2y − x b) 2 y 2 − xy + x 2 − 4 y 2 + 2 y 2 + xy = 2 y 2 − xy + 4 y 2 − x 2 + 2 y 2 + xy 2y + x 8 x 2y − x = y (2 y − x) + (2 y − x)(2 y + x) + y(2 y + x) = (2y + x)(2y + x) − 8xy + (2y − x)(2y − x) y(2y − x)(2y + x) = 4 y 2 + 4 xy + x 2 − 8 xy + 4 y 2 − 4 xy + x 2 8 y 2 − 8 xy + 2 x 2 2(4 y... mẫu, cộng phân thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, các phép toán về cộng phân thức * Tiếp tục phát triển kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức càc các phép toán về phân thức và tạo hứng thú cho HS trong quá trình học toán B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Kiến thức bài học: 1 Phép cộng phân thức: Quy đồng mẫu thức (Nếu khác mẫu) Cộng tử với tử và giữ nguyên... − 2) (x 2 + 2)(x 2 − 2) 4x 2 − 8 − 3x2 − 6 + 12 x2 − 2 1 = = 2 = 2 2 2 2 (x + 2)(x − 2) (x + 2)(x − 2) x + 2 2y + x 2y − x 8x b) 2 y 2 − xy + x 2 − 4 y 2 + 2 y 2 + xy Phân tích mỗi mẫu thành nhân tử Cần đổi dấu không? Vì sao? HS phân tích mẫu thành nhân tử, đổi dấu 8x Tìm MTC Thực hiện các phép toán một cách liên tục Gọi một số HS trả lời và cùng giải 2y + x 2y − x 8x 8 x phân thức x 2 − 4 y 2 = 4... 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thªm vµ bít 2ab ta cã; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8) 2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – 1 = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghÜ, tr¶ lêi c) a3... mẫu bằng 1 Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d (d ≥ 1) ta C/m d = 1 (15n2 + 8n + 6) M d và (30n2 + 21n + 13) M d hay [2 (15n2 + 8n + 6 ) + 5n + 1] M d ⇒ 5n + 1 M d Mà 15n2 + 8n + 6 = [(3n + 1)(5n + 1) + 5] M d ⇒ 5 M d ⇒ 5n M d mà 5n + 1 M d ⇒ 1 M d ⇒ d = 1 Hay 15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13 nguyên tố Để C/m phân số không tối giản ta làm 15n 2 + 8n + 6 thế nào cùng nhau nên phân số tối giản 30n 2 + 21n + 13 Hãy... − 4 x 2 + 3x + 6 b) x2 + 2 x − 8 3 3 1 + n 2 + n7 không tối giản 1 + n + n8 x3 − 7 x − 6 c) 2 x ( x − 3) 2 + 4 x (3 − x) 2 + 4( x − 3) 2 Bài 2: Chứng minh rằng : 6 + 8 x + 15 x 2 phân số tối giản với mọi x nguyên dương 13 + 21x + 30 x 2 BUỔI 9 – CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC Ngày soạn: 11 - 12 - 2010 Ngày dạy: - 12 - 2010 A MỤC TIÊU: * Củng cố, nâng cao kiến thức các phép toán về quy đồng mẫu, cộng phân ... 8a 4a  8a =  + a + b + a + b8 =  a − b + a + b ÷+ a + b a4 − b4     4a ( a + b ) + 4a ( a − b 8a 8a 8a 8a (a + b8 ) + 8a (a − b8 ) + = + = a − b8 a + b8 a − b a + b a16 − b16 8a15 − 8a... §Ỉt y = x2 + 8x + th× x2 + 8x + 15 = y + ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – = (y + 4)2 – = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) 11 Gi¸o... (19 98 – 1)(19 98 + 1) = 19 982 – < 19 982 ⇒ A < B b) V× = 32 − nªn A = 4(32 + 1)(34 + 1)( 38 + 1)…(364 + 1) 32 − (3 + 1)(34 + 1)( 38 + 1)…(364 + 1) = (34 - 1) (34 + 1)( 38 + 1)…(364 + 1) = ( 38 - 1)(38

Ngày đăng: 04/10/2015, 12:40

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan