ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚCTRƯỜNG THPT PHÚC YÊN ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giáo viên thực hiện: Đặng Thị Bích Thảo Phúc Yên, t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT PHÚC YÊN

ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giáo viên thực hiện: Đặng Thị Bích Thảo

Phúc Yên, tháng 3 năm 2014

ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I Cơ sở lí thuyết:

Trong chương trình toán THPT, chuyên đề phương trình, bất phương trình và

hệ phương trình có vị trí vô cùng quan trọng Trong các đề thi TSĐH, CĐ hàng năm của Bộ Giáo Dục, mảng kiến thức này mang lại cho các thí sinh từ 2 đến 3 điểm

Khi luyện thi ĐH cho học sinh, tôi cũng như rất nhiều đồng nghiệp thường phân chia thành các chuyên đề riêng biệt: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số (Lớp 10), phương trình lượng giác (Lớp 11), phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit (Lớp 12) Tuy nhiên, nếu ta khéo kết hợp giữa biến đổi lượng giác vào giải phương trình, hệ phương trình nhiều khi cho kết quả đẹp bất ngờ đến thú vị

Ta biết rằng từ phương trình lượng giác đơn giản cos3t = sint , ta có thể tạo

ra được phương trinh vô tỉ 4x3 − 3x= 1 −x2 (1) ( do 3

cos3t = 4cos t− 3cost)

Nếu thay x trong phương trình (1) bằng 1

DẠNG 1: Nếu bài toán chứa: [f(x)]2 +[g(x)]2= a2, thì có thể đặt:

, sin

|

t

a x

DẠNG 4: Nếu bài toán chứa: a2 +x2 thì có thể đặt:

tan

|

t t a

thể đặt: x = acos2t

DẠNG 6: Nếu bài toán chứa: thì có thể đặt: x = a + (b - a)sin2t

DẠNG 7: Nếu các biến x, y, z của bài toán thỏa mãn x + y + z = xyz hoặc xy +

II Một số bài toán minh họa

1 Bài toán giải phương trình

π π

x x

Theo Ví dụ 1 ta có phương trình ( )* có 3 nghiệm:

1 cos ; 2 cos5 ; 3 cos7

t = π t = π t = π .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

1 log 2 1 cos ; 2 log 2 1 cos5 ; 3 log 2 1 cos7

Ví dụ 7 :

Giải phương trình: 2 1 2 2

2

1 2 1

x x

t t

2 cos sin

2 1 2

⇔

2

1 2 sin

1 2 sin 0

1 2 sin 2

sin

2 2

t

t t

π π

k t

k t

12 5

12 2

π π

⇔ t nên suy ra:

2

2 ) 4 cos(

Xét hàm số f(u) = u3+2u2 , với 0 u 1 ≤ ≤ .

f’(u) = 3u2+4u, f’(u) = 0

0 4 3

u u

t t

Đặt sint + cost = u (1 ≤ ≤u 2), ta có sin cos u2 1

2

t t = − .Khi đó phương trình đã cho có dạng :

u u

2

2

1 1

1

x x

x

+ +

2sin cos 2t t+ cos 2t− = ⇔ 1 0 sin 1 sint − t− 2sin t = 0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 1

3

x=

d Một số dạng khác

Ví dụ 12:

) ( 1 sin

b t x

x

a t

x

, thay (a) vào (b) ta được:

1 sin

sin cos

−

=

t

t t

) ( 0 cos sin cos

) ( 2 1 0

1 2 2

thoa u

loai u

u u

Vậy: sint +cost =1 − 2

2 1 ) 2 1 ( 2

1 1

x x

t (vì hàm số y = sin2t tuần hoàn

với chu kì là π và là hàm số chẵn nên ta chỉ cần xét trên đoạn

0 π

)

Phương trình trở thành: 9sin 2t+ 9(1 sin ) − 2t + 9sin 9(1 sin ) 3 2t − 2t =

3(sint cos ) 9sin cost t t 3

4 sin(

2 cos

=

=

⇔

π π

π

2 2

2

k t

k t

4 2 ( ) 2 4 )(

4

2

(

2 3

2 3

x x

Bài 3: Cho phương trình: m

1/Giải phương trình khi m=

π π

Đặt x = cost, với t∈[0, π] Bất phương trình trở thành: sint + cost ≥m

m

4sin(

Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ) 2

4 sin(

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành :

1 cos + t − 1 cos − t ≤ cos t 1 cos 2sin2 cos

2a costan

Bài 2: Tìm m để bất phương trình: ( 3 +x)( 7 −x) ≤ x2 − 4x+m có nghiệm đúng với

y x

x y x

1 4

x y x

=

−

−

) 2 ( 25

) 1 ( 1

1 log ) ( log

2 2

4 4

1

y x

y x

= +

− 25

1

1 log ) ( log

2 2

4

1 4

1

y x

y x

=

−

25

) 3 ( 4

1 1 ) ( 2

2 y x

y x y

cos

5

t y

t x

(sint > 0 và sint > cost), thay vào phương trình (3) ta được:

( − ) = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = ⇒

25

16 sin

4

3 cot 4

1 cot 1 4

1 sin

1 cos

t t t

= + +

) 2 ( 10

) 1 ( 7

2

2 y x

xy y x

(Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007)

cos 10

t y

t x

thay vào phương trình (1) ta được:

7cos.sin10)sin(cos

10 t+ t + t t = (3)

đặt u = cost + sint, ĐK: u ≤ 2, phương trình (3) thành: 5u2 + 10u−12=0

3

) ( 5

10

2

loai u

thoa u

với = ⇒

5

10 2

10

3 cos sin

5

10 2 cos sin

t t

10

3 sin

10

3 cos

10

1 sin

t t t t

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:

1

y x

Gọi (x y z; ; ) là nghiệm của hệ

phương trình Tìm tất cả các giá trị của tổng T x y z= + +

Lời giải:

Cộng các vế của hệ ta được x y z + + = 4 ( x y z + + − ) ( x2 + y z2 + 2)

2 2 2

⇒ = ⇒ ≥ ⇒trong 3 số x hoặc y hoặc z có ít nhất một số

không âm giả sử x≥ ⇔ 0 y(4 − ≥ ⇔ ≤ ≤y) 0 0 y 4 Với

πα

πα

Với k= ⇒ = 0 x 4sin 0 0; 2 = z= 4sin 2.0 2( ) = 0; y= 4sin 4.0 2( ) = ⇒ = 0 T 0

Với k= 1; 2; 3 ⇒ta được cùng một giá trị

−

=

− +

2 1

log 1

3 1

log

2 1

log 1

3 1

log

2 3

2 2

2 3

2 2

x y

y x

= +

2 4 1 3

3 2 2

xy y x

y x

2

2 1

2

2

2

x y

y x

y x y x

y x

1 3

1 3 3

2 2

= +

1 3 6

1 2

2 2

xy y x x y x

LỜI KẾT

Nói đến bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình là nói đến bài toán rộng lớn và ứng dụng của lượng giác trong đại số cũng rất nhiều Tuy nhiên trong khuôn khổ của bài viết này tôi chỉ nêu ứng dụng lượng giác vào giải một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình thường gặp

Trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp này giảng dạy cho học sinh khối 12 ôn luyện thi đại học và nhận thấy đa số các em tiếp thu kiến thức rất nhẹ nhàng

Trên đây là một số suy nghĩ của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh giải tốt các bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình