Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học chủ đề nguyên hàm - tích phân ở trường phổ thông

Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học chủ đề nguyên hàm - tích phân ở trường phổ thông

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1.Lý do chọn đề tài

“Trong môn toán HS còn mắc nhiều sai lầm, nếu trong dạy học người giáo

viên hình dung trước những thiếu sót hoặc sai lầm mà HS có thể mắc phải thì sẽ biết cách nhấn mạnh, lưu ý hoặc biết cách chốt lại những chỗ cần thiết và nhạy cảm Ngược lại, nếu chúng ta không có khả năng cảm nhận và tiên lượng sai lầm mà HS thường hoặc sẽ mắc phải thì ta không thể hình dung được chỗ nào là chỗ cần thiết, cần thiết hơn, chỗ nào mang tính cơ học Không có một trình độ nhận biết về kiểu sai lầm và khó khăn của HS trong môn toán thì việc dạy toán e rằng cũng chỉ trang bị kiến thức dĩ nhiên mức độ cảm nhận về toán sẽ không

có”.( TS Nguyễn Văn Thuận giảng viên “Lí luận và phương pháp dạy học

Toán” Đại Học Vinh ) Chuyên đề “ Phát hiện và sửa chữa sai lầm của học sinhtrong môn toán”

Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông có lúc, có

chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm Một trong những nguyên nhân quan

trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửachữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán Vì điều này nên ở

học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm

Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được quan tâm về vấn đề sai lầm

trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học Nhiều nhà khoa học đãnhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trìnhgiảng dạy Toán, chẳng hạn, G Pôlia đã phát biểu: “Con người phải biết học ởnhững sai lầm và những thiếu sót của mình” [6,tr.204], còn A A Stôliar thì nhấn

mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh trong giải

Toán là có thể mắc phải và khắc phục được.

Ở Việt Nam cũng đã có một số tác giả quan tâm đến vấn đề này, trong cáccông trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải Toán có thể kểtới Luận án Tiến sĩ của Lê Thống Nhất [4] Luận án này đã xem xét các sai lầmcủa học sinh ở từng chủ đề kiến thức Cách phân chia theo kiểu này của tác giả

Lê Thống Nhất có ưu điểm là giúp cho người đọc có thể vận dụng ở mức độ nào

đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu Ngoài ra còn có các tác giả khác nhưTrần Phương, Lê Hồng Đức, Nguyễn Cảnh Nam, Trần Hữu Phúc và gần đây

nhất tác giả Nguyễn Văn Thuận đã cho ra cuốn sách “ Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường phổ thông" Đã

đề cập đến sai lầm của học sinh thông qua các dạng Toán và các hoạt động khigiải Toán

Tuy nhiên các kiểu sai lầm là vô cùng phong phú Nhưng xét đến cùng khiphân tích các kiểu sai lầm của học sinh, có hai con đường tiếp cận, đó là: Sai lầm ở

các dạng Toán và sai lầm ở các dạng hoạt động Toán Tôi cho rằng không nên chọn

duy nhất con đường nào, có nghĩa là chúng ta đồng thời dựa vào hai tiêu chí: Một

tiêu chí là dạng toán và một tiêu chí là chất lượng tiến hành các hoạt động trong

môn Toán

Trong chương trình giải tích 12, nội dung nguyên hàm tích phân có một vịtrí đặc biệt quan trọng trong chương trình giải tích 12 Đây là kiến thức mới đốivới học sinh, nó được áp dụng rộng rãi trong toán học, trong khoa học kỹ thuật

và nó có tác dụng nghiên cứu các bộ môn khoa học khác nên dễ gây được sựhứng thú học tập cho đa số học sinh Tuy nhiên đối với học sinh, với tư duy ởtrình độ trung học phổ thông, nguyên hàm và tích phân là một kiến thức mới vàkhó, lần đầu tiên các em được tiếp xúc, vì thế không tránh khỏi những bỡ ngỡlúng túng và sai lầm khi học vấn đề này, cụ thể là khó khăn, sai lầm về sự hiểukhông đầy đủ, thiếu chính xác khái niệm mới, trong việc nhận dạng và thể hiệnkhái niệm, khó khăn trong việc vận dụng trực tiếp các công thức trong bảngnguyên hàm cơ bản

Các em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phụcđược nếu không có sự hướng dẫn của người thầy

Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về nguyên hàm, tích phân, có

kỹ năng tính tích phân và ứng dụng tích phân để giải các bài toán liên quan, tôi

chọn đề tài " Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học chủ

đề nguyên hàm - tích phân ở trường phổ thông "

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích các nguyên nhân sai lầm của học sinh khi học nguyên hàm tíchphân

-Đề xuất các biện pháp sư phạm để hạn chế và sửa chữa sai lầm

- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập nguyên hàm, tích phânviệc ứng dụng tích phân vào thực tiễn, các bài toán liên quan, để có được bàigiải toán hoàn chỉnh và chính xác

4 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân - chương III,giải tích lớp 12

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đối chứng

PHẦN II NỘI DUNG

1 Thực trạng của việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh khi học chủ đề nguyên hàm, tích phân hiện nay

Trong quá trình rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, người giáo viêncần thiết phát hiện kịp thời những sai lầm của học sinh khi giải toán, đồng thời

áp dụng các biện pháp sửa chữa sai lầm đó Công việc này chỉ dừng lại khi nănglực giải toán của học sinh đã đủ sức tự đánh giá lời giải của mình Nhiều khigiáo viên chỉ hứng thú khi giới thiệu các loại toán và lời giải mẫu để mong rằnghọc sinh có thể biết hoặc giải những bài toán tương tự Nhưng thực tế cho thấyrằng, sự tiếp nhận thông tin mà giáo viên đưa đến cho học sinh lại có nhiều yếu

tố chủ quan hoặc khách quan gây nhiễu; thậm chí bị sai lệch, do đó xuất hiệnnhững sai lầm của học sinh khi giải toán Khi năng lực của học sinh còn yếu thìviệc xuất hiện trong lời giải là khó tránh khỏi

Việc chỉ ra sai lầm cho học sinh là cần thiết, nhưng điều quan trọng hơn làphân tích được những nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi giải toán nguyên hàm vàtích phân là: Sự hiểu biết không đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lí,qui tắc phương pháp, thiếu diều kiện, sai luận cứ, đánh tráo luận đề

2 Các dạng sai lầm.

Các kiểu sai lầm là vô cùng phong phú Nhưng xét đến cùng khi phân tích các kiểu

sai lầm của học sinh, có hai con đường tiếp cận, đó là: Sai lầm ở các dạng Toán và sai lầm ở các dạng hoạt động Toán

2.1 Các kiểu sai lầm ở dạng toán khi giải toán nguyên hàm, tích phân

Sai lầm ở các dạng Toán, n hững sai lầm thuộc phần này liên quan tới sự hiểubiết không đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lí, qui tắc phương pháp

 Hãy tìm nguyên nhân sai lầm:

Đã viết cùng một hằng số C cho hai phép tính nguyên hàm Bản chất của sailầm này là do HS không hiểu rõ khái niệm nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh

hệ thức giữa các nguyên hàm bằng cách chứng minh “ đạo hàm hai vế bằng

nhau” Đáng lẽ phải hiểu rằng nguyên hàm của một hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x) sao cho F(x)’=f(x) nên chứng minh hai nguyên hàm bằng nhau,

tức là phải theo nguyên tắc chứng minh hai tập hợp bằng nhau

f x

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)

(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên

(!)

 Nguyên nhân sai lầm:

Vì ln(sin ) ln1 0 x    Không tồn tại ln(ln(sin )) x

Vậy F(x) không tồn tại nên không thể là nguyên hàm của f(x)

 Nguyên nhân thiếu sót:

Trong cách tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctg là kháiniệm không có trong sách giáo khoa hiện thời

Trong cách tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctg là kháiniệm không có trong sách giáo khoa hiện thời.



 không xác định tại x    1  2; 2  nên gián đoạntrên   2;2  Do đó tích phân trên không tồn tại Cần lưu ý rằng giả thiết củađịnh lí Newton- Leibneitz là y=f(x) liên tục trên [a;b], đây cũng chính là phạm viđược sử dụng định lí này

không bị chặn trên   2;2  , do đó tích phân này không tồn tại

 Sai lầm 2 Không bảo đảm tính lôgic của lời giải

 Nguyên nhân sai lầm:

Lời giải trên đã vận dụng công thức

 Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi ( x  3)2   x 3, với x   0;4  là không tương đương

 Nguyên nhân sai lầm:

Lời giải trên sai lầm khi biến đổi biểu thức:

sin cos )2 sin cos

3 0

3 0

3 2

 Nguyên nhân sai lầm:

Để giải của bài toán trên, không thể đặt x  t với x    2;1 

Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi các

đường y  sin , x y  1, x  0, x   quay xung quanh Ox

 Hai học sinh có lời giải như sau

Học sinh thứ nhất tính như sau:

 Nguyên nhân sai lầm:

Cả hai lời giải trên đều làm sai không xác định đúng hình phẳng, yêu cầu bàitoán đã bị sai (tức là luận đề bị đánh tráo) Lời giải thứ nhất cho rằng thể tíchkhối tròn xoay đã cho bằng thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởicác đường y  1, y  0, x  0, x   quay xung quanh Ox tạo thành

Lời giải thứ hai cho rằng thể tích khối tròn xoay đã cho bằng thể tích khốitròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đườngy  sin , x y  0, x  0, x  quay xung quanh Ox t¹o thµnh

a Các sai lầm về chiến lược giải toán.

Đây là những sai lầm rất nghiêm trọng, nó sẽ dẫn HS đi theo con đường

mà có thể chẳng bao giờ tới đích hoặc tới đích nhưng phải gặp rất nhiều trở ngại.Các sai lầm này thường xuất hiện do HS lựa chọn chiến lược giải không phù hợpvới bài toán vì họ nghĩ rằng bài toán này tương tự với một số bài toán mà mình

đã biết cách giải hay họ đã suy nghĩ theo những lối thông thường.

Ví dụ 1 Xét các bài toán tính các tích phân sau:

4

0 2

0

1 (s inx cos )

1 (s inx cos )

tránh được sai lầm và tìm được lời giải chính xác Giáo viên định hướng để học sinh tìmmối liên hệ công thức: sinx cosx với 2 os( )

(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng?

(!)

 Nguyên nhân sai lầm:

Đây là sai lầm của nhiều bạn hay dùng công thức lượng giác để biểu diễnsinx, cosx, tanx, cotx qua tan

 Lời giải đúng:

Chú ý: Chúng ta lưu ý rằng trong chương trình toán phổ thông không trình bày

về tích phân suy rộng

b Các sai lầm về chiến thuật giải toán

Đây là các sai lầm thuộc về việc thực hiện từng thao tác trong tiến trìnhgiải toán, có thể có kết quả song còn nhiều sai sót vì một trong các nguyên nhânsau:

+ Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng Những tình huống sau

đây phải phân chia trường hợp: Tính tích phân liên quan đến tham số, trị tuyệt

đối, căn thức, hàm max, min(chẳng hạn tính tích phân:

1 2 0

ax( , )

I m x x dx ) Học sinh thường gặp phải những khó khăn

và sai lầm sau đây:

- Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu kí hiệu ẩn x trong

phương trình với ẩn x trong tích phân

Ví dụ Tùy theo m hãy tính

3 0

là một giá trị cụ thể náo đó

Giải đúng bài này phải giải như sau:

Nếu m 0, x0;3  x m  x m  x m

3 2

3 0 0

+ Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

Chẳng hạn khi đặt ẩn phụ HS thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ.

