(Sáng kiến kinh nghiệm) khắc phục một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán đại số tổ hợp

1 MỞ ĐẦU : 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học bản, cơng cụ để học tập nghiên cứu môn khoa học khác Tốn học có vai trị to lớn phát triển ngành khoa học kĩ thuật, liên quan chặt chẽ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật đời sống Vì thế, việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung , chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng u cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Trong môn Tốn trường phổ thơng, Đại số tổ hợp nội dung thiếu đưa vào chương trình Đại số Giải tích lớp 11 Đại số tổ hợp trang bị cho học sinh khả suy luận cao, tính logic, chặt chẽ xác mà cịn kiến thức đưa vào thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, móng để xây dựng tốn xác suất chương trình THPT đại học Đây thật phần hay phù hợp để dạng câu hỏi trắc nghiệm kì thi THPT quốc gia Hơn tập phần Đại số Tổ hợp mang tính phân loại học sinh, khơng địi hỏi nhiều kiến thức, u cầu quan sát tinh tế, tư sáng tạo Dạy Tốn dạy kiến thức, tư duy, tính cách dạy Đại số tổ hợp, ngồi việc đưa kiến thức phương pháp giải học sinh cịn phải tìm tịi nhiều cách giải khác nhau, tìm sai lầm giải toán, mở rộng toán để giúp học sinh phát triển kĩ năng, tư duy, sáng tạo vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh việc học toán, sống Mặt khác rèn luyện kỹ giải Tốn Tổ hợp cịn góp phần vào việc đổi phương pháp dạy học theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm" Theo thầy đóng vai trị người hướng dẫn để học sinh tự tìm tịi phát kết quả, phát mâu thuẫn sai lầm trình giải tốn Với lí mạnh dạn chọn đề tài “Khắc phục số sai lầm thường gặp cho học sinh giải toán Đại số tổ hợp” Trong sáng kiến kinh nghiệm mong ủng hộ góp ý nhiệt thành quý đồng nghiệp, nhằm biến thành cơng cụ đích thực cho việc dạy học tốn Đại số tổ hợp 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đối với giáo viên Trên sở lí luận phương pháp dạy học, đề tài sâu đề xuất số biện pháp nhằm khắc phục sai lầm học sinh giải toán Đại số tổ hợp - Đối với học sinh Thông qua đường, biện pháp phát triển tính tích cực, độc lập nhận thức, đặc biệt tư giúp em khắc phục, tránh số nhầm lẫn đáng tiếc giải tập phần Đại số tổ hợp Từ kích thích hứng thú học tập, khơi dậy xúc cảm mơn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Tìm hiểu lí luận dạy học nói chung, dạy học phần Đại số Tổ hợp nói riêng để làm rõ nội hàm khái niệm - Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Đại số lớp 11 phần Đại số tổ hợp - Đề xuất số biện pháp nhằm khắc phục sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán Đại số tổ hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Về lí thuyết: Đề tài sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, chủ yếu là: + Phương pháp nghiên cứu tổng hợp để tiếp cận nghiên cứu, sâu vào vấn đề về lí luận dạy học nói chung, dạy phần Đại số tổ hợp nói riêng để lí giải rõ khái niệm, toán đề cập đến đề tài + Phương pháp so sánh để tìm nét chung nét trội vận dụng biện pháp nhằm khắc phục sai lầm học sinh giải Toán Đại số tổ hợp - Về thực tiễn: + Dự đồng nghiệp dạy khối 11 chương trình ban nâng cao + Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung phần Đại số tổ hợp thân trực tiếp đứng lớp trường Trung học phổ thông Vĩnh Lộc + Sử dụng phương pháp thống kê toán học sở so sánh giá trị thu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để đánh giá hiệu biện pháp dạy học mà đề tài đưa + Trong q trình giảng dạy giáo viên dự đốn, tổng hợp sai lầm học sinh thường mắc phải thơng qua tốn phân theo dạng, phân tích rõ nguyên nhân dẫn đến sai lầm từ lựa chọn phương án giải phù hợp Cuối trình bày lại thơng qua ví dụ cụ thể NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Định nghĩa chỉnh hợp, tổ hợp cơng thức tính số chỉnh hợp, tổ hợp Căn vào yêu cầu mục tiêu hệ thống giáo dục bậc THPT Căn vào tình hình học tập học sinh khối 11 hệ THPT việc học tập môn đại số giải tích 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua trình theo dõi học tập học sinh từ kết kì thi gần Tơi nhận thấy học sinh yếu loại tập Sự yếu thể nhiều khía cạnh Một là: Học sinh đưa kết lời giải sai mặt lập luận logíc Hai là: Khi gặp tốn có lựa chọn số nhiều học sinh thường lúng túng việc chọn chỉnh hợp hay tổ hợp, mà có lựa chọn cơng thức phải biết tốn sử dụng cơng thức này, tốn sử dụng cơng thức Và thiếu phương pháp giải mang lại tính ưu việt sử dụng tốn gián tiếp sai lầm mắc phải gì? Ba là: Khi gặp toán thành lập số đặc biệt có mặt chữ số đa phần học sinh lúng túng vị trí khơng thể nằm số hạng đầu nên việc chọn cách giải khó khăn Bốn là: Một số tốn tương tự mặt hình thức thay đổi bố cục lại áp dụng cho toán trước nên vấn đề nắm vững phương pháp giải dạng toán vấn đề nan giải Đề tài chủ yếu khắc phục số sai lầm thường mắc phải học sinh giải toán Đại số tổ hợp cách giúp em nắm vững hai khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp phân biệt giống khác hai khái niệm Thơng qua ví dụ trình bày cách giải sai để em tránh hiểu khái niệm cách hình thức Việc trình bày lời giải để giúp em biết áp dụng định nghĩa vào giải tập cách xác Phần cuối tơi có số tốn áp dụng để em rèn luyện qua kiểm tra kì đánh giá hiểu biết em, từ có kế hoạch bổ sung Đề tài thực qua nhiều khóa học có kết tốt, giúp em nâng cao kỹ giải toán Đại số tổ hợp Nhưng chắn nhiều khiếm khuyết mong đồng nghiệp giúp đỡ để hoàn chỉnh nhằm giúp học sinh học tập tốt 2.3 Cách giải vấn đề: Một số sai lầm thường gặp Giáo viên dự đốn sai lầm học sinh từ đưa ví dụ, tập dạng tập tự luận tập trắc nghiệm với phương án nhiễu sai lầm mắc phải, thông qua vừa phân tích lỗi vừa rèn luyện cho em kĩ làm Sau tơi xin trình bày số ví dụ, ví dụ phân tích rõ sai lầm dẫn đến lời giải sai, chốt lại lời giải 2.3.1 Sai lầm khái niệm tổ hợp chỉnh hợp Trước tiên nhắc lại định nghĩa chỉnh hợp, tổ hợp khác hai khái niệm a Định nghĩa chỉnh hợp: Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với  k  n lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A b Định nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với  k  n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A c Phân biệt: Cần phân biệt rõ cho học sinh khái niệm hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp, cụ thể: Từ định nghĩa cho tập A có n phần tử - Mỗi hoán vị xắp xếp tất n phần tử A - Mỗi chỉnh hợp xếp phần tử tập tập A Do hốn vị chập n tập A chỉnh hợp chập n tập A ( Ann  Pn  n! ) Sự giống khác chỉnh hợp chập k n tổ hợp chập k n (1  k  n ) - Giống nhau: Đều tập gồm k phần tử tập A - Khác nhau: Mỗi chỉnh hợp chập k n phần tử tập gồm k phần tử có thứ tự, kể thứ tự tập n phần tử Mỗi tổ hợp chập k n phần tử tập gồm k phần tử không kể thứ tự tập n phần tử Tức muốn hình thành chỉnh hợp chập k n phần tử ta tiến hành theo bước liên tiếp Bước 1: Tìm tất tổ hợp chập k n Bước 2: Tìm tất hoán vị tổ hợp n! k Số chỉnh hợp chập k n phần tử A( An   n  k  ! ,1  k  n ) lớn số n! k tổ hợp chập k n phần tử A( Cn   n  k  !k! ,  k  n ) d Áp dụng Ví dụ 1: Một đội bóng có 11 người trực tiếp thi đấu (Kể thủ môn).Trong trận đấu trung kết với 120 phút thi đấu đội phải đá luân lưu để phân thắng bại Hỏi huấn luyện viên có cách chọn người để thực loạt đá luân lưu? Một học sinh giải sau: Chọn người từ 11 người đội bóng Vậy số cách chọn C115 Học sinh giải sai kết Em phân tích sai lầm mà học sinh mắc phải lời giải trên? Giáo viên hướng dẫn giúp học sinh chốt lại nguyên nhân sai lầm: Khi chọn người từ 11 người để thực loạt đá luân lưu, người chọn cần phải ưu tiên chọn thứ tự đá lần 1, 2, 3, 4, Vậy kết phải : C115 5! hay A115 Qua ví dụ giúp em khắc sâu khác biệt hai khái niệm đồng thời dẫn dắt học sinh có lối tư sâu áp dụng Ví dụ 2: (Bài 58 SGK Đại số giải tích 11- Nâng cao) Trong không gian cho tập hợp điểm khơng có điểm đồng phẳng Hỏi lập tứ diện với đỉnh thuộc tập cho?[8] Sai lầm : Cứ đỉnh khơng đồng phẳng lập thành tứ diện nên số tứ diện lập từ đỉnh là: A94  3024 Nguyên nhân: Cách tính lặp 4! lần số tứ diện bốn đỉnh tứ diện khơng có tính xếp thứ tự chẳng hạn ABCD ABDC tứ diện Như sai lầm chưa phân biệt rõ tổ hợp, chỉnh hợp sai kiến thức hình học Lời giải đúng: Cứ điểm khơng đồng phẳng cho tạo tứ diện Ngược lại, tứ diện có đỉnh thuộc tập cho tương ứng với tập gồm phần tử tập cho (Vì đỉnh tứ diện khơng có tính thứ tự) Do số tứ diện lập từ điểm cho C 94  126 Ví dụ 3: Trong hộp có viên bi đỏ, bi trắng bi vàng Cần chọn viên từ hộp Hỏi có cách chọn để số viên khơng có đủ màu? Sai lầm Số cách chọn viên khơng có màu trắng C104  210 cách Số cách chọn viên khơng có màu vàng C 94  126 cách Số cách chọn viên khơng có màu đỏ C114  330 cách Theo quy tắc cộng có 120  126  330  666 cách Nguyên nhân sai lầm 1: Cách giải sai chỗ tính lặp lại lần số viên màu đỏ màu trắng màu vàng Sai lầm Số cách chọn viên có màu: C44  C54  C64 Số cách chọn viên có màu: Số cách chọn viên khơng có màu trắng