Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TOÁN I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp đặt nhân tử chung – Tìm nh}n tử chung l{ đơn, đa thức có mặt tất c|c hạng tử – Ph}n tích hạng tử th{nh tích nh}n tử chung v{ nh}n tử kh|c – Viết nh}n tử chung ngo{i dấu ngoặc, viết c|c nh}n tử lại hạng tử v{o dấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ h nt h th s u th nh nh n t 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) Phương pháp dùng đẳng thức - Dùng c|c đẳng thức đ|ng nhớ để ph}n tích đa thức th{nh nh}n tử - C n đến vi c v n d ng đẳng thức Ví dụ h nt h th s u th{nh nh}n tử 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử – Kết hợp c|c hạng tử thích hợp th{nh nhóm – Áp d ng liên tiếp c|c phương ph|p đặt nh}n tử chung dùng đẳng thức Ví dụ h nt h W: www.hoc247.net th s u th nh nh n t F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Phối hợp nhiều phương pháp - Chọn c|c phương ph|p theo thứ tự ưu tiên - Đặt nh}n tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ h nt h th s u th nh nh n t 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) II PHƯƠNG PHÁP TÁCH T H NG TỬ TH NH NHIỀU H NG TỬ Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) C|ch (t|ch hạng tử b c bx): Bước 1: Tìm tích ac, ph}n tích ac tích hai thừa số nguyên c|ch a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci với b = + ci Bước 3: T|ch bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để ph}n tích tiếp W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = 3x2 + 8x + th{nh nh}n tử Hướng dẫn - Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) - Tích hai thừa số có tổng b = l{ tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) - Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) C|ch (t|ch hạng tử b c hai ax2) - L{m xuất hi n hi u hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) - T|ch th{nh số hạng nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) c) Cách (t|ch hạng tử tự c) - T|ch th{nh số hạng nhóm th{nh hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) d) C|ch (t|ch số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) e) C|ch (nhẩm nghi m): Xem ph n III W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chú : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta t|ch sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử Hướng dẫn T thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2x Từ ó t ần thêm v{ bớt = ể xuất ẳng thứ Lời giải f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = 9x2 + 12x – th{nh nh}n tử Lời giải Cách : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) Đối với đa thức bậc từ trở lên (Xem mục III Phương pháp nhẩm nghiệm) Đối với đa thức nhiều bi n Ví dụ 11 a) h nt h th s u th nh nh n t 2x2 - 5xy + 2y2 ; b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Hướng dẫn a) h nt h th n yt ng t nh ph n t h th f(x) = x + bx + c Ta t h h ng t th 2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = (x - 2y)(2x - y) a) h n x t z - x = -(y - z) - (x - y) W: www.hoc247.net v y t t h h ng t th h i u F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 th Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = = (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z) = (x - y)(y - z)(x - z) Chú : 1) c}u b) ta t|ch y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y)) 2) Đa thức c}u b) l{ đa thức có dạng đa thức đặc bi t Khi ta thay x = y (y = z z = x) v{o đa thức gi| tr đa thức Vì v y, ngo{i c|ch ph}n tích c|ch t|ch trên, ta cịn c|ch ph}n tích c|ch x t gi| tr riêng (Xem ph n VII) III PHƯƠNG PHÁP NH Tr hết, t NGHI hú ý ến ịnh lí qu n trọng s u Đ nh lí : Nếu f(x) có nghi m x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nh}n tử l{ x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Lú ó t| h | số hạng ủ f(x) th{nh | nhóm, nhóm ều nh}n tử l{ x – a Cũng ần l u ý rằng, nghiệm nguyên ủ thứ , ó, phải l{ ủ hệ số tự Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = x3 + x2 + th{nh nh}n tử Lời giải Lần l ợt kiểm tr với x = ± 1, ± 2, 4, t thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đ thứ f(x) ó nghiệm x = –2, ó nh}n tử l{ x + Từ ó, t t| h nh s u Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai = (x + 2)(x2 – x + 2) Từ ịnh lí trên, t ó | hệ s u H Nếu f(x) có tổng c|c h số nh}n tử l{ x – f(x) có nghi m l{ x = Từ f(x) có Chẳng hạn, thứ x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = l{ nghiệm ủ thứ Đ thứ ó nh}n tử l{ x – T ph}n tí h nh s u f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 H Nếu f(x) có tổng c|c h số c|c luỹ thừa b c chẵn tổng c|c h số c|c luỹ thừa b c lẻ f(x) có nghi m x = –1 Từ f(x) có nh}n tử l{ x + Chẳng hạn, thứ x – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 l{ nghiệm ủ Đ thứ ó nh}n tử l{ x + T ph}n tí h nh s u thứ f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 H Nếu f(x) có nghi m nguyên x = a v{ f(1) v{ f(–1) khác f (1) f ( 1) l{ số a 1 a 1 