Chương I. §8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

[r]

Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1. Phơng pháp đặt nhân tử chung ( thừa số chung):

a) a2 + 3a

b) 14a + 21b

c) a(x+y) + b(x+y) d) 10a6 + 20a5

e) 5x2 – 10xy +5y2

f) 3ab3 + 6ab2 – 18ab

g) 15x3y2 + 10x2y2 - 20x2y3

h) a2(x – 1) – b(1 – x)

i) x(x – 5) – 4(5 – x)

2. Phơng pháp dùng đẳng thức: a) x2 + 2x +

b) 4x2 - 12x + 9

c) 9x2 – 4y2

d) 8x3 – 27

e) 16a2 – (x – y)2

f) (a – 3b)2 – 16c2

g) 16(x - y)2 - 25(x + y)2

h) m3 – 27

i) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3

j)

4a

−b2

k) a4 – b4

l) 1+

64 x

m) x3 – 3x2 + 3x – 1

n) x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3

3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử để đặt thừa số chung xuất hiện đẳng thức:

a) 6a(x+y) + x+ y b) a(x-y) – bx + by c) x2 + xy + ax + ay

d) 10ay – 5by + 2ax – bx e) x+ x2 – x3 – x4

f) ax2 – bx2 – bx – ax – a – b

g) 7x2 – 7xy – 4x + 4y

h) x(2x – 7) – (4x – 14) i) x2 + 6x + – y2

4. Phơng pháp thêm , bớt hạng tử để xuất đẳng thức xuất nhân tử chung:

Đối với phơng pháp thờng đợc chia làm hai dạng : a Đa thức có dạng bình phơng tổng: A = a4 + b4

Ví dụ 1: Phân tích đa thức P = x4 + 4y4 thành nhân tử.

Nhận xét: Hiện đa thức có tổng bình phơng (x2)2 + (2y2)2 tơng

ứng với số hạng a2 + b2 đẳng thức a2 + 2ab + b2 nh cịn thiếu

2ab nên để có đẳng thức thêm tích 2.x.2y2 bớt đi

2.x.2y2

P = x4 + 4y4 = (x2)2 + (2y2)2 + 2.x.2y2 - 2.x.2y2

= (x2 – 2y2)2 – (2xy2)2 = (x2 – 2y2 – 2xy2)(x2 – 2y2 + 2xy2).

Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phơng làm tiếp đợc tốn đợc.

VÝ dơ 2: (Bài 43d trang 20 / SGK) Phân tích đa thøc Q =

25 x

−64y2

=

8y¿2=(1

5 x −8y)(

5x+8y)

(15x)

−¿

Bµi tËp: a) x4 + 64 b) x4 + c) x4 + 4b4 d) 81x4 +

b Đa thức có dạng nh: a3k+2 + a3k + 11, a7 + a5 +1, a8 + a4 +1 vv…

Đối với đa thức nh muốn phân tích đa thức thành nhân tử nên tìm cách giảm dần số mũ luỹ thừa nhng cần ý đến biểu thức dạng a6 – 1; a3- 1; a2 + a + 1.

VÝ dơ : 1: Q = x5

+x+1

C¸ch 1: Thªm bít x4

+x3+x2 để đặt nhân tử chung

Q = x5

+x+1 = x5+x+1 + x4+x3+x2 - x4− x3− x2

= x3(x2+x+1)+(x2+x+1)− x2(x2+x+1)

= (x2+x+1)(x3− x2+1)

Cách 2: Thêm bớt x2 để có dạng x3 – dẫn đến thừa số chung

x2+ x +1.

Q = x5 - x2 + x2 + x + = x2( x3 – 1) + (x2+ x +1)

= x(x-1)( x2+ x +1) + (x2+ x +1)

= (x2+ x +1)( x3- x2 +1).

VÝ dơ 2: D = x8 + x7 +1

C¸ch 1: Thªm bít x6

+x5+x4+x3+x2+x để đặt nhân tử chung

x2+ x +1.