Mặc dù có đặt điều kiện, nhưng điều kiện không đúng Ví dụ dưới đây là mộtminh chứng:

 Nguyên nhân sai lầm:

Vì u  ( x  1)2 không phải là hàm số đơn điệu trên   2;0  nên không thểđổi biến, đổi cận như lời giải trên được Nếu muốn đổi biến thì phải viết tích cầntính thành tổng của hai tích phân mà u  ( x  1)2 đơn điệu Lời giải trên còn sailầm

1 1 0

1 1 0

Chú ý: Lời giải trên muốn chỉnh lí việc đổi biến chứ không phải lời giải tốt nhất.

Ta có thể giải đơn giản như sau:

Nếu  1thì I = 12 a.x b.ln a.xb C

toán tổng quát, do học sinh không ý thức được sự suy biến của nguyên hàm khi

 thay đổi nên tổng quát hóa sai

d) Các sai lầm liên quan đến suy luận

Do HS không nắm vững những quy tắc lôgic và phương pháp suy luận, từ đó

ở họ sự suy diễn thiếu chặt chẽ, diễn đạt không rừ ý, dài dũng, trỡnh bày lời giảithiếu khoa học, ngoài ra tư duy lôgic và tư duy thuật toán cũn yếu dẫn đến đây làmột trong những sai lầm khá phổ biến của nhiều đối tượng HS

+ Sai lầm về luận cứ Sai lầm thuộc loại này là do trực giác dựa vào các

mệnh đề sai do ngộ nhận, hoặc mệnh đề chưa được chứng minh là đúng, hoặcdựa vào mệnh đề tương đương với mệnh đề cần chứng minh

+ Sai lầm về luận chứng Sai lầm này chủ yếu do HS suy luận thiếu logic.

 Nguyên nhân sai lầm:

Lời giải trên đã vận dụng công thức

Sai lầm chủ yếu là đánh tráo luận đề, thay thế mệnh đề cần chứng minh bằng

những mệnh đề không tương đương

Ngoài ra, có thể kể thêm một số kiểu sai lầm phổ biến khác như: Các sai

lầm về hình thức (không nắm vững bản chất các biểu thức hoặc kí hiệu toán học); Các sai lầm về công thức (vận dụng sai hoặc chưa chính xác các công thức, quy tắc); Các sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt (Sai lầm về cú pháp

và ngữ nghĩa; bị ám ảnh bởi các ngôn ngữ thông thường của các từ trong tiếng Việt;lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ của ngôn ngữ tự

nhiên và ảnh hưởng của thói quen không đúng đắn); Các sai lầm khi vận dụng các tính huống điển hình trong dạy học toán (HS hiểu không đúng, hoặc sai,

hoặc chưa chính xác các khái niệm, các định lí, các mệnh đề trong tiến trìnhgiải toán Các khái niệm vừa là hình thức, vừa là sản phẩm của tư duy, đượchình thành theo con đường quy nạp và suy diễn Việc nắm không vững nội hàm

và ngoại diên của khái niệm sẽ dẫn HS hiểu không trọn vẹn hoặc sai lệch bản

chất của khái niệm); Các sai lầm về kĩ năng tính toán (do HS tính toán nhầm

lẫn, kĩ năng tính toán chưa thành thạo, thực hiện không đúng các phép tính số

học ); Các sai lầm khi toán học hóa các tình huống thực tiễn, khi khái quát hóa, khi quy nạp

3 Các biện pháp hạn chế và khắc phục sai lầm

Nhiệm vụ quan trọng của người GV là hướng dẫn học sinh dự đoán đượcnhững sai lầm, biết phân tích để tự tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháptích cực để rèn luyện năng lực giải toán