C104  210 cách Số cách chọn viên khơng có màu vàng C 94  126 cách Số cách chọn viên khơng có màu đỏ C114  330 cách Vậy có: C44  C54  C64 + C104  C94  C114 Nguyên nhân sai lầm 2: Cách giải thay cho việc trừ số cách chọn lặp lại lần số viên màu đỏ màu trắng màu vàng học sinh lại cộng thêm vào Lời giải đúng: Cách 1: ( Chọn trực tiếp ) - Số cách chọn bi màu là: C 44  C54  C 64    15  21 - Số cách chọn bi có hai màu đỏ trắng là: C 42 C 52 + C 43 C 51 + C 41 C 53  6.10  4.5  4.10  120 - Số cách chọn bi có hai màu trắng vàng là: C 52 C 62 + C 53 C 61 + C 51 C 63  10.15  10.6  5.20  310 - Số cách chọn bi có hai màu vàng đỏ là: C 62 C 42 + C 63 C 41 + C 61 C 43  6.5  20.4  6.4  194 Theo quy tắc cộng có 120  310  194  645 cách Cách 2: ( Chọn gián tiếp) - Số cách chọn tuỳ ý viên C154 cách - Tính số cách chọn viên đủ màu: +) Trong đỏ, trắng, vàng l có C 42 C 51 C 61 cách +) Trong đỏ, trắng, vàng l có C 41 C 52 C 61 cách +) Trong đỏ, trắng, vàng l có C 41 C 51 C 62 cách - Số cách chọn cần tìm là: C154 -( C 42 C 51 C 61 + C 41 C 52 C 61 + C 41 C 51 C 62 )= 645 cách Cách 3: - Số cách chọn viên có màu: Số cách chọn viên khơng có màu trắng C104  210 cách Số cách chọn viên khơng có màu vàng C 94  126 cách Số cách chọn viên khơng có màu đỏ C114  330 cách - Số cách chọn viên có màu: C44  C54  C64 = 645 Vì cách chọn viên màu lặp lại lần số bi có màu Vậy có: C104  C94  C114 - C44  C54  C64 = 645 Ví dụ 4: (Bài tập tốn đại số tổ hợp -TS Nguyễn Văn Nhân) Một tổ có học sinh nam, học sinh nữ Chọn nhóm gồm HS cho có nữ có cách chọn? Lời giải 1: (có vẻ “hay” ngắn gọn … “độc đáo”) Bước 1: chọn nữ (vì có nữ) có: C7 (cách) Bước 2: Chọn bạn cịn lại 13 bạn có: C13 (cách) (khi bạn cịn lại 13 bạn chọn ln thoả mãn có nữ) Vậy có: C7 C13 = 15015 (cách) Lời giải 2: (trực tiếp): chia cụ thể trường hợp: TH1: nữ, nam: C7 C8 (cách) 3 TH2: nữ, nam: C7 C8 (cách) TH3: nữ, nam: C7 C8 (cách) TH4: nữ, nam: C7 C8 (cách) TH5: nữ: C7 (cách) 3 Vậy có tất cả: C7 C8 + C7 C8 + C7 C8 + C7 C8 + C7 = 4585 (cách) Lời giải 3: (gián tiếp) Bước 1: chọn HS bát kì: C15 (cách) Bước 2: chọn HS nam, HS nữ: C8 C7 (cách) Bước 3: chọn HS nam: C8 (cách) 6 Vậy số cách chọn thoã mãn là: C15 – ( C8 C7 + C8 ) = 4585 (cách) Nhận xét: Hai lời giải lời giải phân tích rõ ràng Lời giải xem hợp lý, ngắn gọn,…nhưng đáp án không lời giải 3? Vậy sai lầm đâu? Phân tích: Sai lầm học sinh phân biệt thứ chọn liên tiếp Tơi đưa sơ đồ minh hoạ cho lời giải 1: Nếu: nam có tên lần lượt: A, B, C, D, E, F, G, H nữ có tên lần lượt: K, L, M, N, O, P, Q + Giả sử chọn nữ: K, L chọn người cịn lại 13 người cịn lại là: A, B, M, N + Lần sau chọn nữ M, N chọn người cịn lại 13 người lại là: A, B, K, L Dấu hiệu học sinh sai lầm là: có lần chọn sau trùng với lần chọn trước với người: K, L, A, B, M, N Kết luận: Cách khơng sử dụng bị trùng lặp Vậy Tổ hợp chỉnh hợp dễ phân biệt, tốn u cầu tính thứ tự ta dùng chỉnh hợp, cịn khơng u cầu thứ tự (tùy ý) ta dùng tổ hợp Bên cạnh tốn có nhiều lời giải nhiều tốn có nhiều sai lầm mắc phải Sau ví dụ tơi đưa dạng trắc nghiệm với phương án sai xuất phát từ sai lầm phương án với nhiều cách giải Ví dụ 5: Một nhóm học sinh có bạn Giáo viên cần chọn học sinh có số cách chọn 1 1 2 A C5 B C5 C4 C3 C C5 C4 D C5 C3 Lời giải 1: Mỗi cách chọn bạn nam bạn số tổ hợp chập Số cách chọn C5 = 10 (cách) Lời giải 2: Đầu tiên chọn bạn có C5 (cách) Tiếp theo chọn bạn bạn cịn lại có: C4 (cách) Cuối chọn bạn cịn lại bạn có: C3 (cách) 1 Vậy có: C5 C4 C3 = 5.4.3 = 60(cách) Lời giải 3: Đầu tiên chọn bạn có C5 (cách) Tiếp theo chọn bạn cịn lại bạn có: C4 (cách) Vậy có: C5 C4 = 5.6 = 30 (cách) Lời giải 4: Đầu tiên chọn bạn có C5 (cách) Tiếp theo chọn bạn cịn lại bạn có: C3 (cách) Vậy có: C5 C3 = 10.3 = 30 (cách) Nhận xét: Mới nhìn thấy lời giải tương đối hợp lý kết lại khác Vậy đâu lời giải đúng? Phân tích: Lời giải 1: Tất nhiên lời giải Vậy sai lầm gi khiến cho lời giải lại sai? Lời giải 2: Sai lầm học sinh phân biệt thứ tự, đề không yêu cầu tính thứ tự Giả sử bạn tên A, B, C, D, E Đầu tiên chọn bạn bạn, dĩ nhiên có cách Nếu lần đầu chọn A (thì cịn lại B, C, D, E), lần chọn B (còn lại C, D, E), lần chọn C ta có bạn A, B, C Nếu lần đầu chọn B (thì lại A, C, D, E), lần chọn C (cịn lại A, D, E), lần chọn A ta có bạn A, B, C ……… Như số cách chọn bạn A, B, C bị lặp Các lời giải lại giải thích tương tự Vậy lời giải 2,3,4 đưa yêu cầu thứ tự vào nên dẫn đến sai Ví dụ 6: (Sai lầm thường gặp- Trần Phương) Một tổ có 12 học sinh nữ 10 học sinh nam