skkn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN 1: PHẦN MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử’’ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khối (Phân môn đại số) Tác giả: Họ tên: Trịnh Thanh Hoài : Nữ Ngày,tháng,năm sinh: 05/ 04/ 1978 Trình độ chun mơn: Cao đẳng sư phạm tốn Chức vụ, đơn vị cơng tác: Giáo viên -Tổ Khoa học Tự nhiên Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, Hải Dương Điện thoại: 0904612799 Đồng tác giả: Không Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, Hải Dương Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, HD Điện thoại: 03203.585.548 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Môi trường giáo dục gồm: Giáo viên, học sinh, sở vật chất trường học Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2013 - 2014 HỌ TÊN TÁC GIẢ Trịnh Thanh Hoài XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN PHẦN II: TĨM TĂT SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến Đã nhiều năm nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn 8,9 Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều dạng tập cần sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Học sinh lúng túng làm dạng tập Chính tơi có ý tưởng nảy sinh viết sáng kiến "Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp học sinh giải tỏa khó khăn làm dạng tập có liên quan Đối tượng áp dụng sáng kiến - Học sinh đại trà học sinh giỏi khối - Thời gian áp dụng kì I năm học 2013 -2014 Nội dung sáng kiến * Tính mới, tính sáng tạo sáng kiến: - Khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, nhận thấy em học sinh hào hứng học tập, thích thú đến tiết học mơn Tốn Các em khơng cịn thấy khó khăn nói đến tập phân tích đa thức thành nhân tử Tùy đối tượng học sinh mà đưa phương pháp phù hợp Vậy thấy sáng kiến thực mang lại giá trị hiệu cao giảng dạy Vì tơi muốn chia sẻ bạn đồng nghiệp, mong góp ý chân thành * Khả áp dụng sáng kiến: - Sáng kiến giáo viên dạy toán học sử dụng nhà trường vào tiết dạy lí thuyết, luyện tập làm chuyên đề - Sáng kiến học sinh vận dụng tập từ dễ đến khó * Lợi ích thiết thực sáng kiến: - Giúp GV tổ chức buổi chuyên đề sinh động đơn giản Từ dạy luyện tập dễ dàng - Giúp HS phát triển tư duy, sáng tạo, kĩ thực hành tốt đặc biệt có kĩ sống tốt Khẳng định giá trị, lợi ích thiết thực sáng kiến: Sáng kiến áp dụng thấy có tính khả thi cao, chất lượng mơn tốn học khối 8, nâng lên rõ rệt, học sinh khơng cịn ngại học mơn tốn, kiểm tra em tự tin, u thích mơn học Vì vậy, sáng kiến tài liệu tham khảo giúp đồng chí giáo viên dạy tốn học trường THCS Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến Là giáo viên dạy toán học trường THCS nhiều năm thực sáng kiến Tôi xin đề xuất vài ý kiến nhỏ: - Các nhà trường cần quan tâm đến mơn tốn học cách: từ đầu năm học cần xây dựng kế hoạch tổ chức chuyên đề ,các buổi sinh hoạt tập thể mơn tốn học - Đối với giáo viên dạy toán cần tâm huyết với nghề, u thích mơn dạy, cần đầu tư thời gian, nghiên cứu tài liệu tham khảo tích cực cho học sinh làm tập… để em xác định cho có phương pháp học tập tốt Phần III MƠ TẢ SÁNG KIẾN I.Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến Lí chọn đề tài Hiện nay, nước ta tiến hành công "Công nghiệp hố, đại hố" đất nước, nhanh chóng hồ nhập với nước khu vực giới Để chuẩn bị cho xã hội tương lai, "Hơn hết bước vào giai đoạn nhà trường phải đào tạo người động, sáng tạo tiếp thu kiến thức đại, tự tìm giải pháp cho vấn đề sống đại đặt ra" Đổi phương pháp dạy học nhằm đáp ứng yêu cầu xây dựng nguồn lực người thời kì "Cơng nghiệp hố Hiện đại hố" đất nước Giáo dục tồn diện hệ trẻ, đào tạo lớp người lao động có trí tuệ, tay nghề cao, làm chủ khoa học kĩ thuật cơng nghiệp đại, có ý chí tự lực, tự cường dân tộc, nhân tố định phát triển rút ngắn đất nước tới xã hội văn minh, giàu mạnh Khi đề chiến lược phát triển kinh tế - xã hội Nghị Hội nghị trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: “ Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ người học, khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kĩ năng, phát triển lực Chuyển tự học chủ yếu sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, ý hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khóa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin truyền thông dạy học” Mục tiêu mơn tốn học góp phần giáo dục người phát triển tồn diện nhằm đào tạo nhân lực phát triển nhân tài cho đất nước Do qua việc học mơn tốn , học sinh phải hình thành kỹ học tập nghiên cứu kĩ làm tập, nhận xét, giải thích, rút kết luận, từ có suy luận logic, kĩ so sánh, phân tích tổng hợp Sử dụng phương pháp hoạt động dạy học góp phần quan trọng hình thàng kĩ cho học sinh, tạo cho học sinh thái độ học tập tích cực, có hứng thú học tập mơn tốn nói riêng u thích khoa học nói chung MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: * Mục đích: - Nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn dạng tập có áp dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử - Giúp cho học sinh có khả khám phá khoa học Đồng thời trình dạy học phần giúp em giỏi suy luận, phán đốn logic, mà giúp em có thêm kĩ sống * Nhiệm vụ: - Hiểu xác định dạng tập - Vận dụng kiến thức học để làm dạng tập - Tổ chức dạy thực nghiệm qua buổi học để xác định hiệu đề tài 3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu sử dụng đề tài chương trình tốn THCS bước vận dụng vào trình tổ chức tiết dạy,các chuyên đề PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo - Nghiên cứu sở lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu lí luận, thực tiễn - Thực nghiệm tiết dạy nhà trường - Thăm dò ý kiến giáo viên, học sinh sau dạy thực nghiệm II Cơ sở lí luận Tốn học mơn địi hỏi tính sáng tạo, tư logic, tính khoa học cẩn thận học sinh Khi học sinh học tốt mơn tốn học tất mơn khác Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn quan trọng mơn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt mơn III Thùc tr¹ng cđa vÊn ®Ị Đã nhiều năm tơi nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn 8,9 qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giáo viên khác Tơi nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập có sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Ví dụ 1: Khi giáo viên đưa tập Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: 3x − 12 x + 12 x2 − 2x Nhiều học sinh thể lúng túng gặp ví dụ trên, có học sinh dơ tay phát biểu, có vài học sinh khá, giỏi Nguyên nhân: học sinh thiếu kỹ phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa học xong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử) - Ví dụ 2: giáo viên đưa tập Giải phương trình sau cách phân tích vế trái thành nhân tử a 5x(x - 2000) - x + 2000 = b x2 +x - = Học sinh gặp nhiều lúng túng chưa tìm cách giải Vì để giải tốn học sinh cần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo Nhưng việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử thơng thường đa số em gặp nhiều khó khăn Để ứng dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào dạng tập vơ khó khăn vớ học sinh đặc biệt học sinh trung bình yếu Do em quên kiến thức chưa biết vận dụng kiến thức cách hợp lý Qua khảo sát thực trạng học sinh trường sau số tiết dạy “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” học sinh lúng túng làm dạng tập Như qua trình giảng dạy, nghiên cứu dự đồng nghiệp, trao đổi học sinh, đánh giá rút số thực trạng việc dạy học giáo viên học sinh trường IV Các giải pháp phương pháp thực Lý thuyết * Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi Đa thức thành tích đa thức Các phương pháp Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung a Phương pháp - Tìm nhân tử chung Đơn thức, Đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) +) Phương pháp tìm nhân tử chung (với Đa thức có hệ số nguyên): - Hệ số nhân tử chung ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử - Lũy thừa chữ nhân tử chung phải lũy thừa có mặt tất hạng tử Đa thức, với số mũ nhỏ hạng tử b Ví dụ Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giải: 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy 2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy( 2x – 3y + 4xy) Phân tích ví dụ - Ta thấy hệ số nguyên dương hạng tử ví dụ 1.1 là: 14; 21; 28 ƯCLN(14, 21, 28) = Vậy hệ số nhân tử chung là: - Lũy thừa chữ có mặt tất hạng tử x y, số mũ nhỏ x y Vậy ta có lũy thừa chữ nhân tử chung : xy Vậy nhân từ chung đa thức ví dụ 1.1 là: 7xy Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 3(x – y) – 15x(y – x) thành nhân tử Với ví dụ lúc đầu học sinh gặp lúng túng cách xác định nhân tử chung Giái viên đưa gợi ý: ? - Tìm nhân tử chung hệ số 15 ? ? - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? - GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) ngược lại để xuất nhân tử chung Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ giải sau: Giải: 3(x – y) – 15x(y – x) = 3(x – y) + 15x(x – y)) = 3(x – y).1+ 3(x – y) 5x = 3(x – y)(5x + 1) Chú ý: Nhiều để xuất nhân tử chung cần đổi dấu hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A)) Kết luận: Một số lưu ý sử dụng phương pháp - Khi dạy phương pháp giáo viên cần nhấn mạnh cách tìm nhân tử chung tập - Khắc phục số sai lầm học sinh hay mắc phải Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3(x – y) – 15x(y – x) thành nhân tử 3(x – y) – 15x(y – x) = 3(x – y) + 15x(x – y) = 3(x – y)+ 3(x – y) 5x = 3(x – y)(5x + 0) (kết sai bỏ sót số 1) Ví dụ 1.3 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 sai - Khi thực toán giáo viên phải nhấn mạnh ý đẳng thức A2 =(-A)2 Phương pháp 2: Dùng đẳng thức a Phương pháp: - Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) b Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Ví dụ2 1: x2 + 8xy + 16y2 = x2 + 2.x.4y + y2 = (x + 4y)2 Ví dụ 2.2: 25x2 - 10x + = (5x)2- 2.5x.1 + 12 = (5x - 1)2 Ví dụ 2.3: a (x + y)2 – 9y2 = [(x + y) – 3y].[(x + y) + 3y] = (x + y – 3y)(x + y + 3y) = (x- 2y)(x + 4y) Kết luận: - Qua ví dụ giáo viên hướng cho học sinh cách nhận dạng vận dụng cách hợp lý đẳng thức q trình phân tích đa thức thành nhân tử - Giáo viên yêu cầu học sinh học thuộc bảy đẳng thức theo chiều biến đổi từ tổng thành tích - Lưu ý đơi cần phải đổi dấu để xuất đẳng thức Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử a Phương pháp Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức b.Ví Dụ: * Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 3.1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 – 3x + xy – 3y Giải: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x(x – 3) + y.(x – 3) = (x – 3)(x + y) * Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 3.2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 – 4x + – y2 Giải: x2 – 4x + – y2 = (x2 – 4x + 4) – y2 = (x – 2)2 – y2 = (x – – y)(x – + y) * Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 3.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 + 2x – y2 – 2y Giải: x2 + 2x – y2 – 2y = (x2 – y2 ) + (2 x - 2y ) = (x + y)(x – y) + 2(x - y) = (x - y)(x + y + 2) Kết luận: - Như đa thức phân tích tiếp sau nhóm cách hợp lý hạng tử, việc nhóm cách hợp lý hạng tử đa thức phải phân tích - Giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhóm ban đầu phân tích tiếp khơng thực Ví dụ : x2 + 2x – y2 – 2y = (x2 +2x) – ( y2+ 2y) = x( x+2) – y (y + 2) (khơng phân tích nữa) -Trong q trình nhóm hạng tử, phải ý tới dấu hạng tử sau nhóm Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp a Phương pháp: Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét tốn cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Khi phải phân