nguyên Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 th{nh nh}n tử Hướng dẫn C| ủ 18 l{ ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± l{ nghiệm ủ f(x) Dễ thấy không l{ số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không l{ nghiệm ủ f(x) Chỉ òn –2 Kiểm tr t thấy l{ nghiệm ủ f(x) Do ó, t t| h | hạng tử nh s u f(x) = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x-3) – x(x – 3) + 6(x – 3) (0) = (x – 3)(4x2 – x + 6) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai H Nếu ( an , an1 , , a1 , a0 l{ c|c số nguyên) có nghi m hữu tỉ x  p , p, q q Z (p , q)=1, p l{ ước a0, q l{ ước dương an Ví dụ 10 h}n tí h thứ f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - th{nh nh}n tử Hướng dẫn C| ủ –5 ± 1, ± Thử trự tiếp t thấy | số n{y không l{ nghiệm ủ f(x) h f(x) khơng ó nghiệm nghun Xét | số  ;  , t thấy l{ nghiệm ủ 3 thứ , ó thứ ó nh}n tử l{ 3x – T ph}n tí h nh s u f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) IV PHƯƠNG PHÁP THÊ V B T C NG T H NG TỬ Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình ph ương Ví dụ 12 h}n tí h thứ x4 + x2 + th{nh nh}n tử Lời giải Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ 13 h}n tí h thứ x4 + 16 th{nh nh}n tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ví dụ 14 h nt h th x5 + x - th nh nh n t Lời giải C|ch x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) C|ch Th m v b t x2 : x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Ví dụ 15 h nt h th x7 + x + th nh nh n t Lời giải x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) Lưu : C x2 + x + th d ng x3m + + x3n + + nh x7 + x2 + 1, x4 + x5 + u h V PHƯƠNG PHÁP Đ I BI N Đặt ẩn ph để đưa dạng tam thức b c hai sử d ng c|c phương ph|p Ví dụ 16 h nt h th s u th nh nh n t x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 nh n t l Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đ t x2 + 10x + 12 = y, th ho o d ng (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nh n x t: hờ ph bậ ối với y Ví dụ 17 ng ph|p ổi biến t h nt h th ~ thứ bậ ối với x th{nh thứ s u th nh nh n t : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Lời giải C|ch Đ t x i s x T vi t th d i d ng 1  y th x   y2  Do o x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2    1 =  x  x    3x  = (x2 + 3x - 1)2 x    D ng ph n t h n y ung ung v i x = C|ch A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 VI PHƯƠNG PHÁP H Ví dụ 18 h nt h B T Đ NH th s u th nh nh n t x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - Lời giải Th v i x= ±1; ±3 khong l nghi m u th , th khong o nghi m h u ty h v y th tr n ph n t h dạng khong o nghi m nguy n ung th nh nh n t th ph i o (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Đong nh t h so t X t bd= v i b, d Ỵ Z, b Î {± 1, ± i b = th d = 1, h i u ki n tr n tr th nh a  c  6   2c = -14 - (-6) = -8 Do o = -4, a = -2 ac  a  3c  14  ậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) VII PHƯƠNG PHÁP X T GIÁ T IÊNG Trong ph ng ph p n y, tr h tt x inh d ng nh n t roi g n ho bi n gi tri u th x inh nh n t on l i Ví dụ 19 h nt h th h bi n u th , s u th nh nh n t P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y) Lời giải Thay x y P = y2(y – z) + y2( z – y) = h P chứa thừa số (x – y) T thấy th y x y, th y y z, th y z x p khơng ổi ( thứ ó thể ho|n vị vòng qu nh) Do ó ~ thừ số (x – y) ũng thừ số (y – z), (z – x) ậy ó dạng k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số P có bậ ối với tập hợp biến x, y, z, tích (x – y)(y – z)(z – x) ũng ó bậ ối với tập hợp biến x, y, z ì ẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) úng với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = t ợc: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) VIII PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ T ĐA THỨC Đ C BI T Đưa đa thức a3 + b3 + c3 - 3abc W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ví dụ 20 a) h nt h th s u th nh nh n t a3 + b3 + c3 - 3abc b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 Lời giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca) b) Đ t x - y = a, y - z = b, z - x = th +b+ Th o u )t o a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc y (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Đưa đa thức (a Ví dụ 21 b h nt h c) - a3 - b3 - c3 th s u th nh nh n t a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Đ t x + y = , y + z = b, z + x = th W: www.hoc247.net + b + = 2( + b + ) F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đ th ho o d ng ( + b + )3 - a3 - b3 - c3 Th o k t qu u )t o (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) II Bài tập Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử 10 11 16x3y + 0,25yz3 x – 4x3 + 4x2 2ab2 – a2b – b3 a + a2b – ab2 – b3 x + x2 – 4x - x – x2 – x + x + x3 + x - x 2y2 + – x2 – y2 x – x2 + 2x - 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) a – a4 + 2a3 + 2a2 (a + b)3 – (a – b)3 X – 3x2 + 3x – – y3 X m + + xm + – x - (x + y)3 – x3 – y3 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12 a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13 14 15 16 17 18 19 20 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz 33 (x + y)5 – x5 – y5 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 a – b2 – 4a + 4b a – b3 – 3a + 3b x + 3x2 – 3x - x – 3x2 – 3x + x – 4x2 + 4x - 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 6x + 23 x3 – 5x2y – 14xy2 x2 – 7xy + 10y2 24 x4 – 7x2 + a2 – 5a - 14 25 4x4 – 12x2 + W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 2m2 + 10m + 26 x2 + 8x + 4p2 – 36p + 56 27 x2 – 13x + 36 x3 – 5x2 – 14x 28 x2 + 3x – 18 a4 + a2 + 29 x2 – 5x – 24 a4 + a2 – 30 3x2 – 16x + x4 + 4x2 + 31 8x2 + 30x + 10 x3 – 10x - 12 32 2x2 – 5x – 12 11 x3 – 7x - 33 6x2 – 7x – 20 12 x2 – 7x + 12 34 x2 – 7x + 10 13 x2 – 5x – 14 35 x2 – 10x + 16 14 x2 – 3x – 36 3x2 – 14x + 11 15 x2 – 7x + 37 5x2 + 8x – 13 16 x2 – 7x + 38 x2 + 19x + 60 17 6x3 – 17x2 + 14x – 39 x4 + 4x2 - 18 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40 x3 – 19x + 30 19 x4 – 34x2 + 225 41 x3 + 9x2 + 26x + 24 20 4x4 – 37x2 + 42 4x2 – 17xy + 13y2 21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43 - 7x2 + 5xy + 12y2 22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44 x3 + 4x2 – 31x - 70 Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + x2 + x4 – 3x2 + 17 x5 - x4 - 18 x12 – 3x6 + x4 + 3x2 + 2x4 – x2 – x4y4 + x4y4 + 64 19 20 21 22 x4y4 + 23 x3 + 4x2 – 29x + 24 10 11 12 32x4 + x4 + 4y4 x7 + x2 + x8 + x + x8 + x7 + 24 25 26 27 28 W: www.hoc247.net x8 - 3x4 + a5 + a4 + a3 + a2 + a + m3 – 6m2 + 11m - x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + x5 – x4 – x3 – x2 – x - x8 + x6 + x4 + x2 + x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 13.x8 + 3x4 + 29 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 14 x10 + x5 + 15 x5 + x + 16 x5 + x4 + Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – x4 – 13x2 + 36 x4 + 3x2 – 2x + x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 15x3 + 29x2 – 8x – 12 x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – x3 + 9x2 + 26x + 24 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5 (x + y)7 – x7 – y7 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) 10 abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi tr ờng học trực n sinh ộng, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng ợc biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi ki n thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm ến từ | tr ờng Đại học | tr ờng chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, TH T Q với ội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ | Tr ờng ĐH v{ TH T d nh tiếng - H2 khóa tảng ki n thức luyên thi mơn: Tốn, Ngữ ăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, T II hiên, gữ ăn+ X~ Hội Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đ n tận nhà, phụ huynh khơng phải đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực ti p với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí ti t kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đ n 10 HS giúp t Các chương trình VCLA ng t| dễ dàng, ợc hỗ trợ kịp thời ảm bảo chất l ợng học tập : - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi d ỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ iảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Tr n Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu B| Thắng, Th y Lê Phúc Lữ, Th y Võ Quốc Bá Cẩn ùng ôi HL ạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán tr ờng PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Ngh An v{ | tr ờng Chuyên khác TS.Tr n Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Tr nh Thanh Đèo v{ Th y Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Ti ng Anh: Cung cấp h ng trình VClass Tốn Nâng Cao, Tốn Chun Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gi s To|n giỏi ến từ ĐHS , KHT , BK, Ngoại Th ng, Du ho Sinh, i|o viên To|n v{ iảng viên ĐH Day kèm Toán }p ộ từ Tiểu họ ến ĐH h y | h ng trình To|n Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV u thích, có thành tích, chun mơn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH |nh gi| lực khách quan qua kiểm tra ộc lập - Tiết kiệm chi phí thời gi n ho linh ộng h n giải pháp mời gi s W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net ến nhà T: 098 1821 807 ... - y)) 2) Đa thức c}u b) l{ đa thức có dạng đa thức đặc bi t Khi ta thay x = y (y = z z = x) v{o đa thức gi| tr đa thức Vì v y, ngo{i c|ch ph}n tích c|ch t|ch trên, ta cịn c|ch ph}n tích c|ch... a)(x – + y + a) II PHƯƠNG PHÁP TÁCH T H NG TỬ TH NH NHIỀU H NG TỬ Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) C|ch (t|ch hạng tử b c bx): Bước 1: Tìm tích ac, ph}n tích ac tích hai thừa số... tập Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 6x + 23 x3 – 5x2y – 14xy2 x2 – 7xy + 10y2 24 x4 – 7x2 + a2 – 5a - 14 25 4x4 – 12x2 + W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0 98 182 1 80 7