Cần chọn học sinh (3 nam, nữ) để ghép thành đôi để biểu diễn văn nghệ Số cách chọn 3 A C12 C10 3 B A12 A10 3 C.3!.3! C12 C10 3 D 3! C12 C10 Giải: Lời giải 1: Số cách chọn nữ 12 nữ C12 (cách) Số cách chọn nam 10 nam C10 (cách) 3 Vậy số cách chọn đôi nam nữ là: C12 C10 (cách) Lời giải chọn học sinh gồm nam, nữ Lời giải 2: Số cách chọn nữ 12 nữ A12 (cách) Số cách chọn nam 10 nam A10 (cách) 3 Vậy số cách chọn đôi nam nữ là: A12 A10 (cách) Lời giải thứ hai sai lầm chỗ thứ tự học sinh thiếu cách ghép đôi nam nữ Lời giải 3: Số cách chọn nữ 12 nữ C12 (cách) Số cách chọn nam 10 nam C10 (cách) Số cách ghép đơi 3!.3 Do số cách chọn học sinh gồm nam nữ ghép thành đôi là: 3 3!.3! C12 C10 (cách) Có nhiều học sinh mắc phải sai lầm kể đọc lời giải nghe hợp lí Tuy nhiên số cách ghép đơi bị lặp lại Lời giải 4: Lời giải Số cách chọn nữ 12 nữ C12 (cách) Số cách chọn nam 10 nam C10 (cách) 3 Do số cách chọn học sinh (3 nam, nữ là: C12 C10 (cách) Trong học sinh chọn có 3! (cách) ghép đôi nhảy với (là hoán vị học sinh nam học sinh nữ) 3 Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3! C12 C10 (cách) Nếu không đưa phân tích cách giải nhìn vào cách cách giải hợp lí (có phương án để lựa chọn câu hỏi trắc nghiệm) Đồng thời đưa cách làm sai lầm chốt lại phương án giúp học sinh dễ dàng nhận thiếu sót, sai lầm mắc phải từ em ghi nhớ tốt Ví dụ 7: Lớp 11A2 Trường THPT Vĩnh Lộc có 44 học sinh Cần bầu ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó ủy viên Số cách lập ban cán B A441 A431 A421 A411 A C444 44 A C C D C44 C 242 42 Sai lầm thường gặp Sai lầm 1: Học sinh hiểu đơn giản chọn bạn từ 44 bạn nên số cách lập ban cán gồm người C444 Sai lầm 2: Chọn lớp trưởng có A441 , chọn lớp phó có A431 , chọn ủy viên thứ có A421 , chọn ủy viên thứ có A411 Vậy số cách chọn theo yêu cầu : 1 1 A44 A43 A42 A41 Nguyên nhân: Khi chọn 1lớp trưởng, lớp phó có thứ tự chọn ủy viên lại không cần tứ thứ tự nên số cách chọn ủy viên C422 1 C42 C41 Sai lầm 3: Chọn học sinh để làm lớp trưởng, làm lớp phó có chọn; Chọn uỷ viên 38 học sinh lại có C422 Theo quy tắc nhân có C442 C422 cách C442 cách Nguyên nhân sai lầm: Chọn học sinh để làm lớp trưởng, làm lớp phó, cách chọn có thứ tự Chẳng hạn chọn học sinh A B để làm lớp trưởng, làm lớp phó có hai cách: A làm lớp trưởng cịn B làm lớp phó B làm lớp trưởng cịn A làm lớp phó Nên cách chọn chỉnh hợp chập 40 phần tử số cách chọn A402 = 1560 Lời giải đúng: Trước tiên để định hướng cách giải cho học sinh, giáo viên cần phân tích: Để chọn ban cán cần thực công đoạn chọn lớp trưởng, chọn lớp phó chọn uỷ viên Do ta có lời giải Cách 1: Cơng đoạn 1: Chọn lớp trưởng có 44 cách Cơng đoạn 2: Chọn lớp phó 43 học sinh sau chọn lớp trưởng có 43 cách Cơng đoạn 3: Chọn uỷ viên 42 học sinh lại (3 uỷ viên cần chọn khơng có thứ tự nên dùng tổ hợp) có C422 Theo quy tắc nhân có 44.43.C422 cách Cách 2: Để chọn ban cán thực cơng đoạn chọn học sinh để làm lớp trưởng làm lớp phó chọn uỷ viên Do ta có lời giải Công đoạn 1: Chọn học sinh để làm lớp trưởng, làm lớp phó, cách chọn có thứ tự nên số cách chọn A442 =1560 Công đoạn 2: Chọn học sinh 42 học sinh lại làm uỷ viên, cách chọn khơng có thứ tự nên số cách chọn C422 Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là: A442 C422 cách Cách 3: Để chọn ban cán thực công đoạn Trước tiên chọn lúc học sinh sau phân cơng chức vụ Do ta có lời giải: Chọn học sinh để làm ban cán cách chọn thứ tự nên số cách chọn C444 cách Với cách chọn học sinh chọn học sinh để làm lớp trưởng, làm lớp phó, cách chọn có thứ tự nên số cách chọn A42 =12 cách, chọn học sinh cịn lại làm uỷ viên có cách chọn Theo quy tắc nhân có C444  A42  cách Bài tập tương tự: Bài 1: (Sai lầm thường gặp - Trần Phương)Cần chọn từ học sinh nữ học sinh nam nam nữ để ghép thành cặp nhảy nam- nữ Hỏi có cách ghép? Một học sinh giải sau : Số cách chọn nam A73  210 cách Số cách chọn nữ A93  504 cách Số cách chọn cặp nhảy : 210  504  105840 cách Học sinh giải sai, em sai lầm đâu giải lại cho đúng? HD: Quá trình chọn nam từ nam nữ từ nữ khơng cần tính đến thứ tự Lời giải là : Số cách chọn nam C73  35 cách Số cách chọn nữ C93  84 cách Số cách chọn nam nữ 35  84  2940 cách Do số cách ghép cặp nhảy nam- nữ 3! 2940  17640 Bài 2: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? ĐS: 1200 Bài 3: Một khu giải trí có cửa vào Hỏi có cách vào cửa cửa khác? HD: Số cách vào cửa cửa khác số chỉnh hợp chập phần tử A52  20 cách Bài 4: Trên mặt phẳng cho đa giác lồi có n cạnh a) Tìm số đường chéo đa giác? b) Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho Hỏi số tam giác có tam giác mà cạnh cạnh đa giác cho? HD a) Cách 1: Số đoạn thẳng nối đỉnh đa giác Cn2 số cạnh đa giác 10 nên số đường chéo đa giác Cn2 - n Cách 2: Từ đỉnh đa giác kẻ tới n- đỉnh (trừ đỉnh hai đỉnh kề nó) n-3 đường thẳng nên kẻ tất n(n-3) đường thẳng Mỗi đường thẳng nói tính lặp lần chẳng hạn từ đỉnh A nối tới D sau từ đỉnh D lại nối tới A Do số đường chéo phân biệt đa giác lồi n cạnh là: n  n  3 b) Số tam giác phân biệt có đỉnh lấy từ n đỉnh đa giác lồi Cn3 tam giác Ứng với cạnh đa giác có n-2 cách chọn đỉnh để tạo thành tam giác, có n  n   tam giác có cạnh cạnh đa giác cho Trong có n tam giác có cạnh cạnh liên tiếp đa giác bị tính lặp lần chẳng hạn ABC  CBA nên số tam giác phân biệt có cạnh cạnh đa giác cho là: n  n    n  n  n  3 Nên số tam giác mà cạnh khơng phải cạnh đa giác cho Cn3 - n  n  3 Bài 5: Cho 10 cầu màu trắng có bán kính khác 15 cầu màu xanh có bán kính khác Người ta muốn chọn cầu cho có cầu trắng Hỏi có cách chọn cầu ĐS: 36477 cách 2.3.2 Xét thiếu trường hợp tốn giải phương pháp gián tiếp Ví dụ 1:(Chinh phục tập Tổ hợp - xác suất-Nguyễn Quang Sơn)Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó Người ta chọn 10 10 câu để làm đề kiểm tra 15 phút cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra? Giải Lời giải 1: 10 Bước 1: chọn 10 câu tuỳ ý 20 câu có C20 (cách) Bước 2: chọn 10 câu khơng thoả mãn đầu (có khơng q loại dễ, trung bình khó) 10 TH1: chọn 10 câu dễ trung bình 16 câu có C16 (cách) 10 TH2: chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C13 (cách) 10 TH3: chọn 10 câu trung bình khó 11 câu có C11 (cách) 10 10 10 10 Vậy có: C20 – ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 đề kiểm tra Lời giải 2: Chia trường hợp cụ thể: 1 TH1: khó, TB dễ: C4.C7.C9 TH2: khó, TB dễ: C4.C7 C9 TH3: khó, TB dễ: C4.C7 C9 …… Nhận xét: Tất nhiên lời giải lời giải lời giải mang cách giải thủ cơng nên làm dài thời gian Khi dạy hướng em sử dụng toán gián tiếp.Tuy nhiên sử dụng phương pháp học sinh lại mắc phải sai lầm tương tự ví dụ Ví dụ 2: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó Người ta chọn câu dễ làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra? Chú ý so với ví dụ ví dụ thay đổi chút thay chọn 10 câu chọn câu Nghe qua cách làm chẳng có khác, nhiên thay đổi gây sai lầm Vậy xem lời giải sau: Lời giải 1: Bước 1: Chọn câu tuỳ ý 20 câu có C20 (cách) Bước 2: Chọn câu không thoả mãn đầu TH1: Chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 (cách) TH2: Chọn câu dễ khó 13 câu có C13 (cách) TH3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 (cách) 7 7 Vậy có: C20 – ( C16 + C13 + C11 ) = 64034 đề kiểm tra Lời giải 2: Bước 1: Chọn câu tuỳ ý 20 câu có C20 (cách) Bước 2: Chọn câu khơng thoả mãn đầu (có khơng q loại dễ, trung bình khó) TH1: Chọn câu dễ câu dễ có C9 (cách) TH2: Chọn câu trung bình câu trung bình có (cách) 11 TH3: Chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 (cách) TH4: Chọn câu dễ khó 13 câu có C13 (cách) TH5: Chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 (cách) 7 7 Vậy có: C20 – (1+ C9 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 đề kiểm tra Nhận xét: Cũng toán tương tự toán trên, lời giải giống lời giải toán lời giải lại cho đáp án khác Vậy đâu lời giải đúng? Phân tích: Lời giải 2: loại trừ tất khả khơng cần thiết u cầu tốn Lời giải 1: HS sai lầm chỗ loại trừ không hết điều kiện khơng thoả mãn tốn Ở ví dụ số câu chọn nhiều số câu loại dễ TB khó (tức chọn 10 câu, có câu dễ, câu trung bình câu khó) Trong ví dụ số câu chọn có số câu loại dễ TB khó (tức chọn câu, có câu dễ, câu trung bình câu khó) Cho nên câu chọn HS sót chỗ câu tồn câu dễ tồn câu khó Do kết nhiều đáp án Bài tập tương tự: Bài 1: Từ hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng (các viên bi kích thước đơi khác nhau) Người ta chọn 10 viên bi cho phải có đủ màu Hỏi có cách chọn? Bài 2: Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 12 em 10 em trung bình Giáo viên chọn nhóm có học sinh để tham gia ngoại khoá cho phải có đủ đối tượng: giỏi, trung bình Hỏi có cách chọn nhóm học sinh để tham gia buổi ngoại khoá Bài 3:(Sai lầm thường gặp- Trần Phương) Một lớp gồm 16 học sinh, có học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình Hỏi có cách chia 16 học sinh thành tổ, tổ người cho có học sinh giỏi có học sinh khá? 2.3.3.Bài tốn đếm số số thoả mãn tính chất  Ví dụ 1: (Bài 71 sgk Đại số giải tích 11- Nâng cao) Với chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số chẵn gồm năm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0) Sai lầm thường gặp: Lời giải 1(Lời giải sai): - Gọi số cần tìm abcde Chọn số vị trí e có cách chọn từ tập  0, 2, 4, 6 Chọn số vị trí a, b, c, d có C 64 cách  Có C 64  60 số chẵn có số có chữ số đứng đầu Tìm số chẵn có số có chữ số đứng đầu Vì chữ số đứng đầu nên chọn số vị trí e có cách chọn từ tập  2, 4, 6 12 Chọn số vị trí b, c, d có C 53 cách (Trừ số vị trí e số 0)  Có1.3 C 53  30 số có chữ số đứng đầu - Vậy số số cần tìm 60-30= 30 số Nguyên nhân sai lầm: Lời giải sai chỗ không kể đến thứ tự chọn số a, b, c, d hốn vị số cho thêm số khác Tương tự tìm số chẵn có số có chữ số đứng đầu không kể đến thứ tự chọn số vị trí b, c, d Lời giải (Lời giải sai): Gọi số cần tìm abcde Chọn số vị trí e có cách chọn từ tập  0, 2, 4, 6 Chọn số vị trí a có cách chọn trừ e Chọn số vị trí b có cách chọn trừ e a Chọn số vị trí c có cách chọn Chọn số vị trí d có cách chọn Theo quy tắc nhân có 4.5.5.4.3 = 1200 số Nguyên nhân sai lầm - Trong trường hợp e  chọn số vị trí a có cách -Trong trường hợp e  chọn số vị trí a có cách sai lúc chọn số vị trí a có cách chọn trừ e Lời giải 3(Lời giải đúng): - Gọi số cần tìm abcde Chọn số vị trí e có cách chọn từ tập  0, 2, 4, 6 Chọn số vị trí a, b, c, d có A64 cách  Có A64  4.360=1440 số chẵn có số có chữ số đứng đầu - Tìm số chẵn có số có chữ số đứng đầu Vì chữ số đứng đầu nên chọn số vị trí e có cách chọn từ tập  2, 4, 6 Chọn số vị trí b, c, d có A53 cách (Trừ số vị trí e số 0)  Có 1.3 A53  3.60  180 số có chữ số đứng đầu Vậy số số cần tìm 1440  180  1260 số Lời giải (Lời giải đúng): Cách 1: Dùng quy tắc nhân Gọi số cần tìm abcde số cần tìm số chẵn nên số cần tìm có dạng abcd 0, abcd , abcd , abcd Tìm số số dạng abcd 0, Chọn số vị trí a có cách chọn trừ Chọn số vị trí b có cách chọn trừ a Chọn số vị trí c có cách chọn Chọn số vị trí d có cách chọn Theo quy tắc nhân có 6.5.4.3 = 360 số - Tìm số số dạng abcd Chọn số vị trí a có cách chọn trừ e Chọn số vị trí b có cách chọn trừ e a 13 Chọn số vị trí c có cách chọn Chọn số vị trí d có cách chọn Theo quy tắc nhân có 5.5.4.3 = 300 số - Tương tự dạng abcd , abcd cho ta 300 số Theo quy tắc cộng có 360 + 300 + 300 + 300 = 1260 số chẵn gồm năm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0) Cách (Sử dụng kiến thức chỉnh hợp): Cần làm cho học sinh thấy rõ số cần tìm chỉnh hợp chập phần tử tập cho, chẳng hạn từ số 0, 1,2, 5, thành lập số chẵn chẳng hạn số 12570, 12750, 70152, 75012… số cần tìm Hay nói cách khác số cần tìm tập có tính thứ tự - Tìm số số dạng abcd 0, có A6  360 số - Tìm số chẵn dạng abcde với e   2, 4, 6 Chọn số vị trí e có cách chọn e   2, 4, 6 Chọn số vị trí a có cách chọn Chọn b, c, d có A53  900 cách Theo quy tắc cộng có 360  900  1260 số Ghi nhớ - Khi thành lập số từ tập hợp cần ý xem tập hợp có chứa số hay khơng Nếu chứa số nên chia thành hai trường hợp - Với loại toán nên sử dụng kiến thức hoán vị, chỉnh hợp lời giải ngắn gọn Bài tập tương tự: Bài 1: Cho sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, a) Từ tập hợp sáu chữ số lập số số có năm chữ số đơi khác nhau? b) Từ tập hợp sáu chữ số lập số số có năm chữ số đơi khác thiết có mặt chữ số 5? Bài 2:(Giải Tốn Tổ hợp xác suất trường THPT-Trần Đức Huyên – Đặng Phương Thảo)Từ bảy chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7 lập số số có chữ số đơi khác nhau, có số chia hết cho 5? Bài 3: Từ chữ số 1, 2, 3, 5, 7, Có thể lập số số có chữ số đơi khác cho a) Số tạo thành số chẵn b) Số tạo thành khơng có mặt chữ số a) Số tạo thành nhỏ số 278 HD:a) Có 2.A52 số; b) Có A53 số Bài 4: Viết số có chữ số từ chữ số : 1, 2, 3, 4, sau: Trong số có chữ số xuất lần, chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy? Bài 5: Xét số gồm chữ số có chữ số chữ số cịn lại 2, 3, 4, Hỏi có số chữ số kề 14 2.3.4 Sai lầm áp dụng cách giải dạng tập cho tập khác có nội dung tương tự Ví dụ 1: Cho tập hợp A   0;1;2;3;4;5 , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số 1? Giải Cách 1: Gọi số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập A là: a1a2a3a4a5 , a1  Số cách chọn a1 có cách Số cách chọn a2a3a4a5 số chỉnh hợp chập có: A5 (cách) Suy : có A5 = 600 (số) Trong 600 số thì: Số khơng có chữ số lập từ tập A1   1;2;3;4;5 số hoán vị số thuộc A1 nên có P5  120 (số) Số khơng có chữ số lập từ tập A2   0;2;3;4;5 Số cách chọn a1  có cách