skkn phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức và một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức

Sáng kiến kinh nghiệm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM ********* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC ” Môn: Toán Tên tác giả: Bùi Thị Hải Giáo viên môn: Toán Năm học 2011 - 2012 PHẦN MỞ ĐẦU 1 Sáng kiến kinh nghiệm I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung “số phức” vào chương trình phổ thông. Đây là một nội dung mới đối với học sinh bậc phổ thông, mặc dù nội dung còn ở mức độ đơn giản song nó là mới lạ đối với học sinh lớp 12, đặc biệt nó chỉ được phân bố trong khoảng thời lượng không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nội dung này đã được đưa và hầu hết các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học trong những năm gần đây và nó chiếm một tỉ lệ nhất định. Vì vậy việc dạy và học “Số phức” có hiệu quả thật sự là một vấn đề cần nghiên cứu. Trải qua hai năm tham gia dạy chương trình toán lớp 12, tôi đã có những trải nghiệm nhất định về việc dạy và việc học của học sinh tôi thấy: + Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vận dụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các em tỏ ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt các em còn nhầm tưởng tính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức. + Nghiên cứu dạng toán này còn giúp học sinh kết hợp phương pháp đại số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số dạng toán nâng cao trong hình học, trong lượng giác. Từ lí do trên mà tôi xin trao đổi cùng đồng nghiệp và các em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC “ nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương số phức của lớp 12. II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU * Đề tài có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở trường THPT tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Cao đẳng – Đại học. * Phạm vi nghiên cứu của đề tài: + Một số dạng bài tập thường gặp về số phức. + Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức. + Ứng dụng số phức để giải quyết một số bài toán về số thực. + Các bài toán tham khảo qua các kì thi. III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU + Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh về kinh nghiệm và phương pháp giải một số bài tập về số phức. Qua SKKN này học sinh nắm được những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. Đặc biệt học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán về số phức và tránh được một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình giải toán về số phức. + Tự bản thân trau rồi và rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. + Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM. IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở: 2 Sáng kiến kinh nghiệm + Các kiến thức cơ bản về số phức. + Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. + Những sai lầm thực tế khi làm bài của học sinh về số phức. PHẦN NỘI DUNG 3 Sáng kiến kinh nghiệm A) TÓM TẮT NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. 1) SỐ PHỨC * Định nghĩa 1: Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b ∈ R và i 2 = -1. Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z = a + bi. Tập hợp các số phức kí hiệu là C. * Định nghĩa 2: Hai số phức bằng nhau      = = ⇔+=+ ' ' '' bb aa ibabia Từ đó, a + bi = 0 ⇔ a = b = 0. Chú ý: 1) Đây là cơ sở của việc ứng dụng số phức để giải quyết các bài toán trong tập hợp số thực. 2) Trong C không có quan hệ thứ tự, nghĩa là không có khái niệm z > z ’ ,z < z’, z ≥ z ’ , z ≤ z ’ . * Biểu diễn hình học của số phức: + Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt phẳng Oxy và ngược lại. Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b). Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ );( bau . + Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực. Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo. * Phép cộng, phép trừ hai số phức: Cho hai số phức z = a + bi và số phức z ’ = a ' + b ’ i. Tổng của hai số phức trên là số phức z+z ’ = (a+a ’ ) + (b+b’)i . Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z ’ = (a-a ’ ) + (b-b’)i . Khi đó, nếu );( bau biểu diễn số phức z, );(' '' bau biểu diễn số phức z’ thì vectơ '' , uuuu −+ lần lượt biểu diễn số phức z+z ’ , z- z ’ * Phép nhân số phức: Cho hai số phức z = a + bi và số phức z ’ = a ' + b’i. Tích của hai số phức trên là số phức zz ’ = (aa ’ –bb ’ )+ (ab ’ +a’b)i . Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách hình thức tương tự như các phép toán cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R. * Phép chia số phức: + Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức biaz −= . + Môđun của số phức z = a +bi là 22 baz += . + Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức z z z 2 1 1 = − . 4 Sáng kiến kinh nghiệm + Thương z z ' của hai số phức z ’ = a ’ + b ’ i và số phức z = a + bi khác 0 là tích của z ’ với số phức nghịch đảo của z, tức là 2 z zz zz z z ' 1 . ' ' == − Vậy: ).b,(a ba bi)i)(ab(a bia iba '' '' 22 22 + + −+ = + + Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M ’ biểu diễn số phức z ’ thì độ dài đoạn thẳng MM bằng môđun ' zz + . 2) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI * Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z 2 = w. *Nhận xét: +) Mỗi số phức z ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0) +) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. +) Đặc biệt: số thực a dương có hai căn bậc hai là a và a− ; số thực a âm có hai căn bậc hai là ia và ia− ; * Chú ý 1:Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức. * Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức :biaw += + Giả sử yixz += là căn bậc hai của w. Vậy ta có: ( ) biaxyiyxwz +=+−⇔= 2 222 + Giải hệ phương trình: )1( 2 22      = =− bxy ayx . Việc tìm căn bậc hai của số phức w được quy về việc giải hệ phương trình (1) bằng phương pháp thế trong tập hợp số thực. *Phương trình bậc hai: 0;0 2 ≠=++ ACBzAz (2) được giải như sau: +) Tính ACB 4 2 −=∆ +) Nếu 0≠∆ thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: A z A z 2 , 2 21 δδ −−+− = BB , trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ . +) Nếu ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép: A zz 2 21 B− == . 3) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG * Định nghĩa: Dạng lượng giác của số phức z là : ( ) ϕϕ sincos irz += , với r > 0. * Phương pháp tìm dạng lượng giác: của số phức z = a + bi (a, b ∈ R) khác 0 cho trước: +) Tìm môđun của số phức z là 22 bar += . +) Tìm acgumen của số phức z là ϕ , R∈ ϕ sao cho        = = r b r a ϕ ϕ sin cos * Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác: 5 Sáng kiến kinh nghiệm +) Nếu ( ) ϕϕ sincos irz += ,       += , sin , cos ,, ϕϕ irz , ( 0 , ,0 >> rr ) thì                   +++= , sin , cos ,, ϕϕϕϕ irrzz                   −+−= , sin , cos ,, ϕϕϕϕ i r r z z . +) Lưu ý: Nhân hai số phức: tích các môđun và tổng các acgumen. Chia hai số phức: thương các môđun và hiệu các acgumen. * Công thức Moa – vrơ: +) ( ) [ ] ( ) * ;sincossincos Nnninrir n n ∈++ = ϕϕϕϕ +) Đặc biệt khi r = 1: ( ) ϕϕϕϕ nini n sincossincos ++ = * Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức ( ) ϕϕ sincos irz += , r > 0, có hai căn bậc hai là:       + 2 sin 2 cos ϕϕ ir và             +++=+− ) 2 sin() 2 cos( 2 sin 2 cos π ϕ π ϕϕϕ irir 6 Sáng kiến kinh nghiệm B) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Dựa vào những nội dung trọng tâm và những kiến thức cần lưu ý, trên cơ sở đó ta có thể phân loại một số dạng bài tập vận dụng sau đây: Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính * Yêu cầu: - Nắm chắc các khái niệm và các phép toán. - Rèn luyện kĩ năng tính toán thành thạo, chính xác. - Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. * Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết : (1+ i) 2 .(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z ( Đề thi TS Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Giải: Ta có (1+ i) 2 .(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z ( ) [ ] iziii +=+−−+⇔ 8)21()2(1 2 ( ) [ ] iziii +=−−−⇔ 82122 ( )( ) i ii i i z 32 5 218 21 8 −= −+ = + + =⇔ Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3. Ví dụ 2: Tìm phần ảo của số phức z biết : ( ) ( ) iiz 212 2 −+= (Đề thi Đại học Khối A- năm 2010) Giải ( ) ( ) iiz 212 2 −+= ( )( ) iiz 21221 −+=⇔ iz 25+=⇔ iz 25−=⇔ . Vậy z có phần ảo bằng - 2 . Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: ( ) i i z − − = 1 31 3 . Tìm môđun của số phức izz + (Đề thi Đại học Khối B- năm 2010) Giả i Ta có ( ) 831 3 −=− i , nên i i z 44 1 8 −−= − − = iz 44 +−=⇒ iiiiizz 88)44(44 −−=+−+−−=+⇒ Vậy 28=+izz . Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn: 2=z và z 2 là số thuần ảo (Đề thi Đại học Khối D- năm 2010) 7 Sáng kiến kinh nghiệm Giả i Gọi biaz += , khi đó iabbazvàbaz 2 22222 +−=+= Theo yêu cầu của bài toán ta có      =− =+ 0 2 22 22 ba ba      ⇔ = = 1 1 2 2 b a    ∨    ∨    ∨    ⇔ = −= −= = −= −= = = 1 1 1 1 1 1 1 1 b a b a b a b a Vậy các số phức cần tìm là: 1+i; -1- i; 1- i; -1+i. Chú ý : Trong một số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện các phép tính trên tập hợp các số phức mà áp dụng tương tự trên tập hợp số thực. Ví dụ 5: Tính tổng : ( ) ( ) ( ) ( ) 201132 1 1111 iiiiS −++−+−+−+= Giải Áp dụng công thức tính tổng của 2012 số hạng của một cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 =u , công bội ( ) iq −= 1 ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i ii i i i i i S 3 321 3 21 3 2111 11 11 10061006 100620122012 + −= + = − = −− = −− −− = Ví dụ 6: Tìm số phức x, y thỏa mãn hệ phương trình sau:    −=−+ =++− iyix yixi 53)21(3 2)103()21( 2 (1) Giải * Sai lầm của học sinh: Hệ (1)    ⇔ −=−− =+−++ iyiyx iyxy 534)33( 2)102()31(        ⇔ −=− =− =+− =+ 54 333 0102 231 y yx yx y ⇔ Hệ vô nghiệm *Phân tích sai lầm: Học sinh hiểu sai x, y R∈ nên đã coi hệ số của i ở vế phải của mỗi phương trình trong hệ trên là phần ảo, phần còn lại là phần thực. * Lời giải đúng: Cách 1: Hệ (1)    ⇔ −−=−+− =++− )21)(53()21()21(3 6)103(3)21(3 3 iiyixi yixi    ⇔ −−=+−+− =++− iyixi yixi 117)211()21(3 6)103(3)21(3 8 Sáng kiến kinh nghiệm    ⇔ −−=+ =++− iyi yixi 117)2820( 6)309()63(      ⇔ −− = + −− = =++− 296 356 2820 117 6)103(3)21(3 i i i y yixi        ⇔ −− = + = 296 356 3552 17772843 i y i x Cách 2: Gọi số phức x = a + bi, y = a ’ + b ’ i, a, b, a ’ , b ’ ∈ R. Thay vào hệ (1) ta được    −=+−++ =++++− iibaibia ibaibiai 53)''()21()(3 2)'')(103())(21( 2    ⇔ −=−−++− =++−+−++ iiabbbaa ibabbaba 53 )'4'33()'4'33( 2)'10'32()'10'32(        ⇔ −=−− =+− =++− =−++ 5 '4'33 3 '4'33 0 '10'32 2'10'32 abb baa bab baba Giải hệ trên trong tập số thực ta được              − = −= = = 296 3 ' 296 56 ' 3552 1777 3552 2843 b a b a Vậy nghiệm của hệ là        −− = + = 296 356 3552 17772843 i y i x Bài tập tương tự Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn: 2 )31()4()32( izizi +−=++− . Tìm phần thực, phần ảo của số phức z . (Đề thi CĐ khối A, B, D – năm 2010) Bài 2: Tìm số phức z biết : a) 5)31()2( =−−− izi 9 Sáng kiến kinh nghiệm b) ( ) 4 1 23 34 51 i i z i i − + = − + c) ziizz )32(23 −=−+ Bài 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập hợp số phức: a)        = − + = + − 3 4 2 3 2 3 1 z z iz iz b)      −=−+ =++− iyix yixi 53 2 )21(3 2)103()21( ( ), Cyx ∈ c)    +−=+ +=+ )1(9 )1(3 33 iwz iwz Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức * Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng: +) Biểu diễn hình học các số phức trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức) +) Tìm điểm hoặc tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một hoặc một vài điều kiện cho trước. *) Kiến thức: - Nắm chắc định nghĩa về cách biểu diễn một số phức bởi một điểm, một vectơ, biểu diễn môđun của số phức bởi độ dài vectơ, … - Vận dụng thành thạo quỹ tích là các đường quen thuộc như đường thẳng, đường tròn, đường Elip, đường Hypebol, … *Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức i i ii i i − + +− − 3 62 );21).(1(; 1 4 a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân. b) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình vuông. Giả i a) Ta có i i i 22 1 4 −= − ⇒ điểm A(2; -2) ( )( ) ⇒+=+− iii 3211 điểm B(3; 1) ⇒= − + i i i 2 3 62 điểm C(0;2) Từ đó: BC = 10 ; BA = 10 và 0. =BABC    ⊥ = ⇒ BABC BABC . Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. b) Do tam giác ABC vuông cân tại B, ABCD là hình vuông BACD =⇔ 10 [...]... 4x Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2 * Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng: - Tìm căn bậc hai của số phức z - Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức * Kiến thức: - Nắm chắc định nghĩa căn bậc hai của một số thực âm, căn bậc hai của một số phức và cách tìm căn bậc hai của số phức - Nắm được công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong tập hợp số phức * Một. .. quả của sáng kiến: Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm, phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức và một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập về số phức như trên, tôi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết 24 Sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết thành công dạng toán này Qua thực tế các bài kiểm tra và bài. .. môn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về bất kì mảng kiến thức nào, giáo viên cần có sự gia công đầu tư hệ thống các kiến thức trọng tâm và phương pháp giải một số dạng bài tập, đặc biệt là nêu được những sai lầm dễ mắc phải trong khi giải các dạng bài tập đó Ngoài ra, giáo viên cũng cần hướng dẫn học sinh cách hệ thống kiến thức và các dạng bài tập cùng phương pháp giải sau... z4 = 4  Vậy phương trình có bốn nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 4  z +i    = 1 (1)    z −i  Giải Điều kiện: z ≠ i z +i =1 4   z +i   z −i  =1 ⇔ * Sai lầm của học sinh: :    z +i  z −i  = −1   z −i * Phân tích sai lầm: Học sinh đã áp dụng phương pháp giải phương trình x4 = 1 trong tập hợp số thực Nhưng trong tập hợp số phức, ngoài số 1 và -1 ra còn có số i và –i thỏa mãn... c) * Sai lầm của học sinh: ϕ ϕ ϕ z = sin ϕ + 2i sin 2 ϕ = 2 sin  cos + i sin  (1) là dạng lượng giác của 2 2 2 2 số phức z *Phân tích sai lầm: Do học sinh không hiểu đúng định nghĩa dạng lượng lượng giác của số phức là z = r (cosϕ + i sin ϕ ) , với môđun r > 0 * Lời giải đúng: ϕ ϕ ϕ z = 2 sin  cos + i sin  (1) 2 2 2 ϕ =0 - Khi sin 2 thì dạng lượng giác của số phức z không xác định ϕ - Khi. .. 4: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức z biết: a) z = sin ϕ − i cosϕ 1 3π z b) z = và một acgumen của là − 3 4 1+ i Giải a) * Sai lầm của học sinh: π π   z = cosϕ −  + i sin ϕ −  có hai căn bậc hai và có dạng lượng giác là 2 2   ϕ π  ϕ π  ± cos −  + i sin  −  2 4 2 4 *Phân tích sai lầm: Học sinh chưa nắm chắc định nghĩa dạng lượng giác của số phức *Lời giải đúng:... cơ bản về số phức 25 Trang 1 Trang 3 Trang 3 Sáng kiến kinh nghiệm B Một số dạng bài tập về số phức Trang 6 Phần kết luận Trang 24 1) 2) 3) 4) TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa lớp 12 theo chương trình nâng cao Phân dạng và phương pháp giải toán số phức ( Tác giả: Lê Hoành Phò) Phương pháp cơ bản trọng tâm ( Tác giả: Phan Huy Khải) Một số sai lầm thường... giác - Bài toán ứng dụng công thức Moa – vrơ * Kiến thức: - Nắm chắc dạng lượng giác của một số phức và cách xác định môđun và acgumen của số phức, đặc biệt là phải biết vận dụng công thức giá trị lượng giác giữa các góc (cung) có liên quan đặc biệt - Nắm chắc các phép toán nhân, chia, hai số phức dạng lượng giác và căn bậc hai của số phức dạng lượng giác * Một số ví dụ: Ví dụ 1: Viết các số phức sau... nghiệm của phương trình đã cho   z = −1  Bài tập tương tự Bài 1: Giải các phương trình sau a) z5 + 1= 0 b) z2 + z + 1 =0 c) z2 -2(2+i)z + 7 + 4i = 0 d) z3 – 27 = 0 e) z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0 Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức * Bài toán thường cho dưới dạng: - Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc ngược lại - Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng... phương trình bậc hai trong tập hợp số phức Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: (2 − 3i) z 2 + (4i − 3) z + 1 − i = 0 Giải Ta có (2 − 3i) + (4i − 3) + 1 − i = 0 1− i 5 1 = + i Vậy phương trình có hai nghiệm z1 = 1 và z 2 = 2 − 3i 13 13 Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai * Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp: - Phương trình có ẩn ở mẫu - Phương trình bậc cao * Phương pháp . GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC “ nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương số phức của lớp 12. II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM ********* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC ” . khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Cao đẳng – Đại học. * Phạm vi nghiên cứu của đề tài: + Một số dạng bài tập thường gặp về số phức. + Một số sai lầm của học sinh khi giải bài