một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán đại số 9 và biện pháp khắc phục

Thực trạng dạy học và một số sai lầm trong giải bài tập toán của học sinh trường trung học cơ sở hiện nay .... Ngoài ra, tài liệu về sai lầm của học sinh trong khi giải toán và biện pháp

Trang 1

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

MỞ ĐẦU 3

1 Lí do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Giả thuyết nghiên cứu 5

7 Cấu trúc khóa luận 5

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận 6

1.1.1 Cơ sở tâm lí 6

1.1.2 Thuyết hành vi 7

1.2 Nội dung môn toán Đại số 9 8

1.3 Thực trạng dạy học và một số sai lầm trong giải bài tập toán của học sinh trường trung học cơ sở hiện nay 10

1.3.1 Điều tra từ giáo viên 10

1.3.2 Điều tra từ học sinh 12

1.4 Kết luận chương 1 13

Chương 2 MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9 VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC 2.1 Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9 14

2.1.1 Sai lầm do kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi đặc biệt là phép “”, “” 14

2.1.2 Sai lầm do khả năng suy luận chưa logic 26

Trang 2

2.1.3 Sai lầm trong hoạt động chuyển đổi bài toán, trong hoạt động phân chia

trường hợp 36

2.1.4 Sai lầm do sử dụng sai ngôn ngữ, kí hiệu toán học; do tâm lí chủ quan, do tiềm thức và do lầm tưởng sai vấn đề của học sinh 48

2.1.5 Sai lầm do không nắm vững định nghĩa, định lý, quy tắc và vận dụng sai trong khi giải bài tập 56

2.2 Một số biện pháp khắc phục sai lầm khi giải toán Đại số 9 62

2.2.1 Biện pháp 1: Tạo niềm tin ở khả năng người học nhằm khắc phục sai lầm của học sinh 62

2.2.2 Biện pháp 2: Tạo cơ hội để học sinh thử thách và tiếp cận với sai lầm 64

2.2.3 Biện pháp 3: Sử dụng phương pháp tư duy biện chứng nhằm khắc phục sai lầm của học sinh 70

2.2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng kiểm tra và nghiên cứu lời giải 77

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 79

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 79

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 79

3.2 Nội dung và hình thức tiến hành thực nghiệm 79

3.2.1 Nội dung thực nghiệm 79

3.2.2 Hình thức tiến hành thực nghiệm 87

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 88

KẾT LUẬN 89

1 Kết quả của đề tài 89

2 Hạn chế của đề tài 89

3 Hướng phát triển của đề tài 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 PHỤ LỤC

Trang 3

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc của nền kinh tế thế giới đã kéo theo sự phát triển thần tốc của các ngành khoa học thuộc nhiều lĩnh vực như: vật lý, hóa học, thiên văn học, … Những ngành khoa học thuộc những lĩnh vực trên muốn phát triển và vận dụng được vào thực tiễn, thì không thể thiếu vai trò của toán học đặc biệt là tính chính xác của toán học Tính chính xác trong toán học được thể bởi tính cẩn thận, tính logic và nhiều đức tính khác Những đức tính đó đòi hỏi người giải toán phải không được mắc sai lầm và luôn khắc phục sửa chữa sai lầm mắc phải khi học toán cũng như trong giải bài tập toán Vì theo G.Polia: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” Để khắc phục những sai lầm trên

ta không thể phủ nhận vai trò của người thầy trong việc dạy học giải bài tập toán Ngoài việc tạo ra các hoạt động để hướng dẫn học sinh giải bài tập, người giáo viên cũng cần đến nghệ thuật phát hiện sai lầm và sữa chữa sai lầm cho học sinh trong hoạt động và bằng hoạt động Vì theo A.A.Stôliar: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”

Thực tế sư phạm cho thấy trong hoạt động dạy học giải bài tập toán: giáo viên thường chỉ nặng về hoạt động trình bày lời giải, tìm ra cách giải mà không chú

ý đến việc phát hiện khắc phục và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu được lời giải, trình bày được cách giải của bài toán nhưng khi giải các bài toán khác có thể sẽ mắc sai lầm đáng tiếc Ngoài ra, tài liệu

về sai lầm của học sinh trong khi giải toán và biện pháp khắc phục sai lầm cho học sinh trung học cơ sở là rất ít, nếu có đi chăng thì cũng mang tính chất tản mạn theo chủ đề, nên dù có phát hiện ra sai lầm của học sinh cũng sẽ rất khó cho giáo viên thực hiện và vận dụng các phương pháp dạy học vào việc khắc phục và sửa chữa sai lầm cho học sinh

Hơn nữa, ta luôn thấy rằng nhiều học sinh dù có khả năng giải rất nhanh bài toán, nhưng thực ra bài toán đó lại chưa đúng, do học sinh mắc phải những sai lầm như không nắm vững kiến thức, chưa nắm phương pháp hoặc do tâm lý chủ quan, Khi học sinh mắc càng nhiều sai lầm mà không có cách khắc phục, thì học sinh thường có tâm lý sợ sệt dẫn đến không còn hứng thú trong giải toán nói riêng và trong học tập nói chung Đặc biệt, cấp trung học cơ sở là cấp học có nhiều điểm độc

Trang 4

đáo về nhận thức, về tư duy, hình thành kĩ năng và đây cũng là cấp học rất thích hợp cho việc tạo hứng thú học tập cho học sinh, rèn luyện khả năng tự học tránh sai sót trong quá trình giải toán để có thể hình thành những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho học trung học phổ thông Vì vậy việc nghiên cứu phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm cho học sinh trung học cơ sở nhằm khắc phục những hạn chế trên và đưa ra biện pháp phù hợp cho giáo viên, học sinh trong việc khắc phục và sửa chữa sai lầm trong khi giải toán, nhằm nâng cao hiệu quả học tập của học sinh nói riêng và nâng cao chất lượng giáo dục nói chung

Đó cũng là lí do chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số sai lầm thường

gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9 và biện pháp khắc phục”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9 bậc trung học cơ sở và đề xuất biện pháp khắc phục Vận dụng một số biện pháp đã đề xuất vào dạy học Đại số 9 nhằmnâng cao hiệu quả học tập của học sinh và nâng cao chất lượng dạy học cho các trường trung học cơ sở

