Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Đã nhiều năm tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8,9.Thực tế giảng dạy cho thấy rất nhiều dạng bài tập cần sử dụng các phương phápphân tích
Trang 1PHẦN 1: PHẦN MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1 Tên sáng kiến: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử’’
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khối 8 (Phân môn đại số)
3 Tác giả:
Họ và tên: Trịnh Thanh Hoài : Nữ
Ngày,tháng,năm sinh: 05/ 04/ 1978
Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm toán
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên -Tổ Khoa học Tự nhiên
Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, Hải Dương
Điện thoại: 0904612799
4 Đồng tác giả: Không
5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, Hải Dương
6 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, HD Điện thoại: 03203.585.548
7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
+ Môi trường giáo dục gồm: Giáo viên, học sinh, và các cơ sở vật chất củatrường học
8 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2013 - 2014
HỌ TÊN TÁC GIẢ
Trịnh Thanh Hoài
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Trang 2PHẦN II: TÓM TĂT SÁNG KIẾN
1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Đã nhiều năm tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8,9.Thực tế giảng dạy cho thấy rất nhiều dạng bài tập cần sử dụng các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử Học sinh còn rất lúng túng khi làm các dạng bàitập này Chính vì vậy tôi đã có ý tưởng nảy sinh viết sáng kiến "Các phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp học sinh giải tỏa những khókhăn khi làm các dạng bài tập có liên quan
2 Đối tượng áp dụng sáng kiến
- Học sinh đại trà và học sinh khá giỏi khối 8
- Thời gian áp dụng là kì I năm học 2013 -2014
3 Nội dung sáng kiến
* Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến:
- Khi tôi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi nhận thấy các em học sinh hàohứng học tập, rất thích thú mỗi khi đến tiết học môn Toán Các em không cònthấy khó khăn khi nói đến bài tập phân tích đa thức thành nhân tử Tùy từng đốitượng học sinh mà tôi đưa ra các phương pháp phù hợp Vậy tôi thấy rằng sángkiến thực sự mang lại giá trị hiệu quả cao trong giảng dạy Vì vậy tôi cũng muốnchia sẻ cùng các bạn đồng nghiệp, rất mong được sự góp ý chân thành nhất
* Khả năng áp dụng của sáng kiến:
- Sáng kiến được giáo viên dạy toán học sử dụng trong nhà trường vào cáctiết dạy lí thuyết, luyện tập và làm chuyên đề
- Sáng kiến được học sinh vận dụng trong các bài tập từ dễ đến khó
* Lợi ích thiết thực của sáng kiến:
- Giúp GV có thể tổ chức các buổi chuyên đề được sinh động và đơn giảnhơn Từ đó dạy các bài luyện tập được dễ dàng hơn
- Giúp HS phát triển tư duy, sáng tạo, kĩ năng thực hành tốt đặc biệt có kĩnăng sống tốt hơn
4 Khẳng định giá trị, lợi ích thiết thực của sáng kiến:
Trang 3Sáng kiến này tôi đã áp dụng và thấy có tính khả thi cao, chất lượng môn toánhọc ở khối 8, 9 được nâng lên rõ rệt, học sinh không còn ngại khi học môn toán,trong các bài kiểm tra các em tự tin, yêu thích môn học hơn Vì vậy, sáng kiếnnày có thể là tài liệu tham khảo giúp các đồng chí giáo viên dạy toán học trongtrường THCS
5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến.
