chuyên đề “các phương pháp phân phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ “CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” BỘ MƠN: TỐN Giáo viên báo cáo: Phan Thị Huyền I.CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp đặt nhân tử chung a Phương pháp - Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng) b Ví dụ: 15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a + ) 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = x (y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + + xm( x3 + 1) = xm(2x3 + 1) 2.Phương pháp dùng đẳng thức a Phương pháp: - Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b Ví dụ: 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) -27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4) 25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2 3.Phương pháp nhóm hạng tử a Phương pháp - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm - Áp dụng tiếp tục phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức b VÝ dơ : Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử: A = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thÊy ®a thøc dạng đẳng thức, hạng tử nhân tử chung, làm để phân tích đợc Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì ta dùng phơng pháp nhóm hạng tử đầu tiên: A = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau ®ã đặt nhân tử chung nhóm thứ để làm xuất đẳng thức: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm (a + b): A = 5(a + b) (a - b) + (a + b) A đà có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung A = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] A = (a + b)(8a – 2b) Nh vËy A đà đợc phân tích thành tích hai nhân tử (a + b) vµ (8a - 2b) Phối hợp nhiều phương pháp a Phương pháp: Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy Trớc hết hÃy xác định xem dùng phơng pháp trớc ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nhân tử chung B = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có hạng tử hÃy xét xem có đẳng thức không? + Nhãm h¹ng tư: B = xy[(x2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2)] + Dùng đẳng thức: B = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xÐt hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức nào? + Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta cã: B = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) VËy: B đà đợc phân tích đa thức thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đà học để bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức phân tích đợc nữa) Phng phỏp tỏch hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a Phương pháp: Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung b Ví dụ : Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử * cách 1: x2- 6x + = x2 - 2x - 4x + = x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + - = ( x - 3)2 - =( x -3 - 1)( x- + 1) = (x - 4)(x -2) * Cách 3: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 =(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = (x - 4)(x -2) * Cách 4: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + ) - (x - 4) =(x - 4)(x + - 6) = (x - 4)(x -2) * Cách 5: x2 - 6x + = x2 - 4x + -2x + = (x - 2)2 - (x - 2) =( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2) Có nhiều cách tách thông dụng hai cách sau: Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Áp dụng phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm sau: - Tìm tích ac - Phân tích tích ac thành tích hai số nguyên khác cách - Chọn hai thừ số có tổng b Khi hạng tử bx tách thành hai hạng tử bậc Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhan tử : 4x2 - 4x - - Tích ac 4.(- 3) = - 12 - Phân tích ; -12 = -1 12 = 1.(-12) =-2 = -3 =3 (-4) - Chọn thừa số có tổng : - (- 6) 4x2 - 4x - = 4x2 + 2x - 6x - = 2x( 2x+ 1) - (2x + 1) = (2x + 1)(2x - 3) Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương Ví dụ : 4x2 - 4x - = 4x2 - 4x +1 - = ( 2x - 1)2 - 22 = (2x - - 2)(2x - +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + = 4x2- 8x + - x2 = (2x - )2 - x2 = ( 2x - - x)(2x -2 + x ) = (x - )(3x -2) Phương pháp thêm bớt hạng tử a Phương pháp : Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng a2- b2 sau thêm bớt b Ví dụ : * Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: VÝ dô a: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) VÝ dô b: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Ví dụ c: Phân tích đa thức P1 = x4 + thành nhân tử P = x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 (thªm 4x2, bít 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhãm h¹ng tư) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng đẳng thức) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) VÝ dơ d: Ph©n tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nh©n tư P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thªm 16a2, bít 16a2) = (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Nh vây việc thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất đẳng thức nào? bình phơng tổng hay hiệu hai bình phơng phân tích triệt để đợc * Thờm, bt cựng mt s hạng tử để xuất nhân tử chung VÝ dô a: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) VÝ dô b: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) II.CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC: Phương pháp đổi biến ( Đặt ẩn phụ ) a Phương pháp: Đặt ẩn phụ đua dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp b Ví dụ: Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + thành nhân tử Đặt x2 = y ta 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3) Vậy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3) * Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử Đặtt x2 + x = y ta y2 + 4y + = (y +1)(y+2) Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) 2.) Phương ph áp hệ số bất định : a Phương pháp: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) a-1 f(-1) a+1 số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ s t b Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số ± 1, ± không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd đồng đa thức với đa thức cho ta có: Xét bd = với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3}  a + c = −6 ac + b + d = 12   ad + bc = −14 bd = với b = d = hệ điều kiện trở thành  a + c = −6  ac = −8 2c = −8 c = −4  ⇒ ⇒   a = −2  a + 3c = −14  ac = bd = Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) b) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c a − = −3 b − 2a = −7  a =   ⇒ b = −  c − 2b = c = −4   − c = ⇒  Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) c) 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –  ac = 12 bc + ad = −10  a =   c = 3 c − a = ⇒   bd = −12 b = −6   d = ⇒ 3d − b = 12 ⇒ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) Phng pháp tìm nghiệm đa thức a Phng phỏp: Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo định lý Bơ du ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tử (x - m), dïng phÐp chia ®a thøc ta cã: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nh©n tư bËc hai cã thĨ ph©n tích tiếp đợc dựa vào phơng pháp nêu Các phơng pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: + NÕu tỉng c¸c hƯ sè: a + b + c + d = ®a thøc cã nghiƯm x = đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) + NÕu tỉng c¸c hƯ sè bËc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b +d ®a thøc cã x =-1  đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét đợc tổng hệ số nh ta xét ớc hệ số tự d (hệ số không đổi) Nếu ớc d làm cho đa thức có giá trị ớc nghiệ b Vớ d : Vớ dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = ±1; ±2; ±4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 – x2 – = ( ( x − ) x2 + x + ( x3 − 2x2 ) + ( x2 − 2x ) + ( 2x − 4) = x2 ( x − 2) + x( x − 2) + 2( x − 2) ) Cách 2: ( ) ( ) x3 − x2 − = x3 − − x2 + = x3 − − x2 − = ( x − 2)( x2 + x + 4) − ( x − 2)( x + 2) ( ) ( x − )  x2 + x + − ( x + 2)  = ( x − 2)( x2 + x + 2) =   Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: ±1, ±5 không nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên = f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = ( ) ( ) 3x3 − x − x + x + 15 x − = 3x3 − x − x − x + ( 15 x − ) = Vì x2 (3x −1) − x(3x −1) + 5(3x −1) = (3x − 1)( x − x + 5) x2 − x + = ( x2 − x + 1) + = ( x −1)2 + > với x nên không phân tích thành nhân tử Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích na Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tư E1 = x3 + 3x2 - xÐt tỉng c¸c hƯ sè ta thÊy a + b + c = + + (-4) = ⇒ x1 = E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) ) Sau dùng phơng pháp đà học để phân tích tiÕp E1 = (x - 1) (x + 2)2 VÝ dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + Ta thÊy tỉng vµ hiệu hệ số E2 loại x = Xét Ư(2) = cã x = -2 lµ nghiƯm cđa E2 ⇒ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 Các ví dụ số phơng pháp để phối kết hợp với phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc toán khó thành nhân tử giúp cho trình rút gọn phân thức nh giải phơng trình Phng phỏp xét giá trị riêng a Phương pháp: Xác định dạng thừa số biến đa thức, gán cho biến có giá trị cụ thể xác định thừ số cịn lại b Ví dụ: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z(x - y) thay x y thấy P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = P chứa thừa số (x -y) Vậy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P có thừ số (x - y) P củng chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số p có bậc ba tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) củng có bậc ba tập hợp biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) ⇒ k =-1 Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) c)Ngồi ta cịn có nhận xét : Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử , a,b,c có vai trò biểu thức Nếu F(a,b,c) = a=b F(a,b,c) nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a,b,c F(a,b,c) ≠ a = b ta thử xem a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng , thỏa mãn F(a,b,c) chứa nhân tử a+b từ chứa nhân tử b+c, c+a * Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) - Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do F(a,b,c) có chứa nhân tử (ab) Tương tự F(a,b,c) chứa nhân tử (b-c) (c-a) Vì F(a,b,c) biểu thức bậc ba F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có 1+1 = k.1.1.