Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC

THÀNH NHÂN TỬ TOÁN

I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1 Phương pháp đặt nhân tử chung

– Tìm nh}n tử chung l{ đơn, đa thức có mặt tất c|c hạng tử – Ph}n tích hạng tử th{nh tích nh}n tử chung v{ nh}n tử kh|c

– Viết nh}n tử chung ngo{i dấu ngoặc, viết c|c nh}n tử lại hạng tử v{o dấu ngoặc (kể dấu chúng)

Ví dụ h n t h th s u th nh nh n t 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)

2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)

2 Phương pháp dùng đẳng thức

- Dùng c|c đẳng thức đ|ng nhớ để ph}n tích đa thức th{nh nh}n tử - C n đến vi c v n d ng đẳng thức

Ví dụ h n t h th s u th{nh nh}n tử 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

– Kết hợp c|c hạng tử thích hợp th{nh nhóm

2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) 4 Phối hợp nhiều phương pháp

- Chọn c|c phương ph|p theo thứ tự ưu tiên - Đặt nh}n tử chung

- Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử

Ví dụ h n t h th s u th nh nh n t 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]

= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a)

II PHƯƠNG PHÁP TÁCH T H NG TỬ TH NH NHIỀU H NG TỬ 1 Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)

a) C|ch (t|ch hạng tử b c bx):

Bước 1: Tìm tích ac, ph}n tích ac tích hai thừa số nguyên c|ch a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …

Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = + ci

Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = 3x2 + 8x + th{nh nh}n tử Hướng dẫn

- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) - Tích hai thừa số có tổng b = l{ tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) - Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)

Lời giải

3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2)

b) C|ch (t|ch hạng tử b c hai ax2) - L{m xuất hi n hi u hai bình phương :

f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2)

- T|ch th{nh số hạng nhóm :

f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2)

f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) c) Cách (t|ch hạng tử tự c)

- T|ch th{nh số hạng nhóm th{nh hai nhóm:

f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) d) C|ch (t|ch số hạng, số hạng)

f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)

Chú : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta t|ch sau :

f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử Hướng dẫn

T thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2x Từ ó t ần thêm v{ bớt 12 = ể xuất ẳng thứ Lời giải

f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = 9x2 + 12x – th{nh nh}n tử Lời giải

Cách : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5)

Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)

2 Đối với đa thức bậc từ trở lên (Xem mục III Phương pháp nhẩm nghiệm) 3 Đối với đa thức nhiều bi n

Ví dụ 11 h n t h th s u th nh nh n t a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;

b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Hướng dẫn

a) h n t h th n y t ng t nh ph n t h th f(x) = x2 + bx + c Ta t h h ng t th

2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = (x - 2y)(2x - y)

x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = = (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z) = (x - y)(y - z)(x - z)

Chú :

1) c}u b) ta t|ch y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))

2) Đa thức c}u b) l{ đa thức có dạng đa thức đặc bi t Khi ta thay x = y (y = z z = x) v{o đa thức gi| tr đa thức Vì v y, ngo{i c|ch ph}n tích c|ch t|ch trên, ta cịn c|ch ph}n tích c|ch x t gi| tr riêng (Xem ph n VII)

III PHƯƠNG PHÁP NH NGHI

Tr hết, t hú ý ến ịnh lí qu n trọng s u

Đ nh lí : Nếu f(x) có nghi m x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nh}n tử l{ x – a f(x) có thể viết dạng f(x) = (x – a).q(x)

Lú ó t| h | số hạng ủ f(x) th{nh | nhóm, nhóm ều nh}n tử l{ x – a Cũng ần l u ý rằng, nghiệm nguyên ủ thứ , ó, phải l{ ủ hệ số tự Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = x3 + x2 + th{nh nh}n tử

Lời giải

Lần l ợt kiểm tr với x = ± 1, ± 2, 4, t thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đ thứ f(x) ó nghiệm x = –2, ó nh}n tử l{ x + Từ ó, t t| h nh s u

Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2)

Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2)

Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)

= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2)