Các sai lầm của HS trong giải toán hoàn toàn có thể khắc phục được Hơn

nữa chỉ ra các dạng sai lầm là cần thiết, song điều quan trọng hơn là dự đoán và khắc phục các sai lầm Khắc phục hoàn toàn sai lầm là một vấn đề khó bởi lẽ

các nguyên nhân dẫn đến sai lầm rất đa dạng, dưới đây chúng tôi xin đưa ra một

số đề xuất:

a Làm cho HS nắm vững các kiến thức về môn toán

Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc HS tựphân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà HS phạm phải,giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lí luận về bản chất của các sai lầm Một trong các nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai lầm là do trình độ cònyếu, trong đó có thể HS không nắm vững kiến thức cơ bản về môn toán Trongquá trình dạy học GV cần lưu ý:

+ Nắm vững nội dung môn Toán, đặc biệt là các tính huống điển hình trong

môn toán (dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp và đặc biệt là dạyhọc giải bài tập toán học) Khi dạy khái niệm cần chú ý đến nội hàm, ngoại diên

và mối quan hệ giữa các khái niệm; khi dạy địn lí cần chú ý đến cấu trúc lôgic

và giả thiết của định lí

+ Trong dạy học giải bài tập toán, GV cần chú ý tới các hoạt động nhằm

tích cực hóa hoạt động học tập của HS, làm cho HS chủ động nắm kiến thức

bằng lao động của chính mình Đó là các hoạt động nhận dạng, thể hiện, hoạt

động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ và hoạt động ngôn ngữ Thông quanhững hoạt động này HS mới bộc lộ những sai lầm, từ đó để dự đoán, phòngtránh và sữa chữa sai lầm

+ Đặc biệt, phương pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc phòng

tránh các sai lầm cho HS Nếu HS được làm quen với các phương pháp dạy họcmới, khiêu gợi trí tò mò, sáng tạo, biết phát hiện và giải quyết vấn đề thì họ sẽ

tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc mắc sai lầm trong giảitoán

b Làm cho HS nắm vững các kiến thức về lôgic

Rèn luyện tư duy lôgic là một nhiệm vụ hàng đầu của việc dạy học toán ởtrường phổ thông Nhiệm vụ đó đòi hỏi giáo viên có hiểu biết cần thiết về lôgichọc, khoa học về suy luận, về tư duy, vận dụng kiến thức vào môn toán

“Phát triển tư duy lôgic cho HS trong quá trình giảng dạy Toán và một nhiệm vụ đáng được đặc biệt quan tâm đối với GV và các nhà phương pháp” [9,

tr41]

Toán học hiện đại được xây dựng trên nền tảng của lí thuyết tập hợp vàlôgic toán Kiến thức về lôgic toán đóng vai trò quan trọng trong dạy học giảitoán, giúp cho tiến trình giải toán được chính xác, rõ ràng và nhất quán Mộttrong những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS khi giải toán là trình độ hiểubiết các kiến thức cần thiết về lôgic còn yếu HS thường khó nhận thấy các sailầm về lôgic Trong tiến trình giải toán, các sai lầm thường gặp của HS là:

- Các suy luận không hợp lôgic

- Dựa vào tiên đề sai hoặc những mệnh đề chưa biết tính đúng sai của nó

- Không nắm vững cấu trúc của định lí không xét toàn diện giả thiết củađịnh lí, suy luận sai dẫn đến nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận

c Làm cho HS nắm vững một số phương pháp giải toán cơ bản

Việc xác định hướng giải bài toán có liên quan mật thiết với việc lựa chọn

phương pháp và công cụ thích hợp để giải toán, “Một bài toán chỉ có thể có lời giải tốt khi chọn được phương pháp và công cụ thích hợp với hướng giải đã có”

[2, tr289]) Không tìm được phương pháp giải phù hợp với bài toán có thể đưađến các sai lầm: Đặt điều kiện sai, biện luận không hết các trường hợp, khôngtheo trình tự lôgic, không có cách giải tối ưu Muốn giải tốt bài tập toán, ngoàiviệc nắm vững các kiến thức cơ bản của môn toán, các kiến thức cần thiết củalôgic học, cần phải căn cứ hướng giải đã vạch ra, vào quá trình tiếp nhận, pháthiện các đặc điểm của bài toán