SKKN SỬA CHỮA NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhưngcũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay ápdụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ… Có nhữ

MỞ ĐẦU

Trong khi học Toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiềumức độ khác nhau Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhưngcũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay ápdụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ…

Có những sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện, ví dụ như đối với học sinhthì ký hiệu x,y,z… thường là biểu thị một cái cần tìm, cũng vì thế mà khi giảinhững phương trình có tham số, ta đem đổi vai trò của ẩn và tham số chonhau thì học sinh rất khó chấp nhận Những phương trình và bất phương trình

có chứa giá trị tuyệt đối, nhiều khi ta phải phân khoảng để khử dấu giá trịtuyệt đối, rốt cục là tìm cho ra được x Nhưng bây giờ trong bài toán tích phânchứa giá trị tuyệt đối, thì cũng là kí hiệu biến x nhưng ta không phải đi tìm x,

chính vì vậy mà giải bài toán ấy theo kiểu xét x <3, x >5…cho riêng lẻ từng

đáp số là sai Có thể nói những sai lầm kiểu ấy là do các em học sinh khônghiểu bản chất của đối tượng có mặt trong bài toán

Việc học Toán của học sinh không thể tránh khỏi những sai lầm, do đónghiên cứu để tìm ra những phương án giảm thiểu những sai lầm đó là rất cầnthiết Có nhiều tác giả nổi tiếng có sự nhấn mạnh ý nghĩa của việc làm này,chẳng hạn A.A.Stolia phát biểu “Không được tiếc thời gian để phân tích trêngiờ học các sai lầm của học sinh” Còn G.Pôlia thì phát biểu “Con người phảibiết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” Viện sĩ Gơn-he-den-

cô trong lúc nêu ra năm phẩm chất của tư duy Toán học thì đã đề cập đến baphẩm chất liên quan đến việc tránh các sai lầm khi giải Toán

- Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy sự

- Có thói quen lý giải một cách đầy đủ.

- Sự chính xác của lý luận

Theo các ý kiến trên đây của các nhà khoa học thì thừa nhận rằng tronggiải Toán, bất cứ người nào cũng từng có lần phạm phải những sai lầm, cònnhững vướng mắc và khó khăn thì dĩ nhiên là thường xuyên Chức năng củangười thầy giáo là phải kịp thời vạch rõ để học sinh thấu hiểu những sai lầm

đó sao cho lần sau không còn tiếp diễn nữa Tuy nhiên một trong các năng lựccần có của người thầy là phải đánh giá đúng mức của học sinh đã mắc, khôngnên cào bằng các mức độ.Tất nhiên sữa sai là phải kịp thời, nếu không thì “sailầm sẽ nối tiếp sai lầm”

Tuỳ đối tưọng học sinh để đánh giá mức độ sai lầm của từng bài toán

Ví dụ như một học sinh bậc THPT mà từ hệ thức x+

x

1

= y+1y suy ra x=y là

điều không thể chấp nhận được Hay như học sinh lớp 11 mà hiểu rằng

f-1(x)= f(1x) là sai lầm rất lớn Tuy nhiên cũng có những sai lầm hoặc thiếu sót

mà ta không nên “bé xé ra to”, bởi vì theo lý thuyết tình huống thì có nhữngchướng ngại tránh được và cũng có những chướng ngại không tránh được

Chẳng hạn học sinh chứng minh x >sinx với mọi x thuộc (0;+∞) bằng cách thiết lập hàm số f(x) = x- sinx, trên khoảng đó f’(x)>0 và nói hàm f(x) đồngbiến trên (0;+∞), suy ra f(x)> 0 thì kể ra cũng chưa chuẩn lắm vì 0 khôngthuộc (0;+∞) Nhưng trong tình huống này cũng không nên phân tích quánhiều để làm rối trí học sinh

Đặc biệt người thầy giáo phải có một năng lực cảm thụ về mặt Toánhọc, có khả năng phỏng đoán và hình dung những điều học sinh sẽ mắc, để có

sự chủ động xử lý các tình huống ấy Ví dụ như dạng toán về dấu của tamthức bậc 2 trên một miền; Tìm điều kiện tham số sao cho f(x) = x2+mx+1>0

Như vậy, ta thấy rằng đôi khi chỉ là một ký hiệu hay một dấu, nhưng nólại phản ánh rất sát về trình độ suy luận của người học, và điều quan trọng là

ở chổ người thầy phải biết trước được cái sai đó của học sinh

Chương 1 NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Trong giáo dục, I.A.Komenski khẳng định: "Bất kì một sai lầm nàocũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tớisai lầm đó, bằng cách hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phụcsai lầm" Các sai lầm của học sinh trong dạy học giải Toán được hiểu là: Điềutrái với yêu cầu khách quan (mục đích của giải Toán, yêu cầu của bài toán)hoặc lẽ phải (các tình huống điển hình trong môn Toán: Khái niệm, định lí, quytắc, các nội dung của lôgic toán, phương pháp suy luận suy diễn ), do đókhông đạt được mục đích của dạy học giải Toán

Các sai lầm trong giải Toán thường do các nguyên nhân từ các góc độkhác nhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng Do vậy biệnpháp này chủ yếu dành cho học sinh bởi lẽ đây là đối tượng đang tập dượtnghiên cứu sáng tạo, đang làm quen với cách tiếp cận, phát hiện và giải quyếtvấn đề Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắcphục những sai lầm khi giải Toán

Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọiđối tượng học sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm Do đó đểnâng cao chất lượng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hướng khắcphục các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phươngtrình và bất phương trình, học sinh thường gặp phải các sai lầm sau

1.1 Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo

Đây thuộc dạng sai lầm “thô thiển” nhất trong các sai lầm thường gặp ởhọc sinh Thông thường các sai lầm này xuất phát từ việc học sinh thông nắmvững bược bản chất và ý nghĩa của các yếu tố có mặt trong biểu thức, hay nhớsai công thức hay định lý.

Ví dụ1 Khi giải các phương trình lượng giác, học sinh thường nhầm lẫn giữa

hai đơn vị đo là độ và Rađian

Giải phương trình: sin(x+30o)=

2 4

3 30

k x

k x

1.2 Sai lầm khi áp dụng định lý và mệnh đề toán học

Nhận dạng và thể hiện một định lý hay một khái niệm cũng là một hoạtđộng toán học Ta xét sai lầm của học sinh khi vận dụng định lý cũng cónghĩa là ta đang xét các sai lầm trên tiêu chí hoạt động toán học

Cấu trúc thông thường của một định lý có dạng: A B Trong đó A làgiả thiết, B là kết luận Nhiều sai lầm khi học định lý là do xem thường ngôn

ngữ và các điều kiện của giả thiết, bởi vậy nhiều lúc học sinh đưa ra các kếtluận sai lầm: Không có A vẫn suy ra B, hay không có A suy ra không có B.

Ví dụ 1 Giải phương trình 5 8x x 1x 500





Sai kiểu thứ nhất: Thử một số trường hợp x=1, x=2, x=3… thấy rằng

53.82/3=125.3 64=500, suy ra x=3 là nghiệm của phương trình

Khi x≠3 thì 53.82/3≠125.3 64

Kết luận: x=3 là nghiệm duy nhất

Nếu phân loại mức độ sai lầm qua việc giải bài toán này, ta có thể nhận

ra rằng, đối với học sinh dừng bước lập luận ngay sau khi thấy x=3 là nghiệm

- là học sinh yếu hơn, đối với học sinh có làm thêm một bước suy diễn: x≠3thì 53.82/3≠125.3 64 là học sinh khá hơn học sinh thứ nhất trong khi giải bàitoán này

Kiểu sai thứ hai: 5 8x x 1x 500



x

x 1Ln8= 3Ln5+2Ln2

 (x-3)Ln5+

x

x 3Ln2=0

Xét hàm số f(x)= (x-3)Ln5+

x

x 3Ln2, ta có: f’(x)=Ln5+

x2

3Ln2 >0 x≠0 Suy

ra hàm số đồng biến x≠0

Mặt khác ta thấy f(3)=0 Do đó x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Sai lầm mà học sinh mắc phải trong trường hợp trên là ở chổ: Hàm sốf(x) đồng biến trên (-;0) và (0;+) thì phương trình vẩn có thể có nhiều hơnmột nghiệm trên khoảng đó

Phân tích: Ở lớp 10 học sinh đã được học khái niệm về hàm số đồngbiến trên một khoảng, tuy vậy vẩn có sách xét hàm số đồng biến trên một tập,

dù không nói rõ nhưng về nguyên tắc thì 1 tập số có thể là hợp của nhiều

khoảng Trong chương trình lớp 12, trong phần mối liên hệ giữa đạo hàm vàchiều biến thiên của hàm số, thì có định lý: Nếu đạo hàm dương trên mộtkhoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó Nhưng thực ra kiến thức củahọc sinh đại trà không dễ gì có thể nắm vững và sâu sắc để phân biệt đượcphạm vi áp dụng của định lý thật xác đáng Cụ thể hơn là khi học định lý nàythì dường như học sinh chỉ dành sự quan tâm vào chổ: Nếu đạo hàm dươngthì hàm số đồng biến, và thực tình thì SGK cũng không có một chú ý nào vềphạm vi áp dụng của định lý Vì vậy khi gặp bài toán mà hoàn cảnh cụ thểkhông còn là một khoảng thì học sinh vẩn áp dụng định lý một cách bìnhthường.

Lời giải trên đây đã phạm sai lầm ở chổ: Đáng lý phải nói hàm số f(x)đồng biến trên các khoảng (-;0) và (0;+) thì lại nói rằng hàm số đồngbiến trên R\ 0

Cần phải là rõ cho học sinh thấy hàm số đồng biến trên

(-;0) (0;+) thì ngoài yêu cầu f(x1)f(x2) x1 x2 0

f(x3)f(x4) 0 x3 x4

còn phải thêm yêu cầu nữa là f( )f()   0 

Có một sai lầm liên đới ngoài sai lầm áp dụng định lý trên đây, đó là sailầm áp dụng mệnh đề: Nếu hàm số đơn điệu trên (a;b), x1,x2 cùng thuộc (a;b)thì f(x1)=f(x2)  x1= x2 Nhưng trong trường hợp này thì f(x1)=f(3), rỏ ràng 3thuộc (0;+ ), cho nên mới chỉ có kết luận được rằng trên (0;+ ) thì phươngtrình chỉ có 1 nghiệm, và như thế ta cần phải xét trường hợp x0

Đối với bài toán trên, ta có lời giải đúng như sau:

(x-3)(Ln5+

x

1Ln2) = 0 

x Ln Ln x

Cần nói thêm rằng, đối với các phương trình siêu việt, đặc biệt là khithực hiện trên các logarit, học sinh thường có tâm lý nặng nề khi nhìn nhữnghằng số lại không phải là hằng số.

Khái quát sai lầm ở ví dụ này đi đến nhận xét rằng: Giả thiết của mộtđịnh lý có thể gồm nhiều ý, và phạm vi áp dụng của nó là chỉ khi nào hội đủtất cả các ý trên Thế nhưng nhiều khi các em học sinh lĩnh hội nội dung cònqua quýt, giành sự chú tâm vào một số ý nào đó dẫn tới sự mơ hồ các ý cònlại Bên cạng đó, về cách giảng dạy thì giáo viên ít khi làm sáng tỏ những chitiết này thông qua các phản ví dụ

Ví dụ 2 Giải phương trình

3x3-6x2-9x=9(x2-2x-3) (*)

+Lời giải sai: (*) 3x(x2-2x-3) = 9 (x2-2x-3)  3x=9 x=3

Có thể thấy ngay x=-1 cũng là nghiệm của phương trình, sai lầm ở đây

là học sinh đã chia cả hai vế cho biểu thức x2-2x-3 Cần lưu ý với học sinhrằng a.b=c.b  b(a-c)=0

1

x x

0 2 3

3

x

x x

0 ) 2 ( ) 1

x

x x

2

x x

Vậy không tồn tại giá trị x thoả mãn điều kiện tập xác định, vậyphương trình đã cho vô nghiệm

Ta có thể nhận ra khi x=1 thì biểu thức có nghĩa và x=1 chính lànghiệm của phương trình.Vậy sai lầm của các em học sinh nằm ở chổ nào?

