Các bài tập Ứng dụng 1: Phân tích tam thức ra thừa số Ở lớp 9, phần này giúp giải quyết các bài toán rút gọn căn thức, đối với học sinh khá giỏi thì ứng dụng này cũng không quá khó.. Vì [r]
(1)CÁC BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN Chuyên đề II: Định lý Viet và ứng dụng (2) Chuyên đề II: Định lí Viet và ứng dụng A Định lí: Với phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) và có hai nghiệm x1, x2 thì: b c x1 + x2 = a ; x1x2 = a Với phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + (d) = (a ≠ 0) có ba nghiệm x1, x2, x3 thì b c d x1 + x2 + x3 = a ; x1x2 + x2x3 + x3x1 = a ; x1x2x3 = a B Ứng dụng: I Phân tích tam thức thừa số: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) II Xác định dấu các nghiệm phương trình III Tìm hai số biết tổng S và tích P chúng Hai số đó là nghiệm X2 – SX + P = (S2 ≥ 4P) IV Tính giá trị các biểu thức nghiệm V Tìm tham số để thỏa mãn hệ thức nghiệm VI Ứng dụng vào đồ thị C Mội số bài tập nghiệm phương trình bậc hai (3) Các bài tập Ứng dụng 1: Phân tích tam thức thừa số Ở lớp 9, phần này giúp giải các bài toán rút gọn thức, học sinh khá giỏi thì ứng dụng này không quá khó Vì đây nêu vài bài tập tiêu biểu Bài Rút gọn các biểu thức: x :3 2x x x 1 x A= x x 2x 15 x 28 2x x : x x 10 13 x 2x 21 x x x B= a a 2 a3 a a a 1 : 1 9a 3a a 3a a 3 a 1 C= 45 x 12 3x x 2x x 7 x 4 x x 9x x 24 6x 17 x 12 16 9x D= Bài Cho f(x) = (m2 – m – 2)x2 + (2m2 – 2m + 5)x + m2 – m – a) Chứng minh phương trình f(x) = luôn có nghiệm b) Khi m2 – m – ≠ 0, phân tích f(x) thành thừa số (4) Ứng dụng II: Xác định dấu các nghiệm phương trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: Phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) vô nghiệm Δ < 0; có nghiệm kép Δ = 0; có hai nghiệm phân biệt Δ > Khi a chứa tham số thì phải xét trường hợp a = Phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Có hai nghiệm: Δ ≥ c Có hai nghiệm cùng dấu: Δ ≥ 0, a > c b Có hai nghiệm cùng dương: Δ ≥ 0, a > 0, a > c b Có hai nghiệm cùng âm: Δ ≥ 0, a > 0, a < c Có hai nghiệm trái dấu: a < Có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm (hoặc nghiệm dương) có giá trị tuyệt đối lớn c b b giá trị tuyệt đối nghiệm kia: a < 0, a < (hoặc a > 0) Phần này thực chất là giải hệ bất phương trình học kĩ lớp 10, vì chương trình lớp ít có bài tập riêng loại này mà đưa thêm vào dạng câu hỏi bài tập các ứng dụng sau (5) Ứng dụng III Tìm hai số biết tổng và tích chúng Bài a) Cho phương trình: x2 + px + q = (1) Giải phương trình p = – (3 + ) q = x1 x2 b) Gọi x1, x2 là nghiệm (1), lập phương trình bậc hai có nghiệm là x và x1 Bài Cho phương trình: x2 – 4x + = 0, không giải phương trình, lập phương trình bậc hai có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm phương trình đã cho Bài Cho ax2 + bx + c = có α, β là hai nghiệm Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3α +2β và 2α + 3β Bài Cho phương trình: x2 – 3x + 2m – = (1) a) Gọi x1, x2 là nghiệm (1), lập phương trình bậc hai ẩn z có nghiệm là z1 = x1 – 2; z2 = x2 – b) Tìm m để (1) có hai nghiệm cùng nhỏ Bài * Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết x1 + và x2 + là hai nghiệm phương trình: x2 – p2x + pq = Bài * Cho x1, x2 là hai nghiệm phương trình x2 – 7x + = a) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1 b) 2x Tính giá trị biểu thức A = 12 (6) Ứng dụng IV Tính các biểu thức nghiệm Bài Cho phương trình: (m – 4)x2 – 2mx + m – = Tìm m để phương trình có nghiệm x = , tính nghiệm còn lại a) b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có hai nghiệm cùng dấu? c) Tính x12 + x22 với x1, x2 là hai nghiệm phương trình Bài 10 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m c) Chứng minh A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) có giá trị không phụ thuộc vào m Bài 11 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – = a) Tìm m để x = –1 là nghiệm Tính nghiệm còn lại b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 c) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 12 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – + m = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) Tìm giá trị nhỏ x12 + x22 Bài 13 Cho phương trình: x2 – (a – 1)x –a2 + a – = a) Chứng minh với a phương trình có hai nghiệm trái dấu x1, x2 b) Tìm a để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 14 Cho phương trình: x2 – ax + a – = Gọi x1, x2 là hai nghiệm 3x12 3x 22 2 a) Tính giá trị biểu thức M = x1 x x x1 b) Tính a để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 15* Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 +4m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 b) Tìm m để phương trình có ít nghiệm x ≥ x x 2(x1 x ) c) Tìm giá trị lớn A = 2 Bài 16* Cho phương trình:x – 2(m – 1)x + m + 2m – = Gọi x1, x2 là hai nghiệm Tìm m để S = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 17 Xét phương trình: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 a) Tính các biểu thức M = (5x1 – 3x2)( 5x2 – 3x1) x1 x2 N = x 3x1 x1 3x b) Với a = m, b = –2(2m + 1), c = 3m + Tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m (7) Bài 18 Chophương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m – = a) Chứng minh phương trình có nghiệm x1, x2 với giá trị m b) Chứng minh có hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 19 Cho x1, x2 là hai nghiệm phương trình: x2 – 2x – = Tính x17 + x27 12 Bài 20 * Cho phương trình: 12x2 – 6mx + m2 – + m = (m ≠ 0) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 b) Tìm m để A = x13 + x23 đạt lớn nhất? nhỏ nhất? Bài 21 Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = a) Chứng minh phương trình có nghiệm x1, x2 với giá trị m b) Tìm m để có < x1 < x2 < c) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ (8) Ứng dụng V: Tìm tham số để thỏa mãn hệ thức nghiệm Bài 22 Cho phương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = Bài 23 Cho phương trình: x2 + ax + = x12 x 22 7 x Tìm a để hai nghiệm x , x thỏa mãn x1 Bài 24 Xét phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m + = a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(1 – 2x2) + x2(1 – 2x1) = m2 Bài 25 Tìm m để hai nghiệm x1, x2 phương trình x2 – (m + 2)x + m + = thỏa mãn: x18 + x28 = 17 Bài 26 Cho phương trình: x2 – ax – 2a = Gọi x1, x2 là hai nghiệm Chứng minh: x14 + x24 ≥ + Bài 27 * Phương trình: x2 – 2x + 2m – = (1) a) Giải phương trình m = – b) Tìm m để x14 + x24 đạt giá trị nhỏ nhất.Với x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) c) Tìm m để có x1 – 2x2 = m Bài 28 Tìm m để phương trình: x2 – (m + 1)x + m = có tổng lập phương các nghiệm Bài 29 Tìm m để phương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + = có nghiệm này gấp đôi nghiệm Bài 30 Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) chứng minh có 2b2 – 9ac = thì phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm Bài 31 Cho phương trình: x2 – (3m + 2)x + m2 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn: x1 = 9x2 Bài 32 Cho phương trình: (m – 2)x4 – 2m x2 + m + = Giả sử phương trình có bốn nghiệm x1 < x2 < x3 < x4 Tìm m để có x4 – x3 = x3 – x2 = x2 – x1 Bài 33 Cho hai phương trình: 2x2 – 3x + 2m = (1) và 2x2 – x + 2m = (2) Tìm m để (1) có nghiệm khác gấp lần nghiệm (2) Bài 34 Cho hai phương trình: x2 – x + m = (1) và x2 – 3x + m = (2) Tìm m để (2) có nghiệm khác gấp lần nghiệm (1) Bài 35 Tìm điều kiện cần và đủ để phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm này gấp k lần nghiệm Bài 36 Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = (1) và cx2 + bx + a = (2) có ac < Gọi α, β là hai nghiệm lớn (1) và (2) Chứng minh α + β ≥ (9) BẢN ĐẦY ĐỦ VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT CÓ TẠI Viet http://123doc.org/document/3488224-chuyen-de-dac-biet-dinh-li-viet-va-ungdung-danh-cho-thi-vao-lop-10-truong-chuyen-lop-chon.htm Phương trình quy bậc http://123doc.org/document/3488185-chuyen-de-dac-biet-phuong-trinh-quy-vebac-hai-danh-cho-thi-vao-10-chuyen-lop-chon.htm Điểm cố định http://123doc.org/document/3488097-chuyen-de-dac-biet-diem-co-dinh-tronghinh-hoc-danh-cho-thi-vao-lop-10-truong-chuyen-lop-chon.htm Tích hợp liên môn Toán giải TP http://123doc.org/document/3477510-bai-du-thi-tich-hop-lien-mon-toan-8quot-van-dung-kien-thuc-hinh-vuong-vao-thuc-te-cuoc-song-quot-giaithanh-pho-hn-nam-2015.htm (10)