tích đa thức thành nhân tử nên theo bước sau: - Đặt nhân tử chung tất hạng tử có nhân tử chung - Dùng đẳng thức có - Nhóm nhiều hạng tử( thường nhóm có nhân tử chung, đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc đổi dấu hạng tử b Ví dụ: Phân tích Đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 4.1 : 5x3 – 10x2y+ 5xy2 =5x( x2 – 2xy + y2) ( Đặt nhân tử chung) =5x (x - y )2 ( Dùng đẳng thức) Ví dụ 4.2: 2x3y - 2xy3 - 4xy2 – 2xy = 2xy(x2 – y2 – 2y – 1) ( Đặt nhân tử chung) = 2[x2 –( y2 + 2y + 1) ] (Nhóm hạng tử) = 2[x2 – ( y + )2] ( Dùng đẳng thức) = 2(x – y - 1)(x + + y) Kết luận: Khi dạy phương pháp giáo viên cần lưu ý cho học minh số vấn đề sau: - Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau đặt nhân tử chung ta thấy hạng tử lại ngoặc có dạng đẳng thức) sau nhóm hạng tử thích hợp, dùng đẳng thức phân tích tiếp đa thức Như để phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng phối hợp nhiều phương pháp không thiết phải theo trình tự định Các phương pháp sử cách phù hợp trường hợp, toán cụ thể 3 Các phương pháp khác (nâng cao) Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đa thức bậc hai ax2 + bx + c ) a Phương pháp: - Tách hạng tử đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất dạng nhân tử chung có dạng đẳng thức b Ví dụ: Có đa thức ta thấy hạng tử khơng có nhân tử chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Như để phân tích đa thức thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử đa thức thành hay nhiều hạng tử Giải: Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Tổng quát: Trong phương pháp giáo viên nên đưa phương pháp chung để học sinh biết cách thực Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa dạng ax2 + b1x + b2x + c cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1 c = hay b1b2 = ac a b2 Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Lập tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Áp dụng: Phân tích đa thức: 3x2 – 8x + thành nhân tử Ta có: a = ; b = -8 ; c = Bước 1: ac = 3.4 = 12 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = -8 = (-6) + ( - 2) Vậy ta tách hạng tử: -8x = -6x - 2x Khi ta có lời giải: 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Chú ý: * Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức bậc biến Ví dụ: 5.2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) * Đa thức bậc hai ax2 + bx + c khơng phân tích thành tích nhân tử phạm vi số hữu tỷ Nếu: - Khi phân tích a.c tích thừa số nguyên cách khơng có thừa số có tổng b Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt hạng tử a Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng a2- b2 sau thêm bớt b Ví dụ: Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 6.1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 6.2: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 3: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + Phương pháp 7: Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến số) a) Phưong pháp: - Đặt ẩn phụ, đổi biến đa thức cho thành đa thức có bậc nhỏ đơn giản Thực phân tích đa thức theo phương pháp b Ví dụ 7.1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm đa thức a Phương pháp: Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) a-1 a+1 số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự b Ví dụ 8.1: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = ±1; ±2; ±4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: 2 x3–x2–4= ( x − x ) + ( x − x ) + ( x − ) = x ( x − ) + x( x − 2) + 2( x − 2) = ( x − 2) ( x2 + x + 2) 3 2 Cách 2: x − x − = x − − x + = ( x − ) − ( x − ) = ( x − 2)( x + x + 4) − ( x − 2)( x + 2) 2 = ( x − ) ( x + x + ) − ( x + 2)  = ( x − 2)( x + x + 2) Ví dụ 8.2: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: ±1, ±5 không nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = x − x − x + x + 