(-2) ⇒ k = -1 Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a) * Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz - Khi x = -y F(x,y,z)= -y2z + y2z = nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có : F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x) III Giải tốn phân tích đa thức Bài tốn rút gọn biểu thc a Đng lối giải : Da trờn c sở tính chất phân thức đại số Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn , đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm mẫu Với học sinh : Rèn luyện kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh b VÝ dơ : - Bài to¸n 1: Rút gọn tính giá trị biểu thức M= a − 4a − a + a − 7a + 14a − víi a = 102 * Gợi ý : + Ph©n tÝch tư thức a3 - 4a2 - a+ phơng pháp nhóm đẳng thức đa tử thành nhân tử + Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử + Rút gọn nhân tử chung tử thứcvà mẫu thức + Thay a = 102 vào M đà rút gän c Các toán tương tự : Rút gọn biểu thức : A= B= C= x + x3 + x + x − x3 + x − x + a (b − c ) + b (c − a ) + c (a − b) ab − ac − b3 + bc x + y + z − xyz ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) - Đường lối giải : Để rút gọn biểu thức trên: - Bước 1: Ta phải phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bước 2: chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung Bài to¸n chøng minh chia hÕt a Đường lối giải : Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừ số có dạng chia hết b Vớ d: - Bàitoỏn : Chứng minh đa thøc sau a) A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hÕt cho 24 Víi a lµ mét số tự nhiên Gợi ý: + Trớc hết phân tích đa thức đà cho thành nhân tử A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sư dơng h»ng đẳng thức hiệu hai bình phơng) A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (Sư dơng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a) * Lập luận: + A đà cho tích sè tù nhiªn liªn tiÕp chøng tá ba số tự nhiên liên tiếp phải có số chia hÕt cho vËy: A  + Trong sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê cịng cã số chẵn liên tiếp nên hai số chia hết cho số lại chia hÕt cho VËy A  + Nhng (3 ; 8) = nªn tÝch cđa sè tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 c Các toán tương tự : 1* Chøng minh: B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hÕt cho 24 Với n số nguyên dơng tuỳ ý 2* Chứng minh ∀ x ∈Ζ ta có biểu thức P = (4x+3)2 - 25 chia hết cho 3* Chứng minh biểu thức : n n n3 + + ∀ số nguyên n ∈Ζ Bài tốn giải phương trình a Đường lối giải : Với phương trình bậc hai trở lên, việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích A.B = A = B = b Ví d: Bàitoỏn 1: Giải phơng trình sau: (4x + 3)2 - 25 = Giải: ¸p dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , ta đưa phương trình dạng 8(2x - 1)(x +2) = ⇒ x= x = -2 c Các tốn tương tự : Giải phương trình : 1*) y2 - 5y + = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử phơng trình trở phơng trình tích 2*) y - 2y2 - 9y + 18 = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đà cho thành phơng trình tích giải phơng trình tích Bài tốn giải bất phương trình a Đường lối giải Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức đưa bất phương trình dạng tích quan trọng Khi bất phương trình có dạng : A.B < A.B > hay bất phương trình bình thường b Ví dụ : Giải bấtt phương trình x − x−2 x−3 ⇔ >1 −2 ( x − 2)( x − 3) >0 Nhận xét: Vì (- 2) < ⇒ (x- 2)(x - 3) < ⇒ < x< c Các toán tương tự: Giải bất phương trình 1* Giải bất phương trình : 3x2 - 10x - > ⇒ (3x+ 2)( x- 4) > Ta lập bảng xét dấu tích Kết : x < −2 x >   x2  1 + + ÷ < −1  ÷:  2 x+3  x − x   27 − x * Giải bất phương trình : Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ a Đường lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức A2 + m , A2 - m ,A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối b Ví dụ : * Ví dụ 1:Chứng tỏ : x2+x+1 > Ta viết : x2+x+1 = x2+2 x+ ∀ x + 4 = (x+ )2 + ≥ >0 ∀ x * Ví dụ : T×m giá trị nhỏ biểu thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y = (x2+ y2+16+xy+8x+4y) + ( =(x+ y+4)2+ 59 = (x+ y+4)2+ Vì (x+ y+4)2 ≥ , ⇔ 59 (y- 59 ( y2 - 59 (y- 59 59 )2+ y+ 59 y2- 3y) + 2005 -16 36 3481 117342 59 )+1989- ≥ 59 117342 59 )2 ≥ Dấu " =" xảy 239    x = − 59  x + y + = ⇔  y − = y = 59 59   Vây A(x,y) đạt GTNN 117342 59 c Các bi toỏn tng t: 1* Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gỵi ý: + Tríc hÕt sư dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A A = x2 - 4x + + y2 +2y + + (t¸ch 12 = + + 1) A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (nhãm h¹ng tư) A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + * LËp luËn V× (x - 2)2 ≥ o vµ (y + 1)2 ≥ 0, dÊu " = "x¶y a = y = - nên A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + ≥ VËy AMin = x = 2; y = -1 IV KẾ LUẬN: Bài viết đưa số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đường lối giải, phương pháp có ví dụ áp dụng, từ đưa toán có liên quan đến việc phân tích đa thức.Tụi tin áp dụng hiệu vào cơng tác dạy học, đặc biệt dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 8-9 Trong chuyên đề chắn cịn nhiều thiếu sót, mong bạn đọc góp ý để chuyên đề hoàn thiện  ... phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đà học để bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức phân tích đợc nữa) Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a Phương pháp: ... hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Áp dụng phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm sau: - Tìm tích ac - Phân tích tích ac thành tích. .. Phương pháp: Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung b Ví dụ : Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử * cách 1: x2- 6x + =