Số cách chọn a2a3a4a5 số hốn vị có P4 (cách) Suy có: 4.P4 = 96 (số) Vậy theo u cầu tốn ta có: 600 – (120 + 96) = 384 (số) Cách 2: Chọn 5 ô Số cách chọn số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số 1, số cách xếp chữ số từ tập A vào liên tiếp nhau: Vì thiết phải có mặt chữ số nên ta chọn số xếp trước Vì số khơng đứng vị trí nên có cách xếp Số có cách xếp vào vị trí cịn lại Số cách xếp số cịn lại số chỉnh hợp chập 4: A4 Vậy theo u cầu tốn ta có: 4.4.A4 = 384 (số) Nhận xét: Hai cách giải cách cách có tính khả thi nhất, áp dụng cho nhiều Giải thích: Cách 2: ngắn gọn, dễ hiểu cô đọng hơn, học sinh dễ áp dụng dễ trình bày Cách 1: Áp dụng 600 số có loại số cách thành lập số tự nhiên có chữ số khác Loại 1: Số khơng có chữ số Loại 2: Số khơng có chữ số Loại 3: Số có chữ số Nên lấy 600 số gồm loại trừ cho loại loại cịn lại loại 15 Ví dụ 2: Cho tập hợp A   0;1;2;3;4 , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số 1? Giải Cách 1: Gọi số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập A là: a1a2a3 , a1  Số cách chọn a1 có cách Số cách chọn a2a3 số chỉnh hợp chập có: A42 (cách) Suy có: 4.A4 = 48 (số) Trong 48 số thì: Số khơng có chữ số lập từ tập A1   1;2;3;4 số chỉnh hợp chập 4: A4 = 24 (số) Số khơng có chữ số lập từ tập A2   0;2;3;4 Số cách chọn a1  có cách a2a3 số chỉnh hợp chập có: A32 (cách) Suy có: 3.A32 = 18 (số) Vậy theo u cầu tốn ta có: 48 - (24 + 18) = (số) Cách 2: Số cách chọn Số cách chọn số tự nhiên gồm chữ số khác ,trong thiết phải có mặt chữ số 3, số cách xếp chữ số từ tập A vào liên tiếp nhau: Vì thiết phải có mặt chữ số nên ta chọn số xếp trước Vì số khơng đứng vị trí nên có cách xếp Số có cách xếp vào vị trí cịn lại Số cách xếp số cịn lại số chỉnh hợp chập 3: có A3 (cách) Vậy theo u cầu tốn ta có: 2.2.A31  12 (số) Nhận xét: Kết hai cách giải khác Tại toán tượng tự mà cách giải áp dụng tốn sau áp dụng lại khơng giống với cách giải Vậy cách đúng, cách sai sai lầm đâu? Giải thích: Cách đúng, cách sai 48 số có loại số nên cách giải áp dụng khơng nên chọn dễ mắc sai lầm S minh ha: số chữsố số chữsố 48 s gm cú: số chữsố số có chữsố vµ Trong bỏ chữ số cịn lại số 2; 3; nên lập số có chữ số khác khơng có số Chính mà 48 số có tới loại số Khi trừ số khơng có chữ số thỡ: 16 số chữsố số chữsố Trong 48 s ch cũn:  (phần gạch chéo phần loại trừ)  sè chữsố số có chữsố vµ Khi trừ tiếp số khơng có chữ số 48 số cịn:  số chữsố số không cã ch÷sè  (phần gạch chéo phần loi tr ln) số chữsố số có chữsố Trên sơ đồ ta nhìn thấy số khơng có chữ số bị trừ hai lần nên dẫn đến trường hợp số Số khơng có chữ số có tất số bị trừ hai lần nên kết cách bị số so với kết cách 12 số Còn bỏ chữ số cịn lại số ; 3; ; nên khơng thể lập số có chữ số khác Chính mà có loại số nên cách giải áp dụng cho hồn tồn Ví dụ 3: Cho tập hợp A   0;1;2;3;4;5;6 , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số 5? Giải Lời giải 1: Gọi số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập A là: a1a2a3a4a5 , a1  Số cách chọn a1 có cách Số cách chọn a2a3a4a5 số chỉnh hợp chập có: A6 (cách) Suy ra: có 6.A6 = 2160 (số) Trong 2160 số số khơng có chữ số lập từ tập A1   0;1;2;3;4;6 Số cách chọn a1  có cách Số cách chọn a2a3a4a5 số chỉnh hợp chập có: A54 (cách) Suy ra: có A5 = 600 (số) Vậy theo u cầu tốn ta có: 2160 - 600 = 1560 (số) Lời giải 2: Số cách chọn số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số 5, số cách xếp chữ số từ tập A vào ô liên tiếp Vì muốn có mặt chữ số số có vị trí xếp 4 chữ số lại số chỉnh hợp chập 6: Có A6 (cách) Vậy theo yêu cầu tốn ta có: 5.A6 = 1800 (số) Nhận xét: Kết hai cách giải khác Vậy cách đúng, cách sai sai lầm đâu? 17 Giải thích: Cách giải cách giải sai Đến thấy xuất mâu thuẫn có dạng cách sai, cách Cịn cách đúng, cách sai Sai lầm số đặt vị trí số khác, số 2,3,4,5 khác Số làm tốn phức tạp thêm Vậy vấn đề đặt chọn cách giải cho với toán đặt Thực cách giải bị thiếu không áp dụng Tôi xin bổ sung cho cách giải để cách giải trở thành cách giải đúng, mang tính khả thi áp dụng rộng so với cách Phần bổ sung cho cách giải 2: Ta xem phần giải trường hợp cho tất cả: số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số số số số Số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số chữ số xếp a1 = nên vị trí cịn lại có cách xếp số Số cách xếp số cịn lại từ số số chỉnh hợp chập 5: có A5 (cách) Suy có: 4.A5 = 240 (số) Vậy theo u cầu tốn ta có: 1800 – 240 = 1560 (số) Bài tập tương tự: Bài 1: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số