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau:

- Tìm hiểu một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 9 bậc trung học

cơ sở và nguyên nhân dẫn đến sai lầm

- Điều tra thực tế giáo viên và học sinh bằng hệ thống câu hỏi nhằm đánh giá thực trạng của việc dạy và học cũng như nguyên nhân dẫn đến sai lầm cho học sinh trong khi giải toán Đại số9

- Đề xuất một số biện pháp khắc phục những sai lầm trên cho học sinh

- Tiến hành thực nghiệm thông qua thiết kế các hoạt động học tập dựa trên một số biện pháp đã đề xuất

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải

toán Đại số 9bậc trung học cơ sở và biện pháp khắc phục

- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh trường Trung Học Cơ Sở Nguyễn Thị Lựu –

Cao Lãnh – Đồng Tháp và trường Trung Học Cơ Sở Phạm Hữu Lầu – Cao Lãnh – Đồng Tháp

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trang 5

- Phương pháp nghiên cứu cơ sở lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu về

những sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số từ đó tạo tiền đề để nghiên cứu đề tài

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Phương pháp điều tra, giáo viên và

học sinh để có thêm những hiểu biết về sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Đại số 9 và biện pháp khắc phục Xử lý kết quả bằng một số phương pháp thống kê toán học

- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành soạn và dạy một số giáo án dựa trên các

biện pháp đã đề ra, rồi kiểm tra tính khả thi thông qua bài kiểm tra học sinh

6 GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

Nếu tìm hiểu và nghiên cứu đúng những sai lầm của học sinh, những vướng mắc chưa được giải quyết, từ đó có biện pháp khắc phục đúng đắn thì sẽ góp phần nâng cao hứng thú học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học

7 CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Ngoài phần mở đầu và kết luận đề tài gồm có 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Cơ sở lí luận

1.2 Nội dung của môn toán Đại số 9

1.3 Thực trạng dạy học và một số sai lầm trong giải bài tập toán của học sinh trường trung học cơ sở hiện nay

1.4 Kết luận chương 1

Chương 2 Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải Toán Đại số

9 và biện pháp khắc phục

2.1 Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9

2.2 Một số biện pháp khắc phục sai lầm khi giải toán Đại số 9

2.3 Kết luận chương 2

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm

3.2 Nội dung và hình thức tiến hành thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chương 3

Trang 6

Xét về hoạt động học tập của học sinh thời kì này họ có những biểu hiện của

sự hứng thú trong học tập, chú trọng hơn ở một số phân môn nhất định và có tính chất định hướng nghề nghiệp Tuy nhiên, những hứng thú của học sinh với một số phân môn trên lại không sâu và bền nên rất dễ bị kích động bởi những yếu tố bên ngoài Mặt khác, do ở trường trẻ được tiếp xúc với những môn học có tính trừu tượng cao được hình thành từ những mệnh đề, định nghĩa, định lí nên hoạt động học tập của học sinh mang tính tích cực chủ động và tự giác cao, dần chuyển từ quá

trình dạy học “bắt tay chỉ việc” với sự hướng dẫn của giáo viên sang quá trình tự

học

Khả năng trí tuệ của học sinh thời kì này chủ yếu là mang tính chất có chủ định được thể hiện như: Tri giác có chủ định chiếm ưu thế, kỹ năng quan sát được nâng cao Trí nhớ tốt hơn, có khả năng ghi nhớ được nhiều tài liệu trừu tượng và phức tạp, học sinh biết sử dụng các thao tác tư duy trong quá trình ghi nhớ của mình Phương thức tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, phân tích và tổng hợp được học sinh vận dụng để phân loại và hệ thống các sự vật, nhìn nhận sự vật không chỉ ở dưới dạng hình thể vẻ bên ngoài, mà còn biết xét các sự vật hiện tượng theo tính chất của chúng, biết phân loại nhiều sự vật hiện tượng dựa vào những đặc tính riêng hoặc đặc tính chung của sự vật Chẳng hạn, trẻ không xem vật lớn hơn là tất nhiên phải nặng hơn Học sinh đã hình thành ở mình lối tư duy logic mệnh đề được suy diễn từ các giả thuyết đã cho, thực hiện thành thạo thao tác tư duy thuận-nghịch, ở học sinh tương ứng là phương pháp chứng minh điều kiện cần và đủ trong toán học

Do đặc tính của từng môn học nên vốn từ vựng của học sinh được phát triển phong

Trang 7

phú hơn, ngôn ngữ chính xác và ít thiếu sót hơn Trẻ còn có thể thực hiện thao tác tư duy từ cụ thể sang trừu tượng nhằm trừu tượng hoá vấn đề, ngược lại trẻ cũng có thể chuyển từ tư duy trừu tượng sang cụ thể và thực hiện đồng thời cả hai thao tác tư duy trên một cách linh hoạt, sáng tạo để có thể kiểm nghiệm chúng bởi thực tế

Do ở lứa tuổi này học sinh phát triển rất mạnh và mang tính chất không đồng đều, nên thường có những hành vi sai lệch không ý thức được bản thân, từ quá trình suy nghĩ đến quyết định còn mang tính vội vàng, hành động mang tính tự phát Ngoài ra, còn có nhiều học sinh thực hiện nhớ các tài liệu, kiến thức và sự kiện một cách máy móc mang tính chất không trọng tâm, nên học sinh thường rất dễ mắc sai lầm trong giải toán

Đối với nguyên nhân của sai lầm, thuyết hành vi lại có quan niệm phân đôi:

Thứ nhất, sai lầm là do học sinh mơ hồ, không nắm vững kiến thức đã học,

do thiếu hụt kiến thức, do vô ý, không cẩn trọng, Một cách cụ thể hơn, thuyết hành vi cho rằng học sinh sai lầm do không nắm vững các khái niệm, định lý, không nghiên cứu kỹ đầu bài, tính toán nhầm lẫn, vẽ hình sai và không nắm vững kiến thức

về logic toán,

Thứ hai, về sai lầm của học sinh cũng có thể là do giáo viên trình bày không chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không rõ ràng,

