PHÁT TRIỂN NĂNG lực tự học CHO học SINH QUA dạy học GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Lĩnh vực áp dụng: Sáng kiến áp dụng lĩnh vực giảng dạy nội dung “Phương trình ” cho đối tượng học sinh đại trà lớp 10, đồng thời phần nội dung ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh lớp 12 Thời gian áp dụng: Từ năm học 2009-2010 Tác giả: Họ tên: NGUYỄN TRUNG HIẾU Năm sinh: 1979 Nơi thường trú: Xã Xuân Hòa – huyện Xuân Trường , tỉnh Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ khoa học, ngành Lí luận Phương pháp dạy học (bộ môn Toán) Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT A Hải Hậu Địa liên hệ: Nguyễn Trung Hiếu, Trường THPT – A Hải Hậu, Nam Định Điện thoại: 0915139375 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT A Hải Hậu Địa chỉ: Khu 6-Thị trấn Yên Định-Hải Hậu-Nam Định Điện thoại: 03503877089 Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông NL Năng lực MỤC LỤC Nội dung Trang Hoàn cảnh tạo sáng kiến…………………………………………… Thực trạng…………………………………………………………… Các giải pháp………………………………………………………… A Cơ sở lí luận…………………………………………………… B Các giải pháp…………………………………………………… Hiệu sáng kiến mang lại……………………………………… 51 Đề xuất, khuyến nghị………………………………………………… 51 Danh mục tài liệu tham khảo………………………………………… 52 I HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Nội dung kiến thức phương trình lớp 10 THPT quan trọng cho phát triển HS trình học toán bậc phổ thông mà “là sở để giải Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 phương trình liên quan đến hàm số sơ cấp”, “thuộc nhóm kiến thức cần thiết giáo dục Toán học phổ thông” Trong kì thi môn Toán bậc THPT kì thi Tuyển sinh vào trường Đại học – Cao đẳng, chủ đề phương trình chiếm vị trí đáng kể Các hoạt động chủ yếu với chủ đề giải tập phương trình xoay quanh phương trình bậc bậc hai mang số chức sau: - Củng cố hoàn thiện kỹ giải phương trình bậc bậc hai làm quen từ chương trình THCS - Phát triển lực tư duy, hình thành phẩm chất tư khoa học qua thao tác trí tuệ là: quy lạ quen, khái quát hóa, tương tự hóa - Bài tập phương trình có nhiều ứng dụng thực tế, mang lại niềm vui, hứng thú học tập, tạo giới quan khoa học - Bài tập phương trình phương tiện để đánh giá mức độ, khả độc lập giải toán trình độ phát triển HS Thực tế cho thấy, học sinh thường lĩnh hội tri thức giáo viên truyền đạt cho số chân lí mà giáo viên biết mà thân học sinh nảy nhu cầu muốn biết tri thức Do vậy, dạy học phải tạo cho học sinh tựa hồ phát tri thức cần lĩnh hội Sau học lý thuyết, giáo viên giúp học sinh hệ thống kiến thức học, xây dựng hướng phát triển tập tìm phương pháp giải từ cung cấp đến học sinh hệ thống tập tương ứng giúp học sinh tích cực học tập, rèn luyện kỹ tạo hứng thú, niềm vui học sinh tự học II THỰC TRẠNG Về thời lượng dành cho nội dung phương trình nói chung gồm: Tên SGK Nâng cao SGK Cơ Đại cương phương tiết tiết trình Phương trình bậc tiết Không có bậc hai ẩn Một số phương trình quy tiết tiết bậc bậc hai Ngoài có tiết luyện tập tổng hợp mà có gắn với nội dung phương trình (tiết ôn tập chương, ôn thi học kì, ôn tập cuối năm) Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao đưa ba dạng bản: A = B, A < B A > B , phần tập nêu tập nằm ba dạng Tuy nhiên, thực tế phương trình bất phương trình vô ti đa dạng phong phú Trong trình học Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 Toán lớp 11 12, gặp phải toán đưa phương trình bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh lúng túng, thường giải sai chí cách giải Đặc biệt, đề thi Đại học - Cao đẳng em gặp phương trình bất phương trình vô tỉ nhiều dạng khác không nằm khuôn khổ ba dạng Vì vậy, việc giúp cho em có kĩ tốt, cung cấp thêm phương pháp giải phương trình bất phương trình vô ti cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế Một điều quan trọng trình giải phương trình bất phương trình vô ti, giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh sai lầm thường mắc phải phân tích nguyên nhân sai lầm để em hiểu sâu nhằm có giải tốt sau Với thời lượng nội dung vậy, trình lên lớp, việc truyền đạt kiến thức, kỹ bản, GV cần rèn luyện cho HS biết hệ thống hóa dạng, loại phương pháp giải phương trình Mỗi dạng có cách giải riêng, có có nhiều cách giải GV phải hệ thống giúp HS cách giải tối ưu Đồng thời cung cấp cho HS hệ thống tập có chọn lọc để vận dụng kiến thức học tự giải Đây cách dạy cho HS cách tự học, tự phát giải vấn đề, bước đầu rèn luyện tư sáng tạo HS có nhìn tổng thể kiến thức chương trình, dạng tập thường gặp Ở dạng tập biết hình thành hệ thống phương pháp giải, đồng thời qua cách giải tập mở rộng tập hình thành kỹ giải toán phương pháp tự học mang màu sắc cá nhân III CÁC GIẢI PHÁP A CƠ SỞ LÝ LUẬN A-1 Tự học 1.1 Về khái niệm tự học Để trang bị kiến thức hiểu biết suốt đời cách tự học Tự học vấn đề có tính truyền thống tính phổ biến không nước ta mà vấn đề toàn giới Ngay từ xa xưa, Khổng Tử ý thức tầm quan trọng việc tự học người, ông cho rằng: “cách học quan trọng học gì” Cha ông ta đặt tự học làm trọng, gương sáng tự học Chủ tịnh Hồ Chí Minh Theo Người, tự học nỗ lực thân người học, làm việc thân người học cách có kế hoạch dựa tinh thần tự giác học tập Người cho rằng, học tập phải lấy tự học làm nòng cốt Như vậy, để sử dụng hình thức tự học, người học chủ yếu phải tự học bằng SGK, tài liệu học tập liên quan kế hoạch, điều kiện, phương tiện để đạt mục tiêu Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 học tập Tự học nhiều chủ động khai thác kinh nghiệm tri thức người khác để làm giàu cho vốn hiểu biết thân Bản chất người học biến trình đào tạo thành trình tự đào tạo Tự học có đặc điểm sau: Tự học có tính độc lập cao mang đậm màu sắc cá nhân Tự học có quan hệ chặt chẽ với trình dạy học Tự học có tính mục đích Tự học có tính đối tượng Tự học vận hành theo nguyên tắc gián tiếp Tự học chu trình liên tục, diễn theo hình xoắn ốc mà điểm kết thúc chu trình điểm khởi đầu chu trình khác Sau chu trình kiến thức người học lại nâng lên tầm Tự học có mức độ sau : Mức độ 1: Có SGK có GV giáp mặt số tiết ngày, tuần GV HS nhìn mặt trao đổi thông tin bằng lời nói trực tiếp, chữ viết trực tiếp bảng, giấy, bằng ánh mắt, nét mặt, cử Bằng hình thức thông tin trực tiếp không qua máy móc, HS học giáp mặt với GV lớp nhà tự học có hướng dẫn Đây mức độ tự học đơn giản Mức độ 2: Có SGK có GV xa hướng dẫn bằng tài liệu phương tiện viễn thông khác Hướng dẫn tự học chủ yếu hướng dẫn tư duy, hướng dẫn tự phê bình trình chiếm lĩnh kiến thức Đây tự học có hướng dẫn Mức độ 3: Có SGK người học tự đọc lấy mà rút kiến thức, kinh nghiệm tư HS phải tự vận dụng nội lực thân để giải công việc học tập Đây tự học mức độ cao Tóm lại, tự học hoạt động cá nhân người học Xác định điều để ta thấy rõ vai trò chủ động người học Dạy học dù có hay đến đâu thay việc tự học HS GV giỏi người biết hướng dẫn cho HS học làm hộ HS Tự học công việc khó khăn, phải trải qua nhiều mức độ, nhiều đòi hỏi Phấn đấu đạt mức độ tự học cao mục tiêu cần đạt tới người học 1.2 Bồi dưỡng lực tự học cho HS THPT Bồi dưỡng lực tư học cho HS việc làm cần thiết điều kiện Thời gian tự học lúc HS có điều kiện tự nghiền ngẫm vấn đề học tập theo yêu cầu, phong cách riêng với tốc độ thích hợp Điều giúp HS nắm vấn đề Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 cách chắn bền vững, bồi dưỡng phương pháp học tập kỹ vận dụng tri thức, mà dịp tốt để HS rèn luyện ý chí lực hoạt động sáng tạo Đó điều không cung cấp đươc cho HS em không thông qua hoạt động thân Năng lực tự học phẩm chất cần thiết cho phát triển thành đạt lâu dài người A- Dạy học môn Toán theo định hướng phát triển lực phẩm chất người học Xác định lực chung, cốt lõi, chuyên biệt môn Toán Có nhiều quan niệm khác NL Ở ta tiếp cận NL theo hướng NL hành động, tức có cấu trúc, mô tả được, đo đếm được, đánh giá Mỗi môn học mạnh hình thành phát triển (hoặc số) NL chung cốt lõi Chẳng hạn môn Toán có ưu việc hình thành phát triển NL tính toán, với thành tố cấu trúc là: Thành thạo phép tính; sử dụng ngôn ngữ Toán học (bên cạnh ngôn ngữ thông thường); mô hình hóa; sử dụng công cụ Toán học (đo, vẽ, tính) Ta làm rõ dần NL chung cốt lõi theo cấu trúc nó, chẳng hạn sơ đồ sau: 2.1 Một số lực chung cốt lõi mà môn Toán tiềm ẩn hội hình thành phát triển Mọi người cần phải học toán dùng toán sống hàng ngày Chính mà Toán học có vị trí quan trọng tất lĩnh vực đời sống xã hội Hiểu biết toán học giúp cho người tính toán, ước lượng, đặc biệt có cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận logic việc giải tình huống, vấn đề nảy sinh học tập thực tiễn sống hàng ngày Ở trường PT, học toán hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn áp dụng xác kiến thức, kĩ bản, khám phá số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi ý tưởng liên quan Giải toán đòi hỏi phải có tính Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 sáng tạo, hệ thống Học toán giải toán giúp người học tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp, suy luận logic, … Vì xem sở co phát minh khoa học Kiến thức toán ứng dụng, phục vụ cho việc học môn học khác như: Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Vì thế, xem môn toán môn học công cụ nhà trường PT Như nêu, điều cho ta khẳng định trường PT, môn toán có nhiều hội giúp HS hình thành NL chung như: + NL tính toán + NL tư + NL giải vấn đề + NL tự học, tự rèn luyện + NL giao tiếp + NL hợp tác + NL làm chủ thân + NL sử dụng CNTT 2.2 Một số NL (kĩ cốt lõi) cần luyện tập qua việc học môn Toán Dạy học toán trường PT Việt Nam nói chung, giai đoạn sau 2015 nói riêng, nhằm hướng vào việc hình thành NL chung cốt lõi, thông qua giúp cho HS: + Có kiến thức kĩ toán học bản, làm tảng cho việc phát triển NL chung NL riêng (đối với môn toán) + Hình thành phát triển NL tư (tư logic, tư phê phán, tư sáng tạo, khả suy diễn, lập luận chặt chẽ) Phát triển trí tưởng tượng không gian, trực giác toán học + Sử dụng kiến thức để học toán, học tập môn khác đồng thời giải thích, giải số tượng, tình xảy thực tiễn (phù hợp với trình độ) Qua phát triển NL giải vấn đề, NL mô hình hóa toán học + Phát triển vốn ngôn ngữ (ngôn ngữ toán ngôn ngữ thông thường mối quan hệ chặt chẽ với nhau) giao tiếp có hiệu + Góp phần môn khác hình thành giới quan khoa học, hiểu nguồn gốc thực tiễn khả ứng dụng rộng rãi toán học lĩnh vực đời sống xã hội Biết cách làm việc có kế hoạch, cẩn thận, xác Có thói quen ham muốn khám phá, tìm hiểu, làm việc độc lập với phương pháp thích hợp kĩ cần thiết, hợp tác, hoạt động nhóm có hiệu B CÁC GIẢI PHÁP Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 B-1 XÂY DỰNG HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA CHO MỖI DẠNG BÀI Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần phương trình bất phương trình có chứa dấu mục nhỏ bài: Một số phương trình bất phương trình quy bậc hai chương IV Thời lượng dành cho phần lại ít, ví dụ tập phần hạn chế dạng Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ biến đổi toán học nhanh nhẹn thục Muốn vậy, tiết luyện tập giáo viên cần tổng kết lại cách giải dạng phương trình bất phương trình thường gặp, bổ sung thêm dạng tập nâng cao, đặc biệt rèn luyện cho học sinh kĩ giải phương trình bất phương trình vô tỉ Từ học sinh tiếp cận tài liệu tự học theo mức độ Phương pháp biến đổi tương đương: Nội dung phương pháp sử dụng tính chất lũy thừa phép biến đổi tương đương phương trình, bất phương trình nhằm đưa phương trình bất phương ban đầu phương trình bất phương trình biết cách giải Một số phép biến đổi thường gặp 1/  f ( x) ≥  f ( x) = g ( x) ⇔  g ( x) ≥  f ( x) = g ( x)  2/  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x) 3/  f ( x) ≥  f ( x ) + g ( x ) = h( x ) ⇔  g ( x ) ≥   f ( x) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x)  g ( x) >  4/ f ( x) < g ( x) ⇔  f ( x) ≥  f ( x) < g ( x)    f ( x) ≥     g ( x) < 5/ f ( x) > g ( x) ⇔   g ( x) ≥    f ( x) ≥ g ( x) Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = 3x + 1   x≥− x =    3x + ≥  x≥−  ⇔ ⇔ ⇔ Giải pt ⇔  x = − x + = (3 x + 1)  9 x + x =  x = 0, x = −    Nhận xét:  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔  (không cần đặt giải đk: f ( x) ≥ ) f ( x ) = g ( x )  Ở toán ta giải bằng cách đặt ẩn phụ: t = x + Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải ĐK: −4 ≤ x ≤ x + − − x = − 2x (*) pt ⇔ x + = − x + − x ⇔ x + = − x + (1 − x)(1 − x) + − x  2x + ≥   x≥− ⇔ x + = (1 − x)(1 − x) ⇔  ⇔ ⇔ x = (2 x + 1) = (1 − x)(1 − x) 2 x + x = Đối chiếu đk (*) ta thấy x = thỏa mãn Vậy nghiệm pt cho x = Nhận xét: Ở phương trình ta chuyển − x qua vế phải rồi mới bình phương Mục đích của việc làm tạo hai vế của phương trình cùng dấu để sau bình phương ta thu được phương trình tương đương Ví dụ 3: Giải phương trình: x + x −1 + x − x −1 = Giải.ĐK: x ≥ Pt ⇔ x − + x − + + x − − x − + = ⇔ x −1 + + x −1 −1 = Nếu x > pt ⇔ x − + + x − − = ⇔ x = (Loại) Nếu x ≤ pt ⇔ x − + + − x − = ⇔ x = (Luôn với ∀x ≥ ) Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { x ∈ R |1 ≤ x ≤ 2} Ví dụ 4: Giải phương trình: x − x + < x + (1) Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 x>2   x>2    −   x ≤ − x−2>0  x≤     2  ⇔ ⇔  Giải: (1) ⇔  x − x + ≥ 2 x − x + < ( x − 2)  x ≥ +  x ≥ +      2   x − 2x − <  −1 < x < ⇔ 3+ ≤ x < Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 2( x − 16) x−3 + x−3 > 7−x (ĐH Khối A - 2004) x−3 Giải: ĐK: x ≥   x − 16 ≥   10 − x <  2 bpt ⇔ 2( x − 16) + x − > − x ⇔ 2( x − 16) > 10 − x ⇔  10 − x ≥    2( x − 16) > (10 − x)2 x>5  ⇔ ⇔ x > 10 − 34 10 − 34 < x ≤  Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x + 6x2 + = x + x +1 ≥ x ≥ −1   x ≥ −1  ⇔ ⇔ Giải: pt ⇔    2 2 2 2 x + x + = ( x + 1)  x + = x + 6 x + = ( x + 1)  x ≥ −1 ⇔ ⇔ x = 0, x = 2 x − x =  Ví dụ 6: Giải phương trình: x( x − 1) + x( x + 2) = x  x ≤ −2  Hướng dẫn giải: ĐK:  x ≥ (*)  x = Pt ⇔ x + x + x ( x − 1)( x + 2) = x ⇔ x ( x + x − 2) = x(2 x − 1) Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 10 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 Vậy phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt ∀m > Nhận xét.Sau tìm điều kiện x ≥ việc khảo sát hàm số f ( x) dễ dàng chủ yếu dùng đạo hàm nhiên dùng định nghĩa suy tính đồng biến hàm số f ( x) Sử dụng đẳng thức Trong phần này, đưa số dạng phương trình giải bằng cách đưa hằng đẳng thức quen thuộc tương ứng với tập ứng dụng từ dễ đến khó Dạng : Ak = B k Ví dụ Giải phương trình : 3−x = x 3+x Giải.Đk: ≤ x ≤ pt đ cho tương đương : 3  10 10 −  ⇔ x + = ⇔ x = x + 3x + x − =  ÷ 3 3  Ví dụ Giải phương trình sau : x + = x − x − Giải Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : (1+ 3+ x ) x =  x + + = 3x = 9x ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3 x  18 2 Ví dụ Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) Giải pttt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vô tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có a + b3 + c = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vô tỉ có chứa bậc ba x + − x2 − x − + x2 − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Ví dụ Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 38 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 HD:ĐK: x ≤ u = − x ; u ≥ 2 − u = uv + vw + wu ( u + v ) ( u + w ) =    Đặt v = − x ; v ≥ , ta có : 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = , giải hệ    ( v + w ) ( u + w ) =  w = − x ; w ≥ 5 − w = uv + vw + wu ta được: u = 30 239 ⇔x= 60 120 Ví dụ Giải phương trình sau a =  b = HD:Ta đặt :  c =  d = Dạng a − b = x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 2x2 − a + b = c + d ⇔ x = −2 , ta có :  2 2 a − b = c − d  2x + 2x + x − 3x − x2 − x + ⇔ (a + b)(a − b) = Ví dụ Giải phương trình x + x + 2006 = 2006 Phân tích toán Thông thường gặp toán học sinh thường biến đổi sau: Đặt x + 2006 = t , t ≥ 2006 Khi phương trình cho trở thành ⇔ t − 5012t + t + 4022030 = Đến em tỏ lúng túng phương trình dạng đối xứng hay dạng đặc biệt khác, mặt khác không nhẩm nghiệm hữu tỷ Vì giải tiếp Tuy nhiên, để ý phương trình ta có phân tích sau: Phương trình cho tương đương với phương trình x4 + x2 + 1 = x + 2006 − x + 2006 + 4 Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 39 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 2 1  1  ⇔  x + ÷ =  x + 2006 − ÷ 2  2   2  x + = x + 2006 − ( 1) ⇔  x + = − x + 2006 ( )  2 x2 + Giải (1): 1 = x + 2006 − 2 Đặt t = x + 2006, t ≥ 2006 , ta có : t − t − 2005 = ⇒t = + 8021 2  + 8021  ⇒x=±  ÷ − 2006   x2 + Giải (2): 1 = − x + 2006 2 ⇔ x + x + 2006 = (vô nghiệm) Vậy nghiệm phương trình:  + 8021  x=±  ÷ − 2006   Ví dụ Giải phương trình x2 − = x + Bài giải Cách 1: x − = x + Phương trình cho tương đương với  x2 − ≥   2  x − = x + ( ) Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 40 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015  x ≥ ⇔ ( x + 1) x − x − x + = x + ( )  x ≥ ⇔ ( x + 1) x − x − x = ( )  x ≥1  ⇔   x = −1   x − x − x =  x = −1 ⇒ x = 1+   x = −1  Vậy phương trình cho có nghiệm:  1+ x=  Cách 2: Để ý phương trình, ta viết lại phương trình cho sau x2 + x + 1 = x +1+ x +1 + 4 2 1  1  ⇔  x + ÷ =  x +1 + ÷ 2  2  x = x +1 ⇔  x + = x + Đây phương trình mà học sinh phổ thông dễ dàng giải Nhận xét Bài toán giải theo cách mang tính tư cao hơn, giải ngắn ngọn, dễ hiểu Theo cách 1, học sinh biến đổi dễ dẫn đến phương trình bậc cao, gây khó khăn cho trình giải Ví dụ Giải phương trình x − 11x = x − 24 Bài giải ĐK: x ≥ Phương trình cho tương đương với: Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 41 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 x − 10 x + 25 = x + x + ⇔ ( ) x + = ( x − 5)  x + = x − ( 1) ⇔  x + = − x ( ) Giải (1): x +1 = x − ⇔ x−6 = x x ≥ ⇔ ⇒ x=9  x − 13x + 36 = Giải (2): x +1 = − x ⇔ 4− x = x x ≤ − 17 ⇔ ⇒x=  x − x + 16 = x Vậy phương trình có nghiệm: x=9, x = − 17 Ví dụ Giải phương trình x2 = x − x2 − Bài giải ĐK: x ≥ Phương trình tương đương với x2 = x − + x + − x2 − ⇔ x2 = ( x−2 − x+2 )  x = x − − x + ( 1) ⇔  x = x + − x − ( ) Giải (1) : x = x−2 − x+2 ⇒ x+ x+2 = x−2 (vô nghiệm) Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 42 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 Giải (2) : x = x+2 − x−2 ( x + 1) ( x − ) ≥ Do x ≥ nên ⇔ x2 − x − ≥ ⇒ x2 ≥ x + > ⇒ x≥ x+2 Do đó: x+ x−2 ≥ x+2 Dấu “=” xảy ⇔ x=2 Vậy phương trình có nghiệm: x=2 x− Ví dụ Giải phương trình Bài giải 1− x −2 =0 x x ĐK: < x ≤ Phương trình tương đương với: x= 1− x −1 + +1 x x  1− x  ⇔ x= + 1÷ x    1− x + 1( 1)  x= x  ⇔  1− x − 1( )  x =− x  Giải (1): x= −1 +1 x Do VT ≤ , VP ≥ nên phương trình có nghiệm ⇔ VT = VP =1 ⇒ x =1 Giải (2): x=− 1− x −1 x Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 43 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 Do VT >0, VP 0) y 64x6 - 112x4 + 56x2 - = − x B-2 KẾ HOẠCH DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA Kế hoạch dạy học Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 49 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 Trong trình dạy ôn tập cho học sinh lớp 10 kỳ ôn tập cho học sinh thi TNTHPT kỳ thi THPTQG 2015, tùy vào đối tượng học sinh, tiến hành dạy học ôn tập cho em nội dung theo quy trình - Tổng kết lại kiến thức bản, phương pháp giải - Giới thiệu ví dụ mẫu, ý cần thiết dạng, loại - Giao nhiệm vụ cho cá nhân học sinh hoàn thành hệ thống tập Kế hoạch kiểm tra đánh giá Để đánh giá mức độ hoàn thành hệ thống tập kể kiểm tra học sinh qua 45 phút, nội dung đề kiểm tra sau: Ma trận đề kiểm tra 45 phút: Phương trình, bất phương trình vô tỉ Chủ đề Mức độ nhận thức - Hình thức câu hỏi : Tự luận Phương pháp biến đổi Câu 1a tương đương Phương pháp ẩn phụ Tổng điểm 2 Câu 1b 2 Phương pháp đánh giá Câu 1c 2 Phương pháp hàm số Câu 4 Tổng 10 Câu (6,0 điểm) Giải phương trình, bất phương trình a 2x + 6x2 + > x + b x3 + x − + x + x + = c x + + x − = x − Câu (4,0 điểm) Chứng minh rằng ∀m > , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x − = m( x − 2) IV HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN MANG LẠI Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 50 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 - Đề tài chuẩn bị để dạy chủ yếu cho học sinh lớp 12 với mục đích rèn luyện kỹ hệ thống hóa kiến thức, đồng thời cho học sinh cách giải bản, kỹ để tiếp vấn đề khó, sâu phương trình, bất phương trình để tiếp cận với đề thi THPTQG 2015 bồi dưỡng học sinh giỏi V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ : Không TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Trung Hiếu CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 51 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 Bộ Giáo dục Đào tạo, Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên thực Chương trình, Sách giáo khoa lớp 10 Trung học Phổ thông môn Toán học, Nxb Giáo dục, 2006 Bộ Giáo dục Đào tạo, Đại số 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục, 2006 Bộ Giáo dục Đào tạo, Bài tập Đại số 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục, 2006 Bộ Giáo dục Đào tạo, Đại số 10, Nxb Giáo dục, 2006 Bộ Giáo dục Đào tạo, Bài tập Đại số 10, Nxb Giáo dục, 2006 Bộ Giáo dục Đào tạo – Vụ Giáo dục trung học, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên: Dạy học theo định hướng phát triển lực phẩm chất học sinh, 2013 Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất, Các giảng luyện thi môn Toán – Tập một, Nxb Giáo dục, 1999 Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm, Tam thức bậc hai ứng dụng, Nxb Giáo dục, 2003 Phan Huy Khải, Điều kiện cần đủ để biện luận phương trình bất phương trình có chứa tham số, Nxb Giáo dục, 1999 10 Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Tổng hợp, Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, Nxb Giáo dục, 1997 11 Trần Thành Minh – Võ Thiện Căn – Võ Anh Dũng, Giải toán Đại số sơ cấp, Nxb Giáo dục, 2000 12 Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên – Võ Anh Dũng – Nguyễn Văn Minh, Giải toán Đại số Giải tích 11, Nxb Giáo dục, 2003 13 Nguyễn Vũ Lương, Hệ phương trình phương trình chứa thức, Nxb Giáo dục, 2006 14 Đặng Hùng Thắng, Phương trình, bất phương trình hệ phương trình, Nxb Giáo dục, 1998 15 Đề thi Đại học từ năm 2000 Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 52 [...]... 1 + sin t Qua ví dụ trên, ta thấy có nhiều cách để giải phương trình và bất phương trình vô ti Mọi phương pháp đều chung một ý tưởng, đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho về phương trình mà ta đã biết cách giải Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cos3t = sin t , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Cụ thể : cos3t = 4cos3 t − 3cos t ta có phương trình vô tỉ: 4 x... của phương trình (2) Do đó sau khi giải phương trình (3) ta chỉ cần thử lại các nghiệm của phương trình (2) vào phương trình (1) Việc hiểu rõ bản chất cách giải của phương trình loại này là rất cần thiết ví dụ như ta giải phương trình sau (theo cách trên) 3 2 x − 1 + 3 2 x + 1 = x 3 16 1 2+3 3 Được các nghiệm là x = 0, x = ± , x = ± thì việc thử lại là quá vất vả 2 2 2 Ví dụ 8 Giải bất phương trình. .. các phương trình có tham số giải bằng cách đặt ẩn phụ, ta có thể chia bài giải làm ba bước Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm tập giá trị của ẩn phụ theo ẩn chính Bước 2: Chuyển phương trình đã cho theo phương trình của ẩn phụ (gọi là phương trình P) và chuyển yêu cầu của ẩn chính theo ẩn phụ (gọi là yêu cầu Q) Bước 3: Giải phương trình P với yêu cầu Q Dạng 2: Đặt ẩn phụ chuyển về hệ Ví dụ 1 Giải các phương trình. .. giác này Ví dụ 7: Giải phương trình: 1 + 1 − x 2 = 2 x 2 Với bài toán này, học sinh có thể giải bằng phương pháp bình phương hoặc đặt ẩn phụ Cách tiến hành hai phương pháp này tuy khác nhau nhưng cùng một mục đích là làm mất căn thức Tuy nhiên, chúng ta có thể gợi ý cho học sinh: ĐK xác định của phương trình −1 ≤ x ≤ 1 và phải biến đổi 1 − x 2 = a 2 , đẳng thức này gợi ý cho chúng ta nghĩ... được : x = 4 ± 6 Phương trình dạng : α u + β v = mu 2 + nv 2 Phương trình cho ở dạng này thường khó phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên Ví dụ 4 Giải phương trình : x 2 + 3 x 2 − 1 = x 4 − x 2 + 1 HD:Ta đặt : ⇔ 6 9 + 2 x = 0 khi đó phương trình trở thành : u + 3v = u 2 − v 2 hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v) ( u − v) Ví dụ 5 .Giải phương trình sau : x≥... ta lại có phương trình : 4 − 3 x 2 = x 2 x 2 − 1 x (1) (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vô tỉ khó hơn: 4 x 3 − 12 x 2 + 9 x − 1 = 2 x − x 2 (3) Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 27 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 3 Ví dụ 10 Giải phương trình sau... nên đưa ra các phương trình với nhiều cách giải khác nhau để học sinh có thể đối chiếu, so sánh và có được nhiều kinh nghiệm khi giải toán Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 9 Giải phương trình: 1 + 2 x − x 2 = x + 1 − x (1) 3 Hướng dẫn giải: ĐK: 0 ≤ x ≤ 1 Để giải phương trình này thì rõ ràng ta phải loại bỏ căn thức Có những cách nào để loại bỏ căn thức? Điều đầu tiên là ta nghĩ đến bình phương hai vế... 0(*) Phương trình (*) luôn có hai nghiệm: 2 − m + m 2 − 4m + 8 2 − m − m 2 − 4m + 8 x1 = > 0; x2 = < 0 2 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt ≥ −1 m≤4  ⇔ x2 ≥ −1 ⇔ 4 − m ≥ m 2 − 4m + 8 ⇔  ⇔ m ≤ 2 2 2 (4 − m ) ≥ m − 4 m + 8  Vậy m ≤ 2 là những giá trị cần tìm 2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Tùy vào từng phương trình, việc đặt ẩn phụ có thể đưa phương trình đã cho về một phương. .. x = 2 Ví dụ 4 Giải phương trình : Giải: pt ⇔ ( 3 )( x + 1 −1 3 3 x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2 x = 0 x + 2 −1 = 0 ⇔   x = −1 Ví dụ 5 Giải phương trình : ) x + 1 + 3 x2 = 3 x + 3 x2 + x 3 Giải: + x = 0 , không phải là nghiệm + x ≠ 0 , ta chia hai vế cho x: Ví dụ 6 Giải phương trình : 3  x +1  x +1 3 + x = 1+ 3 x +1 ⇔  3 − 1÷ x x   ( x+3+ 3 ) x −1 = 0 ⇔ x = 1 4x =4 x x+3 Giải: Nguyễn Trung... Vậy nghiệm của bpt đã cho là: T = (−∞; − ] ∪ {2} ∪ [3; +∞) 2 Nhận xét.Ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng ta thường gặp trong giải phương trình và bất phương trình vô ti Ví dụ 9 Tìm m để phương trình: 2 x 2 + mx − 3 = x + 1 có hai nghiệm phân biệt Nguyễn Trung Hiếu – THPT A Hải Hậu 12 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 x ≥1  Hướng dẫn giải: pt ⇔  2  x ... giải dạng phương trình bất phương trình thường gặp, bổ sung thêm dạng tập nâng cao, đặc biệt rèn luyện cho học sinh kĩ giải phương trình bất phương trình vô tỉ Từ học sinh tiếp cận tài liệu tự. .. giúp cho em có kĩ tốt, cung cấp thêm phương pháp giải phương trình bất phương trình vô ti cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế Một điều quan trọng trình giải phương trình bất phương trình vô. .. không thông qua hoạt động thân Năng lực tự học phẩm chất cần thiết cho phát triển thành đạt lâu dài người A- Dạy học môn Toán theo định hướng phát triển lực phẩm chất người học Xác định lực chung,