Một số kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS hoằng anh

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY DẠNG TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ở TRƯỜNG THCS HOẰNG ANH MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Qua thực tế cơng tác quản lí dạy học nhiều năm tơi thấy chương trình cải cách giáo dục với nội dung kiến thức ngày cao Việc đòi hỏi học sinh phải nắm kiến thức theo yêu cầu mới, học sinh phải biết vận dụng lí thuyết vào giải tập thực tế Trong chương trình mơn tốn THCS phân mơn như: số học, đại số, hình học… có dạng tốn riêng Mỗi dạng tốn địi hỏi phải có phương pháp riêng, phải nghiên cứu cách hợp lí học đào sâu kiến thức việc hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Khi giải tập tốn học khơng địi hỏi học sinh phải linh hoạt việc áp dụng cơng thức mà cịn phải biết đào sâu khai thác, phát triển toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kiến thức… Năm học 2016-2017 trường THCS Hoằng Anh tiếp tục nâng cao chất lượng dạy học, giáo viên thực đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa học tập học sinh, coi trọng thực hành, rèn luyện lực tự học học sinh Bằng kinh nghiệm quản lí đạo chun mơn trực tiếp giảng dạy mơn tốn, tơi mạnh dạn đưa sáng kiến: “Một số kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử trường THCS Hoằng Anh” với hy vọng giúp người dạy người học tháo gỡ số tồn vướng mắc q trình thực 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi nêu kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, qua phát huy trí lực, lực tư duy, sáng tạo học sinh làm Giáo dục học sinh phát triển cách tồn diện phù hợp với thời đại cơng nghiệp hóa đại hóa Nâng cao chất lượng dạy học, tạo hứng thú cho học sinh học phân tích đa thức thành nhân tử Nâng cao tính chủ động sáng tạo học sinh học tốn Khi tính tốn phép tính đa thức, nhiều cần thiết phải biến đa thức trở thành tích Việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng vào: Rút gọn biểu thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp, ngồi ba phương pháp như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử ta cịn có phương pháp khác tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ (đổi biến), hệ số định, xét giá trị riêng… giảng dạy người giáo viên giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để phát huy trí lực học sinh, phát triển tư toán học 1.3 Đối tượng nghiên cứu + Thời gian thực hiện: Năm học 2016- 2017 + Địa điểm: Trường THCS Hoằng Anh - Thành Phố Thanh Hóa + Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp - trường THCS Hoằng Anh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, sách hướng dẫn giảng dạy, sách soạn, sách giáo khoa, hướng dẫn phát triển đại số Điều tra thực nghiệm khảo sát kết học tập học sinh Phát giải vấn đề, vấn đáp, luyện tập, hoạt động hợp tác nhóm Tiến hành thực nghiệm tiết học, rút kinh nghiệm dạy thân Điều tra đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy Trao đổi ý kiến, thảo luận với đồng nghiệp, tổ chuyên môn băn khoăn vướng mắc hay vấn đề phức tạp dạy phân tích đa thức thành nhân tử mà thân chưa giải để tìm điểm cần khắc phục Tổng kết kinh nghiệm: Sau tìm ưu điểm, nhược điểm dạy qua thể giờ, đặt hệ thống câu hỏi để học sinh suy luận, phát từ nhận xét đánh giá việc hiểu vận dụng học sinh để đưa việc điều chỉnh cách dạy, học giáo viên học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ cở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Chuyển từ học chủ yếu lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, ý hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin truyền thông dạy học [1] Một thành tố trọng yếu đổi giáo dục công tác đổi phương pháp dạy- học Chỉ có đổi phương pháp dạy- học tạo đổi thực giáo dục Cốt lõi đổi phương pháp dạy- học hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động, tổ chức thơng qua phương pháp dạyhọc tích cực Phương pháp dạy học không làm cho người học phát triển tư độc lập, sáng tạo mà giúp người thầy