Về biện pháp phòng tránh sai lầm của học sinh, thuyết hành vi đưa ra

phương pháp dạy học mà thường được gọi là “sư phạm từng bước nhỏ” Theo đó, mục tiêu dạy học một kiến thức được phân nhỏ thành các mục tiêu bộ phận, các mục tiêu bộ phận đến lượt nó lại được phân thành các mục tiêu con, để làm sao cho học sinh có thể lĩnh hội kiến thức cần giảng dạy bằng con đường quy nạp, đi từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai lầm nào Với cách dạy học này, người giáo viên tìm mọi cách có thể để tránh sai lầm

Cách thức sửa chữa sai lầm của học sinh, thuyết hành vi cho rằng, nếu lỡ sai

lầm xuất hiện thì cách giải quyết thông thường là dạy lại, ôn luyện lại hay cung cấp

Trang 8

các kiến thức bổ trợ cho đến khi học sinh có được lời giải đúng như mong đợi Mặt khác, để khắc phục sai lầm của học sinh trong các suy luận, cần sớm đưa vào chương trình nội dung logic toán và dạy thật kỹ nó

Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng dù các biện pháp sửa chữa sai lầm nêu trên đã được thực hiện, thì sau một thời gian nào đó, người ta ghi nhận có không ít học sinh lại phạm phải sai lầm như cũ Nói cách khác, sai lầm vẫn dai dẳng tồn tại ở học sinh Đây là một trong các minh chứng cho thất bại của thuyết hành vi trong việc nghiên cứu những ứng xử phức tạp của con người

Cụ thể hơn nữa là ở Pháp, sau nhiều thập niên nhấn mạnh đặc biệt trên vai trò của dạy học các yếu tố logic, các chương trình toán trung học phổ thông sau năm

1990 đều ghi rõ: “Cấm mọi trình bày về logic toán” Trong khi nhiều nghiên cứu chỉ

ra rằng người Pháp rất quan tâm đến khó khăn và sai lầm của học sinh trong dạy học suy luận và chứng minh Nhưng, thay vì gia tăng dạy học các yếu tố logic họ lại bỏ

nó đi Nói cách khác, thể chế dạy học Pháp đang cố gắng thoát khỏi những hạn chế của quan điểm sư phạm dựa trên thuyết hành vi ngay từ sự lựa chọn và tổ chức các nội dung toán học cần giảng dạy

1.2 Nội dung môn toán Đại số 9

Nội dung chính trong dạy học toán Đại số 9 được chia thành bốn chương như sau:

 Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba

chương trình học kì hai của sách giáo khoa

Nội dung của từng chương được thể hiện bởi các bài như sau:

 Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba

Bài 1: Căn bậc hai

Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2  A

Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Trang 9

Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Bài 5: Bảng căn bậc hai

Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng yaxb a 0

 Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Phương trình bậc nhât hai ẩn

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

 Chương IV: Hàm số 2  

yax a0 – Phương trình bậc hai một ẩn Bài 1: Hàm số 2  

yax a0Bài 2: Đồ thị của hàm số 2  

yax a0Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Trang 10

1.3 Thực trạng dạy học và một số sai lầm trong giải bài tập toán của học sinh trường trung học cơ sở hiện nay

Do đề tài nằm ở luận điểm là một khoá luận tốt nghiệp thuộc hệ Cao đẳng Toán, nên hệ thống câu hỏi điều tra từ giáo viên và bài tập kiểm tra học sinh được chúng tôi gửi và nghiên cứu chủ yếu ở hai trường trung học cơ sở là: Trung Học Cơ

Sở Nguyễn Thị Lựu, và Trung Học Cơ Sở Phạm Hữu Lầu

1.3.1 Điều tra từ giáo viên

 Mục đích của hệ thống câu hỏi: Gồm 5 luận điểm cơ bản:

 Thứ nhất: Tìm hiểu năng lực của giải toán của học sinh, và tìm hiểu những

kiến thức mà học sinh cảm thấy khó tiếp thu thông qua việc dạy học của giáo viên, từ đó ta có thể dự đoán sai lầm của học sinh nằm ở chủ đề kiến thức nào, nội dung gì?

 Thứ hai: Nhằm tìm hiểu nguyên nhân mắc sai lầm của học sinh và những khó

khăn trong việc phát hiện sai lầm của học sinh trong giải toán

 Thứ ba: Tìm hiểu những biện pháp khắc phục sai lầm mà giáo viên thường

vận dụng, những khó khăn khi khắc phục sai lầm và cách khắc phục khó khăn của giáo viên

 Thứ tư: Kiểm tra tính khả thi của đề tài

 Thứ năm: Với những câu hỏi gợi mở nhằm thu thập thông tin từ giáo viên để

có thể đề ra những biện pháp khắc phục sai lầm một cách triệt để

 Phân tích dữ liệu điều tra: Dựa vào những luận điểm cơ bản trên và Phụ lục 4 bảng 1 ta có thể phân tích các ý kiến của giáo viên như sau:

Từ dữ liệu thực tế ta thấy rằng phần lớn học sinh có kiến thức ở dạng trung bình – khá Tỉ lệ học sinh khá ngày càng giảm, thay vào đó là tỉ lệ học sinh trung bình ngày càng tăng Nguyên nhân chủ yếu là học sinh không còn hứng thú vào việc học hoặc do họ thiếu ý thức trong học tập Hơn nữa, khi học và giải toán học sinh chỉ học theo kiểu ghi nhớ máy móc, học thuộc lòng mà chẳng hiểu vấn đề cốt yếu của bài toán dẫn đến họ không nắm vững định nghĩa, định lí và các công thức cơ bản (400/0 giáo viên đồng ý) nên thường mắc sai lầm là không tránh khỏi Ngoài ra, học lực trung bình của học sinh còn thể hiện rõ ở sự tiếp thu kiến thức ở các chương

trong sách giáo khoa chẳng hạn ở “Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba” 400/0 giáo

viên cho rằng học sinh tiếp thu chậm, “Chương II: Hàm số bậc nhất” là (33,40/0),

Trang 11

“Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn” là (13,30/0) và “Chương IV: Hàm

số yax2 a 0 – Phương trình bậc hai một ẩn” là (13,30/0) Từ những kết quả trên, đặt ra cho chúng ta câu hỏi rằng “Phải chăng trong việc giải và học toán, học sinh không có sự tiến bộ về môn học mà lại mắc sai lầm ngày càng nhiều, dẫn đến

