SKKN giúp học sinh nắm vững kiến thức chương i – giải tích 12 thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………… Trang 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu ……………………………… Trang 01 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02 2.1 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Một số toán đồng biến, nghịch biến hàm số 2.3.2 Mốt số toán cực trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2.3.3 Một số toán đường tiệm cận đồ thị hàm số 2.3.4 Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 01 Trang 02 Trang 02 Trang 03 Trang 03 Trang 11 Trang 15 Trang 17 Trang 19 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 20 3.1 Kết luận ….……………………………………… Trang 20 3.2 Kiến nghị ………………………………………… Trang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………… Trang 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Trang 21 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Trong mơn khoa học kỹ thuật, tốn học giữ vị trí quan trọng Nó mơn học giúp rèn luyện tư duy, phương pháp suy luận, rèn luyện trí thơng minh, sáng tạo Nó giúp rèn luyện tính cần cù, nhẫn nại, ý chí vươn lên, ham chuộng chân lí, yêu thích xác Trong cơng việc gì, kiến thức phương pháp toán học cần thiết người Ở trường THPT, học sinh xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học, điều kiện để thực tốt mục đích dạy học tốn Các tốn trường THPT phương tiện có hiệu việc giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, ứng dụng tốn học vào sống Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy học giải tốn có vai trò định chất lượng dạy học toán, nhằm rèn luyện cho học sinh tư toán học phẩm chất quý báu người lao động Tuy nhiên qua giảng dạy, để tổ chức có hiệu việc dạy học giải tốn, tơi nhận thấy cần phải giúp học sinh nhận thức sai lầm, khắc phục sai lầm có phòng tránh sai lầm Bởi sai lầm làm học sinh học giáo viên không ý tới sai lầm đó, khơng hướng dẫn học sinh tự nhận sửa chữa, khắc phục sai lầm Người học phải biết học sai lầm thiếu sót Xuất phát từ điều đó, năm học 2017 – 2018, tơi có Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy là: “Giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Giải Tích 12 thơng qua phân tích sửa chữa sai lầm học sinh” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho trình giảng dạy năm học 2017 – 2018, giúp học sinh lớp 12 THPT nắm vững kiến thức Chương I - Giải Tích 12 rèn luyện kỹ giải tốn; phòng tránh sai lầm, thiếu sót cho học sinh; đặc biệt thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan việc phòng tránh sai lầm, thiếu sót cho học sinh vơ quan trọng Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đổi với với đồng nghiệp phương pháp dạy học, tài liệu tham khảo học sinh để góp phần nâng cao hiệu dạy học toán trường THPT Như Xuân nói riêng trường THPT nói chung 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài sai lầm thường gặp học sinh giải toán hàm số thuộc nội dung Chương I - Giải Tích 12 (Chương trình chuẩn) “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trong trình thực Sáng kiến kinh nghiệm này, sử dụng hai phương pháp nghiên cứu chủ yếu là: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Trong hệ thống phương pháp giảng dạy tốn, có phương pháp mà khẳng định cần phải có biện pháp nhằm dạy học mơn tốn dựa sai lầm, sai lầm học sinh xuất Chính tình mắc sai lầm học sinh tạo điều kiện để phát huy ưu điểm phương pháp Điển hình phương pháp dạy học giải vấn đề Khi học sinh mắc sai lầm lời giải xuất tình có vấn đề Sai lầm học sinh tạo mâu thuẫn mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình nhận thức học sinh Sai lầm học sinh làm nảy sinh nhu cầu cho tư mà tư sáng tạo bắt đầu tình gợi vấn đề Mặt khác, sai lầm học sinh xuất khêu gợi hoạt động học tập mà học sinh hướng đích, gợi động để tìm sai lầm tìm lời giải Tìm sai hay bạn khám phá Từ khám phá này, học sinh chiếm lĩnh kiến thức cách trọn vẹn Bên cạnh đó, biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh giải toán phải tác động vào hoạt động học sinh Trước hết cần tạo động học tập sửa chữa sai lầm cần gây niềm tin cho học sinh thân tìm sai lầm lời giải tốn Học sinh phải thấy việc sửa chữa sai lầm giải toán nhu cầu cần phải tham gia chủ thể cách tự nguyện, say mê, hào hứng Học sinh phải có động hồn thiện tri thức Từ học sinh tự tin sửa chữa sai lầm, hình thành lực tìm sai lầm giải tốn tạo lực giải toán cho thân 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm: Qua nhiều năm giảng dạy Chương I - Giải Tích 12 “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” trường THPT Như Xuân, nhận thấy học sinh hay mắc sai lầm toán hàm số Mặc dù nội dung quan trọng chương trình nên học sinh ôn luyện nhiều Sai lầm xảy học sinh khá, giỏi từ dạng toán Nguyên nhân dẫn đến sai lầm chủ yếu học sinh chưa nắm vững kiến thức bản, chưa có thói quen nghiên cứu kỹ lí thuyết, kiểm tra lại lời giải, thiếu kỹ phát phòng tránh sai lầm Bên cạnh đó, có khơng tài liệu tham khảo chạy theo thị trường, viết ẩu, tùy tiện, trình bày nội dung kiến thức, lời giải tốn khơng xác, mắc sai lầm Khi học sinh sử dụng tài liệu dễ bị mắc sai lầm theo học sinh chưa có tảng kiến thức rộng bao quát vấn đề để nhận đúng, sai Thực trạng ảnh hưởng lớn đến kết học tập học sinh Nếu không khắc phục dẫn đến học sinh khơng nắm vững kiến thức kiến thức học sinh nắm chứa sai lầm, tạo tảng cho sai lầm nghiêm trọng Bên cạnh làm cho học sinh chưa có thói quen đề phòng phát sai lầm; hạn chế khả phân biệt “đúng – sai”… Từ dẫn đến hậu nghiêm trọng khơng việc học tốn thi cử học sinh; mà công việc sống học sinh tương lai Hơn nữa, chưa có nhiều tài liệu viết vấn đề chưa tập trung khai thác vào nội dung kiến thức theo chương trình Sách giáo khoa (SGK) hành Do nhu cầu nhận thức sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm biện pháp sửa chữa kịp thời sai lầm cho học sinh dạy học quan trọng cấp thiết, qua rèn luyện lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu dạy học toán nhà trường khắc phục hậu nêu 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Để giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Giải Tích 12 thơng qua phân tích sửa chữa sai lầm học sinh, tiến hành tìm hiểu sai lầm mà học sinh thường gặp thông qua đồng nghiệp, tài liệu, qua kinh nghiệm thân đặc biệt thông qua lời giải toán học sinh Từ giải pháp tơi đưa tinh thần người học phải biết học sai lầm thiếu sót Cụ thể, để thực theo giải pháp người dạy đặt học sinh thử thách thường xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải, toán mà giáo viên đặt “bẫy” cách có chủ định mang tính tích cực giảng dạy Tức tiết dạy, giáo viên có cân nhắc lựa chọn toán mà học sinh làm dễ bị mắc sai lầm Sau giáo viên phân tích sai lầm học sinh, tìm nguyên nhân biện pháp khắc phục, trình bày lời giải đúng, đưa ý, nhận xét quan trọng Qua tạo tình có vấn đề giúp học sinh ghi nhớ, nắm vững khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ phương pháp giải toán; đồng thời tạo cho học sinh tính cẩn thận, thói quen kiểm tra kết quả, phòng tránh sai lầm giải tốn sống Sau đây, khn khổ Sáng kiến kinh nghiệm này, giới thiệu số toán học sinh dễ mắc sai lầm mà sử dụng để giảng dạy nội dung Chương I - Giải Tích 12 (Chương trình chuẩn) “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” theo giải pháp nêu trên, qua giúp học sinh nắm vững kiến thức, khắc phục sai lầm giải toán 2.3.1 Một số toán đồng biến, nghịch biến hàm số Bài Cho hàm số y = x − (1) Trong khẳng định sau, khẳng định x sai? A Hàm số (1) có tập xác định D = R \ { 0} B Hàm số (1) có đạo hàm y ' = + > 0, ∀x ∈ R \ {0} x C Hàm số (1) đồng biến tập xác định D Hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞; −1) (1; +∞) *Lời giải sai lầm: Tập xác định: D = R \ { 0} Ta có y ' = + > 0, ∀x ∈ R \ {0} nên hàm số (1) đồng biến tập xác định x Vậy khẳng định phương án A, B, C Do chọn phương án D (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm cho khẳng định phương án C: “Hàm số (1) đồng biến tập xác định nó” khẳng định đúng, thực chất khẳng định sai, vì: Chẳng hạn, ta lấy -1 với thuộc tập xác định D = R \ { 0} -1 < y(-1) = > y(1) = Do đáp án Bài phải phương án C *Kết luận đúng: Để sửa thành khẳng định phải kết luận là: “Hàm số (1) đồng biến khoảng xác định nó” Hoặc: “Hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞;0) (0; +∞) ” (Trong khẳng định trên, thay từ “mỗi” thành từ “các”) *Lưu ý với học sinh (HS): Không kết luận hàm số (1) đồng biến “trên tập xác định nó”, hay “trên tập R \ { 0} ”, hay “trên (−∞;0) ∪ (0; +∞) ” Hơn nữa, chương trình SGK hành đưa khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, đoạn, nửa khoảng nên kết luận tính biến thiên hàm số kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, đoạn, nửa khoảng; không dùng dấu “ ∪ ” để hợp khoảng, đoạn, nửa khoảng “rời nhau” (tức giao ∅ ) thành tập Ngoài ra, khẳng định phương án D khẳng định (−∞; −1) ⊂ ( −∞;0) , (1; +∞) ⊂ (0; +∞) *Bình luận: Câu kết luận so với câu kết luận sai khác cụm từ “trên khoảng xác định” với “trên tập xác định”, hay từ “và” với dấu “ ∪ ” Nếu giáo viên khơng nhắc nhở học sinh khó phát sai lầm mx − 2m − Bài Cho hàm số y = với m tham số Gọi S tập tất x−m giá trị nguyên m để hàm số đồng biến khoảng xác định Tìm số phần tử S A B C Vô số D.3 (Câu 31, mã đề 103, đề thi thức THPT Quốc gia năm 2017 [1]) *Lời giải sai lầm: Tập xác định: D = R \ { m} − m + 2m + Ta có: y ' = ( x − m) Hàm số cho đồng biến khoảng xác định − m + 2m + y' = ≥ 0, ∀x ≠ m ⇔ −m + 2m + ≥ ⇔ −1 ≤ m ≤ ( x − m) Suy S = { −1;0;1;2;3} Vậy chọn phương án A (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm cho rằng: “Điều kiện cần đủ để hàm số cho đồng − m + 2m + ≥ 0, ∀x ≠ m ” Thực chất biến khoảng xác định là: y ' = ( x − m) điều kiện cần Từ dẫn đến chọn sai đáp án Đáp án Bài phải D *Lời giải đúng: Tập xác định: D = R \ { m} − m + 2m + , ∀x ≠ m Ta có: y ' = ( x − m) Điều kiện cần để hàm số cho đồng biến khoảng xác định − m + 2m + y' = ≥ 0, ∀x ≠ m ⇔ −m + 2m + ≥ ⇔ −1 ≤ m ≤ ( x − m) − m + 2m + > 0, ∀x ≠ m nên hàm số - Với m ∈ (−1;3) ta thấy: y ' = ( x − m) cho đồng biến khoảng xác định - Với m = -1 m = y ' = 0, ∀x ∈ D nên hàm số cho không đổi D Vậy điều kiện cần đủ để hàm số cho đồng biến khoảng xác định m ∈ (−1;3) Suy S = { 0;1;2} nên đáp án Bài phải phương án D *Lưu ý với HS: -Lưu ý 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm (a; b) , đó: 1) f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) điều kiện cần để hàm số y = f ( x ) đồng biến (a; b) 2) f '( x) > 0, ∀x ∈ (a; b) điều kiện đủ để hàm số y = f ( x ) đồng biến (a; b) 3) f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) f '( x) = hữu hạn điểm khoảng (a; b) điều kiện đủ để hàm số y = f ( x ) đồng biến (a; b) 4) f '( x) = 0, ∀x ∈ (a; b) điều kiện cần đủ để hàm số y = f ( x ) không đổi (a; b) (Phát biểu tương tự trường hợp hàm số nghịch biến) -Lưu ý 2: Trong Sáng kiến kinh nghiệm này, khơng nói thêm ta ln giả sử K khoảng đoạn nửa khoảng Từ lời giải Bài 2, rút cách giải ngắn gọn dạng toán ax + b hàm số y = (1) sau: cx + d Hàm số (1) đồng biến K ad − bc > 0, ∀x ∈ K ⇔ Hàm số (1) xác định K y ' = (cx + d ) ⇔ Hàm số (1) xác định K ad − bc > (Phát biểu tương tự trường hợp hàm số nghịch biến) x −3 Gọi S tập tất giá trị nguyên m để x−m hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) Tìm số phần tử S A B C D Vô số Bài Cho hàm số y = *Lời giải sai lầm: 3−m Ta có: y ' = ( x − m) Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞;1) 3− m ⇔ y' = > 0, ∀x ∈ (−∞;1) ⇔ − m > ⇔ m < ( x − m) Vậy chọn phương án D (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm xảy không đưa vào điều kiện để hàm số cho xác định khoảng (−∞;1) *Lời giải đúng: Sử dụng Lưu ý (trang 6), ta có lời giải ngắn gọn sau: Tập xác định: D = R \ { m} 3−m , ∀x ∈ D Ta có: y ' = ( x − m) Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞;1) 3− m > 0, ∀x ∈ (−∞;1) ⇔ Hàm số xác định khoảng (−∞;1) y ' = ( x − m) m ∉ (−∞;1) ⇔ 3 − m > m ≥ ⇔ ⇔ 1≤ m < m < Suy S = { 1;2} nên đáp án Bài phải phương án B *Lưu ý với HS: Để hàm số đồng biến, nghịch biến K trước hết hàm số phải xác định K, cần ý đặt điều kiện để hàm số xác định K Bài Hỏi