SKKN Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Các cuộc thi học sinh giỏicác cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó.Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó chu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN

TRƯỜNG THCS KHƯƠNG MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

( Sáng kiến đạt giải C cấp Thành phố năm học 2012-2013)

Lĩnh vực: Toán

Họ và tên: Đỗ Kim Hương

Chức vụ: Giáo viên

Hà Nội, tháng 4 năm 2013

b Cơ sở lý luận

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông

Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn đểchiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc củachương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đótìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗigiáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm

Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những họcsinh có năng khiếu về bộ môn Toán Giúp cho các em trở thành những họcsinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tácchuyên môn được ngành giáo dục hết sức chú trọng Các cuộc thi học sinh giỏicác cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó.Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh

giỏi, trong đó chuyên đề “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinhhình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số Chẳng hạn, đểthực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đathức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiềukhó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân

tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, nhiềunăm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử.Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thứcthành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm

c Cơ sở thực tiễn

Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồidưỡng học sinh Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đàotạo bồi dưỡng học sinh giỏi

Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “Các phương

pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

2 Nhiệm vụ của đề tài

- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với cácphương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài

- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thứcthành nhân tử trong giảng dạy

- Một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu

3 Giới hạn của đề tài

Đề tài này tôi áp dụng tại Trường THCS Khương Mai và dành cho đốitượng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 8

4 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh giỏi lớp 8 của Trường THCS Khương Mai – Quận Thanh Xuân

5 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận

b) Phương pháp khảo sát thực tiễn

c) Phương pháp quan sát

d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Tài liệu tham khảo

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:

- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8

- Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)

- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn

Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH)

- Nâng cao & phát triển toán 8 (Tập I & II) (Vũ Hữu Bình)

- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8 (phần Đại số)

(Võ Đại Mau; Võ Đại Hoài Đức)

PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thànhtích các đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thựchành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và

kĩ năng “sơ cấp” Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương phápthường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử

1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đốivới phép cộng (theo chiều ngược)

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử

D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có: D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử

E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Giải: Ta có: E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)

Bài 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có : B = 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3)

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = x6 + x4 + x2 + 1

Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1)

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

D = x2 + 2x + 1 – y2

Giải: Ta có: D = x2 + 2x + 1 – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2

Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc

Giải: Ta có : Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x4 + x2y2 + y4

Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách

khác giải như sau :

Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

* Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên

để có thể phân tích đa thước thành nhân tử

Bài 9 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2

Giải: M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2

= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử)

= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)

= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)

Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : N = a2 - b2 - 2a + 2b

+ Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?

+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phảinhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tửchung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳngthức Cụ thể các ví dụ sau:

Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2

Ta thấy P không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tửchung, vậy làm gì để phân tích được Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 cónhân tử chung Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên

P = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhấtlàm xuất hiện hằng đẳng thức P = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2 Sử dụng hằng đẳngthức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a+b)

Vậy P = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy tatiếp tục đặt nhân tử chung

P = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b)

Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

Q = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy

Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?

Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy

+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:

Q = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)

Vậy: Q đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát xem,kiển tra, linh hoạt sử dụng các bước phối hợp giữa các phương pháp như đã hướngdẫn trên từ đó sẽ phân tích theo các phương pháp thông thường

4 Phương pháp sử dụng phép chia đa thức:

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x –a).g(x) ,g(x) là một đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lạiphân tích tiếp g(x)

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân

tích đa thức sau thành nhân tử :

A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m

Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành :

A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)

Bằng cách biến đổi tương tự như bài 5, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậchai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x

1) + 7 )Đặt y = x -

x

1 thì x2 + 2

E =

2

3 )

Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho

(x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5) Vậy

A = (x – 1)(x – 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách sốhạng ta làm như sau :

Bước 1 : lấy tích a.c = t

Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qiBươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = bBước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c

Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấungoặc

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Cách 3 : C = x4 + x2 + 1

= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Sau đây là một số ví dụ :

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :

bd

bc ad

d b ac

c a

8 6

c a

ac

c a

= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg

= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg

11 22 3

cg

ce bg

be

cd ag

bd ae

g e d c b a

Vậy C = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = x4 – 8x + 63

Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :

C = x4 – 8x + 63

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:

bd

bc ad

d b ac

c a

d c b a

Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)

8 Phương pháp xét giá trị riêng

Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt”thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh Trong phương phápnày ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biếncác giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

Sau đây là một số ví dụ :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Giải: Thử thay x bởi y thì A = y2(y – z) + y2(z – y) = 0

Như vậy A chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì A không đổi( ta nói đa thức A có thể hoán vị vòng quanh x y z x Do đó nếu A chứathừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy A có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải là hằng số, vì A có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z,còn các tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x)đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn

x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được:

4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)

2 = -2k

Như vậy B chứa thừa số x – y.

Ta thấy đa thức B có thể hoán vị vòng quanh x y z x Do đó nếu Bchứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy B có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x)

Mặt khác B là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia B cho

(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :

Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho

(y – z)(z – x)(z – x)được thương là hằng số k, nghĩa là :

Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)

Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì Q không thay đổi.

Vậy Q = 4.abc

Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) =4abc

II Kết quả áp dụng đề tài:

Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi mônToán lớp 8 tại Trường THCS Khương Mai năm học 2012 - 2013 đã thu đượccác kết quả khả quan

Kết quả học tập của học sinh được nâng lên, đặc biệt là các em hứng thúhọc toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử

để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt

Đa số các em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích thôngthường một cách thành thạo, một số em học sinh có kỹ năng nắm vững thủthuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trongsáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp

cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một

số thủ thuật trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn Toán

III Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện

Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là người trực tiếp thực hiệnviệc bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giảipháp thực hiện như sau:

- Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cầnphải có một trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giảiđược các bài toán khó một cách thành thạo Cần phải có một phương phápgiảng dạy phù hợp kích thích được sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực củahọc sinh

- Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng Chính vìvậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơbản bao gồm tất cả các chuyên đề Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ranhững bài toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khảnăng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cùngthể loại

- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đốitượng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng họcsinh Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trongquá trình ôn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịpthời những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghịlực và quyết tâm vượt qua những khó khăn bước đầu khi học tập các chuyên

đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa ra

- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng cần hết sức tránh cho họcsinh những biểu hiện tự đắc, cho mình là giỏi Điều này sẽ làm cho các em khótránh khỏi những thất bại khi tham dự những cuộc thi lớn Chính vì vậy, giáoviên cần luôn có những bài toán khó, những yêu cầu cao để các em thấy đượcquá trình học bồi dưỡng học sinh giỏi là một quá trình không thể diễn ra trongngày một, ngày hai, mà là cả một quá trình lâu dài, thường xuyên, liên tục Tuynhiên, cũng cần tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục không giải được các bàitoán khó sẽ gây ra cho các em những sự nản chí, mất niềm tin vào khả năngcủa mình

IV Kết luận