D = x8 +x7+1

= x8

= x6

(x2+x+1)+x3(x2+x+1)+(x2+x+1)− x4(x2+x+1)− x(x2+x+1)

= (x2+x+1)(x6− x4+x3− x+1)

Cách 2: Thêm bớt x2 + x để xuất x6 – dẫn đến x3 – có

chøa x2+ x +1.

D = x8

+x7+1 = x8− x2+x7− x+x2+x+1

= x2(x6−1)+x(x6−1)+(x2+x+1)

= (x2+x)(x6−1)+(x2+x+1)

= (x2+x)(x3−1)(x3+1)+(x2+x+1)

= (x2+x)(x −1)(x2+x+1)(x3+1)+(x2+x+1)

= (x2+x+1)[(x2+x)(x3+1)(x −1)+1]

= (x2+x+1)[(x5+x2+x4+x)(x −1)+1]

= (x2+x+1)[x6+x3+x5+x2− x5− x2− x4− x+1]

= (x2+x+1)(x6− x4+x3− x+1) Bµi tËp :

a) x5 +x4+1

b) x7

+x2+1

c) x8 +x7+1

d) x8 +x+1

e) x8

+x4+1

f) x10 +x5+1

5. Phơng pháp tách hạng tử.

i vi phng phỏp ny thng đợc đợc áp dụng đối tam thức bậc hai ax2 + bx +c có hai cách tách hạng tử:

Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai h¹ng tư.

Trong tam thức bậc hai ax2 + bx +c hệ số b đợc tách thành b =b + b2

sao cho b1b2 = ac Trong thực tế làm nên làm nh sau:

VÝ dô 1: M = x2 – 4x – 12

Bíc 1: T×m tÝch ac = 1.(-12) = -12

Bíc 2: Ph©n tÝch ac tÝch thừa số nguyên cách -12=1.(-12) = (-1).12 = (-2).6 = 2.(-6) = (-3).4 = (-4).3 Bíc 3: Chän thõa sè mµ tỉng b»ng b = - = - +2 nh vËy t¸ch – 4x = - 6x + 2x

M = x2 – 6x + 2x – 12 =x(x – 6) +2(x- 6) = (x- 6) ( x + 2)

VÝ dô 2: N = 2x2 + x – 6

Ta thÊy 2.(-6) = - 12 = (- 3) mà + (- 3) = tách x = 4x – 3x

ta cã N = 2x2 + 4x – 3x – = 2x( x+2) – 3(x+2) = (2x 3)(x+2)

Cách 2: Tách hạng tử tự thành hạng tử đa dạng hiệu hai bình phơng.

= (x + a)2– a

2−b ¿2 ¿

√¿

= ((x+a)+√a2− b)(x+a −√a2− b)

§iỊu kiƯn: a2 ≥ b

VÝ dơ 1: M = x2 – 4x – 12 = x2 – 2.x.2 + 22 – 22 – 12

= (x – 2)2 – 16 = (x- – 4)(x-2+4) = (x- 6)(x +2)

Chú ý : - Thờng áp dụng tam thức bậc hai có hệ số x chia cho hệ số x2 đợc thơng chia hết cho cịn khơng nên áp dụng theo

c¸ch 1.

- a2< b đa thức khơng thể phân tích tiếp đợc nữa.

VÝ dô 2: K = x2 + 6x + = x2 + 2.x.3 + 32 – 32 +

= (x + 3)2 – 22 = (x +3 -2)(x+3 +2) = (x+1)(x+5)

VÝ dô 3: H = = x2 + 10x + 16 = x2 + 2.x.5 + 52 – 52 + 16

= (x + 5)2 – 32 = (x +5 -3)(x+5 +3) = (x+2)(x+8)

Bµi tËp:

a)x2 - 6x + 5

b)x2 + 6x + 8

c) 2x2 + 10x + 8

d)9x2 + 6x – 8

e) x2 -5x + 14

f) 4x2 - 36x + 56

g)x2 – 7xy + 10y2

h)x2 - 5x – 14

i) x2 - 9x + 18

j) 2x2 - 6x + 4

k)3x2 - 5x – 2

l) 7x2 + 50x + 7

m) 15x2 + 7x – 2

n)x2 - 5x + 14

o)4x2 -36x + 56

p)x2 - 7x + 10

q)3x2 - 5x – 2

r) 2x2 + x - 6

s) 15x2 + 7x - 12

t) 3x2 – 8xy + 4y2

u)x2 - 10x + 21

6. Phơng pháp dự đoán nghiệm ®a thøc

Để phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng hệ địng lí Bezout: “ Nếu α nghiệm đa thức f(x) f(x) có chứa thừa số x- α”