Từ ịnh lí trên, t ó | hệ s u

H Nếu f(x) có tổng c|c h số f(x) có nghi m l{ x = Từ f(x) có nh}n tử l{ x –

Chẳng hạn, thứ x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = l{ nghiệm ủ thứ Đ thứ ó nh}n tử l{ x – T ph}n tí h nh s u

f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2

H Nếu f(x) có tổng c|c h số c|c luỹ thừa b c chẵn tổng c|c h số c|c luỹ thừa b c lẻ f(x) có nghi m x = –1 Từ f(x) có nh}n tử l{ x +

Chẳng hạn, thứ x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 l{ nghiệm ủ thứ Đ thứ ó nh}n tử l{ x + T ph}n tí h nh s u

f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2

H Nếu f(x) có nghi m nguyên x = a v{ f(1) v{ f(–1) khác (1) f

a

( 1) f

a



 l{ số

nguyên

Ví dụ h}n tí h thứ f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 th{nh nh}n tử Hướng dẫn

C| ủ 18 l{ ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18

f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± l{ nghiệm ủ f(x)

Dễ thấy không l{ số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 khơng l{ nghiệm ủ f(x) Chỉ ịn –2 Kiểm tr t thấy l{ nghiệm ủ f(x) Do ó, t t| h | hạng tử nh s u

f(x) = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18

H Nếu (a an, n1, , ,a a1 0l{ c|c số nguyên) có nghi m hữu tỉ x p q

 , p, q Z (p , q)=1, p l{ ước a0, q l{ ước dương an

Ví dụ 10 h}n tí h thứ f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - th{nh nh}n tử Hướng dẫn

C| ủ –5 ± 1, ± Thử trự tiếp t thấy | số n{y không l{ nghiệm ủ f(x) h f(x) khơng ó nghiệm nghun Xét | số 5;

3

  , t thấy

3 l{ nghiệm ủ thứ , ó thứ ó nh}n tử l{ 3x – T ph}n tí h nh s u

f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) IV PHƯƠNG PHÁP THÊ V B T C NG T H NG TỬ

1 Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình ph ương Ví dụ 12 h}n tí h thứ x4 + x2 + th{nh nh}n tử

Lời giải

Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

Ví dụ 13 h}n tí h thứ x4 + 16 th{nh nh}n tử Lời giải

Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)

= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

Ví dụ 14 h n t h th x5 + x - th nh nh n t Lời giải

C|ch

x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1)

C|ch Th m v b t x2 :

x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Ví dụ 15 h n t h th x7 + x + th nh nh n t Lời giải

x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)

Lưu : C th d ng x3m + 1 + x3n + 2 + nh x7 + x2 + 1, x4 + x5 + u h nh n t l x2 + x +

V PHƯƠNG PHÁP Đ I BI N

Đặt ẩn ph để đưa dạng tam thức b c hai sử d ng c|c phương ph|p

Ví dụ 16 h n t h th s u th nh nh n t x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Lời giải

Đ t x2 + 10x + 12 = y, th ho o d ng

(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)

Nh n x t: hờ ph ng ph|p ổi biến t ~ thứ bậ ối với x th{nh thứ bậ ối với y

Ví dụ 17 h n t h th s u th nh nh n t : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x +

Lời giải

C|ch i s x T vi t th d i d ng Đ t x y

x

  th 2

2

1 2

x y

x

   Do o A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 =

2

1 3

x x x

x

    

 

   

  = (x

2 + 3x - 1)2

D ng ph n t h n y u ng u ng v i x =

C|ch A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2

VI PHƯƠNG PHÁP H B T Đ NH

Ví dụ 18 h n t h th s u th nh nh n t x4 - 6x3 + 12x2 - 14x -

Lời giải

Th v i x= ±1; ±3 kho ng l nghi m u th , th kho ng o nghi m nguy n u ng kho ng o nghi m h u ty h v y th tr n ph n t h th nh nh n t th ph i o dạng

= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Đo ng nh t h so t

X t bd= v i b, d Î Z, b Î {± 1, ± i b = th d = 1, h i u ki n tr n tr th nh

6

3 14

a c ac

a c

   

  



    

2c = -14 - (-6) = -8 Do o = -4, a = -2

ậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) VII PHƯƠNG PHÁP X T GIÁ T IÊNG

Trong ph ng ph p n y, tr h t t x i nh d ng nh n t h bi n u th , ro i g n ho bi n gi tri u th x i nh nh n t o n l i

