SKKN Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh thpt thông qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất

Cơ sở tâm lý học Đối với môn toán nói riêng sau khi nắm vững được những định nghĩa, địnhlý, quy tắc của một chủ đề nào đó học sinh thường rất hứng thú muốn vận dụngchúng để giải quy

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình học tập nói chung, học tập môn toán nói riêng học sinhthường gặp không ít khó khăn, có nhiều yếu tố dẫn đến những sai lầm thườnggặp của học sinh Một cách học hiệu quả đối với học sinh là học từ chính nhữngsai lầm của mình để từ đó rút ra những kinh nghiệm để tránh những sai lầm cóthể mắc phải Vì lẽ đó việc nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinhtrong quá trình học tập từ đó đưa ra biện pháp khắc phục là việc làm quan trọng

và cần thiết của người giáo viên

Trong chương trình Toán ở THPT, chủ đề Tổ hợp – xác suất là một chủ

đề mới được đưa vào trong những năm gần đây, trong đó xuất hiện nhiều thuậtngữ, ký hiệu, khái niệm mới Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽchứa đựng những khó khăn nhất định Đây là chủ đề quan trọng trong các kì thi

có tính thực tiễn, tính liên môn cao Các bài tập về tổ hợp, xác suất có bao hàmnhững mối liên hệ phức tạp, độc đáo, đa dạng, phong phú về nội dung và hìnhthức nên học sinh thường gặp phải những khó khăn, sai lầm Sai lầm thường gặpcủa học sinh tùy theo đối tượng học sinh, tùy theo mức độ các bài toán đưa ranên trong quá trình dạy học giáo viên cần phải biết phát hiện, sửa chữa sai lầmcho học sinh kịp thời Những sai lầm của học sinh ngày càng ít đi cũng đồngnghĩa với sự tiến bộ trong quá trình học tập, điều đó cũng đồng nghĩa với sựthành công của người thầy

Đã có nhiều tài liệu, nhiều sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên liên quanđến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh khi học tập chủ đề tổ hợp,xác suất Nhưng theo tôi đây là chủ đề mở, vẫn luôn cần sự sáng tạo của giáoviên trong quá trình dạy học Không có con đường nào bằng phẳng để đi đếnthành công, sẽ có rất nhiều sai lầm học sinh mắc phải trong học tập Để học sinhkhắc phục được sai lầm rất cần sự quan tâm, uốn nắn của giáo viên với nhữngbiện pháp sư phạm hiệu quả của mình

Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là:

“Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ

đề tổ hợp - xác suất”.

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận của đề tài

1.1 Cơ sở triết học

Theo quan điểm triết học “cái mới” được hình thành bao giờ cũng phảiphủ định một “cái cũ” nào đó thông qua một quá trình thống nhất và đấu tranhgiữa các mặt đối lập, sự tích lũy về lượng đến một mức nào đó sẽ dẫn đến sựtích lũy về chất là cơ sở để hình thành “cái mới” Kết quả học tập nói chung, họctập từng chủ đề nói riêng của học sinh có thể xem là một “cái mới”, “cái mới”được hình thành có tích cực hay không, có tiến bộ hay không rất phụ thuộc vàophương pháp dạy của giáo viên, phương pháp học của học sinh “Cái mới” theo

quan điểm của triết học được hình thành không hề hiển nhiên, bằng phẳng màbao giờ cũng trãi qua một quá trình đấu tranh, thậm chí nhiều lúc còn có nhữngbước thụt lùi nhất định Việc học tập của học sinh cũng vậy, không phải thầy cứdạy đúng, dạy đủ, dạy nhiệt tình là trò sẽ tiếp thu được hết kiến thức, sẽ biết vậndụng kiến thức từ đó học tập tiến bộ, để có được những kết quả tích cực học sinhphải gặp không ít khó khăn, sai lầm Phát hiện ra những sai lầm, tìm ra nhữngbiện pháp khắc phục sai lầm cũng chính là một cách giải quyết “mâu thuẫn”, làmột sự thay đổi về “lượng” để từng bước dẫn đến sự thay đổi về “chất” đó làviệc lĩnh hội tri thức mới của học sinh

1.2 Cơ sở tâm lý học

Đối với môn toán nói riêng sau khi nắm vững được những định nghĩa, địnhlý, quy tắc của một chủ đề nào đó học sinh thường rất hứng thú muốn vận dụngchúng để giải quyết các vấn đề khó khăn mà giáo viên đề ra cho học, chẳng hạngiải các bài tập Tâm lý muốn thể hiện khả năng của mình là một dấu hiệu rấttích cực của học sinh, tuy nhiên đôi khi tâm lý này cũng dễ làm học sinh mắc sailầm trong quá trình giải toán

Thực tế cho thấy rằng nếu giáo viên không khéo léo trong việc tìm cách sửachữa lai lầm cho học sinh thường khiến học sinh ấy cảm thấy chán nãn, tự ti vìsai lầm mắc phải của mình, điều này dẫn đến hệ lụy xấu đó là học sinh sẽ thiếuđộng lực, thiếu tự tin giải quyết các vấn đề mới Trong quá trình dạy học giáoviên không nên bỏ qua sai lầm của học sinh, cũng không nên chỉ trích sai lầm ấy

mà phải để cho học sinh hiểu được rằng sai lầm là chuyện bình thường, thậm chítất yếu trong quá trình học tập, từ đó tìm những biện pháp phù hợp nhất để họcsinh sửa chữa Làm được điều này giáo viên sẽ giúp học sinh có tâm lý thoải mái

để đối mặt với những khó khăn, sai lầm, giúp các em dần hình thành thói quenlàm việc cẩn thận, cân nhắc, nghiêm túc đó chính là cơ sở để học sinh học tập tốt

và xa hơn là một người công dân có ích

1.3 Cơ sở giáo dục học

Thuyết Kiến tạo quan niệm rằng "sai lầm không đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng có hữu ích và đem lại thành công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa Trong hoạt động của giáo viên cũng như của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức lĩnh hội được".[2]

Ngoài việc chỉ ra nguồn gốc căn bản của sai lầm, thuyết Kiến tạo cũng xétđến các nguyên nhân khác như hạn chế về tâm lí, về nhận thức của chủ thể, Theo thuyết này thì sai lầm thực sự đóng vai trò quan trọng cho học tập Đặcbiệt, vì nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ Vấn đềkhông phải phòng tránh sai lầm, mà chủ động tổ chức cho học sinh gặp sai lầm

và sửa chữa nó Quan điểm đó phù hợp với R A Axanop: Việc tiếp thu tri thứcmột cách có ý thức được kích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách cósuy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốccủa các sai lầm này và tư duy, lí luận về bản chất của các sai lầm Bên cạnh đó

A A Soliar cũng đã đặt ra một số bài toán phương pháp giảng dạy mà trong đóliên quan các tình huống học sinh dễ mắc sai lầm khi giải toán và khẳng địnhcần phải có biện pháp dạy học môn Toán dựa trên các sai lầm, khi các sai lầmcủa học sinh xuất hiện

2.Thực trạng của đề tài

Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra

từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn; tổng hợp các thông tin

có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin tôi nhận thấy trong việc dạy

và học chủ đề tổ hợp, xác suất tồn tại những thực trạng sau:

+ Đối với giáo viên:

- Phương pháp dạy học cũ vẫn được sử dụng nhiều Nhiều giáo viên trongquá trình dạy học môn toán nói chung, dạy học tổ hợp xác suất nói riêng chưathực sự quan tâm nhiều đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh

- Giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc đưa ra hệ thống bài tập về tổhợp, xác suất phong phú sao cho có thể phán đoán tương đối chính xác nhữngsai lầm học sinh dễ mắc phải đồng thời phù hợp với trình độ nhận thức của họ

Hệ thống bài tập nhiều khi còn lặp lại nhiều lần, điều này dễ gây nhàm chán chohọc sinh đặc biệt những học sinh khá, giỏi

- Việc sử dụng các phương pháp dạy học kết hợp với những biện pháp cụthể để khắc phục sai lầm cho học sinh trong học tập chủ đề tổ hợp, xác suất vẫnchưa được quan tâm đúng mức của một số giáo viên

+ Đối với học sinh:

- Nhiều học sinh cảm thấy trừu tượng, khó dẫn đến ngại, không hứng thúkhi học tổ hợp, xác suất

- Trong quá trình học tập chủ đề tổ hợp xác suất học sinh thường gặp rấtnhiều khó khăn, sai lầm Nhiều học sinh đã không kiên trì để khắc phục khókhăn, sai lầm dẫn đến thiếu động lực, tự tin khi giải quyết các vấn đề khác củachủ đề mà giáo viên giao cho

- Khả năng tự học, tự tìm thấy sai lầm của mình ở nhiều học sinh còn kém.Nhiều học sinh khi làm bài tập xong không kiểm tra lại, hoặc có kiểm tra cũngkhông phát hiện mình mắc lỗi ở đâu dẫn đến kết quả bài toán bị sai

3 Các biện pháp tổ chức thực hiện

3.1 Phát hiện và sửa chữa một số sai lầm thường gặp trong dạy học giải toán tổ hợp, xác suất cho học sinh THPT

3.1.1 Sai lầm do học sinh còn thiếu khả năng trực giác xác suất

Nếu các yếu tố của Đại số và hình học có được chỗ dựa là trực giác số vàtrực giác không gian tương ứng của học sinh thì đối với các yếu tố của lí thuyếtxác suất cơ sở tương tự là không có Trực giác xác suất là trực giác toán họcđược thể hiện trong nghiên cứu các tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩarộng, bao gồm cả những tình huống trong các mô hình toán học - xác suất, lẫn

những tình huống thực tiễn mang đặc trưng xác suất).Chính điều này dẫn đếnnhững khó khăn ở học sinh khi học các yếu tố của lí thuyết xác suất.

Ví dụ 1: Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất Hãy tìm xác suất của các biến

cố ngẫu nhiên sau đây:

a) Biến cố A1: “Không có mặt sấp nào xuất hiện”

b) Biến cố A2: “Có một mặt sấp xuất hiện”

c) Biến cố A3: “Có hai mặt sấp xuất hiện”

d) Biến cố A4: “Có ba mặt sấp xuất hiện”

Một học sinh giải như sau:

Ở kết quả của phép thử T: “Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất”, có thểxảy ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây:

P B B B P B P B P B 

Tương tự  1 2 3  1 2 3

18

P B B B P B B B 

Vậy  2

38

P A 

c) Ta có A3 B B B1 2 3B B B1 2 3B B B1 2 3

Lập luận tương tự câu b) ta được  3

1.8

P A 

d) Ta có A4 B B B1 2 3, các biến cố B B B1, ,2 3 độc lập Theo quy tắc nhân xácsuất, ta có:

 4  1 2 3   1 2  3

1.8

Ví dụ 2: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết thành bao nhiêu chữ

số có 9 chữ số, trong đó mỗi số chữ số 1 có mặt 3 lần và mỗi chữ số khác có mặtđúng một lần?

Thông thường học sinh hiểu theo lí thuyết tập hợp và giải như sau:

Ví dụ 3: Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận diễn

dịch nên có học sinh giải thích sai như sau: Khi biết rằng “Xác suất để bạn Hbắn trúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” có nghĩa là cứ 10lần cho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổicủa trường bắn thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia

3.1.4 Sai lầm khi nhận dạng và thể hiện khái niệm tổ hợp - xác suất

Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việckhông nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểukhông trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm Mặt khác, nhiều kháiniệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc khôngnắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không

có biểu tượng đúng về khái niệm mới

Trong nhiều trường hợp, học sinh không hiểu rõ bản chất của các kháiniệm tổ hợp – xác suất do đó dẫn đến sai lầm khi giải toán

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa khác màu vào 5 lọ hoa khác

nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông )

Lời giải sai: Học sinh giải như sau

Cắm 3 bông hoa vào 5 lọ hoa (mỗi lọ cắm không quá một bông) như vậy

có 3 lọ được cắm hoa và 2 lọ không được cắm hoa Vậy số cách cắm hoa là:

3

5 10

C  ( cách )

Sai lầm: Ở đây học sinh không tính đến thứ tự cắm các bông hoa khác

màu vào các lọ hoa khác nhau Do các bông hoa khác màu và các lọ hoa khácnhau nên cách lựa chọn có liên quan đến thứ tự

Lời giải đúng: Do các bông hoa khác màu được cắm vào các lọ hoa khác

Ví dụ 5: Trong một đội văn nghệ có 35 nam và 24 nữ Cần chọn hai

người, một nam và một nữ đi biểu diễn trong lễ kỉ niệm mừng ngày Quốc khánh.Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải sai: áp dụng quy tắc cộng cho rằng 35 + 24 = 59 cách chọn

Sai lầm: Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân và ta có 35 24= 840 cách

chọn Ta thấy rằng nếu chỉ chọn một người thì mới áp dụng quy tắc cộng

3.1.5 Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc, định lý để vận dụng vào giải toán

Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mới mà khivận dụng vào giải Toán học sinh rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm

Điển hình nhất là việc nhầm lần giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân xácsuất, học sinh không chú ý đến điều kiện để áp dụng công thức cộng là các biến

cố phải xung khắc, còn điều kiện để áp dụng công thức nhân là các biến cố phảiđộc lập

Ví dụ 6: Có một giỏ đựng 6 quả táo và 4 quả lê Hai học sinh lấy ngẫu

nhiên mỗi người một quả từ giỏ hoa quả Tính xác suất của biến cố “ Hai ngườilấy được hai loại quả khác nhau ” ?

Lời giải sai: Học sinh giải như sau

Gọi A là biến cố học sinh thứ nhất lấy được quả táo, ( ) 1

Thì B là biến cố học sinh thứ hai lấy được quả lê, P B ( ) 14

Gọi C là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau Khi đó:

Sai lầm : Học sinh cho rằng các biến cố A và B là độc lập nên đã áp dụng

sai công thức nhân xác suất Thực tế ở đây các biến cố không độc lập với nhaunên không được sử dụng công thức nhân xác suất

Lời giải đúng :

10 90

n  A 

Gọi A là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau

Trường hợp 1: Học sinh thứ nhất chọn được quả táo thì học sinh thứ haichọn được quả lê

Với hai khái niệm Chỉnh hợp và Tổ hợp, học sinh thường gặp khó khăn khi phân biệt hai khái niệm này nên dẫn đến sai lầm khi vận dụng vào giải các bài tập.

Ví dụ 7: Với bài toán: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi.

Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy Hỏi có bao nhiêu cáchghép 3 cặp nhảy

Lời giải sai:

Mỗi cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3của 10, nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là 3

nam theo thứ tự là A, B, C ghép nhảy với 3 bạn nữ theo thứ tự là a, b, c tức là ta

có cặp nhảy (A, a), (B, b), (C, c) Nếu lấy thứ tự khác của 3 bạn nam là A, C, B

và thứ tự khác của 3 bạn nữ là a, c, b thì ghép 3 cặp nhảy là (A, a), (C, c), (B, b)vẫn là cách ghép 3 cặp nhảy trước Sai lầm dẫn tới số cách ghép lớn hơn thực tế

vì có những cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều lần

Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm khi giải những bài toán

có liên quan đến việc phân chia trường hợp Nhìn từ góc độ tổng quát thì việcphân chia trường hợp trong quá trình giải Toán vô cùng phong phú và đa dạng,

nó không theo một khuôn mẫu cố định nào Do đó, khi thực hiện Học sinh gặprất nhiều khó khăn, mắc phải rất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơsở để phân chia trường hợp

Ví dụ 8: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5

cuốn sách Văn, 4 cuốn Âm nhạc và 3 cuốn Hội hoạ Thầy muốn lấy ra 6 cuốn vàđem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn Giả sử thầy giáo

muốn sau khi tặng xong, mỗi một thể loại sách đều còn lại ít nhất 1 cuốn Hỏi cóbao nhiêu cách tặng?

Lời giải sai: Để đảm bảo sau khi tặng xong thầy giáo vẫn còn ít nhất mỗi

loại 1 cuốn, trước hết ta hãy lấy một loại sách 1 cuốn để ra ngoài (không tặng):5.4.3 = 60 cách “để dành”

Sau khi đã để ra ngoài mỗi loại một cuốn thầy giáo còn lại 12 – 3 = 9cuốn Lấy 6 cuốn sách trong số 9 cuốn này để tặng, có 6

9

C cách.

Do đó có 60 6

9

C cách lấy ra 6 cuốn sách mà mỗi loại còn ít nhất một cuốn.

Với mỗi cách lấy ra 6 cuốn như vậy ta có 6! Cách tặng cho 6 người

Tổng cộng có 60 6

9

C 6! = 3628800 cách tặng.

Sai lầm: Trong lời giải trên đây có những cách tặng như nhau nhưng bị

đếm lặp lại Chẳng hạn, để dành cuốn hội hoạ 1, chia cuốn hội hoạ 2, còn lạicuốn hội hoạ 3 được xem là khác với để dành cuốn hội hoạ 3, chia cuốn hội hoạ

2, còn lại cuốn hội hoạ 1 Trong khi cả hai cách chia đó chỉ là 1 trường hợp chiacuốn hội hoạ 2, còn lại 2 cuốn hội hoạ 1 và hội hoạ 3

Lời giải đúng: Lấy 6 cuốn trong số 12 cuốn sách có 6

C ) cách lấy ra 6 cuốn sách mà mỗi loại đều

còn lại ít nhất một cuốn Với mỗi cách lấy ra 6 cuốn sách như vậy ta lại có 6!Cách tặng cho 6 người

3.1.7 Sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi tương đương

Học sinh thường mắc phải sai lầm khi thực hiện chuyển đổi bài toán bằngcác phép biến đổi tương đương

Ví dụ 9: Giải phương trình: 1 2 3 7

2

C C C  x Lời giải sai: Ta có phương trình tương đương với

( 1) ( 1)( 1) 7

Ví dụ 10: Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự lớp gồm

một lớp trưởng, một lớp phó và 3 uỷ viên Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự

Đối với bài toán này, để định hướng cách giải người giáo viên có thể nêulên câu hỏi: Để chọn được một ban cán sự cần thực hiện mấy công đoạn? Nhìnvào yêu cầu của bài toán có thể học sinh sẽ trả lời được: Ta cần thực hiện cáccông đoạn sau: chọn một lớp trưởng, chọn một lớp phó và chọn 3 uỷ viên Cuốicùng ta sẽ yêu cầu học sinh tìm số cách chọn trong mỗi công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 lớp trưởng có 40 cách

Công đoạn 2: Chọn 1 lớp phó trong 39 học sinh sau khi đã chọn lớptrưởng có 39 cách

Công đoạn 3: Chọn 3 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại (3 uỷ viên khôngcần có thứ tự nên dùng tổ hợp) có 3C 38

Để biết được có tất cả bao nhiêu cách chọn ban cán sự ta dùng quy tắcnào? Đến đây học sinh sẽ biết dùng quy tắc nhân để đưa ra kết quả số cách lập raban cán sự lớp là: 40.39.C383 13160160 cách

Bài toán này có thể giải theo cách khác được không? Bây giờ ta thực hiệncách chọn như sau:

Công đoạn 1: Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đócách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là 2A40

Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh trong 38 học sinh còn lại làm uỷ viên, cáchchọn này không có thứ tự nên số cách chọn là 3C 38

Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là: 2A 33840 C = 13160160 cách.

Khi phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giảicác bài toán, giáo viên cần lứu ý học sinh các đối tượng đếm không bị lặp lại.Đây cũng là sai lầm rất dễ mắc phải

Ví dụ 11: Trong dạy học công thức nhị thức Niu - tơn

Công thức nhị thức Niu-tơn được vận dụng vào giải rất nhiều các dạngtoán Học sinh được tiếp cận công thức bằng phương pháp quy nạp không hoàntoàn, từ việc khai triển a b 1, a b 2, a b 3,a b 4, sau đó tổng quátthành công thức  

Giáo viên cho học sinh hoạt động bằng những câu hỏi:

Em hãy nhận xét về quy luật của số mũ của a và số mũ của b trong công thức (1)?

Muốn cho có quy luật ngược lại thì làm thế nào?

Nhận xét về các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn?

Tìm hệ số của n k k a  b ?

Mong đợi học sinh sẽ tìm ra các quy luật và đặc điểm sau:

- Trong công thức (1) số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần

- Muốn có quy luật ngược lại (tức là cho số mũ của a tăng còn số mũ của

b giảm) thì ta viết như sau:    

- Hệ số của n k k a  b là Cn k

Một số ví dụ đơn giản để củng cố như:

Hãy viết khai triển của a b n? Đặc biệt viết khai triển của 1 xn

theo luỹ thừa tăng của x và theo luỹ thừa giảm của x?