thêm tiến bộ, trưởng thành Cùng với đó, cần đổi hình thức phương pháp thi, kiểm tra, đánh giá kết giáo dục, đào tạo, bảo đảm trung thực, khách quan, công Cần gắn chặt giáo dục đào tạo với nhu cầu phát triển kinh tế-xã hội, với sản xuất, kinh doanh; gắn nhà trường, viện nghiên cứu với sở sản xuất, nhà máy, xí nghiệp; gắn lý luận với thực tiễn công đổi mới, xây dựng bảo vệ Tổ quốc Đó phương cách tốt nhất, hiệu để đổi bản, toàn diện giáo dục, đào tạo phát triển nguồn nhân lực nước nhà, văn kiện trình Đại hội XII Đảng đề [2] Để đạt hiệu cao dạy học sinh phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học tập ứng dụng vào thực tiễn Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua khảo sát chất lượng đầu năm mơn tốn tơi thu kết sau: Thống kê điểm Điểm ;9 ;10 Điểm ;6 ;7 Điểm ;4 Điểm ;2 Mơn Lớp Tốn SL % SL % SL % SL % 11 27.5% 21 52.5% 20.0% 0% Tìm hiểu ngun nhân tơi thấy : * Về học sinh: Có nhiều học sinh nắm kiến thức chưa có tư logic việc vận dụng, đồng thời cịn khơng học sinh chưa nắm kiến thức bản, chưa nắm vững phương pháp để giải tốn… Chính mà kết nhiều hạn chế Như rõ ràng học sinh học yếu toán phương pháp học tập thụ động, mơ hồ Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao Nhiều học sinh hài lịng với lời giải mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng mở rộng khai thác phát triển, sáng tạo tốn nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân * Về giáo viên: Ln có xu hướng ơm đồn kiến thức cịn chạy theo đủ nội dung SGK học sinh không hiểu nên dạy dài dòng, chưa làm bật trọng tâm học; Về phương pháp gặp nhiều lúng túng việc vận dụng phương pháp đặc trưng mơn nói riêng phương pháp dạy học nói chung, việc ứng dụng công nghệ thông tin để đổi phương pháp nhiều lúng túng, việc dạy học tích hợp, kiến thức liên mơn cịn chưa thực sâu sắc; Về kiểm tra đánh giá việc đề đơi cịn mang tính chủ quan chưa thực phù hợp với đối tượng học sinh đặc biệt học sinh yếu kém; Công tác soạn giảng có nhiều cố gắng thật chưa có đột phá nội dung phương pháp Vấn đề đặt là: Làm để thu hút, huy động toàn đối tượng học sinh lớp có hứng thú say mê nắm vững phương pháp học giải tập toán ? Trước thực trạng địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp Xuất phát từ tình hình thực tế điều tra giảng dạy trực tiếp đưa số kinh nghiệm dạy phân tích đa thức thành nhân tử sau : 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Biện pháp thứ nhất: Dạy giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp vài phương pháp khác * Các phương pháp bản: - Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A (B + C) + Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử xuất đề + Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ: 5a2b2 - 10a3b + 20a2b = 5a2b (b - 2a - 4b2) 2x (y - z ) + 5y (z - y) = 2x(y - z) - 5y(y - z) = (y - z)(2x - 5y) xm + + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1) - Phương pháp dùng đẳng thức Việc trước tiên học sinh học thuộc đẳng thức đáng nhớ ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 4 ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 ( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) [3] + Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ: 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x - 2)(3x + 2) -27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2 - 3ab2)(4 + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 -10x2y+y2 = (5x2 - y)2 - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử [3] Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp đa thức đa thức chưa có nhân tử chung chưa áp dụng đẳng thức nhằm mục đích: + Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm + Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x - = (2x3 + 2x ) - (3x2 + 3) = 2x(x2 +1) - 3(x2 +1) = (x2 +1) (2x - 3) x2 - 2xy + y2 - 16 = (x - y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4) - Phối hợp nhiều phương pháp [3] Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên sau : + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng đẳng thức + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Ví dụ: 1) 3xy2 - 12xy + 12x = 3x( y2 - 4y + 4) = 3x (y -2 )2 2) 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy = 3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) 2 = 3xy (x − 2x + 1) − (y + 2ay + a ) 2 = 3xy ( x − 1) − ( y + a)  = 3xy ( x − 1) − ( y + a)  ( x − 1) + ( y + a)  = 3xy (x - - y - a)(x - + y +a ) Củng cố phương pháp Để học sinh nắm vững phương pháp phân tích cách tổng quát giáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử dạng sơ đồ tư cho học sinh trình bày lại * Một số phương pháp khác - Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng Phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử Cách 1: x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x (x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2) (x - 4) Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + - = ( x - 3)2 - =( x - - 1)( x - + 1) = (x - 4)(x -2) Cách 3: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 =(x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 4)(x - 2) Cách 4: x - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + ) - 6(x - 4) =(x - 4)(x + - 6) = (x - 4)(x - 2) Cách 5: x - 6x + = x2 - 4x + - 2x + = (x - 2)2 - (x - 2) =( x - 2)(x - - 2) = (x - 4)(x -2) Tuy có nhiều cách tách thơng dụng hai cách sau: Cách 1: Tách hạng bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Áp dụng: phân tích tam thức bậc hai ax + bx + c thành nhân tử ta làm sau: (Tách hạng tử bậc bx) Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ: Phân tích đa thức 3x2 + 8x + thành nhân tử Tích ac 4.(3) = 12 Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(– 12) Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Chọn thừa số có tổng : (6) 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4) = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) Cách 2: Làm xuất hiệu hai bình phương (Tách hạng tử bậc hai ax2) 4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Cách 3: Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm (tách hạng tử tự c) 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách 4: (tách số hạng, số hạng) (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách (nhẩm nghiệm) Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Làm xuất hiệu hai bình phương [3] Bài tập tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x − x + d, x −13 x + 36 b, 3x − x + e, x + x −18 c, x + x + g, x − x − 24 [4] - Phương pháp thêm bớt hạng tử Dạng 1: Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thông thường hay đưa dạng: A2 – B2 = (A – B)(A + B ) sau thêm bớt Ví dụ: 4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x) Từ tốn đơn giản ta phát triển thêm cho đối tượng học sinh Dạng :Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử [5] Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Cách 1: x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách 2: x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Bài tập tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, (1 + x )2 − x(1 − x ) 2, ( x − ) + 36 3, x + 4, x + 64 5, 64x + 6, 81x + 7, 4x + 81 8, 64x + y 9, x + y 10, x + x + Dạng 3: Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ Phân tích đa thức x5 + x −1 thành nhân tử [5] [6] Cách x5 + x −1 = x5 −x4 + x3 + x4 −x3 + x2 − x2 + x − = x3(x2 − x + 1) − x2(x2 −x + 1) −(x2 −x + 1) = (x2 −x + 1)(x3 − x2 − 1) Cách Thêm bớt x2 x5 + x − = x5 + x2 −x2 + x −1 = x2(x3 + 1) −(x2 −x + 1) = (x2 −x + 1)[x2(x + 1) −1] = (x2 − x + 1)(x3 −x2 −1) Ví dụ Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x − 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 − x4 – x2 − x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử x2 + x + Bài tập tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, x + x + 2, x + x5 + 3, x5 + x + 4, x5 + x + 5, x8 + x + 6, x5 − x − 7, x5 + x − 8, x10 + x5 + - Phương pháp đổi biến số (Đặt ẩn phụ ) Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp học Ví dụ: Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử Đặt x2 = y ta 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3) Vậy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3) Ví dụ: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử Đặt x2 + x = i ta y2 + 4y + = (y +1)(y + 2) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x + 2) Ví dụ: Phân tích đa thức sau x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + thành nhân tử : Cách Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng : é ỉ 1ư ù ỉ2 1ư ỉ ữ ờỗ A = x2 ỗ x + 6x + + = x x + 2ữ + 6ỗ x- ữ ữ ữ ữ+ ỳ ỗ ỗ ỗ 2ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ø è ø ú x x x x÷ ë û 1 Đặt x - = y x + = y + Do : x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 é ỉ 1ư ù ú = (x2 + 3x 1)2 x- ữ + 3x = ờx ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỳ ố xứ ỷ Dng phõn tích với x = Cách A = x4 + 6x3 −2x2 + 9x2 − 6x + = x4 + (6x3 −2x2) + (9x2 −6x + = x4 + 2x2(3x −1) + (3x −1)2 = (x2 + 3x −1)2 Bài tập tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1, x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128 2, (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 3, ( x + x + 8) + 3x( x + x + 8) + x 4, ( x + x) + x + x − 12 5, x + xy + y + x + y − 15 6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + 4a) + a 7, x − 11x + 8, ( x + x) + 3( x + x) + 9, x − xy + y + 3x − y − 10 10, ( x + x) + x + 18 x + 20 11, x − xy + y − x + y − 35 12, (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16 [7] - Phương pháp hệ số bất định Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng (a + b)( cx + dx + m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức với hệ số đa thức Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử 10 Nếu đa thức phân tích thành nhân tử tích phải có dạng (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x +ac Vì đa thức đồng nên: a+b =0 ab + c = -19 ac = -30 Chọn a = 2, c = -15 Khi b = -2 thoả mãn điều kiện Vậy: x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15) - Phương pháp xét giá trị riêng Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số cịn lại Ví dụ P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x y thấy P = y2 ( y - z) + y2 (z - y) = P chứa thừa số (x - y) Vậy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x - y) chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số P có bậc ba tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc ba tập hợp biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = Ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) ⇒ k =-1 Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Ngoài ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong a,b,c có vai trị biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = a=b F(a,b,c) chứa nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a,b,c F(a,b,c) ≠ a = b ta thử xem a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng,nếu thoả mãn F(a,b,c) chứa nhân tử a+b từ chứa nhân tử b+c, c+a [8] Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử F(a,b,c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Khi a = b ta có F(a,b,c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, F(a,b,c) có chứa nhân tử (a - b) Tương tự F(a,b,c) chứa nhân tử (b - c) (c - a) Vì F(a,b,c) biểu thức bậc ba F(a,b,c) = k(a - b)(b - c)(c - a) 11 Cho a = 1,b = 0,c = -1 ta có + = k.1.1.