Ví dụ 19 h n t h th s u th nh nh n t P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y)

Lời giải

Thay x y P = y2(y – z) + y2( z – y) = h P chứa thừa số (x – y)

T thấy th y x y, th y y z, th y z x p khơng ổi ( thứ ó thể ho|n vị vịng qu nh) Do ó ~ thừ số (x – y) ũng thừ số (y – z), (z – x) ậy ó dạng k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải số P có bậ ối với tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) ũng ó bậ ối với tập hợp biến x, y, z

ì ẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) úng với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = t ợc:

4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1

Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)

Ví dụ 20 h n t h th s u th nh nh n t a) a3 + b3 + c3 - 3abc

b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 Lời giải

a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)

b) Đ t x - y = a, y - z = b, z - x = th + b + Th o u ) t o a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc

y (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) 2 Đưa đa thức (a b c)3 - a3 - b3 - c3

Ví dụ 21 h n t h th s u th nh nh n t a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 Lời giải

a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]

= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Đ th ho o d ng ( + b + )3 - a3 - b3 - c3

Th o k t qu u ) t o

(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)

II Bài tập

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

1 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x 4 – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2

3 2ab2 – a2b – b3 23 a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 a 3 + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) x 3 + x2 – 4x - 25 a 6 – a4 + 2a3 + 2a2

6 x 3 – x2 – x + 26 (a + b)3 – (a – b)3 x 4 + x3 + x2 - 27 X 3 – 3x2 + 3x – – y3 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + 4 + xm + 3 – x - 10 x 4 – x2 + 2x - 29 (x + y)3 – x3 – y3

11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12 a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13 a 2 – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz

14 a 3 – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5

15 x 3 + 3x2 – 3x - 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3

16 x 3 – 3x2 – 3x +

17 x 3 – 4x2 + 4x -

18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

4 2m2 + 10m + 26 x2 + 8x + 4p2 – 36p + 56 27 x2 – 13x + 36 x3 – 5x2 – 14x 28 x2 + 3x – 18 a4 + a2 + 29 x2 – 5x – 24 a4 + a2 – 30 3x2 – 16x + x4 + 4x2 + 31 8x2 + 30x + 10 x3 – 10x - 12 32 2x2 – 5x – 12 11 x3 – 7x - 33 6x2 – 7x – 20 12 x2 – 7x + 12 34 x2 – 7x + 10 13 x2 – 5x – 14 35 x2 – 10x + 16 14 x2 – 3x – 36 3x2 – 14x + 11 15 x2 – 7x + 37 5x2 + 8x – 13 16 x2 – 7x + 38 x2 + 19x + 60 17 6x3 – 17x2 + 14x – 39 x4 + 4x2 - 18 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40 x3 – 19x + 30 19 x4 – 34x2 + 225 41 x3 + 9x2 + 26x + 24 20 4x4 – 37x2 + 42 4x2 – 17xy + 13y2 21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43 - 7x2 + 5xy + 12y2 22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44 x3 + 4x2 – 31x - 70

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + x2 + 17 x5 - x4 - x4 – 3x2 + 18 x12 – 3x6 + x4 + 3x2 + 19 x8 - 3x4 +

4 2x4 – x2 – 20 a5 + a4 + a3 + a2 + a + x4y4 + 21 m3 – 6m2 + 11m - x4y4 + 64 22 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + x4y4 + 23 x3 + 4x2 – 29x + 24 32x4 + 24 x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + x4 + 4y4 25 x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 10 x7 + x2 + 26 x5 – x4 – x3 – x2 – x - 11 x8 + x + 27 x8 + x6 + x4 + x2 +

13 x8 + 3x4 + 29 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 14 x10 + x5 +

15 x5 + x +

16 x5 + x4 +

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2

2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – x4 – 13x2 + 36

8 x4 + 3x2 – 2x + x4 + 2x3 + 3x2 + 2x +

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

2 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

5 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 15x3 + 29x2 – 8x – 12

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

1 a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3 a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5

5 (x + y)7 – x7 – y7

6 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5

8 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)

10 abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) –

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

2 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

4 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I

Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III

Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Khoá Học Nâng Cao HSG