SKKN rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong giải toán

www.huongdanvn.com Rèn luyện lực giải toán cho học sinh THCS thông qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán Đặt vấn đề: trờng phổ thông, dạy toán dạy hoạt động toán học Đối với học sinh, xem giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt dạy học Toán trờng phổ thông Các toán phơng tiện có hiệu thay đợc việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t hình thành kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học toán Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy học giải toán co vai trò định chất lợng dạy học Toán Tuy nhiên, thực tiễn trờng phổ thông cho thấy chất lợng dạy học Toán cha tốt, thể lực giải toán học sinh hạn chế học sinh vi phạm nhiều sai lầm kiến thức, phơng pháp toán học Trong đó, nguyên nhân quan trọng giáo viên cha ý cách mức việc phát hiện, tìm nguyên nhân sửa chữa sai lầm cho học sinh học Toán để từ có nhu cầu nhận thức sai lầm, tìm nguyên nhân biện pháp hạn chế, sửa chữa kịp thời sai lầm này, nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu dạy học toán trờng phổ thông Với lí đó, qua việc quản lý giảng dạy, đề cập tới Rèn luyện lực giải toán cho học sinh thông qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán, nhằm nghiên cứu sai lầm phổ biến học sinh phổ thông giải toán, đồng thời đề xuất biện pháp s phạm để hạn chế sửa chữa sai lầm nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán trờng phổ thông Việc sửa chữa sai lầm hoạt động quan trọng, G.Polia cho rằng: Con ngời phải biết học sai lầm thiếu sót mình, A.A.Stoliar phát biểu: Không đợc tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh, theo J.A.Komenxkee thì: Bất kỳ sai lầm làm cho học sinh nh giáo viên không ý đến sai lầm đó, hớng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm www.huongdanvn.com Nguyên tắc sửa chữa sai lầm cho học sinh giải toán cần phải tạo động học tập sửa chữa sai lầm Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm nhu cầu cần phải tham gia nh mét chđ thĨ mét c¸ch tù ngun, say mê, hào hứng Tạo cho học sinh có động hoàn thiện tri thức Cần lấy hoạt động học tập học sinh để làm sở cho trình lĩnh hội tri thức Hơn nguyên tắc phải tập trung vào phong trào hoạt động, rèn luyện kỹ học tập học sinh Việc sử dụng biện pháp s phạm nhằm hạn chế sửa chữa sai lầm học sinh giải toán, giáo viên cần phải lu ý, có phơng châm là: tính kịp thời, tính xác tính giáo dục Ba phơng châm hỗ trợ, bổ sung cho làm cho biện pháp thực mục đích kết Nội dung: 2.1 Những sai lầm thờng gặp giải toán đại số: Khi xem xét sai lầm học sinh, xếp theo chủ đề kiến thức từ phơng diện hoạt động toán học Trong viết này, đề cập tới sai lầm chủ yếu học sinh giải toán, theo số chủ đề kiến thức tìm nguyên nhân cách khắc phơc sai lÇm cđa häc sinh 2.1.1 Sai lÇm biến đổi biểu thức: Những sai lầm biến đổi biểu thức thờng mắc sử dụng đẳng thức đẳng thức, đẳng với điều kiện Đôi sai lầm xuất hiểu nhầm công thức Thí dơ 1: Rót gän: P = (1 + x)2 + (1 x) Lời giải sai lầm: ? Ta cã: P = + x + – x = Phân tích sai lầm: ! Nhớ rằng: a = a với a Do phải sử dụng đẳng thức a = a Lời giải là: P = 1+ x + x 2x nÕu x >1 P= nÕu -1 ≤ x ≤ -2x nÕu x < -1 ThÝ dô 2: Rót gän: www.huongdanvn.com Q = x x + − x3 + x ? Ta cã: Q = x ( x + 2) − x3 + x = x3 + x − x3 + x = ! Cã thÓ thay x = -1 vào biểu thức Q thay Q = (-1) ( −1) + − ( −1)3 + 2( −1) = −1 − = −2 Chứng tỏ kết rút gọn sai ! Vì sao? HS nên nhớ chi có a b = a 2b nÕu a ≥ Lêi gi¶i x 2.1.2 Sai lầm giải phơng trình, bất phơng trình: Những sai lầm giải phơng trình thờng mắc HS vi phạm quy tắc biến đổi phơng trình, bất phơng trình tơng đơng Đặt thừa hay thiếu điều kiện dẫn đến sai lầm, chí sai đến mức không giải đợc nữa! Một số sai lầm hậu việc biến đổi công thức không đúng, nh ®· chØ ë môc 2.1 ThÝ dô 2: Giải phơng trình: x3 + 3x + x + = ? Điều kiện thức cã nghÜa: − x + 3x − ≥  x +1 ≥ ( x − 1) ( x + ) ≤ ⇔  x ≥ −1 ⇔  x3 − 3x + ≤   x ≥ −1 x + ≤ ⇔   x ≥ −1  x ≤ −2 ⇔   x ≥ −1 VËy kh«ng tồn giá trị x để hai thức đồng thời có nghĩa nên phơng trình vô nghiệm ! Có thể với x = hai thức có nghĩa x = nghiệm phơng trình HS đà sai giải bất phơng trình (x 1)2(x + 2) ⇔ x + ≤ ThÝ dô 3: Giải phơng trình: x2 x + = x + ? Điều kiện để thức có nghÜa:  x2 −1 ≥  x +1 ≥ ( x − 1)( x + 1) ≥ ⇔  x +1 ≥ www.huongdanvn.com ⇔ x −1 ≥  x +1 ≥ x ≥ ⇔   x ≥ −1 ⇔ x ≥1 Khi phơng trình có dạng: ( x 1)( x + 1) − x + = x + Vì x nên x + > , chia hai vÕ cho x + ta cã: x −1 −1 = x + V× víi x ≥ th× x − < x + nªn x − − < x + Vậy phơng trình vô nghiệm x2 ! Sai lầm giải hệ: x + ≥ nhiÒu HS tëng r»ng: A.B≥0 A≥0 A0 B0 lời giải thiếu x = -1 nghiệm phơng trình HS đà quên A.B A ≥ ⇔  A =    Bconghia  A >    B Lời giải là: Điều kiện thức cã nghÜa:  x2 −1 ≥  x +1 ≥  x ≥  ⇔   x ≤ −1  x ≥ −1   x = −1 x ≥1 ⇔  Thay x = -1 thoả mÃn phơng trình Với x làm nh lời giải Tóm lại: Phơng trình có nghiệm x = -1 Thí dụ 4: Giải biện luận phơng tr×nh: a −5+ 2a + = (*) theo tham sè a x−2 ? §iỊu kiƯn: x ≠ Khi ®ã (*) ⇔ (a - 5) (x - 2) + 2a + = NÕu a ≠ th× x = ⇔ (5 - a) (x - 2) = 2a + ⇔ x(5 - a) = 15 15 5a www.huongdanvn.com Nếu a = phơng trình vô nghiệm ! Sai lầm học sinh không để ý x = 15 không nghiệm 5a phơng trình Vì nghiệm phải thoả mÃn x nên 15 =2 a= ph5a ơng trình vô nghiệm Lời giải phải bổ sung điều kết luận là: a  NÕu   a ≠ − th× x = a =  NÕu  a = phơng trình vô nghiệm 15 15 a Thí dụ 5: Giải phơng trình 2x + x − = 16 (*) ? §iỊu kiÖn: x ≥ Ta cã: (*) ⇔ ⇔ x − = 16 − x ⇔ x – = 256 – 64x + 4x2 ⇔ 4x – 65x + 259 = x =   x = 37  Tho¶ m·n x ≥ Vậy phơng trình có nghiệm x = hc x = 37 x − = 16 − x ⇔ x – = 256 – 64x + 4x2 ! Sai lÇm viÕt b ≥ CÇn lu ý HS r»ng: a = b ⇔ a = b (không cần đặt điều kiện a 0) Ta có x = 37 không nghiệm Thí dụ 7: Giải bất phơng trình: x − 2x − ? (*) < (*) x+5 ⇔ x + < x2 − x − ⇔ (x + 5)2 < x2 – 2x – ⇔ 12x + 28 < ⇔ ! HS sai lÇm nghÜ r»ng x< − 1 < a b ⇔ b0 ab 1 < a b  ab >  a > b  ab <  a < b ⇔ 2.1.3: Sai lầm chứng minh bất đẳng thức: Các sai lầm thờng bắt nguồn từ việc vận dụng bất đẳng thức cổ điển mà không để ý tới điều kiện để bất đẳng thức đúng, sử dụng sai sót quy tắc suy luận từ bất đẳng thức suy bất đẳng thức Thí dụ 1: So sánh: x+ x ? áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số x ta cã: x 1 1  x + ÷ ≥ x = 2 x x ⇒ x+ đẳng thức xảy x x= ⇔ x = ⇔ x = ±1 x ! Sai lầm không để ýđến điều kiện số a, b bất đẳng thức Cauchy: a+b ≥ ab Víi a ≥ vµ b ≥ ( x − 1) − Lêi giải đúng: Xét x + = x x ( x − 1) ≥ ⇔x>0 ⇔ x+ ( x − 1) < ⇔ x < ⇒ x+ x x ≥2 x 0 (1) ab + bc + ca > (2) abc > (3) th× a > 0; b > 0; c > ? Do vai trò bình đẳng a, b, c nên ta cần chứng minh a > Giả sử a < từ (3) bc < Tõ (2) ⇒ a(b + c) > -bc > ⇒ b + c < Tõ a < 0, b + c < ⇒ a + b + c < m©u thn víi (1) Do a > ! Khi phủ định a > để thực phép chứng minh phản chứng phải biết xét a Lời giải thiếu trờng hợp a = 2.1.4 Sai lầm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Những sai lầm tìm giá trị lớn nhât giá trị nhỏ hàm số hay biểu thức nhiều ẩn thờng vi phạm quy tắc suy luận l«gÝc: “NÕu f(x) ≥ m (m h»ng sè), víi mäi x A tồn x0 A cho f(x0) = m giá trị nhỏ f(x) miền A m (có quy tắc tơng tự cho giá trị lớn f(x) Đối chiếu với biểu thức nhiều ẩn có quy tắc tơng tự Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ của: F (x, y) = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 2)2 ? víi mäi x, y ∈ R th×: (x + y)2 ≥ (x + 1)2 ≥ (y – 2)2 ≥ www.huongdanvn.com VËy F (x, y) ≥ ∀ x, y ∈ R Tõ ®ã suy minF(x,y) = ! Sai lầm lời giải không giá trị x, y để F(x, y) = Nhớ r»ng: F(x, y) ≥ ∀ x, y ∈ R tồn x0, y0 cho F(x, y) = kết luận đợc minF(x;y) = Đối với toán này, không tồn x 0; y0 để F(x0;y0) =0 Lời giải là: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với a1 = -1 a2 = a3 = b1 = (x + y); b2 = x + 1; b3 = y -2 ta cã: = ( −1).( x + y ) + 1.( x + 1) + 1.( y − 2) ≤ F ( x, y ) ⇒ ≤ 3F ( x; y) ⇒ F ( x; y) ≥ b b b Đẳng thức xảy ⇔ a = a = a  x=− 2 x + y = −1  ⇔ ⇔  x − y = −3 y =  VËy: minF(x;y) = ⇔x=− ; y= 3 Thí dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: f(x) = x + ? Đặt t = x + 1  −  x + ÷+ x x  1 th× x + = t − nªn x x f(x) = g(t) = t − 2t + = (t − 1) + 2t R Đẳng thức xảy t = Do ®ã f(x) = ⇔ t = ! Sai lầm chuyển toán không tơng đơng Giá trị nhỏ f(x) không trùng với giá trị nhỏ g(t) với t thc R Cã thĨ thÊy víi t =1 th× không tồn x thực sai lầm lời giải lại trở sai lầm thí dụ giá trị x để (x) = Thí dụ 3: Tính giá trị nhỏ nhÊt cña: www.huongdanvn.com f(x) = x + ? Ta cã f(x) = x + + x +3 x +3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dơng x + x +3+ ta cã: x +3 ≥ ⇒ − = −1 víi mäi x ≥ x +3 Đẳng thức xảy x + = ⇔ x +3 ( ) x + =1 Thấy giá trị x thoả m·n v× x +3≥3⇒ ( ) x +3 ≥ >1 Vậy f(x) giá trị nhỏ ! Không có giá trị x để f(x) = -1 suy đợc giá trị f(x) > -1 lời giải không đến đợc f(x) Thí dụ 4: Cho x, y số nguyên dơng, thoả mÃn: x + y = 2011 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x) (TrÝch ®Ị thi HSG tỉnh Toán năm học 2010 2011) Có không học sinh đà có lời giải sai lầm: ? Ta cã P = (x + y)3 – (x + y)xy + xy = 20113 - 6031 xy áp dụng BĐT => 20112 x+ y = (*)    xy ≤  20112 20112.2013 P ≥ 2011 - 6031 => P ≥ (**) 4 20112.2013 Giá trị nhỏ P ! Dấu bất đẳng thức (*) không xảy điều kiện x, y nguyên dơng nên dấu bất đẳng thức (**) không xảy 2.1.5 Sai lầm giải toán phơng trình bậc hai Khi giải toán phơng trình bậc hai, sai lầm xuất không ý đến giả thiết định lý mà đà vội vàng áp dụng lạm dụng suy diễn mệnh đề không xét thiếu trờng hợp cần biện luận Thí dụ 1: Tìm m để phơng tr×nh: www.huongdanvn.com (m – 1)x2 + (2m -1)x + m + = Cã hai nghiƯm ph©n biƯt? ? Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi: > ⇔ (2m – 1)2 – 4(m- 1)(m + 5) > ⇔ -20m + 21 > ⇔ 21 20 m< 21 mà phơng trình có nghiƯm x = -6 20 ! Cã thĨ chØ víi m = < Nhí r»ng ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt a ≠ ⇔ ∆ > ThÝ dô 2: BiÕt r»ng (x;y) lµ nghiƯm cđa hƯ: x + y = m  2  x + y = m + Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cña: F = xy – 6(x + y) ? Ta cã: x2 + y2 = -m + ⇔ = -m2 + (x + y)2 – 2xy ⇔ m2 – 2xy = -m2 + ⇔ xy = m2 -3 Do ®ã: F = m2 – 6m – = m2 – 6m – = (m – 3)2 – 12 VËy F = -12 ⇔ m=3 F giá trị lớn F lµ hµm bËc hai víi hƯ sè m2 lµ a = > ! Lời giải không đặt điều kiện để tồn x y Do đà xét với m thuộc R 2.2 Phân tích nguyên nhân dẫn tới sai lầm học sinh trung học sở giải toán 2.2.1 Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ xác thuộc tính cđa c¸c kh¸i niƯm to¸n häc Chóng ta biÕt r»ng: Khái niệm sản phẩm t toán học Mỗi khái niệm có nội hàm ngoại diện Tập hợp dấu hiệu đặc trng cho chất đối tợng đợc phản ánh khái niệm nội hàm khái niệm Tập hợp đối tợng có chứa dấu hiệu ngoại 10 www.huongdanvn.com diên khái niệm Việc không nắm vững nội hàm ngoại diên khái niệm dẫn HS tới hiểu không trọn vẹn, chí sai lệch chất khái niệm Từ sai lầm giải toán xuất Mặt khác nhiều khái niệm toán học mở rộng thu hẹp khái niệm có trớc Việc HS không nắm vững khái niệm dẫn tới việc không hiểu có biểu tợng khái niệm khác Nhiều ngời ta hay nãi tíi sù “mÊt gèc” cđa HS vỊ kiÕn thức trớc hết cần hiểu rằng: “mÊt gèc” vỊ c¸c kh¸i niƯm Nh vËy qua c¸c dÉn chøng thĨ trªn chóng ta cã thĨ thÊy từ việc không nắm vững thuộc tính khái niệm, học sinh bị dẫn tới sai lầm lời giải Chúng xin lu ý tới nguyên nhân giáo viên biện pháp kịp thời từ gây hËu qu¶ lín cho häc sinh, thĨ hiƯn qua sơ đồ sau (sơ đồ 1): Nhận dạng sai Không nắm vững nội hàm Biến đổi sai Kí hiệu sai Không nắm vững thuộc tính khái niệm Chứng minh sai Vẽ hình sai Không nắm vững ngoại diên Học sinh Thể Diễn đạt sai Không phát phânhiện tích Không sai Giáo viên Không củng cố Không phân loại 2.2.2 Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc lôgic định lí Định lí mệnh đề đà đợc khẳng định Cấu trúc thông thờng định lÝ cã d¹ng A ⇒ B Trong cÊu tróc cđa định lí A B A giả thiết 11 www.huongdanvn.com định lí cho biết phạm vi sử dụng đợc định lí Ngời ta nói A điều kiện đủ để có B Nhng nhiều học sinh lại không nắm vững coi thờng giả thiết A nên dẫn tới sai lầm giải toán Khi học định lí Viét thuận, nhiều học sinh chØ nhí tỉng vµ tÝch hai nghiƯm lµ bao nhiêu, không để ý tới giả thiết định lí phơng trình phải phơng trình bậc hai cã nghiÖm (a ≠ 0, ∆ ≥ ) học sinh mắc sai lầm áp dụng định lí Khi học bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý tới giả thiết áp dụng bất đẳng thức cho số không âm nên gặp toán so sánh x + 1/x với số đà áp dụng để có kết luận sai lÇm x + 1/x > víi x ≠ vµ x + 1/x = víi x = 1.(?) Tóm lại việc không nắm vững cấu trúc logic định lí dẫn học sinh tới nhiều sai lầm học toán giải toán Chúng xin lu ý sơ đồ sau (sơ đồ 2): ĐịNH Lí A B Không nắm vững A Không cã A vÉn suy B Kh«ng cã A suy B Không nắm vững B Sử dụng B mà A Sử dụng định lí cha ®óng Cã B suy cã A Cã A nhng suy B Lời giải sai Học sinh Giáo viên 2.2.3 Nguyên nhân 3: Thiếu kiến thức cần thiết lôgic: Suy luận hoạt động trí tuệ đặc biệt phán đoán hình thức t Hoạt động suy luận giải toán dựa sở lôgic 12 www.huongdanvn.com học Học sinh thiếu kiến thức cần thiết lôgic mắc sai lầm suy luận từ dẫn đến sai lầm giải toán Ngay việc sử dụng từ nối và, điều khó khăn nhiều học sinh Lẽ cần khẳng định: tam giác cân vuông lại khẳng định tam giác tam giác vuông cân Khi biến đổi phơng trình tích AB = 0, học sinh viết A = B = Không nắm đợc phép phủ định học sinh khó khăn dùng phơng pháp chứng minh phản chứng Việc phủ định không hoàn toàn dẫn tới sai lầm lời giải phủ định a > a < gây cho lời giải thiếu trờng hợp a = Trong SGK phép chứng minh đợc trình bày theo phơng pháp tổng hợp mà không qua phơng pháp phân tích để dẫn tới cách chứng minh giáo viên lại dới dạng tờng minh kiến thức quy luật, quy tắc, phơng pháp suy luận đà đợc sử dụng 2.2.4 Nguyên nhân 4: học sinh không nắm vững phơng pháp giải toán bản: Học sinh không nắm vững phơng pháp giải toán dẫn tới sai lầm lời giải Không nắm vững phơng pháp giải học sinh không nghĩ đợc đủ khả cần xét dẫn tới đặt điều kiện sai Không nắm vững phơng pháp giải, học sinh biện luận không đủ trờng hợp xảy toán 2.3 Bốn biện pháp s phạm chủ yếu nhằm hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh 2.3.1 Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ xác kiến thức môn Toán: * Tình 1: Dạy toán học nh để tránh sai lầm cho học sinh giải toán? Giáo viên cần dự đoán trớc (bằng kinh nghiệm thân trao đổi với đồng nghiệp), khả không hiểu hết thuộc tính khái niệm Nếu dự đoán đợc sai lầm chắn giáo viên chuẩn bị giảng để đề phòng trớc sai lầm cho học sinh Sự chủ động đề phòng sai lầm xuất bao giời mang tính tích cực sửa chữa sau Những sai lầm học sinh khái niệm toán học mang dấu ấn khó phai công chỉnh lại cho xác 13 www.huongdanvn.com cần lu ý ph©n biƯt viƯc cha hiĨu hÕt víi hiĨu sai Có khái niệm khó, học sinh không hiểu hết thuộc tính lúc mà phải qua hoạt động nhận dạng thể tíi sù trän vĐn ChÝnh viƯc cha hiĨu hÕt c¸c thuộc tính khái niệm dễ dẫn đến hiểu sai khái niệm Do có sai lầm học sinh phải làm cho học sinh hiểu hết thuộc tính khái niệm mong học sinh hết hiểu sai Ví dụ: Khái niệm hàm số, học sinh cần phải hiểu rõ ba thuộc tính khái niệm là: + Tập X, Y tập hợp số + Mỗi giá trị x có giá trị y tơng ứng + Giá trị tơng ứng y * Tình 2: Dạy định lí toán học nh để học sinh tránh sai lầm giải toán? Nói tới định lí toán học nói tới khẳng định (dù có dạy phép chứng minh định lí hay không) Tuy nhiên, việc quan trọng mà giáo viên cần quan tâm cấu trúc lôgic định lý Nh đà phân tích, việc không nắm vững cấu trúc định lí dẫn học sinh tới sai lầm giải toán Các định lí toán học thờng đợc diễn đạt theo cấu trúc A B Ai biết A giả thiết B khẳng định, kết luận định lí Nhng xin lu ý thêm: A cho biết dùng định lÝ nµo vµ B cho biÕt sÏ kÕt luËn, suy đợc có A Dạy định lí toán học đợc thực theo hai đờng, đờng suy diễn đờng có khâu suy đoán Nhằm hạn chế đề phòng sai lầm học sinh giải toán thấy cần thiết phải phân tích rõ giả thiết định lí Học sinh nhiều không quan tâm tới giả thiết định lí mà quan tâm tới kết luận định lí nên dẫn tới sai lầm Nếu phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x1, x2 tổng tích nghiệm là: b x1 + x2 = − a   x x = c  a CÊu tróc cđa gi¶ thiÕt: { a ≠ 0} ∧ { ∆ ≥ 0} Trớc dùng định lí phải kiểm tra đặt điều kiện để toán thoả mÃn đồng thời hai điều kiện giả thiết Học sinh hay quên điều kiện a Nhiều học sinh tính tổng tích nghiệm phơng trình x2 x + = phơng trình vô nghiệm 14 www.huongdanvn.com Giáo viên cần tạo thí dụ mà điều kiện giả thiết cha thoả mÃn hoàn toàn để học sinh thấy điều kiện giả thiết thiếu đợc Giáo viên cần nêu thí dụ để thuyết phục không dừng lại việc nhắc nhở Các thí dụ, mà đặc biệt phản thí dụ tạo ấn tợng häc sinh VÝ dô: x nÕu x ≥ x = - x x < x = -x x < ( nhng x = x = - x) Điều chứng tỏ x < điều kiện đủ điều kiện cần để tránh sai lầm cho học sinh Khi dạy định lí cần cho häc sinh c¸c híng dÉn øng dơng cđa định lí để tạo nhạy cảm học sinh đứng trớc toán biết nghĩ tới việc vận dụng định lí Điều đặc biệt cần lu ý dạy định lí toán học cho học sinh giáo viên cần cho học sinh thấy rõ phơng pháp phân tích chứng minh định lí Chính biện pháp giúp cho học sinh dễ tới chứng minh giải toán sau * Tình Cung cấp kiến thức lôgic nh để học sinh tránh sai lầm giải toán? Theo thực nghiệm chúng tôi, việc đa ví dụ theo ngôn ngữ tự nhiên cần trớc thí dụ theo ngôn ngữ toán học Đây đờng từ trực quan sinh động đến t trừu tợng nhận thức Chẳng hạn nêu mệnh đề A = Trời nắng ; B = Đội mũ thông thờng học sinh đợc nhắc nhở Nếu trời nắng đội mũ nên học sinh dƠ h×nh dung ý nghÜa cđa phÐp kÐo theo A B A đủ để có B nhng lu ý nhiều học sinh đội mũ trời không nắng, nghĩa A cha phải điều kiện cần để có B Đặc biêt, A B ví dụ để nhấn mạnh mệnh đề đảo B A không đúng, học sinh thấy việc đội mũ không làm cho trời nắng Chẳng hạn, A = số tự nhiên có tận ; B = số tự nhiên có tận ; C = sè tù nhiªn chia hÕt cho C ( A B ) ta cã ( A ∨ B ) ⇒ C ®ång thêi ( A B ) C tiêu chuẩn chia hÕt cho cđa sè tù nhiªn Khi kiĨm tra mét sè chia hÕt cho hay kh«ng chØ cần kiểm tra A B Từ phủ 15 www.huongdanvn.com định mệnh đề ta có ( A B) C , qua học sinh nắm rõ chất dấu hiệu chia hết cho Giáo viên chủ động đa suy luận sai để học sinh phân tích tránh vấp phải sau Đặc biệt cần làm cho học sinh nắm đợc phơng pháp phân tích lên, phân tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp Giáo viên cần tận dụng hội nào, miễn hợp lí, để khắc sâu kiến thức lôgic cho học sinh Chẳng hạn với học sinh giỏi lớp 9, hệ phơng trình: bx + y = a x + by = c + c Thì việc phân tích hai yêu cầu sau khác tăng cờng kiến thức lôgic - Tìm a cho với b tồn c để hệ có nghiệm - Tìm a cho tồn c ®Ĩ hƯ cã nghiƯm víi mäi b Häc sinh n¾m vững kiến thức lôgic hạn chế đợc nhiều sai lầm giải toán * Tình 4: Trang bị phơng pháp giải toán nh để tránh sai lầm học sinh giải toán? Có thể nói loại toán chơng trình Đại số THCS có phơng pháp giải Việc trang bị phơng pháp giải làm cho học sinh có điều kiện nắm vững loại toán bản: Ví dụ: Giải phơng trình: ax2 + bx + c = a0 a=0 b=0 c=0 vô định = b2 4ac b≠0 c≠0 PT cã nghiÖm VN nhÊt Δ0 nghiƯm kÐp nghiƯm ph©n biƯt ViƯc rÌn luyện cho học sinh lập sơ đồ nh vừa làm học sinh nắm vững phơng pháp giải, vừa phát triển t cho học sinh Từ học sinh tránh sai lầm giải toán Tuy nhiên cần lu ý học sinh với loại toán có nhiều phơng pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phơng pháp giải tối u để giải toán cụ thể 16 www.huongdanvn.com Từ lời giải toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm phơng pháp giải cho lớp toán Biện pháp gióp häc sinh hiĨu b¶n chÊt lêi gi¶i thĨ t khái quát hoá đợc phát triển Tránh tình trạng làm biết Nhờ thực biện pháp 1, có việc trang bị kiến thức lôgic cho học sinh mà việc thùc hiƯn kiĨm tra sù cã lÝ cđa tõng bíc suy luận thực đợc thuận lợi Mỗi có lời giải sai dịp tốt để giáo viên cho học sinh thực hành thao tác dấu hiệu nhận biết sâu sắc cách thú vị học toán hấp dẫn học sinh tích cực hoạt động, nói có điều kiện để tích cực hoạt động 2.3.2 Biện pháp 2: Học sinh đợc thử thách thờng xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải Đây biện pháp thờng trực, kể sai lầm đà đợc phân tích sửa chữa cho học sinh Để thực biện pháp này, giáo viên phải biết đặt toán có chứa bẫy Với toán Chứng minh với a, b, c (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) 8a2b2c2 đà lôi 98,5% học sinh tham gia có lời giải Tuy nhiên, đông học sinh bị sai lầm lời giải nhân bất đẳng thức chiều Nh vậy, để đạt mục đích s phạm bẫy phải làm cho toán có tính thử thách để đo độ vững vàng kiến thức thĨ cđa häc sinh 2.3.3 BiƯn ph¸p 3: Theo dõi sai lầm học sinh giải toán qua giai đoạn: *Giai đoạn 1: Sai lầm cha xuất giai đoạn giáo viên dự báo trớc sai lầm thể ý học sinh Chẳng hạn giáo viên ý bất đẳng thức Cauchy đợc áp dụng với số không âm, ®Ó chøng minh a (1 – a) ≤ b»ng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a a sai lầm Tất nhiên, để dự báo tốt 17 www.huongdanvn.com giáo viên phải đợc trang bị hiểu biết sai lầm học sinh giải toán phải có lực chuyên môn, kinh nghiệm s phạm *Giai đoạn 2: Sai lầm xuất lời giải học sinh: Đây giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải kết hợp đợc ba nguyên tắc kịp thời, xác, giáo dục với tích cực hoá học sinh để vận dụng hiểu biết việc kiểm tra lời giải nhằm tìm sai lầm, phân tích nguyên nhân sửa chữa lời giải Quy trình giai đoạn giáo viên theo dõi thấy sai lầm giáo viên gợi ý để học sinh tìm sai lầm học sinh tự tìm sai lầm giáo viên gợi ý chỉnh lời giải học sinh thể lời giải giáo viên tổng kết nhấn mạnh sai lầm đà bị mắc Nhiều sai lầm học sinh tinh vi, có giáo viên không phát kịp thời Giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải có thái độ đối xử khéo léo s phạm để tăng hiệu giáo dục Tuỳ theo mức độ sai lầm mà giáo viên định sử dụng biện pháp s phạm thích hợp Có giáo viên cần đa lời giải để học sinh tự đối chiếu tìm sai lầm lời giải sai, gợi ý để học sinh nhận sai lầm Có giáo viên chủ động đa lời giải sai để học sinh nhận dạng dấu hiệu tìm sai lầm Có giáo viên đa nhiều lời giải khác ®Ĩ häc sinh ph©n biƯt sù ®óng sai cđa lêi giải, sử dụng phơng pháp trắc nghiệm toàn lớp để học sinh phải suy nghĩ có ý kiến Ngợc lại, giai đoạn giáo viên không kịp thời phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán sai lầm ngày trầm trọng, giáo viên không hoàn thành nhiệm vụ dạy học, học sinh sút kết * Giai đoạn 3: Sai lầm đà đợc phân tích sửa chữa Giáo viên cần xây dựng hoạt động học cho học sinh thử thách thờng xuyên học sinh qua toán dễ dẫn đến sai lầm đà sửa 18 www.huongdanvn.com Sự nỗ lực thầy trò cha dứt bỏ sai lầm sai lầm lại bớc vào vòng tồn Điều quan trọng làm sao, cuối qua nhiều vòng giáo viên cần xoá hẳn sai lầm cho học sinh Việc chia ba giai đoạn sai lầm có ý nghĩa nhấn mạnh thời điểm sai lầm Trong thời điểm dạy học giáo viên có đồng thời tác động đến ba giai đoạn, vừa phòng tránh sai lầm cha xuất hiện, vừa lo phân tích sửa chữa sai lầm xuất đồng thời lo xoá hẳn sai lầm đà sửa chữa Sơ đồ sau rõ kiên trì để xoá bỏ sai lầm học sinh Sai lầm cha xuất Sai lầm xuất Phòng tránh Phân tích sửa chữa Củng cố thử thách Chúng Sai lầm đợc xoá bỏ Chúng ta khẳng định rằng, học sinh mắc nhiều sai lầm giải toán, sai lầm học sinh đợc hệ thống lại giúp giáo viên dễ phát lời giải học sinh; sai lầm xuất phát từ nhiều nguyên nhân kiến thức, để từ giáo viên có biện pháp phân tích, sửa chữa sai lầm cho học sinh giải toán, nâng cao chất lợng giảng dạy học môn Toán trờng phổ thông 19 www.huongdanvn.com III Kết luận Đề tài đà sai lầm học sinh giải toán tợng phổ biến nay, kể học sinh giỏi môn toán Các sai lầm hệ thống lại, chẳng hạn theo loại toán chủ yếu nhằm giúp giáo viên dễ phát sửa chữa cho học sinh Đề tài đà phân tích nguyên nhân chủ yếu kiến thức học sinh gây nên sai lầm giải toán đề xuất ba phơng châm đạo (tính kịp thời, tính xác, tính giáo dục) để việc sử dụng bốn biện pháp s phạm nhằm hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh có hiệu Nếu ngời giáo viên nắm bắt đợc sai lầm phổ biến học sinh giải toán, đồng thời biết cách phân tích sử dụng biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa sai lầm lực giải toán học sinh đợc nâng cao Với kinh nghiệm 20 năm dạy toán cho nhiều đối tợng quản lý chuyên môn, bớc đầu đợc khẳng định tính khả thi, tính hiệu biện pháp đà đề xuất IV Khuyến nghị - đề xuất: Các kết nghiên cứu phát triển theo nhiều hớng Chẳng hạn, nghiên cứu sai lầm học sinh giải toán phân môn hình học môn học khác trờng trung học sở Nội dung làm tài liệu tham khảo bổ ích triển khai thành chuyên đề bồi dỡng nghiệp vụ cho giáo viên giảng dạy toán THCS Xác nhận Phòng GD & ĐT Trởng Phòng 20 www.huongdanvn.com Xác nhận UBND huyện Chủ tịch 21