15 x − = ( x − x ) − ( x − x ) + ( 15 x − ) = x (3x − 1) − x(3x − 1) + 5(3x − 1) = (3 x − 1)( x − x + 5) Vì x − x + = ( x − x + 1) + = ( x − 1)2 + > với x nên khơng phân tích thành nhân tử Ví dụ 8.3: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 8.4: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x -2 khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định a Phương pháp: Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai biến đổi cho đồng hệ số đa thức với hệ số đa thức b.Ví dụ 9.1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số ± 1, ± không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd  a + c = −6  ac + b + d = 12  đồng đa thức với đa thức cho ta có:   ad + bc = −14 bd = Xét bd = với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} với b = d = hệ điều kiện trở thành  a + c = −6  ac = −8 2c = −8 c = −4  ⇒ ⇒  a + c = − 14 ac =  a = −2  bd = Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Biện pháp: Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, - Học sinh cần quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức Học sinh cần học thuộc đẳng thức đáng nhới theo chiều từ tổng thành tích - Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) - Xét xem toán cho thuộc dạng nào? Áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) - Chọn lựa phương pháp giải thích hợp V Kết đạt được: Tôi nhận thấy trước chưa áp dụng sáng kiến vào dạy mơn tốn em học sinh học theo tính tiêu cực như: Đa số em lười làm cũ trước đến lớp, số em có làm sai nhiều Sau tơi áp dụng sáng kiến “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" Các em hứng thú việc tìm hiểu, khám phá tập cách dễ dàng Đặc biệt tiết luyện tập em say mê làm tập học hỏi lẫn Ngay học sinh trung bình yếu, em xác định cho phương pháp học tập tốt Đối với học sinh giỏi, em phát triển tư duy, cách nghĩ, cách làm tích cực chủ động Khi giải tập khó em có tự tin, kết đạt kiểm tra nâng cao Tơi cho yếu tố quan trọng để học sinh ngày học tập tốt Điều góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo Sau dạy thực nghiệm với phương pháp tích cực câu hỏi trắc nghiệm tơi thăm dị ý kiến học sinh, kết hợp việc đánh giá qua kiểm tra với kết sau: * Kết trước thực hiện: Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 8A 40 10 25 10 25 15 37,5 12,5 8B 40 11 27,5 15 37,5 12 30 8C 39 0 5,1 20 51,2 17 43,7 Tổng 119 12 10,1 23 19,3 50 42,0 34 28,6 * Kết sau thực hiện: Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 8A 40 13 32,5 14 35 13 32,5 8B 40 10 13 32,5 16 40 17,5 8C 39 0 12,8 24 61,5 10 25,6 32 26,8 53 44,5 17 14,5 Tổng 17 14,2 119 VI Bài học kinh nghiệm: Qua trình dạy thực nghiệm nhiều năm giảng dạy rút kinh nghiệm sau: Đối với giáo viên: - Giáo viên phải có lịng nhiệt tình, u nghề, say mê với cơng việc giảng dạy, tìm hiểu rõ tâm lý lứa tuổi, từ tìm phương pháp phù hợp với đặc trưng mơn, giúp học sinh có khả tiếp thu lĩnh hội kiến thức tốt - Hàng năm giáo viên việc giảng dạy lớp phải có kế hoạch xây dựng hoạt động dạy học tổ chức học chuyên đề, sinh hoạt tập thể, ngày hội vui tốn học , ln tìm phương pháp mới, hợp lý mang tính sáng tạo, phù hợp với nội dung đặc thù mơn để kích thích tị mị, tìm tịi, nghiên cứu khả phát triển tư học sinh - Để tổ chức hoạt động dạy học đạt kết cao giáo viên phải chuẩn bị chu đáo phương pháp cho nội dung Đồng thời giáo viên nên hướng dẫn tỉ mỉ cácdạng tập, để thu hút đối tượng học sinh tham gia, làm cho giảng đạt hiệu cao - Trong giảng giáo viên phải lường trước tình huống, cố xảy ra, để khơng bị động có thí nghiệm không thành công Đối với học sinh: - Phải yêu khoa học, say mê học tập, thích tìm hiểu mới, phải rèn cho có lĩnh làm tập Chuẩn bị chu đáo thực nghiêm túc nội dung yêu cầu giáo viên đặt - Rèn luyện tính tư sáng tạo, ý thức tự giác, hứng thú với môn học cần linh động học tập, đồng thời rèn luyện tính tập thể ý thức