Đó là em đã cho rằng (x-1)2(x+2)0  x+20

+ Lời giải đúng là: Điều kiện có nghĩa

0 2 3

3

x

x x

0 ) 2 ( ) 1

x

x x

x x

+Lời giải sai: Ta có f1(x1)=x và f2(x2)= e x là các hàm số đồng biến trên R, suy

ra f(x)=x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biển trên R

Ta có f(-1)=

e

1

 Do đó bất phương trình tương đương f(x) > f(-1) 

x>-1

Sai lầm khi nghĩ rằng tích của hai hàm số đồng biến là hàm số đồngbiến, nếu các hàm số đồng biến chỉ nhận các giá trị dương thì mới kết luậnđược

+Lời giải đúng: Xét hàm f(x) = x.ex với xR Ta có f’(x)=ex(x+1) nên ta có:

+Lời giải sai: Biểu thức có nghĩa với mọi x  f(x)=(m+1)x2-2(m-1)x+3m-3

1 ( 2

1

m m

a c

b a

Và lời giải trên thiếu trường hợp a=0

+Lời giải đúng: Biểu thức có nghĩa x

0

c

b a

m m

0

a

Tóm lại m 1

1.3 Sai lầm liên quan đến đặt điều kiện, biến đổi phương trình

Ví dụ1: Giải phương trình: 2cos(2cosx) = 3

Có học sinh đặt: t = 2cosx, được phương trình:

2cost = 3  cos t 3

2

  t =  300 + k 3600Sai lầm ở đây là học sinh không nắm được giải phương trình cost = a với

t = 2cosx là tìm tất cả các số thực t làm cho đề cost = a là đúng, ẩn tkhông phải là góc, là cung lượng giác, do đó không có số đo và đơn vị đobằng độ

Hướng giải đúng: Giải phương trình cos t 3

Ví dụ 2: Giải phương trình: (cos2x - cos4x)2 = 4 + cos23x

Đây là phương trình không mẫu mực nên học sinh rất khó khăn khi chọnphương pháp giải, vì thế rất dễ mắc sai lầm Nhiều em nhận thấy vế trái xuấthiện bình phương nên khai triển ra, sau đó dẫn đến phương trình phức tạphoặc tìm cách biến đổi đưa về các hàm lượng giải của cùng một góc

Cách giải đúng: (cos2x - cos4x)2  4 x R

4 + cos23x  4 x R

Vậy (cos2x + cos4x)2 = 4cos23x 

2 2

(1)  cos 2x 1 hay cos 2x 1 (b)

lại không phải là nghiệm, bởi vì các giá trị này

không thoả mãn điều kiện cos 5x 0, cos7x0

Sai lầm ở đây là học sinh đã quên tìm tập xác định của phương trình Đểkhắc phục sai lầm này giáo viên cần nhắc nhở học sinh rằng:

Nếu  là một số tuỳ ý thì phương trình tanx = tan có nghiệm x = + k

Kết luận đó bao hàm cả khẳng định rằng các số x = +k thoã mãn điềukiện cosx0

Ví dụ 4: Giải phương trình:

sinx + 3cosx = 2cos2x  3sin2x (1)

Ta gặp nhiều học sinh lập luận như sau:

Tập xác định của (1) là: 2 + cosx + 3sin2x  0

2

3x2cos2

 x R

Khi đó vế phải không âm mà vế phải bằng vế trái nên vế trái cũngkhông âm Vì vậy hai vế đều không âm, bình phương hai vế ta được phươngtrình tương đương:

(sinx + 3 cosx)2 = 2 + cos2x + 3 sin2x

12)

6x(cos(

Vậy nghiệm của phương trình (1) là với mọi x R

Đây là một lập luận sai, sai lầm cơ bản nhất là sử dụng các phép biếnđổi không tương đương

Cách lập luận trên đây của học sinh là đúng khi xét trên tập nghiệm củaphương trình, nhưng giải phương trình lại là đi tìm tập nghiệm Do đó sau khitìm được những giá trị cần phải đối chiếu xem những x đó có thuộc tậpnghiệm hay không, tức là phải lần lượt kiểm tra từng giá trị, điều đó nóichung không khả thi

+Lời giải đúng: Ta có (1)

2x2k3

Rx

2k3

22k3R

x

0)6xcos(

2

x2sin3x2cos2

)xcos3x(sin

0xcos3xsin

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

sin

Nhiều học sinh lập luận như sau:

sin

1(tan

02)cot(tan

)cot(tan

3

01)cot(tan

)cot1(tan

3

2 2

2 2

m x x

x x

m x x

Phương trình (5) có nghiệm  phương trình (5’) có nghiệm, vìphương trình (5’) có a.c=-12 < 0 nên phương trình (5’) luôn có hai nghiệmphân biệt Do đó phương trình (5) luôn có nghiệm

Học sinh đã mắc phải sai lầm trong lập luận ở chỗ đã không quan tâm

gì đến điều kiện của t và cho rằng phương trình (5) có nghiệm khi và chỉ khiphương trình (5’) có nghiệm

Lời giải đúng cần bổ sung

Điều kiện của t là: t 2

Phương trình (5) có nghiệm  phương trình (5’) có nghiệm thoả mãn

t1 2  nên phương trình (5’) không thể đồng thời có

hai nghiệm t1, t2 thoả mãn t1 2 và t2 2

Do đó (5) có nghiệm <=> (5’) có một nghiệm trong đoạn 2;2và mộtnghiệm ngoài khoảng (-2; 2)

<=>f(2 f(2)0<=>(8 2m)(82m) 0 <=>m 4

Học sinh có thể tìm điều kiện để phương trình (5,) có nghiệm thoả mãn

2

t  theo cách khác

1.4 Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán

Nhiều khi ta không đi giải bài toán đã cho mà lại đi giải một bài toántương đương với bài toán ban đầu, Tất nhiên không phải bài toán nào cũng làmột mệnh đề mà sẽ có nhiều bài toán nêu ra dưới dạng tìm tòi Những sai lầmliên quan đến chuyễn đổi bài toán thường có liên quan đến việc đặt ẩn phụ,thay biến, Thực hiện các phép biến đổi tương đương và chuyển đổi ngôn ngữ.Việc chuyễn đổi đúng nhiều khi có tác dụng rất rõ rệt vì lúc đó việc giải bàitoán đã cho gặp nhiều khó khăn, nhưng khi chuyễn đổi hợp lý thì việc giải bàitoán thuận lợi hơn nhiều Nhưng nếu ta chuyển đổi sai thì hậu quả thường gặp

sẽ là: Hệ của các điều kiện đặt ra cho bài toán mới chưa đủ đáp ứng yêu cầucủa bài toán cũ

Muốn rèn luyện cho học sinh chuyển đổi bài toán phòng tránh nhữngthiếu sót và sai lầm thì trước hết phải rèn luyện cho họ cách nhìn một vấn đềlinh hoạt bằng nhiều góc độ khác nhau Cần phải rèn luyện nhận thức sự

tương ứng giữa các đối tượng, tức cần phải trau dồi tư duy hàm Cần phảitrang bị cho học sinh kiến thức về phép biến đổi tương đương, nhất là sựtương đương giữa các phương trình, bất phương trình

Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:

2

2

) 1



x

x

-4m =0Những bài toán dạng này thường thấy học sinh gặp phải những sai lầm và khókhăn như sau:

-Vì thấy một quy luật nào đó giữa các hạng tử, cho nên học sinh nhanhchóng đặt một ẩn phụ, và cũng vì sự nhanh chóng ấy cho nên nhiều khi không

có ý thức đặt một điều kiện tương xứng cho ẩn phụ Ta luôn phải làm cho họcsinh nhớ rằng nếu ta đặt ẩn phụ và chuyển đổi yêu cầu của bài toán thì cẩnthận với việc phát biểu không đủ ý với ẩn vừa đặt

- Dù rằng các em đã có ý thức đặt điều kiện cho ẩn phụ nhưng xác địnhkhông rõ về mức độ của điều kiện ấy, tức là nhiều khi mới rút ra được mộtđiều kiện nào đó của ẩn phụ thì đã vội vàng khép lại việc làm này Cần chohọc sinh thấy rằngvới những bài toán biện luận về sự có nghiệm của phươngtrình chứa tham số thì hầu như ta không có điều kiện để tìm ra nghiệm cụ thể,

mà thay vào đó là tìm một điều kiện sát thực cho ẩn t, nghĩa là t phải như thếnào thì ắt sẽ có x tương ứng Bản chất của vấn đề đó là: Hàm f: X  R

x t=f(x)thì t phải thuộc miền giá trị của hàm f

- Đặt t=

1

2 2