đa số học sinh có học lực nằm ở mức trung bình? Vậy muốn khắc phục nó ta cần phải có điều kiện gì?” Để có câu trả lời chính xác hơn chúng tôi cần kết hợp tổng hợp các câu hỏi ở các luận điểm sau nhất là luận điểm thứ năm

Ngoài những nguyên nhân như đã nêu học sinh còn mắc sai lầm do nhiều nguyên nhân khác như: do kĩ năng tính toán còn yếu, vẽ đồ thị không chính xác (500/0 ý kiến nhất trí), hoặc do các hoạt động tư duy chưa phù hợp, do tâm lí chủ quan của học sinh (100/0 ý kiến nhất trí) Vậy thì những biện pháp khắc phục sai lầm trên là gì? Đại đa số giáo viên thống nhất thực hiện hai biện pháp sau:

+ Củng cố và nhắc lại định nghĩa, định lí hoặc qui tắc làm học sinh dễ mắc

sai lầm Rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy biện chứng, tạo điều kiện để học sinh được thử thách và tiếp cận với những bài tập dễ mắc sai lầm (52,380/0)

+ Giúp học sinh liên tưởng đến các bài tập cùng loại, và phân dạng một cách

có hệ thống các bài tập nhằm khắc phục sai lầm của học sinh (42,860/0)

Tuy nhiên khi vận dụng các biện pháp khắc phục sai lầm cũng như khi thực hiện phát hiện sai lầm của học sinh, là giáo viên ta cũng có một số khó khăn nhất định:

+ Do số lượng học sinh quá đông (42,860/0) nên giáo viên không thể kiểm soát được sai lầm và khắc phục được hết tất cả sai lầm của từng em, mà chỉ là khắc phục các sai lầm cơ bản, phổ biến của lớp học mà thôi

+ Học sinh thường có tâm lí che giấu sai lầm của mình (21,430/0) vì vậy ta không thể vận dụng được các biện pháp vào việc khắc phục

+ Thời gian dạy học trên lớp không đủ để khắc phục sai lầm của học sinh (27,270/0)

+ Do một số học sinh bị hỏng kiến thức quá nặng ở các lớp dưới (45,450/0 ý kiến đồng ý), nên khi lên lớp trên học sinh không thể tiếp thu được kiến thức mới, đồng thời cũng không thể bổ sung kiến thức cũ cho học sinh vì thời gian trên lớp không cho phép

Trang 12

+ 22,730/0 ý kiến giáo viên cho rằng học sinh mất niềm tin và không chịu hợp tác với giáo viên để khắc phục sai lầm của mình

Như vậy, muốn khắc phục sai lầm của học sinh một cách triệt để ta cần có sự kết hợp một cách chặt chẽ và tạo điều kiện giữa giáo viên, học sinh, gia đình và nhà trường

+ Giáo viên cần rèn luyện ý thức học tập cho học sinh (36,360/0)

+ Cần có sự quan tâm của gia đình và được ban giám hiệu hỗ trợ, tạo điều kiện về mọi mặt trong việc khắc phục sai lầm của học sinh (22,710/0)

+ Giáo viên phân dạng và hệ thống bài tập, tạo niềm tin cho học sinh và rèn luyện kĩ năng tính toán, phương pháp giải toán cho học sinh (13,640/0)

+ Phân loại học sinh và luôn đổi mới phương pháp dạy học nhằm tạo điều kiện cho việc khắc phục sai lầm của học sinh (13,640/0)

+ Giáo viên cần sắp xếp thời gian phụ đạo bổ sung kiến thức cho học sinh khi cần thiết, và luôn nhiệt tình trong việc khắc phục sai lầm của học sinh (9,10/0)

+ Số học sinh ở một lớp không được quá 30 học sinh (4,550/0)

Từ những vấn đề trên ta có thể thấy rằng việc giáo viên thấu hiểu những khó khăn của mình khi khắc phục sai lầm đi đến vận các biện pháp khắc phục phù hợp là

có hiệu quả và rất khả thi, vì khi khắc phục được sai lầm tâm lí của học sinh biến đổi rất nhanh chóng từ việc mất niềm tin và không còn hứng thú học tập (94,110/0), đến học sinh hứng thú, tự tin hơn trong giải toán, ham muốn và khao khát được giải các bài tập kế tiếp, quyết tâm không để mắc sai lầm trong lần sau (85,720/0)

1.3.2 Điều tra từ học sinh

 Mục đích của bài tập kiểm tra học sinh:

Bài tập kiểm tra học sinh được chúng tôi soạn thảo thành hai đề (đề 1 Phụ lục

2 và đề 2 Phụ lục 3) và tiến hành khảo sát ở hai lớp 9A1 và 9A6 trường Trung Học

Cơ Sở Nguyễn Thị Lựu với mục đích là tìm hiểu rõ hơn về những nguyên nhân sai lầm trong giải toán của học sinh

 Phân tích dữ liệu điều tra:

Thông qua Phụ lục 4 bảng 2 và bài tập kiểm tra ta thấy rằng sai lầm của học sinh là rất cơ bản và có thể khắc phục được triệt để nếu ta vận dụng đúng, linh hoạt các biện pháp khắc phục chúng Sai lầm này chủ yếu là do học sinh không nắm vững định nghĩa, định lí và các quy tắc logic (700/0 học sinh sai lầm), thực hiện tư

Trang 13

duy phân tích chưa phù hợp (800/0 học sinh sai lầm) hoặc do học sinh phân chia thiếu trường hợp, phân chia sai trường hợp với bài toán biện luận tham số (800/0 học sinh sai lầm)

1.4 Kết luận chương 1

Trên cơ sở tìm hiểu về đặc điểm tâm sinh lí của học sinh, thuyết hành vi, nội dung sách giáo khoa Đại số 9 và tình hình thực tiễn sư phạm ta thấy học sinh khi giải toán còn vướng phải rất nhiều sai lầm đòi hỏi phải được khắc phục ngay Và những sai lầm đó là mang tính chủ quan do con người, nên có thể nghiên cứu và đề

ra được các biện pháp khắc phục chúng một cách hiệu quả nhất

Trang 14

Chương 2 MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN

ĐẠI SỐ 9 VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC 2.1 Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9

Trong mục này, chúng tôi xin đưa ra một số sai lầm và phân tích những sai lầm cơ bản của học sinh trên phương diện hoạt động toán học nhằm tạo tiền đề cho việc thực hiện các biện pháp sửa chữa những sai lầm trong mục kế tiếp

2.1.1 Sai lầm do kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi đặc biệt là phép

“”, “”

a Sai lầm do kĩ năng tính toán

Kĩ năng tính toán ở đây là kĩ năng thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và luỹ thừa trên các con số, biểu thức và khả năng biến đổi các số, biểu thức Tuy nhiên, thực tiễn sư phạm cho thấy nhiều học sinh cấp trung học cơ sở thường tính sai trên các phép tính này đặc biệt là phép khai căn và luỹ thừa, khi thực hiện bỏ ngoặc thì không chú ý đến dấu “  ” trước ngoặc

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của 4.4 15

Sai lầm của học sinh:

Học sinh giải như sau: 15 15  15 15

4.4  16  16 4Một học sinh khác có lời giải là: 4.415  416 24 16

Lại có một kết quả khác: 416 44 456

Phân tích sai lầm của học sinh:

Thứ nhất, tuy học sinh tính được 15  15

16  16 nhưng khi thực hiện mũ hoá 4.415 1615 thì lại sai, nguyên nhân là do học sinh nghĩ rằng  2

a.a  a  Công thức đúng là a a  a

Thứ hai, do học sinh không chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính, nên họ

đã áp dụng một cách chế biến là lấy căn của cả cơ số và số mũ là không chính xác Học sinh lầm tưởng a  a a 0

Trang 15

Với kết quả thứ ba thì lại khác họ chỉ thực hiện lấy căn của số mũ nên cũng

đã dẫn đến kết quả sai Để làm sáng tỏ điều này ta có thể lấy ví dụ như sau:



Ta có: 25   , 5 9   , 3  144  12,  121 11 sau đó học sinh chia thành các trường hợp rồi thực hiện so sánh

Học sinh đã sai lầm khi nhầm lẫn giữa định nghĩa “căn bậc hai” và “căn bậc

hai số học” nên áp dụng sai định nghĩa “căn bậc hai” cho “căn bậc hai số học”

Tuy học sinh tính được căn bậc hai số học của một số dương cụ thể, nhưng khi thực hiện phép toán so sánh hai phân số thì lại quên biến đổi các phân số thành một phân số có tử số và mẫu số cùng dương, nên mắc phải sai lầm đáng tiếc khi

Trang 16

Học sinh đã quá hấp tấp khi thực hiện phép quy đồng mẫu biểu thức A , dẫn đến tạo sự phức tạp cho bài toán và tạo cho mình thế bế tắc không thể tiếp tục giải được nữa Tuy kết quả vẫn đúng, nhưng với sai lầm như trên thì học sinh chỉ có thể được 1

4 số điểm của bài toán, với số điểm này thì không thể xem là học sinh làm bài khá được

Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức A3 2 2 1   2 1 2

Học sinh đã rất tinh ý khi đã bình phương hai vế, vận dụng “hằng đẳng

thức” và định nghĩa “căn bậc hai số học” tạo thuận lợi khi khử 1 2 và phục vụ cho việc tìm A Cùng với kết quả hoàn mĩ như vậy, học sinh cứ nghĩ là mình đúng

Trang 17

vì mình đã áp dụng đúng “hằng đẳng thức” và định nghĩa “căn bậc hai số học”

thật chính xác, nhưng kết quả lại không phù hợp Rõ ràng 1 2 còn 0

3 2 2  1 2  nên A0  trái với 0 A  2 1 3  0

Vậy không có x thoả phương trình

Ta thấy với 3

x2

 là nghiệm của phương trình đầu Tuy nhiên, với cách tính toán, biến đổi từ (*) sang (**) học sinh có suy nghĩ sai lầm rằng 2  2 

x xx x 1

là mẫu thức chung của phương trình và tất yếu là đưa đến kết quả bài toán sai

Lời giải đúng:

Điều kiện: x x 1   0

Trang 18

Vậy max A khi x1   3

Với học sinh lớp 9, họ đã rất nhuần nhuyễn khi thực hiện nhân đơn thức với

đa thức, nhưng với những học sinh khi có thói quen giải toán xong không thực hiện bước kiểm tra, và với một kết quả chính xác như thế thì sai lầm xảy ra là khó tránh khỏi ở các bước trung gian từ (*) sang (**)

Trang 19

Vậy max A khi x1   3

Đến đây thì dừng lại vì chỉ có học sinh trường chuyên cấp trung học cơ sở mới biết nhẩm nghiệm hoặc đặt nhân tử chung để giải phương trình dạng này Ngoài

ra đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh lại thiếu điều kiện để mẫu xác định

b Sai lầm do kĩ năng biến đổi đặc biệt là phép “”, “”

Tuy cấp trung học cơ sở học sinh chỉ được làm quen với phép biến đổi

“”, “” bằng phương tiện trực quan dưới dạng các qui tắc biến đổi và được

thừa nhận Nhưng để đảm bảo tính logic của toán học nên hầu hết những bài toán

Đại số ở cấp học này, đặc biệt là Đại số 9 đều có sử dụng phép biến đổi “”,

“” trong việc trình bài lời giải bài toán Chính vì lẽ đó học sinh cảm thấy lúng

túng khi dùng phép “”,“” nên đưa đến nhiều sai lầm khi giải toán

Sai lầm chủ yếu là do học sinh thường lầm lẫn giữa phép “”,“” học

sinh không ý thức được lúc nào thì sử dụng phép “”, lúc nào thì sử dụng phép

“” Họ không hiểu được thế nào là điều kiện cần và thế nào là điều kiện đủ, để

chứng minh bài toán thoả điều kiện cần và đủ ta cần phải chứng minh gì? Nên

Trang 20

nhiều học sinh khi biến đổi đôi khi làm thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định, tập nghiệm của phương trình mà thật không biết điều đó