VÝ dô 1: f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4

Thờng ta dự đoán nghiệm đa thức ớc hạng tử độc lập - , Ư(- 4) =

{−4;−2;−1;1;2;4}

Thế x= ±1;±2;±4 vào f(x) ta thấy x= x= làm f(x) = Vậy f(x) có nghiệm x = x= theo hệ định lí Be zout f(x) chứa thừa số x – x- Vậy ta cố gắng làm xuất thừa số x-1 x–2

f(x) = x3 – 5x2 + 8x – = x3 – x2 – 4x2 + 4x + 4x – 4

= x2( x – 1) - 4x(x – 1) + 4(x – 1)

= (x – 1) ( x2 – 4x + 4)

= (x - 1)(x -2)2

VÝ dô 2: f(x) = x3 – 6x2 + 6x – 7

¦(-7) = {7;1;1;7}

Thử giá trị x= -7;-1; 1; 7vào f(x) ta thấy có x= làm f(x) b»ng VËy f(x) cã nghiÖm x = nên ta cố gắng làm xuất thừa số x –

f(x) = x3 – 6x2 + 6x – = x3 – 7x2 + x2 – 7x + x – 7

= x2(x – 7) – x(x – 7) + (x – 7) = ( x2 – x + 1)(x – 7)

Tr

ờng hợp đặc biệt: Khi nghiệm x = hoc x = -1.

Định lí 1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ sè b»ng th× nã cã chøa mét thõa sè lµ (x 1) ( tøc lµ f(x) cã nghiƯm x = 1)

– ”

VÝ dô : A = x3 – 6x2 + 11x – 6

Ta thÊy + (-6) +11 + (- 6) = nªn A chøa thõa sè x – Ta cố gắng tách hạng tử cho có thừa sè (x – 1)

A = x3 – 6x2 + 11x – = x3 – x2 - 5x2 + 5x + 6x – 6

= x2(x-1) – 5x(x – 1) + 6(x – 1)

=(x - 1)(x2 – 5x + 6) (áp dụng tiếp phơng pháp nhẩm nghiệm )

= ( x – 1)( x- 2)(x 3)

Định lí 2: Nếu đa thức f(x) cã tỉng c¸c hƯ sè cđa l thõa bËc chữa tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) chứa thừa số (x + 1) ( tøc lµ f(x) cã nghiƯm x = -1) ”

VÝ dô : B = x3 + 2x2 + 4x + 3

NhËn xÐt: + = + (=5) nªn B cã chứa thừa số x + Ta cố gắng tách h¹ng tư cho cã thõa sè (x +1)

B = x3 + x2 + x2 + x + 3x + 3

= x2(x + 1) + x(x +1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x2 + x + 3)

Bµi tËp:

a) x3 - 6x2 + 11x – 6

b) 6x3 - 295x – 7

c) x3 - 3x2 - 4x + 12

d) 4x3 - 24x2 + 45x – 27

e) 2x3 - 5x2 + 8x – 3

f) 6x3 - x2 - 486x + 81

g) x3 - 5x2 + 8x – 4

h) x3 - 4x2 - 8x + 8

i) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1

j) x3 + 2x2 + 3x + 2

k) 3x3 - 14x2 + 4x + 3

m) x3 + 8x2 - 8x - 1

7. Phơng pháp dùng máy tính sơ đồ Hoor ner Giả sử chia đa thức P(x) = anx

n

+an −1xn −1+ .+a1x+a0 cho nhị thức x m ta

đ-ợc đa thøc Qn-1(x) = bn −1xn −1+bn−2xn −2+ .+b1x+b0 th× hệ số an ; an-1; an-2 ; ;a1

; a0 hệ số bn-1; bn-2 ; …;b1 ; b0 cã mèi liªn hƯ sau:

an an-1 an-2 … a1 a0

m bn-1 = an bn-2=an-1+mbn-1 bn-3 = an-2+ mbn-2 . b0 =a1 + mb1 r=a0 + mb0

Trong r số d phép chia P(x) cho (x – m) P(x)= (x- m)Q(x) + r

R lµ h»ng sè bậc r phải nhỏ bậc (x – m) NÕu r = th× x = m lµ nghiƯm cđa f(x)

VÝ dơ: C = x4 + 2x3 - 4x2 - 5x – 6

¦(- 6) = {- 6; -3 ; -2; -1 ; ; 2; ; 6}

Ta thấy hai trờng hợp đặc biệt không xảy nên ta thử x = ta làm nh sau: ( nên dùng máy tính cho nhanh)

a4=1 a3=2 a2=- 4 a1= -5 a0= -6

x=2 b3 = b2=2.1+2=4 b1 = 2.4+(-4) =4 b0 =2.4 + (- 5) = r = 2.3 + (- 6) = VËy C = (x - 2)( x3 + 4x2 + 4x + 3)

TiÕp tơc sư dơng tht to¸n Hor ner ta cã

b3 = b2= b1 = b0 =3

x= - b2 = b1= (-3).1+4=1 b0 = (-3).1+ =1 r=(-3).1 + = Ta cã C = (x - 2)( x +3)(x2 + x + 1)

8. Phơng pháp đặt ẩn phụ

Trong số trờng hợp việc đặt ẩn phụ làm cho toán dễ thấy lời giải phân tích thành nhân tử nhanh

VÝ dơ 1: M = ( x2 + 4x + 8)2 – 3x ( x2 + 4x + 8) + 2x2

Đặt x2 + 4x + = t

Ta cã M = t2 - 3xt + 2x2 = t2 - 2xt - xt + 2x2 = t(t - 2x) – x(t - 2x)

= ( t – 2x) ( t – x) = (x2 + 4x + -2x) (x2 + 4x + – x)

= (x2 + 2x + 8) (x2 + 3x + 8)

VÝ dô 2: N = (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) +1 = [(x+1)(x+4)] [(x+2) (x+3)] +1 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) +1

Đặt x2 + 5x + = t

N = (t – 1)(t + 1) +1 = t2 - + = t2 = (x2 + 5x + 5)2

Bµi tËp:

a) ( x2 + x)2 + 3( x2 + x ) + 2

b) x (x+1) (x+2) (x+3) +1

c) ( x2 + x + 1)( x2 + 3x + ) + x2

d) (x – y)2 + 4(x – y) -12

e) (x-1) (x-3) (x-5) (x- 7) – 20 f) (x-1) (x+2) (x+3) (x+ 6) – 20 g) 6x4 – 11x2 +3

9. Phơng pháp dùng hệ số bất định.

a) x4 + 6x3 + 11 x2 + 6x + 1

b) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1

Gi¶i

a) Giả sử đa thức đợc phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng (x2 + ax + 1) (x2 + bx + 1)

Thùc hiƯn phÐp nh©n ta cã :

(x2 + ax + 1) (x2 + bx + 1) = x4 + ( a+ b)x3 + ( + ab)x2 + ( a+b)x + 1.

Đồng với đa thức cho ta đợc : ¿

a+b=6 ab=9

¿{ ¿

⇒

¿ a=3 b=3 ¿{

¿

VËy x4 + 6x3 + 11 x2 + 6x + = (x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 1) = (x2 + 3x + 1)2

b) Ta t×m a, b, c, d cho :

3x2 - 22xy – 4x + 8y + 7y2 + = (3x + ax +b)(x + cy + d)

= 3x2 + (3c + a)xy (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd

Đồng hệ số tơng ứng hai vế ta đợc: ¿

3c + a = -22 3d+b=-4 ad+bc =8 ac=7 bd =

¿{ { { { ¿

Từ bd = chọn b = d = -1 (vì b + 3d = - 4) Ta có a+ c = -8 kết hợp với 3c + a = -22 ta đợc a = -1, c = -7