ĐS: 13320 (số) Bài 2:(HVCN Bưu Viễn thơng, 1999) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số ĐS: 42000 (số) Bài 3:(Chinh phục tập Tổ hợp - xác suất- Nguyễn Quang Sơn)Có số gồm chữ số phân biệt có mặt đủ chữ số 1, 2, ĐS: 2376 (số) Tóm lại: Khi giải toán hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp học sinh thường gặp phải số sai lầm sau: - Nhầm lẫn tổ hợp chỉnh hợp - Xét thiếu trường hợp toán giải phương pháp gián tiếp - Bài toán đếm số thỏa mãn tính chất - Áp dụng cách giải toán sang giải toán khác có nội dung tương tự Do phần thơng qua ví dụ tơi rõ sai lầm thường gặp cách khắc phục Mục đích giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho em, trả lời cách thỏa đáng câu hỏi “Tại kết giải cách không giống kết cách giải kia? Tại cách giải trước áp dụng qua khác tương tự khơng? Cách đúng, cách sai? Sai lầm đâu? ” Qua luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn Ngồi có nhiều tốn giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa 18 chọn phương pháp giải áp dụng vào giải toán cách thành thạo xác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Kết chung Sáng kiến áp dụng cho học sinh khối 11 học trường THPT Vĩnh Lộc Kết em u thích dạng tốn này, tích cực tìm tịi lời giải giải tốn Hiệu 95% học sinh đạt điểm trung bình phần dạng tốn Khi tơi thực chun đề đa số học sinh hiểu khơng cịn lúng túng việc chọn cách giải cho tốn, qua kích thích tính tị mị ham học hỏi học sinh, phát điều kỳ diệu Đại số tổ hợp tạo yêu thích học sinh đề tài 2.4.2 Kết kiểm tra Trong năm học 2017-2018, so sánh kết thực nghiệm lớp 11A2 với kết lớp 11A4 không áp dụng đề tài với kiểm tra Đây hai lớp Ban KHTN có khả tiếp thu tương đương (Sĩ số lớp 40) Kết quả: Các em học sinh lớp 11A đạt kết tốt em học sinh lớp 11A4, cụ thể: Điểm Lớp 11A4 11A2 1-2 8 3 10 0 17.5 0 20 12.5 2 0 0 20 0 0 9.5 7.5 0 15 7.5 0 25,5 0 10 15 0 12.5 0 17.5 0 Từ kết thực nghiệm minh chứng việc đưa chuyên đề:"Khắc phục số sai lầm thường gặp học sinh giải toán Đại số tổ hợp” vào giảng dạy cần thiết, nhằm nâng cao chất học tập chất lượng thi học sinh giỏi thi THPT Quốc gia KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đại số tổ hợp dạng toán thực khó, lý mà học sinh dễ bng xi, khơng chịu đầu tư học hỏi Đó thiệt thòi lớn cho em tham gia kì thi chọn học sinh giỏi, kỳ thi THPT quốc gia Giải pháp giảng dạy kích thích tính tị mị, ham học hỏi tạo yêu thích học sinh phần kiến thức Đại số tổ hợp nói riêng mơn Tốn nói chung Thơng qua phát huy học sinhtư phân tích tổng hợp, tư logic, tư trừu tượng, có phong cách nghiên cứu làm tảng cho việc học tập nghiên cứu sau Từ em tự làm chuyên đề dạng khác để thấy mối quan hệ biện chứng, tính độc lập tính phụ thuộc kiến thức khoa học 19 Qua đề tài mong ủng hộ góp ý nhiệt thành quý đồng nghiệp để đề tài trở thành công cụ thiết thực cho việc dạy học nhằm đẩy mạnh việc đổi nâng cao chất lượng dạy học theo xu Khi trình bày khơng tránh khỏi nhiều điều sai sót mong đóng góp ý kiến để hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! 3.2 Kiến nghị Đối với sở GD&ĐT Thanh Hóa: Tổ chức nhiều chuyên đề cấp tỉnh về nâng cao chất lượng dạy - học bợ mơn tốn cho giáo viên được tham gia Đối với Nhà trường: Nên có sự đầu tư khuyến khích giáo viên đổi PPDH dưới nhiều hình thức khác Đối với giáo viên Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao lực chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm, đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn Hạn chế tới đa phương pháp dạy học truyền thống lấy giáo viên làm trung tâm Phải tìm tòi, sáng tạo để từng bước cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với từng tiết học, bài học những đối tượng học sinh khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Thị Lan Anh 20 ... Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Đại số lớp 11 phần Đại số tổ hợp - Đề xuất số biện pháp nhằm khắc phục sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán Đại số tổ hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Về... 3: (Sai lầm thường gặp- Trần Phương) Một lớp gồm 16 học sinh, có học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình Hỏi có cách chia 16 học sinh thành tổ, tổ người cho có học sinh giỏi có học sinh. .. phương pháp giải dạng toán vấn đề nan giải Đề tài chủ yếu khắc phục số sai lầm thường mắc phải học sinh giải toán Đại số tổ hợp cách giúp em nắm vững hai khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp phân biệt