Ví dụ 8: Tìm điều kiện để y xác định với 2x

Vậy D \ a  thì y xác định

Từ (*) sang (**) không phải là phép biến đổi tương đương, phép biến đổi này

đã làm thu hẹp tập xác định của y nên phương trình đầu chỉ là phương trình hệ quả qua phép biến đổi mà thôi Phép biến đổi trên chỉ đúng khi x 0 còn với x  thì 00

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau: 2x 5y 1

x

135y

1311y13

Trang 21

Vậy phương trình có nghiệm: 19 5

Ở đây học sinh đã sử dụng phép toán logic một cách không chính xác là:

     

A BC  AB  AC vì thế phép biến đổi trên không phải là phép biến đổi tương đương Phép biến đổi trên chỉ tương đương khi sử dụng phép biến đổi logic đúng như sau: ABC  AB  AC

x

135y

1311y13

Kết hợp với điều kiện nhận nghiệm x  1

Trang 22

Nhận thấy rằng x  không phải là nghiệm của phương trình đầu, và phép 1biến đổi từ (*) sang (**) không phải là phép biến đổi tương đương vì nó làm thay đổi tập nghiệm của phương trình Lúc đầu phương trình vô nghiệm, nhưng khi ta nhân hai vế phương trình cho f x x 1 thì phương trình trở thành có nghiệm duy nhất Cần nhớ rõ rằng ta chỉ được nhân vào hai vế của phương trình với biểu thức

 

f x khi f x 0x mà thôi Trong tình huống này ta phải xét f x 0 để suy

ra giá trị x và thử xem có thoả phương trình cần giải hay không mới có thể kết luận nghiệm

Nhận thấy rằng x   không phải là nghiệm của phương trình đã cho 5Nhưng với học sinh thì đây là điều khó khăn để phát hiện ra sai lầm của mình, thật vậy với cách lập luận rằng A 0

Trang 23

Thứ nhất, với phép biến đổi từ (1) sang (2), học sinh thật sự sơ ý với biểu thức A.B khi thực hiện phép biến đổi không tương đương A.B  A B Nên ghi nhớ rằng A.B  A B chỉ đúng khi A0, B ; còn với A0 0, B khi 0

đó A.B  A B

Thứ hai, dễ thấy x  là nghiệm của phương trình nhưng do phép biến đổi 0

từ (2) sang (3) đã đơn giản hai vế cho x mà chưa biết x khác 0 hay bằng 0 Với phép biến đổi này, tập nghiệm của phương trình bị thu hẹp nên làm mất nghiệm

x Và phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (3) 0

Thứ ba, phép biến đổi từ (3) sang (4) học sinh đã mạnh dạng bình phương hai

vế phương trình khi chưa đặt điều kiện cho phương trình, nên đây cũng là phép biến đổi không tương đương mà là phép biến đổi hệ quả Trong trường hợp này,

A  B chỉ tương đương với

Trang 24

Ví dụ 13: Bài 16 sách giáo khoa Toán 9 tập 1 chứng minh: “Muỗi có thể nặng bằng voi” như sau:

Khối lượng muỗi m(g) và khối lượng voi V(g)

Suy ra con muỗi nặng bằng con voi

Học sinh đã phạm sai lầm khi cho rằng A2 A và cuối cùng đưa đến kết luận muỗi nặng bằng voi Từ (*) sang (**) chỉ là phép biến đổi hệ quả, phép biến đổi đúng là: mV2  Vm2 tương đương mV  Vm

Ví dụ 14: Giải bất phương trình: x  3 2x * 

Học sinh có suy luận như sau:

Vì x  nên 3 2x0   khi đó: 0

 22

Học sinh lập luận như thế để khẳng định hai vế của bất phương trình trên không âm nhằm phục vụ cho việc áp dụng bình phương hai vế của bất phương trình (*) Xem ra cũng có lí, nhưng học sinh đã nhầm khi khẳng định rằng x  3 2xtương đương với 2

x 4x  nói cách khác điều đó là sai Học sinh không ngờ 3 0đến với x thì vế trái (*) dương, còn vế phải thì lại âm đây là điều mâu thuẫn mà 3

Trang 25

họ không thấy với bất phương trình trên Bất phương trình x  3 2x chỉ tương

đương với x2 4x  khi có điều kiện 3 0 x 3

Vậy x thì bất phương trình (*) có nghiệm 1

Ví dụ 15: Giải phương bất phương trình sau:

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi x5, x 2, x  3

Sai lầm thứ nhất là do học sinh đã nhân vào hai vế của bất phương trình (*) cho biểu thức f x x mà không chú ý đến chiều của bất phương trình Điều 3này chỉ đúng khi f x  còn với 0 f x  thì bất sẽ đổi chiều Chẳng hạn 40  5không thể tương đương với 4. 2    8 105. 2 , mà chỉ tương đương

   

5 2  10  8 4 2 hoặc 4.2 8 105.2

Trang 26

Sai lầm thứ hai là do học sinh biến đổi: 1 1

x2 x 5     Họ đã xem việc giải bất phương trình không khác gì như giải phương trình, nên thực hiện

quy đồng mẫu bất phương trình một cách vô tư Ở đây

Vậy 3  x 2 x thì bất đã cho có nghiệm 5

2.1.2 Sai lầm do khả năng suy luận chưa logic

Sai lầm do suy luận thuộc về kiểu sai lầm tư duy logic do học sinh dựa vào tiền đề sai hoặc do không nắm vững cấu trúc logic AB, với cấu trúc này họ không hiểu đâu là điều kiện cần, đâu là điều kiện đủ và để chứng minh AB lại chứng minh AB Học sinh thật không hiểu lượng từ “và”, “hoặc” tồn tại trong mệnh đề là như thế nào chẳng hạn “Tam giác ABC là tam giác vuông cân” học sinh suy luận rằng “Tam giác ABC là tam giác vuông hoặc tam giác ABC là tam

giác cân”

Ví dụ 16: Một học sinh có lập luận như sau:

Trang 27

Thật tài tình khi có suy luận như thế Nếu ta sơ ý thì nghĩ đây là mệnh đề

đúng và rất hợp lí vì nó có cấu trúc logic “ AB mà A đúng thì B đúng” Nhưng thật sự đây là mệnh đề sai, nó tương tự như mệnh đề “Nếu 2 1   thì 2 3 13   ”,

thật ra ta có mệnh đề AB với A đúng thì chưa chắc B là đúng mà muốn B đúng bắt buộc ta phải có AB đúng Tức là, mệnh đề chỉ đúng nếu được phát

biểu như sau: “Nếu A B đúng và A đúng thì B đúng” Ở đây trung bình nhân của

hai số a và b là ab tuyệt nhiên không phải là ab

Ta chứng minh yx2 là hàm đồng biến trên ; 0

Trang 28

Học sinh xét thấy y0,1, 4,9, tăng nên suy luận hàm số tăng trên ; 0

là không phù hợp Một hàm số tăng hay giảm ta phải xét đến hai giá trị x và y , nếu

x tăng, y tăng thì ta có thể kết luận hàm số y đồng biến trên khoảng xác định nhưng đằng này y tăng x lại giảm nên không thể kết luận hàm số đồng biến được, ngược lại hàm số yx2 nghịch biến trên ; 0

Ví dụ 19: Tìm điều kiện xác định của A x2 2axa2 ( a là hằng số)

       nên không tồn tại x để A xác định

Học sinh quên đi điều kiện A với A vẫn xác định, cũng có thể họ nghĩ 0rằng xa2  dấu “0  ” không thể xảy ra với mọi x Vậy nếu ta thay x avào A thì sao, rõ ràng x thì Aa  xác định 0

Ví dụ 20: Giải phương trình: x2   x 1 0

Một học sinh giải như sau:

Trang 29

Vậy x là nghiệm phương trình 0

Với cách suy luận lắt léo của mình cuối cùng học sinh kết luận x là 0nghiệm phương trình đầu thì thật sai lầm Vì khi thay (*) vào (**) ta chỉ được phương trình hệ quả, tuyệt đối không phải là phương trình tương đương nên xuất hiện nghiệm ngoại lai x  Đây cũng có thể xem là sai lầm do học sinh ngộ nhận 0giữa phép “  ”, “  ” Rõ ràng ta dễ nhận ra phương trình vô nghiệm do   0

Ví dụ 21: Giải phương trình 3 2  

x x   x 2 0 *

Một lập luận của học sinh nọ như sau:

Phương trình x3x2  có nghiệm x2 0  và 0   Kết hợp với x 0phương trình (*) ta được x  hay x0  0

Vậy x là nghiệm phương trình 0

Thấy ngay x không phải là nghiệm của (*), do học sinh sai lầm khi suy 0luận một cách vô căn cứ không dựa vào tiền đề hai định lí nào cả mà chỉ là do cảm tính của mình Cũng có thể học sinh mắc phải sai lầm là khi liên tưởng đến hai phương trình tương đương khi mà thực hiện đánh giá 3 2

Trang 30

Ví dụ 22: Tìm m để phương trình 4   2  

x  m2 x m 3 0 * có nghiệm duy nhất

Đặt t x2 với t 0

Phương trình (*) trở thành: 2    

t  m2 tm 3 0 **

Phương trình (*) không thể có nghiệm duy nhất vì (**) không thể có nghiệm

âm và nếu (**) có nghiệm dương thì (*) có hai nghiệm phân biệt

Đúng là (**) không thể có nghiệm âm và cũng không thể có nghiệm dương

do thỏa điều kiện có nghiệm duy nhất, nhưng như vậy không có nghĩa là (*) không thể không có nghiệm duy nhất Dễ dàng nhận ra chỉ cần (**) có nghiệm bằng 0 thì (*) sẽ có nghiệm duy nhất khi đó m 3

Ví dụ 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2  2 

Học sinh đã có định hướng đúng khi thực hiện đánh giá P và tìm điều kiện dấu “ ” xảy ra nhằm thoả mãn định nghĩa tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) Nhưng họ thật không ngờ khi nhân hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà có xuất hiện số

âm khi đó bất đẳng thức  2  2    2

P x a x a  a a  a không xảy ra Như

7 và 13    suy ra 2 7. 1 3. 2 là sai, ngược lại 7 và 23  suy ra 17.23.1 thì lại đúng

Trang 31

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi: x 0

Vậy min P a2 khi x  0

Ví dụ 24: Cho a1, b 1 Chứng minh: a 1  b 1  ab

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số dương ta được:



 Vậy đề bài sai!

Học sinh này đúng thật có khiếu luật sư khi mà đề bài đúng nhưng với lập luận của mình thì nó lại trở thành sai Học sinh đã lầm lẫn khi khẳng định chắc chắn

như vậy vì bài toán yêu cầu chứng minh “con muỗi nhỏ hơn con ruồi”, họ đã chứng minh “con muỗi nhỏ hơn con trâu”, vậy để chứng minh “con muỗi nhỏ hơn con

ruồi”, ngược lại học sinh đi chứng minh “con trâu nhỏ hơn con ruồi” là không phù

Trang 32

a a b

0 (**)b

Vì vai trò của a, b như nhau nên bất đẳng thức (*) đúng

Đúng là vai trò của a, b trong (*) là như nhau và trong trường số thực với hai

số a, b thì ab hoặc b , nhưng ta không thể chỉ chứng minh a

2aa

b  như vậy rồi lại kết luận (*) đúng là sai

Giả sử ta chứng minh:

2bb

Trang 33

Thực hiện biến đổi:

2 2

Học sinh đã thiếu đi một số trường hợp trong lập luận không xác đáng của mình, đúng là x là số nguyên âm thì 2x là số tự nhiên, ngược lại 2x là số tự nhiên thì có thể suy ra được x là số nguyên âm hay không Chẳng hạn 2x 11, 2x 0

  thì x 11

2

  , x  không phải là số nguyên âm 0

Ta chỉ cần thay đổi kết luận thành:

A là số tự nhiên khi và chỉ khi 2x là số tự nhiên khi và chỉ khi a

x2

 với

a là số nguyên không dương

Ví dụ 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 34

Sai lầm là do học sinh khẳng định f x a  f x   a a 0,f x 0, chẳng hạn 7 x 1  12 2 12 tại x  Điều khẳng định trên chỉ đúng nếu 3

Mặt khác, ta có: F 5 10 Suy ra min F x 10 tại x 5

Ví dụ 28: Biện luận theo a, b để 2 m a x mb y c *  (c là hằng số) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

Vì (*) luôn đi qua điểm cố định với mọi m nên xét 2 giá trị cụ thể:

2 b a



Vậy chỉ cần ma, m ( ab  ) phương trình (*) luôn đi qua điểm cố định b

Suy luận của học sinh cho thấy khi thay tương ứng với hai giá trị m   , và thực hiện giải hệ ta có thể tìm được một điểm cố định khác Tuy nhiên, đề bài cần

chứng minh (*) luôn đi qua “một” điểm cố định nên suy luận của học sinh là không

phù hợp

Muốn (*) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

Thì m 2x y2axby c  với mọi m 0

Trang 35

Vậy (*) luôn đi qua một điểm cố định khi a b

Trước hết, ta đưa hệ (*) về dạng tổng quát: ax y 1

được giá trị của x thoả nên hệ vô nghiệm

Vậy a hoặc a0   thì hệ vô nghiệm 3

Trong ví dụ này học sinh phạm sai lầm khi dựa vào điều không xác định là 0

0trong suy luận của mình rồi đi đến kết luận a  thì hệ vô nghiệm Rõ ràng khi 3thay a  vào (*), hệ suy biến thành phương trình 3x3  y có vô số nghiệm 1

suy ra hệ vô số nghiệm

Vậy a thì hệ vô nghiệm 0

Ví dụ 30: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 3 2n 2n 1

Với n  ta có: 1 212 3 2.1 1 (vô lí)

Vậy bất đẳng thức đã cho không xảy ra

Trang 36

Hiển nhiên với n thì bất đẳng thức đã cho không thoả mãn vì đề bài yêu 1cầu chứng minh với n Trong khi đó học sinh quá cố chấp khi thay n3  vào bất 1đẳng thức rồi kết luận rằng bất đẳng thức không xảy ra là không phù hợp

Học sinh lầm khi đáng lẽ phải sử dụng phép quy nạp toán học để chứng minh, mà lại sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn chứng minh cho trường hợp tổng quát Phép chứng minh trên chỉ là dự đoán mang tính chất quán tính của học sinh Mệnh đề trên chỉ đúng và được chứng minh khi ta chứng minh nó bằng phép quy nạp toán học

a Sai lầm trong hoạt động chuyển đổi bài toán

Sai lầm trong hoạt động chuyển đổi bài toán chủ yếu là do học sinh chuyển đổi không chuẩn, không chú ý đến điều kiện tham số khi chuyển đổi hoặc có đặt điều kiện đi chăng thì cũng không xác với yêu cầu bài toán đặt ra Khi kết luận học sinh lại kết luận cho tham số chuyển đổi không chuyển về biến cũ để kết luận

Ví dụ 31: Người ta cần sử dụng hai loại xe tải, loại có tải trọng 5 tấn và loại

có tải trọng 4 tấn để chuyển 51 kiện hàng của một kho, mỗi kiện hàng nặng 1 tấn Hỏi có bao nhiêu cách chọn số lượng các loại xe trên

Trang 37

Gọi x   là số xe có tải trọng 5 tấn

y   là số xe có tải trọng 4 tấn

Ta có phương trình: 5x4y51 (Bài toán dừng lại)

Học sinh dừng lại vì họ đã thiếu điều kiện khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ thường ngày sang ngôn ngữ toán học Họ đã không chú ý đến điều kiện mà bài toán không nói ra là: số hàng mà xe có tải trọng 5 tấn và số hàng mà xe có tải trọng 4 tấn chở không thể vượt qua 51 tấn Khi đó ta phải có điều kiện như sau: 05x51,

Trang 38

2 2

2

2 2



Với sai lầm như trên nếu ta thực hiện kiểm tra lời giải bằng cách thay 4

t3

Vậy min P 10 với t suy ra a2  b

Ví dụ 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

Trang 39

Học sinh kết luận như thế là không phù hợp, cụ thể là bài toán ban đầu yêu cầu học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của Q tại giá trị x đằng này học sinh lại tìm giá trị nhỏ nhất của Q tại giá trị t

Một số học sinh lại giải theo hướng khác như sau:

Vì t  nên min t1   ta suy ra 1 min Q 1 1 1 tại x0   2

Tuy t  thì có thể kết luận min t1   nhưng không thể suy ra 1

 

min Q 1  1 1  Học sinh sai lầm khi cho rằng giá trị nhỏ nhất của Q phụ 0thuộc vào giá trị nhỏ nhất của t, thật ra giá trị nhỏ nhất của t và Q không liên hệ với nhau như học sinh nhận xét vì khi ta thử với 1

t2

Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 40

Học sinh quên đi khi đặt điều kiện cho ẩn phụ là t  , dẫn đến họ đặt tương 0ứng hai nghiệm của phương trình (*) với một nghiệm của phương trình (**) mà không xét âm dương là sai Nói cách khác, nếu (**) có nghiệm âm tức là x2   t 0thì (*) không thể xác định được x nên (*) không thể có 4 nghiệm phân biệt Phương trình (*) chỉ có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (**) có hai nghiệm dương ứng

với điều kiện:

Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) phải có “hai

nghiệm phân biệt dương” với mọi m

  thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt

b Sai lầm trong hoạt động phân chia trường hợp

Sai lầm trong hoạt động phân chia trường hợp thông thường là do học sinh phân chia thiếu trường hợp, phân chia bị trùng lập, áp dụng thuật giải một cách máy móc vào trường hợp có chứa tham số, hoặc chỉ xét trường hợp riêng cụ thể không thực hiện xét trường hợp tổng quát một cách xác đáng và ngược lại

Ví dụ 35: Với giá trị nào của a, b, c ta có đẳng thức: a b c   a c b  

Vì A  A nên ta thực hiện biến đổi: a b c    a c b   khi đó ta có:

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	0,95 MB