Là một giáo viên dạy toán học trường THCS nhiều năm và đã thực hiệnsáng kiến Tôi xin đề xuất một vài ý kiến nhỏ:
- Các nhà trường cần quan tâm đến bộ môn toán học bằng cách: ngay từ đầunăm học cần xây dựng kế hoạch tổ chức các chuyên đề ,các buổi sinh hoạt tậpthể về môn toán học
- Đối với giáo viên dạy toán cần tâm huyết với nghề, yêu thích môn mình dạy,cần đầu tư thời gian, nghiên cứu các tài liệu tham khảo và tích cực cho học sinhlàm bài tập… để các em xác định cho mình có phương pháp học tập tốt hơn
Phần III MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Trang 4I.Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
đề do cuộc sống hiện đại đặt ra" Đổi mới phương pháp dạy học nhằm đáp
ứng yêu cầu xây dựng nguồn lực con người trong thời kì "Công nghiệp hoá Hiện đại hoá" đất nước Giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, đào tạo lớp người lao
-động có trí tuệ, tay nghề cao, làm chủ được khoa học kĩ thuật công nghiệphiện đại, có ý chí tự lực, tự cường dân tộc, chính là nhân tố cơ bản quyết định
sự phát triển rút ngắn của đất nước tới xã hội văn minh, giàu mạnh
Khi đề ra chiến lược phát triển kinh tế - xã hội Nghị quyết Hội nghị trungương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “ Tiếptục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huytính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học,khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cáchhọc, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổimới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực Chuyển tự học chủ yếu sang tổ chứchình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứukhóa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy vàhọc”
Mục tiêu của môn toán học là góp phần giáo dục con người phát triển toàndiện nhằm đào tạo nhân lực và phát triển nhân tài cho đất nước Do vậy qua việchọc môn toán , học sinh phải được hình thành kỹ năng học tập và nghiên cứu đó
là kĩ năng làm bài tập, nhận xét, giải thích, rút ra kết luận, từ đó có suy luậnlogic, các kĩ năng so sánh, phân tích tổng hợp
Sử dụng các phương pháp trong hoạt động dạy học góp phần quan trọnghình thàng những kĩ năng cho học sinh, tạo cho học sinh thái độ học tập tíchcực, có hứng thú học tập bộ môn toán nói riêng và yêu thích khoa học nóichung
2 MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Trang 53 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
- Nghiên cứu sử dụng đề tài ở chương trình toán THCS và từng bước vậndụng vào quá trình tổ chức các tiết dạy,các chuyên đề
4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết
- Phương pháp nghiên cứu lí luận, thực tiễn
- Thực nghiệm trên các tiết dạy trong nhà trường
- Thăm dò ý kiến giáo viên, học sinh sau khi dạy thực nghiệm
II Cơ sở lí luận
Toán học là bộ môn đòi hỏi tính sáng tạo, tư duy logic, tính khoa học cẩnthận của mỗi học sinh Khi học sinh đã học tốt bộ môn toán thì sẽ học được tất
cả các môn khác
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiếnthức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn họcđáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập
do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quáthoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán phân tích đa thứcthành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầunày, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khihọc về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giảiphương trình
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốtđiều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quansát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụngbài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phùhợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinhhọc tập tốt bộ môn
Trang 6III Thực trạng của vấn đề
Đó nhiều năm tụi được nhà trường phõn cụng giảng dạy bộ mụn toỏn 8,9 quathực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ cỏc giỏo viờn khỏc Tụi nhận thấy em họcsinh chưa cú kỹ năng thành thạo khi làm dạng cỏc bài tập cú sử dụng cỏcphương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử
- Vớ dụ 1: Khi giỏo viờn đưa bài tập Yờu cầu học sinh rỳt gọn phõn thức:2
Nguyờn nhõn: do học sinh thiếu kỹ năng phõn tớch đa thức thành nhõn tử (mặc
dự vừa được học xong cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử)
- Vớ dụ 2: giỏo viờn đưa bài tập Giải cỏc phương trỡnh sau bằng cỏch phõntớch vế trỏi thành nhõn tử
a 5x(x - 2000) - x + 2000 = 0
b x2 +x - 6 = 0Học sinh gặp rất nhiều lỳng tỳng và chưa tỡm ra cỏch giải
Vỡ để giải được cỏc bài toỏn trờn học sinh cần cú kỹ năng phõn tớch đa thứcthành nhõn tử một cỏch thành thạo
Nhưng ngay đối với việc giải cỏc bài toỏn về phõn tớch đa thức thành nhõn tửthụng thường thỡ đa số cỏc em cũng đó gặp rất nhiều khú khăn Để ứng dụng cỏcphương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử vào cỏc dạng bài tập trờn là vụcựng khú khăn đú vớ học sinh đặc biệt là học sinh trung bỡnh yếu Do cỏc em cúthể quờn kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cỏch hợp lý
Qua khảo sỏt thực trạng của học sinh trường tụi sau một số tiết dạy về “Cỏcphương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử” học sinh đều lỳng tỳng khi làmcỏc dạng bài tập này
Như vậy qua quỏ trỡnh giảng dạy, nghiờn cứu cũng như dự giờ cỏc đồngnghiệp, trao đổi cựng học sinh, tụi đó đỏnh giỏ và rỳt ra một số thực trạng nhưtrờn trong việc dạy và học của giỏo viờn và học sinh trường tụi
IV Cỏc giải phỏp và phương phỏp thực hiện
Trang 7- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗihạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng )
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
+) Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất
cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử
b Ví dụ.
Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử
Giải: 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy 2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy( 2x – 3y + 4xy)
Phân tích ví dụ
- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 14; 21; 28
và ƯCLN(14, 21, 28) = 7 Vậy hệ số của nhân tử chung là: 7
- Lũy thừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ nhỏnhất của x là 1 và của y là 1 Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là :
xy
Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1.1 là: 7xy
Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 3(x – y) – 15x(y – x) thành nhân tử
Trang 8Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác địnhnhân tử chung Giái viên có thể đưa gợi ý:
? - Tìm nhân tử chung của các hệ số 3 và 15 ?
? - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất hiệnnhân tử chung Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ 2 được giải như sau:
Giải: 3(x – y) – 15x(y – x) = 3(x – y) + 15x(x – y))
= 3(x – y).1+ 3(x – y) 5x = 3(x – y)(5x + 1)
Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng
tử (lưu ý tích chất: A = -(-A))
Kết luận: Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp.
- Khi dạy phương pháp này giáo viên cần nhấn mạnh cách tìm nhân tử chung trong các bài tập
- Khắc phục một số sai lầm học sinh hay mắc phải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3(x – y) – 15x(y – x) thành nhân tử
3(x – y) – 15x(y – x) = 3(x – y) + 15x(x – y)
= 3(x – y)+ 3(x – y) 5x
= 3(x – y)(5x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Ví dụ 1.3 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến :
Trang 9Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ2 1: x2 + 8xy + 16y2 = x2 + 2.x.4y + y2 = (x + 4y)2
Ví dụ 2.2: 25x2 - 10x + 1 = (5x)2- 2.5x.1 + 12 = (5x - 1)2
Ví dụ 2.3: a (x + y)2 – 9y2 = [(x + y) – 3y].[(x + y) + 3y]
= (x + y – 3y)(x + y + 3y) = (x- 2y)(x + 4y)
Kết luận:
- Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng vàvận dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong quá trình phân tích đa thứcthành nhân tử
- Giáo viên yêu cầu học sinh học thuộc bảy hằng đẳng thức theo chiều biếnđổi từ tổng thành tích
- Lưu ý đôi khi cần phải đổi dấu để xuất hiện hằng đẳng thức
Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
a Phương pháp
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức
b.Ví Dụ:
Trang 10* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
x2 – 3x + xy – 3y
Giải:
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)
= x(x – 3) + y.(x – 3) = (x – 3)(x + y)
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
x2 – 4x + 4 – y2
Giải: x2 – 4x + 4 – y2 = (x2 – 4x + 4) – y2
= (x – 2)2 – y2
= (x – 2 – y)(x – 2 + y)
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 3.3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
x2 + 2x – y2 – 2y
Giải:
x2 + 2x – y2 – 2y = (x2 – y2 ) + (2 x - 2y )
= (x + y)(x – y) + 2(x - y) = (x - y)(x + y + 2) Kết luận:
- Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm một cách hợp
lý các hạng tử, việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đa thức đều phảiphân tích được
- Giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi nhóm ban đầu thì phân tích được nhưng
đi tiếp thì không thực hiện được nữa
Ví dụ : x2 + 2x – y2 – 2y = (x2 +2x) – ( y2+ 2y)
Trang 11= x( x+2) – y (y + 2) (không phân tích đượcnữa)
-Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng tử sau khi
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức nếu có
- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằngđẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử
b Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 4.1 : 5x3 – 10x2y+ 5xy2 =5x( x2 – 2xy + y2) ( Đặt nhân tử chung)
=5x (x - y )2 ( Dùng hằng đẳng thức)
Ví dụ 4.2: 2x3y - 2xy3 - 4xy2 – 2xy
= 2xy(x2 – y2 – 2y – 1) ( Đặt nhân tử chung)
= 2[x2 –( y2 + 2y + 1) ] (Nhóm các hạng tử)
= 2[x2 – ( y + 1 )2] ( Dùng hằng đẳng thức)
= 2(x – y - 1)(x + 1 + y)Kết luận: Khi dạy phương pháp này giáo viên cần lưu ý cho học minh một sốvấn đề sau:
- Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tửchung ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đónhóm các hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức.Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng phối hợpnhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tự nhất định nào.Các phương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trường hợp, từng bàitoán cụ thể
Trang 123 Các phương pháp khác (nâng cao)
Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa thức bậc hai
ax2 + bx + c )
a Phương pháp:
- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất
hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức
b Ví dụ:
Có những đa thức ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng không
có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm cáchạng tử Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta cần phải cócách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơnbằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành 2 hay nhiều hạng tử
Tổng quát: Trong phương pháp này giáo viên nên đưa ra phương pháp chung
để học sinh biết cách thực hiện
Để phân tích đa thức dạng ax 2 + bx + c thành nhân tử ta đưa về dạng