(-2) ⇒ k = -1 Vậy F(a,b,c) = -(a - b)(b - c)(c - a) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử F(x,y,z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz Khi x = -y F(x,y,z) = -y2z + y2z = nên F(x,y,z) chứa nhân tử x + y Lập luận tương tự ví dụ 1, ta có : F(x,y,z) = (x + y)(y + z)(z + x) - Phương pháp tìm nghiệm đa thức: Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 + 3x - Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c) ⇒ -ac = - ⇒ a ước - Vậy đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi Ước (- 4) (-1), 1, (-2), 2, (-4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức ⇒ đa thức chứa nhân tử (x - 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x - 1) - Cách 1: x3 + 3x - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 - Cách 2: x3 + 3x - =x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1) = ( x - 1)(x + 2)2 Chú ý - Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức chứa nhân tử (x-1) - Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức có chứa nhân tử ( x + 1) Ví dụ: - Đa thức: x2 - 5x + 8x - có - + - = ⇒ Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) - Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + có -5 + =1 + ⇒ Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1) 12 Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun đa thức có nghiệm p hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng q p ước hạng tử không đổi, q ước dương hạng tử cao Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3 - 5x2 + 8x - Nghiệm hữu tỷ có đa thức là: (-1), 1, ( −1 −3 ), , ( ),( ) ,(- 3), 2 2 Sau kiểm tra ta thấy x = a nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x - 1) 2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) - Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai Tam thức bậc hai ax2 + bx + c: Nếu b2 - 4ac bình phương số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phương pháp biết Nếu b2 - 4ac khơng bình phương số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp Ví dụ: 2x2 - 7x + a =2, b = -7, c = xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52 ⇒ phân tích thành nhân tử : 2x2 - 7x + = (x - 3)(2x -1) phân tích cách để bình phương đủ x+ ) 2 49 25 − ) = (x2 - x + 16 16 2x2 - 7x + = 2(x2-  2 = (x − ) − ( )  = 4   7 5  (x - - )(x - + 4) = 2(x-3)(x- )   Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x1, x2 thì: P(x) = a(x - x1)(x - x2) - Phương pháp dùng máy tính sơ đồ Hoor ner Giả sử chia đa thức P(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a1 x + a0 cho nhị thức x – m ta đa thức Qn-1(x) = bn−1 x n−1 + bn− x n− + + b1 x + b0 hệ số an ; an-1; an-2 ; …;a1 ; a0 hệ số bn-1; bn-2 ; …;b1 ; b0 có mối liên hệ sau: … an an-1 an-2 a1 a0 13 m bn-1 = an bn-2=an-1+mbn-1 bn-3 = an-2+ mbn-2 b0 =a1 + mb1 r=a0 + mb0 Trong r số dư phép chia P(x) cho (x – m) P(x)= (x- m)Q(x) + r R số bậc r phải nhỏ bậc (x – m) Nếu r = x = m nghiệm f(x) Ví dụ: C = x4 + 2x3 - 4x2 - 5x – Ư(- 6) = {- 6; -3 ; -2; -1 ; ; 2; ; 6} Ta thấy hai trường hợp đặc biệt không xảy nên ta thử x = ta làm sau: ( nên dùng máy tính cho nhanh) x=2 a4=1 a3=2 b3 = b2=2.1+2=4 a2=- a1= -5 a0= -6 b1 = 2.4+(-4) =4 b0 =2.4 + (- 5) = r = 2.3 + (- 6) = Vậy C = (x - 2)( x + 4x + 4x + 3) Tiếp tục sử dụng thuật tốn Hor ner ta có x= - b3 = b2= b1 = b0 =3 b2 = b1= (-3).1+4=1 b0 = (-3).1+ =1 r =(-3).1 + = Ta có C = (x - 2)( x +3)(x2 + x + 1) [9] 2.3.2 Biện pháp thứ hai: Dạy giải tốn có vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Bài toán rút gọn biểu thức  − x 3− x 2− x  − + Ví dụ 1: Cho A =  ÷  x + x + x + 5x + 6x  a) Rút gọn A b) Tính giá trị A với x = 998 c) Tìm giá trị x để A > Hướng dẫn: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thơng qua nhân tử nằm mẫu Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: x + x3 + x + A= x − x + x2 − x + a ( b − c ) + b (c − a ) + c ( a − b ) B= ab − ac − b3 + bc x3 + y + z − 3xyz C= ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) 14 Hướng dẫn: Để rút gọn phân thức trên: - Bước 1: ta phải phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bước 2: chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung * Bài toán giải phương trình: Với phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích:A.B = A = B = Ví dụ: Giải phương trình (4x + 3)2 - 25 = Áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng: 8(2x - 1)(x + 2) = ⇒ x = x = -2 * Bài tốn giải bất phương trình: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phương trình thường Ví dụ: Giải bất phương trình x − >1 x − x −3 a) ⇔ −2 >0 ( x − 2)( x − 3) Nhận xét: (- 2) < ⇒ (x - 2)(x - 3) < ⇒ < x< b) 3x2 - 10x - > ⇒(3x + 2)( x - 4) > Ta lập bảng xét dấu tích Kết x < −2 x > [10] * Bài toán chứng minh chia hết: Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết [10] Ví dụ: 1) Chứng minh ∀ x∈Ζ ta có biểu thức P = (4x + 3)2- 25 chia hết cho Phân tích: P = 8(2x - 1)(x + 1) chia hết cho 2) Chứng minh biểu thức : n n n3 + + số nguyên ∀ n ∈Ζ 2n + 3n + n3 Biến đổi biểu thức dạng chứng minh (2n + 3n2 + n3) chia hết cho 15 Ta có 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) tích ba số ngun liên tiếp,vì có thừa số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho mà (2;3) = nên n n n3 tích chia hết cho 6.Vậy ∀ n ∈Ζ + + số nguyên * Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức A2 + m, A2 - m, A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối [11] Ví dụ 1: Chứng tỏ x2 + x + > ∀ x Ta viết : x2 + x + = x2 + x + 3 + = (x + )2 + ≥ >0 ∀ x 4 4 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y (Tương tự: B = x2 + y2 + xy - x - y ) Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y 59 y + 16 + xy + 8x + 4y) + ( y2 - 3y) + 2005 - 16 4 59 36 = (x + y + 4)2 + ( y2 - y + ) +1989 59 3481 59 117342 117342 59 = (x + y + 4)2 + (y - )2+ ≥ 59 59 59 59 Vì (x + y + 4)2≥ , (y - )2 ≥ 0.Dấu " =" xảy 59 = (x2 + 239    x = − 59  x + y + = 117342 ⇔ ⇔  Vậy A(x,y) đạt GTNN 59 y − = y = 59 59   Phần B ta làm cách tách tương tự Trên số loại toán áp dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Tất nhiên khơng có dạng mà cịn có số tập khác vận dụng phân tích thành nhân tử để giải Với tập vận dụng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp giải tốn nhanh hơn,thơng minh 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục với thân đồng nghiệp nhà trường Qua công tác đạo chuyên môn trực tiếp giảng dạy mơn tốn số kinh nghiệm dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8, nhận thấy nội dung thiết thực có lợi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn, em tích cực học tập hứng thú giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Đặc biệt vận dụng phương pháp 16 phân tích đa thức thành nhân tử vào dạng toán sau cách có hiệu Với việc em nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp với việc đổi phương pháp giảng dạy mơn tốn khối 8, tơi thấy chất lượng mơn tốn ngày tiến rõ rệt Cụ thể là: Thống kê điểm Điểm 8,9,10 Điểm 5,6,7 Điểm 3,4 Điểm 1,2 Mơn Tốn SL % SL % SL % SL % 13 32,5% 23 57,5% 10.0% 0% KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học học sinh, liên quan kết hợp tới nhiều dạng tốn, tạo lên lơgíc chặt chẽ tốn học Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích Trong năm học qua vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em có hứng thú học tốn, hào hứng q trình tìm tịi lời giải hay hợp lý nhất, kể tập vận dụng rút gọn biểu thức ý nghĩa việc phân tích đa thức tử mẫu phân thức quan trọng, khơng giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà cịn giúp việc tìm tập xác định mà cịn tìm mẫu thức chung biểu thức Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức 3.2 Kiến nghị: Trên số kinh nghiệm phương pháp dạy giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử nhằm phát triển trí lực, tư sáng tạo học sinh Tơi mong góp ý đồng nghiệp Với nội dung sáng kiến mong quan tâm ngành GD&ĐT Thành phố cho phép triển khai vận dụng mà trước mắt trường THCS ngoại thành Xin chân thành cảm ơn! TP.Thanh Hóa, ngày 14 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội XÁC NHẬN dung người khác CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ NGƯỜI VIẾT Vũ Tiến Dũng 17 18 ... tìm nghiệm đa thức: Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự Ví dụ: Phân tích đa. .. hệ số bất định Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất ,một đa thức bậc hai dạng (a + b)( cx + dx + m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức với hệ số đa thức Ví dụ: Phân tích. .. hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng Phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử