Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường trung học phổ thông

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Văn Thuận, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua.Tôi xin bày tỏ lòng biết

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN VĂN DO

PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM CHO HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN – 2013

PHAN VĂN DO

PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM CHO HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN – 2013

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Văn Thuận, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khoá 19, ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán tại trường Đại học Vinh

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường THPT Mỹ Quí – Tháp Mười – Đồng Tháp, nơi tôi đang công tác giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp - những người luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Tuy đã có nhiều cố gắng, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc

Nghệ An, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Chương 1 Một số sai lầm của học sinh trong quá trình học chủ đề

phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình 71.1 Sự cần thiết của việc phát hiện và khắc phục sai lầm cho học sinh khi

1.2 Một số sai lầm thường gặp trong quá trình giải toán phương trình,

1.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng 81.2.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 191.2.3 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp

1.2.4 Sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy 251.2.5 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng 331.2.6 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” 351.2.7 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán 38

1.3 Kết luận chương 1 67

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục các sai lầm

cho học sinh THPT trong dạy học phương trình, bất đẳng thức

và bất phương trình

68

2.1.2 Thực trạng dạy học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất

2.2 Một số biện pháp nhằm khắc phục các sai lầm của học sinh trong

dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường THPT

2.2.2 Biện pháp 2: Khi hướng dẫn học sinh phát hiện và sửa chữa các sai

lầm, cần chú ý đến tính giáo dục, tính kịp thời và tính chính xác 90

2.2.3 Biện pháp 3: Khắc phục một số sai lầm cho học sinh trong hoạt động

giải bài tập về phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình 972.2.3.1 Vấn đề rèn luyện hoạt động phân chia trường hợp 98

2.2.3.3 Vấn đề rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh 1172.2.3.4 Vấn đề rèn luyện các hoạt động nhằm khắc phục những sai lầm

2.2.4 Biện pháp 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để

học sinh được thử thách với những sai lầm đó 1272.2.4.1 Tạo điều kiện để HS phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán 1272.2.4.2 Học sinh được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn

2.2.4.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua tình huống sai

2.2.4.4 Thiết kế tình huống gợi vấn đề cho học sinh thảo luận trong hoạt

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ sáu Ban Chấp hành Trung ương Đảng

Cộng sản Việt Nam (Khóa XI, 2012) nêu rõ: “Giáo dục đào tạo là vấn đề đặc biệt quan trọng, là quốc sách hàng đầu, là động lực phát triển kinh tế – xã hội”, “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là một yêu cầu khách quan và cấp bách của sự nghiệp đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa, xây dựng và bảo vệ tổ quốc ở nước ta trong giai đoạn hiện nay”

Điều 24, Luật Giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, …; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

1.2 “Dạy học toán là dạy hoạt động toán học” [38, tr.12] là một luận điểm

được mọi người thừa nhận Hoạt động toán học chủ yếu của học sinh (HS) là hoạt động giải bài tập toán Trong quá trình dạy học, có những học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh và biết vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập toán, bên cạnh đó có những HS do học lực yếu sẽ không đạt được kết quả như vậy Trình độ học toán của HS sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải toán Các bài toán là phương tiện có hiệu quả trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, phát triển kỹ năng và kỹ xảo Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán Tuy nhiên, thực tế ở trường phổ thông cho thấy chất lượng dạy học Toán đôi khi còn chưa tốt, biểu hiện qua năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán

1.3 Nghiên cứu những sai lầm của HS khi giải toán là vấn đề cấp thiết,

bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy HS còn mắc nhiều kiểu sai lầm Đã có nhiều

quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm trong cuộc sống

cũng như trong nghiên cứu khoa học G Polia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” [25, tr.204], còn A A Stôliar thì nhấn mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trong giờ học các sai lầm của học sinh” Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em nắm được Toán học trong nhà trường phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo” Như vậy có thể khẳng định rằng: các sai lầm của học sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục được

1.4 Các công trình nghiên cứu đã đề cập đến sai lầm của học sinh trong

giải Toán như: Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực

giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996); Luận văn Thạc sĩ của

Nguyễn Hữu Hậu: “Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ

thông khi giải Toán Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục” (2006)

Các tác giả Nguyễn Văn Thuận – Nguyễn Hữu Hậu trong Phát hiện và

sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học Đại số – Giải tích ở trường phổ thông(2010); Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn trong Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2010),…

Các công trình ở trên là các phát hiện về sai lầm và quan điểm khắc phục với đối tượng nghiên cứu rất rộng bao gồm các chủ đề của môn Đại số – Giải

tích ở trường THPT Chúng tôi thấy rằng: phương trình, bất phương trình là nội

dung quan trọng trong chương trình môn Toán ở THPT, riêng bất đẳng thức là một nội dung khó đối với học sinh Chủ đề phương trình, bất phương trình góp phần kiến thức quan trọng trong nội dung thi tốt nghiệp THPT, cùng với bất đẳng thức là các chủ đề thi vào các trường trung học chuyên nghiệp, cao đẳng và đại

học Những sai lầm của học sinh khi học về chủ đề này tương đối đa dạng, chẳng hạn như: những sai lầm về phân chia trường hợp riêng, ngôn ngữ diễn đạt; các sai lầm liên quan đến thao tác tư duy, suy luận,….Khi đó, một số học sinh không tự nhận ra sai lầm của mình trong giải toán nên chưa có biện pháp khắc phục những sai lầm ấy Vì thế, học sinh rơi vào tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Người giáo viên có vai trò hướng dẫn, điều khiển quá trình học tập của học sinh nên giúp các em tự nhận ra sai lầm trong giải toán và có giải pháp sửa chữa phù hợp là việc cần thiết Nếu học sinh giải sai một bài toán nhưng phát hiện kịp thời và có sự điều chỉnh hợp lí, chính xác thì có nghĩa là học sinh ấy đã giải đúng bài

toán đó Chính vì những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn là: “Phát

hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường Trung học phổ thông”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

- Nghiên cứu cách thức bồi dưỡng kỹ năng giải toán về chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Các sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường Trung học phổ thông

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường THPT ở tỉnh Đồng Tháp

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Học sinh thường mắc phải một số kiểu sai lầm phổ biến nào khi học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình? Nguyên nhân nào dẫn đến các sai lầm đó?

- Xây dựng một số biện pháp khắc phục các sai lầm ở trên và rèn luyện kỹ năng của học sinh khi học chủ đề này.

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của những biện pháp

sư phạm nêu trên

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm điểm tựa

đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh

5.2 Nghiên cứu thực tiễn giảng dạy: Qua thực tiễn sư phạm, qua các tài liệu để nắm bắt thêm những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

5.3 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu làm sáng tỏ được các sai lầm của học sinh khi học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình thì đề ra những biện pháp sư phạm phù hợp để khắc phục và bồi dưỡng kỹ năng giải toán chủ đề này, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường phổ thông

7 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

- Luận văn góp phần làm rõ kiến thức, kỹ năng; phát hiện và đề xuất các biện pháp khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh về chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

- Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có

1.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng

1.2.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt

1.2.3 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí

1.2.4 Sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy

1.2.5 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng

1.2.6 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”

1.2.7 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

1.2.8 Sai lầm liên quan đến suy luận

1.2.9 Sai lầm liên quan đến việc không hiểu bản chất đối tượng

1.3 Kết luận chương 1

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục các sai lầm cho học sinh THPT trong dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

2.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

2.2 Một số biện pháp nhằm khắc phục các sai lầm của học sinh trong dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường THPT

2.2.1 Biện pháp 1: Tăng cường các hoạt động sư phạm nhằm hình thành tốt cho học sinh các khái niệm, định lí về chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất

phương trình

2.2.2 Biện pháp 2: Khi hướng dẫn học sinh phát hiện và sữa chữa các sai lầm, cần chú ý đến tính giáo dục, tính kịp thời và tính chính xác

2.2.3 Biện pháp 3: Khắc phục một số sai lầm của học sinh trong dạy học về

chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

2.2.4 Biện pháp 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để học sinh được thử thách với những sai lầm đó

2.3 Kết luận chương 2

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chương 3

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1.1 SỰ CẦN THIẾT CỦA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM CHO HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN

Trong dạy học toán ở phổ thông, đã có rất nhiều quan điểm và ý kiến nêu

ra về những sai lầm của học sinh (HS) Thực tiễn cho thấy, chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông đã quan tâm đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS; tuy nhiên, khả năng giải toán của các em vẫn còn hạn chế do mắc những sai lầm dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm Trình độ học Toán của học sinh đến mức độ nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải Toán Vai trò của bài tập trong dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ thống bài tập (chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu (1996), Nguyễn Đình Hùng (1997)) Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P M Ecđơnnhiev trong [38]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học Toán" Tuy nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô lập với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng

có tác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và định lí toán học

Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Toán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều kiểu sai lầm Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và

thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi Một nguyên nhân không nhỏ là giáo viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán Vì điều này nên ở học sinh

nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm

Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G Polia cho rằng: "Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [25, tr 204], A A Stôliar phát biểu: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh" [39, tr 105], còn theo J A Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn theo Nguyễn Anh Tuấn 2003) Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình thường không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt được học vấn toán học phổ thông, cơ bản dù cho chương trình toán đã hiện đại hóa" [12, tr 49] Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh khi giải Toán là cần và có thể khắc phục được

1.2 MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng

Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp

1.2.1.1 Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ

“giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m” Khi giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình

m(x + m) = x + 1

(?): Học sinh chuyển x về một vế và đưa về: (m - 1)x = 1 - m2 từ đó rút ra

Giả sử có điều kiện m ≠1thì ta thực hiện được phép chia 1 – m2 cho

m - 1, nhưng không có nghĩa là, ta thực hiện phép chia trước rồi lại buộc m phải khác 1

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình

x 1 2x m− = −

(?): Có học sinh giải như sau: với x 1≥ nghiệm của phương trình là

x m 1= − ; với x < 1 nghiệm của phương trình là x m 1

3

+

= (!): Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng vẫn chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưng chưa rõ

cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hoặc bằng 1; m 1

(!): Thực ra 2 m 3≤ ≤ chỉ là điều kiện để bất phương trình có nghiệm chứ không phải là nghiệm của bất phương trình Khi m nằm ngoài [2; 3] thì bất phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này trong khâu biện luận.

1.2.1.2 Không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải một cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống

Kỹ năng phân chia trường hợp riêng hiện diện rất rõ trong dạy học toán Chẳng hạn như giải và biện luận phương trình có tham số, có nhiều phương trình bậc rất thấp và hình thức khá đơn giản nhưng vì nó có chứa tham số nên việc giải cho trọn vẹn đã xoay sang tình thế khác, và có thể nói giải và biện luận phương trình là đương nhiên phải xét các trường hợp chứ không chỉ là các phép biến đổi Vấn đề đặt ra là làm sao có thể biết xét trường hợp nào?

Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình:

a x a x

0

x a

x a

Nếu a2 − 2a< 0 ⇔ 0 <a< 2 thì phương trình (2) vô nghiệm

Nếu a2 − 2a = 0 ⇔ a= 0 thì phương trình (2) có nghiệm x= ± 2

Nếu a2 − 2a > 0 ⇔ a> 0 thì : (2)⇔ 4a2 − 4x2 =a4 − 4a3 + 4a2

⇔ 2 3 4

4

1

a a

) 3 )(

2 ( ) 2 (

0 2 ,

0 )

− +

m

m a R x x

Nếu a = 5 thì phương trình vô nghiệm.

15

khi nào không là nghiệm của

phương trình Vì nghiệm phải thõa mãn x≠ 2 nên khi 2

5

a

a

thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 7: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:

1 1

3 = +

(*) ⇔ (m− 1)x=m+ 4.Học sinh biện luận trong trường hợp m≠ 1thì phương

trình (*) có nghiệm duy nhất

x là nghiệm của phương trình (*) thì nó phải thỏa điều kiện x≠ − 1,từ

đó suy ra điều kiện của m, còn nếu nó không thỏa điều kiện x≠ − 1 thì phương trình (*) vô nghiệm, tức là:

+

= +

−

2 1

2 1

x x

mx

x x mx

* 1 2

mx

x m

+ Giải và biện luận phương trình ( )* :

• m= 2: phương trình ( )* vô nghiệm ⇒ phương trình (1) vô nghiệm.

• m≠ 2: phương trình ( )* có nghiệm

+ Giải và biện luận phương trình ( )* * :

• m= 0: phương trình ( )* * vô nghiệm ⇒ phương trình (1) vô nghiệm

• m≠ 0: phương trình ( )* * có nghiệm

(!): Với cách giải như trên cho thấy học sinh chưa nắm vững khái niệm giá trị tuyệt đối, mặt khác chưa nắm vững điều kiện để thực hiện được các phép biến đổi tương đương cơ bản trên các bất phương trình.

1.2.1.3 Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi tương đương

Ví dụ 10: Giải phương trình: 2x + x− 3 = 16 (*)

(?): Điều kiện: x≥ 3 Ta có

(không cần đặt điều kiện a≥ 0) Ta có

3

x x

(!): Cần lưu ý HS: 2 log2x = x chỉ khi x > 0 Do đó chỉ lấy được x = 2 là nghiệm.

Ví dụ 13: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất

(!): Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương trình

x2 + 2mx = x – 1 (2) với điều kiện

 , hay nói gọn hơn là,

phương trình (1) tương đương với phương trình (2) với điều kiện x > 1

Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất

một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp:

0b12a

Ví dụ 14: Giải phương trình log0,5xx – 2log4xx = 0 (1)

(?): (1)

0log 0, 5x log 4x

Ví dụ 15: Giải phương trình:

2 2

log x − x+ =

2

1 log

0 2 1

0 6 5

2

x

x

x x

* Nguyên nhân sai lầm:

• Sai lầm 1: Đặt điều kiện không đúng.

• Sai lầm 2: Sử dụng công thức không đúng.

• Chú ý:

0 0

) ( log ))

(

n

k x

0 2 1

0 ) 6 5

x

x

x x

− 0 3 1

0 6 5

2

x x

x x

x x x

PT ⇔ log 2 5 6

2

1 log3 x−

= 2 2

1 - x

= 2

5

=

3

x x

Vậy nghiệm của phương trình là :

3

5

=

Mỗi bài toán khó và phức tạp thường không có một phương pháp giải cụ thể Gặp những bài toán như vậy, kinh nghiệm cho thấy HS thường xét thiếu điều kiện dẫn đến lời giải không chặt chẽ hoặc sai Một số ví dụ minh họa sau:

Ví dụ 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2 1

2 )

2 )

(x = x− x− + x+ x− = x− − + x− +

f

2 2 1 1 1 1 2

1 1 1

Côsi) Vậy, f (x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 x− 2

(!): Sai lầm của HS: Thiếu điều kiện x≥ 1 và vế phải 2 x− 2 chưa phải là hằng số nên lời giải này không đúng

Lời giải đúng: Điều kiện của bài toán là x≥ 1

2 1 1 1

1 1

1 1

1 )

(x = x− − + x− + ≥ − x− + + x− + =

f

Vậy, f (x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2, dấu bằng xảy ra khi 1 ≤x≤ 2

1.2.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt

1.2.2.1 Sai lầm về ngữ nghĩa và cú pháp

Trong dạy học Toán nói chung và ngôn ngữ toán học nói riêng, cần quan

tâm đúng mức đến hai phương diện: ngữ nghĩa và cú pháp.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: Trong Toán học, người ta phân biệt cái ký hiệu và cái được ký hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn Nếu xem xét phương diện những cái ký hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức

và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phương diện

cú pháp Nếu xem xét phương diện những cái được ký hiệu, những cái được biểu

diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái ký hiệu, những cái biểu diễn thì

đó là phương diện ngữ nghĩa [16, tr 80].

W Walsch đã nêu lên hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp của một số đối tượng thường gặp trong Toán học: “Phương diện ngữ nghĩa của Toán học là mặt xem

xét nội dung của những mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề

toán học Phương diện cú pháp của Toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức

và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải” [16, tr 80]

Theo A A Stôliar, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của

ngôn ngữ toán học, chẳng hạn, học sinh cho rằng: (a + b)(x + y) = ax + by; từ

đẳng thức

R

1R

1R

1

2 1

=+ suy ra đẳng thức R1 + R2 = R [39, tr 230].

Qua thực tiễn sư phạm, chúng ta thấy nhiều HS viết: m a n a = mn a ; a

a2 = (không cần để ý dấu của a); a2+b2 = a +b; (- x)n = - xn (không cần

để ý n chẵn hay lẻ); f-1(x) =

)x(f

1

;

1.2.2.2 Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn

Ví dụ 17: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết x2 =x; học sinh còn cho rằng 36 = ±6

Ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn, nhưng khi dùng dấu căn thì phải quan niệm rằng đó là căn bậc hai số học, nghĩa

là chỉ giá trị dương trong hai giá trị ấy thôi Đáng lẽ ra, khi viết dấu căn, giáo viên đọc một cách đầy đủ rằng căn bậc hai số học của 36 bằng 6 Tuy nhiên theo thói quen giáo viên thường chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4

Ví dụ 18 : Giải hệ phương trình (*)

10 10 14

9 5 7

y x

9 5 7 (*) x y Vậy hệ (*) vô nghiệm

(!): Lời giải trên sai ở chỗ

9 5

9 5 7 (*)

y x

y x

Vậy hệ (*) vô nghiệm

1.2.3 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí

1.2.3.1 Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học

Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới

Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán Vì vậy có thể nói sự

“mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về các khái niệm Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức khái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:

+ Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và thể hiện khái niệm sai

+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi suy luận chứng minh) [31]

Ví dụ 19: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái

niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sai lầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu

nghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các

họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:

Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả nghiệm

Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây

là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình:

sin ( 2x - 1) = sin (x + 3) là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 - 2 0

k360

3+ ,k∈Z Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình nên khi giải phương trình x 1+ + − = ⇔ − ≤ ≤x 1 2 1 x 1 học sinh không thừa nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương trình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn

Do không hiểu khái niệm nghiệm hệ phương trình nên khi giải hệ cho nghiệm x = 2; y = 3 thì kết luận hệ phương trình có hai nghiệm Không nắm vững “hệ trục trục tọa độ Đề các vuông góc” nên nhiều khi học sinh lấy đơn vị

đo trên hai trục tọa độ khác nhau cho dễ vẽ đồ thị của một hàm số nào đó, hoặc nhầm lẫn giữa trục tung và tiệm cận nên vẽ đồ thị sai, do không hiểu khái niệm giới hạn và tiệm cận nên hay lập bảng biến sai đặc biệt là hàm phân thức mà tử thức và mẫu thức cùng là bậc nhất Không nắm được mối quan hệ giữa khái niệm số mũ thực và khái niệm của số mũ hữu tỉ nên cứ tưởng a1x = x a ∀ ∈x R và

đối với phương trình ( )x

x 3 3 = 3 đã giải được nghiệm là x =± 2 Nhưng thực ra phương trình này vô nghiệm Lẽ ra khi viết x a thì phải có điều kiện x nguyên và x≥2, còn khi viết a thì chỉ cần x1x ≠0 Học sinh không nắm được

khái niệm quỹ tích nên nhiều khi mới làm xong phần thuận đã diễn đạt sai: “quỹ tích các điểm thõa mãn tính chất của bài toán là đường ” Thậm chí luôn nghĩ quỹ tích phải là một đường, chứ không bao giờ là một miền mặt phẳng tọa độ, đặc biệt không bao giờ quỹ tích chỉ gồm một điểm (!)

Hiểu sai khái niệm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, nên có khi xem giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất là biểu thức chứa biến và cho dấu bằng xãy ra để suy ra giá trị cần tìm Một sai lầm khác khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là học sinh không tìm điều kiện xẩy ra dấu bằng của biến số, giả sử không tồn tại dấu bằng học sinh vẫn cứ kết luận tồn tại giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

Ví dụ 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2x 12

x ⇔ = Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 4 3

1.2.3.2 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí

Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A⇒B trong đó A là giả thiết của định lí, B là kết luận của định lí Sai lầm phổ biến khi học định lí do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai lầm: không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lí tương

tự chưa đúng Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ A; có B suy ra có A; có A nhưng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tới phương pháp giải Toán Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinh hay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính xác; sử dụng định lí như định nghĩa Đặc biệt là những định lí học sinh bị “mất gốc” hoặc không hiểu bản chất nên khi sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng của định lí

(!): Sai lầm ở chỗ: Hàm f(x) đồng biến trên (−∞;0) và đồng biến trên

(0;+∞) , do đó phương trình f(x) = 0 có không quá một nghiệm trên (−∞; 0 và )

có không quá một nghiệm trên (0;+ ∞) , chứ không phải phương trình f(x) = 0

có không quá một nghiệm trên R \ 0 Như vậy do f(3) = 0 nên x = 3 là nghiệm { }

duy nhất trên (0;+∞) , ngoài ra f(x) = 0 vẫn có thể có nghiệm trên (−∞;0)

Giải đúng như sau:

ra điều kiện thỏa mãn bài toán như sau: 0

kiện ∆ >0 đã bị thừa Sự “thừa” này tuy không sai nhưng nhiều khi gặp phải những ∆ cồng kềnh thì có thể chấp nhận thất bại ngay chỗ đó Nói cách khác, lẽ

ra không cần xử lí điều kiện ∆ >0 thì đằng này lại hướng vào việc giải điều kiện

0

∆ > , mà nhiều khi điều này lại không vượt qua nổi, cho nên ta chấp nhận bỏ cuộc

1.2.4 Sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy

1.2.4.1 Sai lầm trong phân tích, tổng hợp

HS thường phân tích sai bản chất của khái niệm, mối liên hệ giữa các khái niệm; vận dụng không chính xác giả thiết để suy luận thành kết luận của định lí; không hiểu được các bước lập luận trong quá trình chứng minh các kết quả toán học, hiểu chưa đúng bản chất nên việc vận dụng kiến thức vào giải bài tập chưa chặt chẽ

Ví dụ 22: Phân tích ứng dụng tính đơn điệu của hàm số chúng ta thu được

kết quả: “Nếu hàm số f (x) đơn điệu trên ( b a; ) thì từ f(x) = f(y), với x,y∈ (a;b)

sẽ tương đương với x= y ” Tuy nhiên, do không nắm vững bản chất dẫn tới HS

chỉ nắm được: “Nếu hàm số f (x) đơn điệu thì f(x) = f(y) ⇔ x= y” mà không chỉ

rõ f là hàm số đơn điệu trên ( b a; ) và x,y∈ (a;b); từ đó, HS đã mắc sai lầm khi

giải toán Chẳng hạn, với hệ phương trình

− +

= +

−

y x y x

y xy x

) 1 ln(

) 1 ln(

0 20

2

) 2 (

) 1 (

, HS giải như sau: điều kiện của bài toán là: x> − 1 ;y> − 1

Phương trình (2) tương đương với: 1n(a+x) −x= 1n( 1 +y) −y (3) Xét hàm

số f(t) = 1n( 1 +t) −t có đạo hàm là

1 ) (

Trường hợp 1: Với t∈ ( − 1 ; 0 ) ⇒ f' (t) > 0 ⇒ f(t) đồng biến Từ (3) suy ra

y x y

−

y x

y xy

, hệ này

vô nghiệm trên ( − 1 ; 0 ).

Trường hợp 2: Với t∈ [ 0 ; ∞ ) ⇒ f' (t) ≤ 0 ⇒ f(t) nghịch biến Tương tự, hệ

phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

−

y x

y xy

0

y

x

.Mặc dù đáp số của bài toán trong ví dụ trên là đúng nhưng phần lí luận chưa chính xác Việc xét cả x và y cùng trên một miền chưa được lí giải một cách rõ ràng Lời giải đúng là: từ (1) suy ra x 2= y hoặc x 10= y; suy ra nếu hệ

phương trình có nghiệm ( y x; ) thì xy≥ 0, nếu x= 0 thì y= 0 Do đó, xét 3 trường hợp: x= y= 0 ;x> 0 ,y> 0 ;x< 0 ,y< 0 (mấu chốt ở đây là từ (1) có thể suy ra x và ycùng dấu) Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS là do các em chưa nắm vững nội dung kiến thức: “ Nếu hàm số f (x) đơn điệu trên ( b a; ) thì từ f(x) = f(y), với

)

;

(

,y a b

x ∈ sẽ tương đương với x=y” GV cần lưu ý cho HS rằng, khi nói hàm số

đồng biến, nghịch biến thì luôn phải gắn với tập xác định, nghĩa là đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào Khi giải hệ phương trình, x và y chưa hẳn đã cùng thuộc một miền, còn nếu chúng thuộc một miền thì cần có sự lí giải xác đáng

1.2.4.2 Sai lầm trong tương tự hóa

Trong học tập, HS rất hay sử dụng thao tác tương tự hóa nhưng các em đôi khi không hiểu rằng tương tự hóa chỉ mang tính chất dự đoán, mọi kết quả của

tương tự hóa đều phải chứng minh mới khẳng định được tính đúng đắn của nó Chẳng hạn như việc chuyển các phép biến đổi của phương trình sang phép biến đổi của bất phương trình; chuyển từ việc giải bài tập này sang bài tập khác cùng dạng,… thì không phải tất cả các thao tác đó đều đúng Tuy nhiên, nhiều HS đã mặc nhiên công nhận các kết quả tương tự đó Dưới đây, chúng ta phân tích một

số sai lầm của HS thông qua các ví dụ sau:

Ví dụ 23: Tìm điều kiện cần và đủ để bất phương trình có nghiệm.

Có HS giải như sau: Điều kiện cần và đủ để bất phương trình

) 0 ( , 0

x , biệt thức ∆ = − 3 < 0 nhưng bất phương trình có nghiệm với mọi x

Khi dạy học chủ đề Phương trình và chủ đề Bất phương trình có nhiều nét

tương tự nhau, tuy nhiên không phải sự tương tự nào cũng đúng Chẳng hạn, HS thường ngộ nhận về những phép biến đổi sau (chú ý rằng các phép biến đổi sau đối với phương trình là đúng đắn):

0 ) (

x g

x f

) ( ) ( )

(

1 ) (

1

x f

x f x g x

g x

0 ) ( )

( )

x g x f

x g x

g x

) ( ) ( )

( ) (

x g x f

x g x f x

g x

0 ) ( )

( )

x g x f

x g x

g x

) ( ) ( )

( log ) ( log

x g

x g x f x

g x

Do đó, khi dạy học chủ đề bất phương trình, GV phải hình dung trước những sai lầm HS có thể mắc phải để khắc phục kịp thời cho các em

Các sai lầm thường bắt nguồn từ việc vận dụng các bất đẳng thức cổ điển

mà không để ý tới điều kiện để bất đẳng thức đúng, hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia

1.2.4.3 Một số sai lầm khi giải toán bất đẳng thức

( 2

ab b

2 , với a≥ 0 và b≥ 0

Ví dụ 25: Chứng minh rằng với mọi a ta có:

1 2

ex > e -1 =

e

1

(2)Nhân theo từng vế của (1) và (2) ta có:

x ex > -

e

1

(đpcm) (!): Cần lưu ý HS rằng:

b a

⇒ ac > bd

Không thể nhân từng vế của (1) và (2) để suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 27: Chứng minh rằng: Nếu x≥ y> 1 thì

x + y ≥ y + x (?): Với x≥ y> 1 ta có:

y

b a

6 7

mà suy ra ( 7 − 5 ) > ( 6 − 2 ) hay 2>4 (vô lí) là sai.

* Lời giải đúng là: Xét f(t) = t - t với t > 1 ta có

Ví dụ 29: Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 thì:

abc c

b a

c b

+ +

+ +

95 95 95

96 96 96

(?): Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:

96 96

a + + ≥ 3 3 (abc)96 (1)

95 95

a + + ≥ 3 3 (abc)95 (2)Các vế của (1) và (2) đều dương nên chia theo từng vế ta được

3

95

96 95

95 95

96 96 96

) (

) (

abc

abc c

b a

c b

+ +

+ +

= 3 abc

(!): Suy luận từ A≥B> 0 và C≥D> 0 để có

D

B C

A ≥ là sai.

Chẳng hạn 3 > 1 và 9 > 2, nhưng không suy ra được

2

1 9

96 96

c b a

c b

+ +

≥ 3 abc (2) Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 30: Cho a ≥ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =

1 6

1 7

1 8

1 9

Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói

rằng Min S =

3

1

đạt tại “Điểm rơi: a = 3”.

Do bất đẳng thức Côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải

bằng nhau, nên tại “Điểm rơi: a = 3” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Côsi

1 1 3

=

3 10