có số nguyên m để hàm số y = (m − 1) x + (m − 1) x − x + nghịch biến khoảng (−∞; +∞) ? A B C D (Câu 41 Đề minh họa lần - THPT Quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT [2]) *Lời giải sai lầm: Ta có: y ' = 3(m − 1)x + 2( m − 1) x − Hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞)  −1 < m < m − <  y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ⇔ ⇔ − ≤ m < ∆ ≤ − ≤ m ≤ Vậy chọn phương án B (?) *Sai lầm đâu? Lời giải có hai sai lầm: 1) Sai lầm thứ cho rằng: “Điều kiện cần đủ để hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞) là: y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ” Thực chất điều kiện cần 2) Sai lầm thứ hai xảy chưa xét m − = mà biến đổi: m − < y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ *Lời giải đúng: Ta có: y ' = 3(m − 1)x + 2( m − 1) x − Xét ba trường hợp: - Trường hợp 1: Với m = y’ = - < 0, ∀x ∈ R nên hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞) - Trường hợp 2: Với m = −1 y ' = −4 x − , nên hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞) (vì y’ đổi dấu x qua điểm − ) m ≠ ± - Trường hợp 3: Với , hàm số cho hàm số bậc nên: Điều kiện cần đủ để hàm số cho nghịch biến khoảng (−∞; +∞)  −1 < m < m − <  y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ⇔ ⇔ − ≤ m < ∆ ≤ − ≤ m ≤ Từ trường hợp suy điều kiện cần đủ để hàm số cho   nghịch biến khoảng (−∞; +∞) m ∈  − ;1   Vậy đáp án Bài phải phương án A *Lưu ý với HS: Đối với hàm số đa thức f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1x + a0 ( n ∈ N * ) (1) -Lưu ý 1: Nếu an chứa tham số phải xét trường hợp an = -Lưu ý 2: Khi an ≠ , 1) Điều kiện cần đủ để hàm số (1) đồng biến K f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K 2) Điều kiện cần đủ để hàm số (1) nghịch biến K f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ K (Giáo viên cần nhấn mạnh với học sinh: Lưu ý áp dụng hàm số đa thức (1) an ≠ ) Bài Tìm m để hàm số y = mx − sinx đồng biến R A m > B m ≥ C m < D m ≤ *Lời giải sai lầm: Ta có: y ' = m − cosx Điều kiện cần để hàm số cho đồng biến R y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R Ta có: y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R ⇔ cosx ≤ m,∀x ∈ R Vì giá trị lớn hàm số y = cosx R nên: cosx ≤ m,∀x ∈ R ⇔ m ≥ - Với m > y ' = m − cosx > 0,∀x ∈ R nên hàm số cho đồng biến R - Với m = y ' = − cosx ≥ 0,∀x ∈ R π y ' = ⇔ cosx = ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z ) Như vậy, với m = y’ = vô số điểm R nên hàm số cho không đồng biến R Vậy m cần tìm m > 1, chọn phương án A (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm cho rằng: “y’ = vô số điểm R nên hàm số không đồng biến R” Như nói sai lầm Bài (Lưu ý 1, trang 5), điều kiện: “ f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) f '( x) = hữu hạn điểm khoảng (a; b) ” điều kiện đủ để hàm số đồng biến (a; b) Do đó, hàm số khơng thỏa mãn điều kiện “ f '( x) = hữu hạn điểm khoảng (a; b) ” hàm số đồng biến khoảng (a; b) Chẳng hạn, xem lời giải ta thấy hàm số y = mx − sinx đồng biến R m = *Lời giải đúng: Tập xác định: R y ' = m − cosx , ∀x ∈ R Điều kiện cần để hàm số cho đồng biến R y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R Ta có: y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R ⇔ cosx ≤ m,∀x ∈ R ⇔ m ≥ - Với m > y ' = m − cosx > 0,∀x ∈ R nên hàm số cho đồng biến R - Với m = hàm số y = x − sinx y ' = − cosx ≥ 0,∀x ∈ R π Ta có: y ' = ⇔ cosx = ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z ) π π  Xét hàm số đoạn  + m2π ; + (m + 1)2π  , ( m ∈ Z ) 2  Ta thấy đoạn y ' = − cosx ≥ 0,∀x ∈ R y’ = hai điểm đầu mút đoạn nên hàm số y = x − sinx đồng biến đoạn π π  + m π ; + ( m + 1)2 π   , ( m ∈ Z ) Từ suy hàm số y = x − sinx đồng biến R Suy m cần tìm m ≥ Vậy đáp án Bài phải phương án B *Bình luận: Qua Bài 5, để lần khẳng định: Điều kiện: “ f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K f '( x) = hữu hạn điểm K” điều kiện đủ để hàm số y = f ( x ) đồng biến K (Phát biểu tương tự trường hợp hàm số nghịch biến) Bài Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sin