tham gia hoạt động học tập, nắm bắt kiến thức lớp áp dụng vào thực tiễn - Trong trình học tập em cần cố gắng tìm tịi, khám phá mới, chưa thấy đem lại kết cao bền vững - Sau buổi học yêu cầu học sinh cần lĩnh hội kiến thức để học sinh biết cách vận dụng cách linh hoạt thực tế học Đối với nhà trường: - Trang bị đầy đủ đồ dùng giảng dạy, thiết bị dạy học - Tạo điều kiện thuận lợi để giáo viên thiết kế giảng đạt chất lượng cao Phạm vi áp dụng đề tài Sáng kiến kinh nghiệm: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” nhằm phát huy khả tư duy, sáng tạo học sinh áp dụng tiết luyện tập Những vấn đề bỏ ngỏ Sáng kiến kinh nghiệm: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” q trình đúc kết kinh nghiệm, tìm tịi nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp qua họat động dạy học Xong thời gian hạn hẹp, bề dày kinh nghiệm thân hạn chế nên trình thực khơng tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp ý kiến độc giả đồng nghiệp để đề tài hồn thiện hơn, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn học THCS VII Điều kiện để sáng kiến nhân rộng: * Nhân lực: Nhà trường cần có kế hoạch xây dựng, đầu tư người vật chất hoạt động chuyên môn * Trang thiết bị: - Cơ sở vật chất: Phải có đủ phịng chức cho mơn, máy tính có gắn loa, máy chiếu, ánh sáng phòng học đầy đủ - Đồ dụng dạy học: hành năm cần bổ xung dụng cụ thiếu hay bị hỏng - Phòng thư viện cần mua sách nâng cao, tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh để nâng cao chất lượng dạy học * Kỹ thuật: Nắm bước tiến hành dạy học, hiểu đối tượng học sinh mà có cách giảng phù hợp KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ: Kết luận: Như vậy, việc áp dụng sáng kiến hoạt động dạy học trường THCS có tiến vượt bậc, mang lại kết khả quan Thông qua giảng học sinh không hình thành, rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ làm tập mà học sinh mở rộng, nâng cao kiến thức, biết vận dụng vào thực tế đời sống, đồng thời rèn cho học sinh có kĩ sống tốt, có lĩnh vững vàng đứng trước tình xảy Qua dạng tập học sinh ngày say mê, hứng thú tìm tịi với mơn tốn học.Căn vào kinh nghiệm thân đồng nghiệp, hệ thống hóa cách đầy đủ, cụ thể, tỉ mỉ biện pháp thực hiện, cách thức tiến hành dạng tập.Từ tơi rút cho cần thay đổi phương pháp dạy học cho phù hợp với kiểu bài, nội dung để chất lượng giáo dục ngày nâng cao Khuyến nghị: Bộ mơn tốn học môn khoa học,giúp rèn luyện tư sáng tạo học sinh Tuy nhiên, mục đích cuối giảng giúp học sinh nắm vững, hiểu sâu nội dung kiến thức học, phát triển khả tư duy, nhận thức từ biết vận dụng kiến thức để giải tập từ khó đến dễ Để chuẩn bị cho buổi học người giáo viên nhiều thời gian công sức, hồn cảnh trường học khơng phải trường có đủ điều kiện sở vật chất đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học Vì tơi xin có kiến nghị sau: + Đối với nhà trường - Cần phải có cán phụ trách thiết bị chuyên trách có chun mơn đào tạo - Các trường học cần có đủ máy chiếu, máy tính phịng học cho học sinh quan sát, tránh tình trạng giáo viên giảng chay hứng thú học sinh - Tạo điều kiện thời gian, không gian, tổ chức chuyên đề cấp trường để giáo viên áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy + Đối với phòng giáo dục: - Tổ chức chuyên đề vấn đề nghiên cứu (phân tích đa thức thành nhân tử) để giáo viên dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi đồng nghiệp, tìm biện pháp hay - Đưa thêm vào chương trình Tự chọn Tốn 8, chun đề “phân tích đa thức thành nhân tử” TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tơn Thân – Nhà xuất GD Nâng cao phát triển Toán - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất GD Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán - Bùi Văn Tuyền - Nhà xuất GD 4.Tài liệu tập huấn dạy học kiểm tra, đánh giá kết hoc tập theo định hướng phát triển lực học sinh (Bộ giáo dục đào tạo)