x − π  y= đồng biến khoảng  ;π ÷ sin x − m 2  1 ≤ m < A m > B m ≥ C  D m < m ≤ *Lời giải sai lầm: π  Đặt t = sin x , với x ∈  ;π ÷ t ∈ ( 0;1) 2  t−2 Ta có: y = t−m Điều kiện: t ≠ m 2−m y' = (t − m) 10 Hàm số y = sin x − π  đồng biến khoảng  ;π ÷ hàm số sin x − m 2  t−2 đồng biến khoảng (0;1) , điều tương đương với hàm số t−m 2−m t−2 > 0, ∀x ∈ (0;1) , ta y= xác định khoảng (0;1) y ' = ( x − m) t−m m ∉ ( 0;1) 1 ≤ m < ⇔ có  m ≤ 2 − m > Vậy chọn phương án C (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm xảy cho rằng: sin x − π  “ Hàm số y = đồng biến khoảng  ;π ÷ sin x − m 2  t−2 hàm số y = đồng biến khoảng (0;1) ” t−m sin x − Không thể đồng tính biến thiên hàm số y = (theo sin x − m t−2 biến x) với hàm số y = (theo biến t) hai hàm số hoàn toàn khác t−m Điều thể rõ qua lời giải sau *Lời giải đúng: Điều kiện xác định: sin x ≠ m π  Đặt t = sin x , với x ∈  ;π ÷ t ∈ ( 0;1) 2  t−2 Suy y = g (t) = t−m Theo công thức đạo hàm hàm số hợp ta có: 2−m y x' = gt' (t ).t x' = cosx (t − m) π  Điều kiện cần để hàm số cho đồng biến khoảng  ;π ÷ 2  2−m π  π  ' cos x ≥ 0, ∀ x ∈ phải xác định khoảng  ;π ÷ y x =  ; π ÷ (t − m) 2  2  2−m ≤ 0, ∀t ∈ ( 0;1) Điều tương đương với m ∉ ( 0;1) (t − m) π  (Vì cosx < 0, ∀x ∈  ;π ÷) 2  y= 11 m ∉ ( 0;1) ⇔ m ≥ Do ta có:  − m ≤  π  ' - Với m > y x > 0, ∀x ∈  ;π ÷ nên hàm số cho đồng biến khoảng 2  π   ;π ÷ 2  π  ' - Với m = y x = 0, ∀x ∈  ;π ÷ nên hàm số cho không đổi khoảng 2  π   ;π ÷ 2  Suy m cần tìm m > Vậy đáp án Bài phải phương án A *Lưu ý với HS: Khi xét tính biến thiên hàm số y = f ( x ) theo biến x phải xét đạo hàm y ' = f '( x) theo biến x Lưu ý tương tự xét cực trị hàm số 2.3.2 Mốt số toán cực trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Bài Hàm số f ( x) = x8 − x + có điểm cực trị? A B C D.4 *Lời giải sai lầm: f '( x ) = x − x ; f ''( x) = x (7 x − 3) x = f '( x) = ⇔   x = ±1 Ta có: f ''(±1) = 32 > ⇒ x = ±1 hai điểm cực tiểu hàm số cho f ''(0) = ⇒ Hàm số cho không đạt cực trị x = Vậy hàm số cho có hai điểm cực trị, chọn phương án B (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm cho rằng:  f '( x0 ) = "Nếu  hàm số f(x) khơng đạt cực trị điểm x0”  f ''( x0 ) =  f '( x0 ) = Điều không điều kiện:  điều kiện đủ để  f ''( x0 ) ≠ hàm số f(x) đạt cực trị điểm x0 12 *Lời giải đúng: x = f '( x ) = x − x ; f '( x) = ⇔   x = ±1 Bảng biến thiên: −∞ x -1 f’(x) - + - +∞ + f(x) Suy hàm số cho có ba điểm cực trị Vậy đáp án Bài phải phương án C *Lưu ý với HS:  f '( x0 ) = Nếu x0 mà  chưa kết luận hàm số đạt hay f ''( x ) = 0  không đạt cực trị điểm x0 Muốn kết luận ta phải lập bảng biến thiên Bài Hàm số f ( x) = x − x + x có điểm cực trị? A B C D.4 *Lời giải sai lầm: Tập xác định: [0; +∞) 3 x − 4x + = f '( x) = =0⇔ ⇔ x = x3 − x + x  x − x + x > Ta thấy f '( x) đổi dấu x qua điểm x0 = nên hàm số f ( x) đạt cực trị điểm x0 = Vậy chọn phương án A (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm cho rằng: “Hàm số đạt cực trị điểm x0 mà f '( x0 ) = ” nên xét dấu f '( x) x qua điểm x0 Lưu ý là: Hàm số đạt cực trị điểm thuộc tập xác định mà đạo hàm điểm không tồn *Lời giải đúng: Tập xác định: [0; +∞) 3x − 4x + f '( x) = x3 − x + x Trên [0; +∞) , f '( x) không xác định x = x = 3x − 4x + = f '( x) = ⇔  ⇔ x =  x − x + x > 3x − 4x + 13 Bảng xét dấu f '( x) : x f '( x) + −∞ - + , đạt cực tiểu x = Vậy đáp án Bài phải phương án B *Lưu ý với HS: Khi tìm cực trị hàm số f(x) ta phải tìm tất điểm thuộc tập xác định mà làm cho f '( x) khơng tồn tại; sau xét dấu f '( x) x qua điểm Suy hàm số cho đạt cực đại x = Bài Tìm tất giá trị thực m để hàm số f ( x) = mx + (m − 1) x3 + (m − m) x + đạt cực tiểu điểm x = m ≥ m ≥ m > A  B  C < m ≤ D  m ≤ m < m < *Lời giải sai lầm: f '( x) = 4mx + 3(m − 1) x + 2(m − m) x f ''( x) = 12mx + 6(m − 1) x + 2( m − m)  f '(0) = m > ⇔ m2 − m > ⇔  Hàm số đạt cực tiểu x = ⇔   f ''(0) > m < Vậy chọn phương án D (?) *Sai lầm đâu?  f '( x0 ) = Sai lầm cho rằng:  điều kiện cần đủ để hàm số  f ''( x0 ) > đạt cực tiểu điểm x0 Thực chất điều kiện đủ *Lời giải đúng: f '( x) = 4mx + 3(m − 1) x + 2(m − m) x f ''( x) = 12mx + 6(m − 1) x + 2( m − m) Ta có: f '(0) = 0, ∀m ∈ R ; f ''(0) = 2(m − m) ; m < f ''(0) > ⇔  m > Do ta xét trường hợp sau: m <  f '(0) = - Nếu   nên hàm số cho đạt cực tiểu điểm x = m >  f ''(0) >  f '(0) = - Nếu < m <  nên hàm số cho đạt cực đại điểm x =  f ''(0) < 14 - Nếu m = (thì f ''(0) = nên chưa thể kết luận mà phải xét dấu f '( x) ) Khi f '( x) = −3x không bị đổi dấu x qua nên hàm số không đạt cực trị điểm x = - Nếu m = (thì f ''(0) = nên chưa thể kết luận mà phải xét dấu f '( x) ) Khi f '( x) = x bị đổi dấu từ âm sang dương x qua nên hàm số đạt cực tiểu điểm x = Từ trường hợp trên, ta tất giá trị m để hàm số cho đạt cực tiểu điểm x = m ∈ (−∞;0) ∪ [1; +∞) Vậy đáp án Bài phải phương án B *Lưu ý với HS: 1) f '( x0 ) = không tồn điều kiện cần để hàm số đạt cực trị x0  f '( x0 ) = 2)  điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị x0  f ''( x0 ) ≠  f '( x0 ) = 3)  điều kiện đủ để hàm số đạt cực tiểu x0  f ''( x0 ) >  f '( x0 ) = 4)  điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại x0  f ''( x0 ) < 1  −  x + ÷+ x x  C D 11 Bài 10 Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x + A B *Lời giải sai lầm: Tập xác định: R \ { 0} 1 2 Đặt t = x + x + = t − nên f ( x) trở thành x x g (t ) = t − 2t + = (t − 1) + ≥ 2, ∀t ∈ R ; g (t ) = ⇔ t = Suy g (t ) = hay f ( x) = Do chọn phương án B (?) t∈R x∈R \{ 0} *Sai lầm đâu? Sai lầm xảy chuyển toán hàm số f ( x) tốn hàm số g (t ) khơng tương đương khơng tìm điều kiện cho t *Lời giải đúng: Tập xác định: R \ { 0} 1 2 Đặt t = x + x + = t − nên f ( x) trở thành g (t ) = t − 2t + x x 1 - Xét hàm số t = x + R \ { 0} , ta có t ' = − = ⇔ x = ±1 x x Bảng biến thiên: −∞ +∞ x -1 15 t’ + t - +∞ - + +∞ −2 −∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy t ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞) - Xét hàm số g (t ) = t − 2t + (−∞; −2] ∪ [2; +∞) , ta có g '(t ) = 2t − Bảng biến thiên: −∞ +∞ t -2 g’(t) + +∞ +∞ g(t) 11 g (t ) = t = nên f ( x) = khi3 x + = hay x = Suy t ≥2 x∈R \{ 0} x f ( x) = x = Vậy xmin ∈R \{ 0} Do đáp án Bài 10 phải phương án C *Lưu ý với HS: Khi đặt t = u(x) với x ∈ D , cần phải tìm điều kiện t, tức tìm tập giá trị hàm số t = u(x) tập xác định D 2.3.3 Một số toán đường tiệm cận đồ thị hàm số x2 − x + Bài 11 Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x2 − A B C D (Câu 15, mã đề 102, đề thi thức THPT Quốc gia năm 2017 [1]) *Lời giải sai lầm: Tập xác định: R \ { −1;1} y Vì x = -1, x = làm cho hàm số không xác định (mẫu 0) nên xlim →±1 +∞ −∞ Do đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = -1 x = Vậy chọn phương án D (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm thấy x = -1, x = làm cho hàm số không xác định (mẫu y +∞ −∞ 0) vội vàng kết luận xlim →±1 *Lời giải đúng: Tập xác định: R \ { −1;1} Ta có: 16 x2 − 5x + x−4 lim y = lim = lim =− ; x →1 x →1 x →1 x + x −1 2 x − 5x + x−4 lim + y = lim + = lim + = −∞ x →( −1) x →( −1) x →( −1) x + x −1 Suy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận đứng x = -1 Vậy đáp án Bài 11 phải phương án B 3x6 + − Bài 12 Đồ thị hàm số f ( x) = có đường tiệm cận? x3 − x A B C D *Lời giải sai lầm: Tập xác định: R \ { 0;1} 1) Tìm tiệm cận đứng: 3x + − 3x6 − f ( x) = lim = lim Ta có: lim x →1 x →1 x →1 x3 − x x ( x − 1) 3x + + ( = lim x →1 3( x3 + 1)( x + x + 1) x2 ( 3x + + ) ) = ; 3x + − lim f ( x) = lim = +∞ x →0 x →0 x3 − x Suy đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận đứng đường thẳng x = 2) Tìm tiệm cận ngang: 3+ − 3x + − x x = Ta có lim f ( x) = lim = lim x →±∞ x →±∞ x →±∞ x −x 1− x Suy đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận ngang y = Vậy đồ thị hàm số cho có hai đường tiệm cận, chọn phương án B (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm cho lim f ( x) = lim x →±∞ x →±∞ 3x + − = x3 − x nên kết luận sai tiệm cận ngang *Lời giải đúng: Tập xác định: R \ { 0;1} 1) Tìm tiệm cận đứng: (Như cách giải trên) Đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận đứng đường thẳng x = 2) Tìm tiệm cận ngang: 17 −2 3x + − x f ( x) = lim = lim Ta có: xlim →+∞ x →+∞ x →+∞ x3 − x  1 x 1 − ÷  x 1 x3 + − 3+ − x x x = = lim = lim ; x →+∞ x →+∞ 1 3 1− x 1 − ÷ x  x x3 + 1 −2 − 3+ − x x x =− lim f ( x) = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞  1 x3 1 − ÷ 1− x  x Suy đồ thị hàm số f ( x) có hai đường tiệm cận ngang y = x3 + y =− Vậy đồ thị hàm số cho có ba đường tiệm cận, đáp án Bài 12 phải phương án C (Lưu ý: Nếu theo chương trình nâng cao, phải tìm đường tiệm cận xiên, điều không làm ảnh hưởng đến đáp án toán f ( x) = ) đồ thị hàm số f ( x) khơng có tiệm cận xiên, xlim →±∞ x *Lưu ý với HS: Khi tìm tiệm cận đồ thị hàm số phải tính giới hạn cách cẩn thận, phòng tránh sai lầm 2.3.4 Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số Bài 13 Cho hàm số f ( x) = x − 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M đồ thị (C), biết M thuộc (C) có hồnh độ A y = 24 x − 53 B y = 24 x + 91 15 31 15 121 C y = 24 x − 53 , y = x + D y = 24 x + 91 , y = x + 4 4 *Lời giải sai lầm: Ta có: f (3) = 19 nên M(3; 19); f '( x) = 3x − Vì M thuộc (C) nên M tiếp điểm, tiếp tuyến cần xác định y = f '(3)( x − 3) + 19 hay y = 24 x − 53 Vậy chọn phương án A (?) *Sai lầm đâu? Sai lầm cho M thuộc (C) nên tiếp tuyến qua M tiếp tuyến M (nhận M làm tiếp điểm) Dĩ nhiên tiếp tuyến M tiếp tuyến qua M, tiếp tuyến qua M mà không nhận M làm tiếp điểm 18 *Lời giải đúng: Ta có: f (3) = 19 nên M(3; 19); f '( x) = 3x − Gọi M0 (a; a − 3a + 1) tiếp điểm tiếp tuyến d qua M (C) Phương trình d có dạng y = f '(a)( x − 3) + 19 hay y = (3a − 3)( x − 3) + 19 d qua tiếp điểm M0 nên ta có a − 3a + = (3a − 3)( a − 3) + 19 a = ⇔ ( a − 3)(2a − 3a − 9) = ⇔  a = −  y = 24( x − 3) + 19 y = 24 x − 53 - Với a = 3, ta có tiếp tuyến: hay 15 15 31 - Với a = − , ta có tiếp tuyến: y = ( x − 3) + 19 hay y = x + 4 15 31 Suy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = 24 x − 53 y = x + 4 Vậy đáp án Bài 13 phải phương án C *Lưu ý với HS: Khi giải toán tiếp tuyến qua điểm M, dù điểm M thuộc đồ thị khơng thể quy tốn tiếp tuyến điểm M Bài 14 Cho hàm số f ( x) = x − 2x + có đồ thị (C) Từ điểm A(0; 2) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)? A B C D *Lời giải sai lầm: Gọi M0 (a; a − 2a + 3) tiếp điểm tiếp tuyến d qua A(0; 2) (C) Phương trình d có dạng y = f '(a)( x − 0) + hay y = (4a − 4a ) x + d qua tiếp điểm M0 nên ta có a − 2a + = (4a − 4a) a + a =  ⇔ 3a − 2a − = ⇔  ⇔ a = ±1 a =−  Suy có hai tiếp điểm M0 nên qua A kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Vậy chọn phương án C (?) *Sai lầm đâu? Thoạt nhìn lời giải hồn tồn hợp lí Nhưng sai lầm lời giải xảy cho số tiếp tuyến qua A số tiếp điểm Điều khơng tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số nhiều tiếp điểm Chẳng hạn hàm số cho, đường thẳng y = tiếp tuyến (C) tiếp xúc với (C) hai tiếp điểm M0(1; 2) M0’(-1; 2) *Lời giải đúng: 19 Để có lời giải đúng, ta bỏ hai câu cuối cách giải sai lầm bổ sung thêm là: “Thay a = ±1 vào phương trình d, ta có tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) đường thẳng y = 2” Vậy đáp án Bài 14 phải phương án B *Lưu ý với HS: Nói chung số tiếp điểm khơng (mà lớn bằng) số tiếp tuyến tiếp điểm Do đó, giải tốn liên quan đến số tiếp tuyến vào số tiếp điểm mà phải vào số phương trình tiếp tuyến 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Tôi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy lớp 12C3 trường THPT Như Xn năm học 2017 – 2018 Qua đó, tơi nhận thấy lực giải toán hàm số học sinh có tiến tỉ lệ học sinh mắc sai lầm giảm đáng kể so với học sinh khóa trước Qua học, học sinh nắm vững nội dung kiến thức Chương I – Giải Tích 12; hiểu rõ nắm chất định nghĩa, định lí, tính chất, quy tắc Chương I biết vận dụng Trong tiết dạy, khơng khí học tập sơi nổi, học sinh hứng thú, tích cực; học sinh mạnh dạn, chủ động nhận xét làm bạn, tìm sai lầm sửa chữa để có lời giải Từ hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu lời giải, kiểm tra lại kết để phòng tránh sai lầm, phát sửa chữa sai lầm Bên cạnh học sinh sử dụng thuật ngữ, kí hiệu tốn học, quy tắc suy luận… xác khả trình bày lời giải, diễn đạt ngơn ngữ nói, ngôn ngữ viết học sinh tiến lên đáng kể Đặc biệt, giải toán trắc nghiệm, đa số học sinh tránh sai sót để không chọn nhầm đáp án, tránh lỗi sai đáng tiếc, qua kết học tập nâng cao Đối với thân, áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, thấy tiết dạy hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh, giúp học sinh nắm vững, khắc sâu nội dung kiến thức tránh sai sót; đáp ứng phù hợp với kỳ thi THPT Quốc gia thi hình thức đề trắc nghiệm khách quan Đối với đồng nghiệp nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đổi phương pháp, giải pháp giảng dạy nội dung kiến thức số dạng toán mà học sinh thường mắc sai lầm Chương I – Giải Tích 12 Nội dung Sáng kiến nội dung mà tơi trình bày sinh hoạt chuyên môn định kỳ tổ chuyên môn Tốn Qua để với đồng nghiệp đến thống phương pháp, giải pháp giảng dạy nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng giảng dạy nội dung Chương I – Giải Tích 12 nói riêng mơn Tốn nói chung KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận: Việc sử dụng toán học sinh dễ mắc sai lầm vào tiết dạy nội dung Chương I - Giải Tích 12 giúp học sinh ghi nhớ, nắm vững khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ phương pháp giải toán hàm số; đồng thời tạo tính cẩn thận, hình thành thói quen kiểm tra kết quả, phòng tránh sai lầm giải tốn nói chung, qua nâng cao hiệu học tập Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm làm tài liệu để đồng nghiệp học sinh lớp 12 tham khảo trình dạy học phần hàm số Sáng kiến kinh nghiệm phát triển theo hướng: - Bổ sung thêm dạng toán mà học sinh thường gặp sai lầm, như: Vận dụng tính biến thiên để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, giải phương trình, hệ phương trình, tìm điều kiện để phương trình, hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu cho trước; sử dụng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình; toán tương giao hai đồ thị; bổ sung thêm toán cực trị - Vận dụng cách làm giải pháp mà Sáng kiến kinh nghiệm đưa để giảng dạy nội dung kiến thức dạng tốn khác chương trình toán THPT, như: Những sai lầm học sinh thường gặp giải phương trình, bất phương trình mũ – lôgarit; nội dung kiến thức giải dạng tốn đạo hàm, ngun hàm, tích phân 3.2 Kiến nghị: Đối với đồng nghiệp: Với kết Sáng kiến kinh nghiệm này, mong đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ, trao đổi, ứng dụng vào giảng dạy để không ngừng nâng cao hiệu tiết dạy kết học tập học sinh Đối với tổ chuyên môn: Trong sinh hoạt chuyên môn cần tăng cường trao đổi sai lầm thường gặp học sinh biện pháp khắc phục; bàn luận đến thống cách dạy vấn đề khó, dễ sai lầm, vấn đề gây tranh cãi XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan Sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Lê Khắc Luyện 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, Bộ Giáo dục Đào tạo Đề minh họa (lần 1, lần lần 3) thi THPT Quốc gia năm 2017, Bộ Giáo dục Đào tạo DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Khắc Luyện Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên Tốn - Trường THPT Như Xuân TT Tên đề tài SKKN Vận dụng số phức vào giải số toán số thực Hướng dẫn học sinh lớp 12 vận dụng hiệu tính biến thiên hàm số vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Sở GD&ĐT C Thanh Hóa Sở GD&ĐT Thanh Hóa C Năm học đánh giá xếp loại 2008-2009 2013-2014 22 ... để gi i vấn đề: Để giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Gi i Tích 12 thơng qua phân tích sửa chữa sai lầm học sinh, tiến hành tìm hiểu sai lầm mà học sinh thường gặp thông qua đồng nghiệp,... 2018 Qua đó, t i nhận thấy lực gi i toán hàm số học sinh có tiến tỉ lệ học sinh mắc sai lầm giảm đáng kể so v i học sinh khóa trước Qua học, học sinh nắm vững n i dung kiến thức Chương I – Gi i Tích. .. t i liệu, qua kinh nghiệm thân đặc biệt thông qua l i gi i tốn học sinh Từ gi i pháp đưa tinh thần ngư i học ph i biết học sai lầm thiếu sót Cụ thể, để thực theo gi i pháp ngư i dạy đặt học sinh