ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT PHÚC YÊN ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giáo viên thực hiện: Đặng Thị Bích Thảo Phúc Yên, tháng năm 2014 ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Cơ sở lí thuyết: Trong chương trình toán THPT, chuyên đề phương trình, bất phương trình hệ phương trình có vị trí vô quan trọng Trong đề thi TSĐH, CĐ hàng năm Bộ Giáo Dục, mảng kiến thức mang lại cho thí sinh từ đến điểm Khi luyện thi ĐH cho học sinh, nhiều đồng nghiệp thường phân chia thành chuyên đề riêng biệt: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số (Lớp 10), phương trình lượng giác (Lớp 11), phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ lôgarit (Lớp 12) Tuy nhiên, ta khéo kết hợp biến đổi lượng giác vào giải phương trình, hệ phương trình nhiều cho kết đẹp bất ngờ đến thú vị Ta biết từ phương trình lượng giác đơn giản cos3t = sint , ta tạo phương trinh vô tỉ x − 3x = − x (1) ( cos3t = 4cos3 t − 3cos t ) Nếu thay x phương trình (1) ta lại có pt: − 3x = x x − (2) x Nếu thay x phương trình (1) (x - 1) ta có phương trình vô tỉ khó x − 12 x + x − = x − x (3) Việc giải phương trình vô tỉ không đơn giản chút Chính trình giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta lại chuyển sang giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác Việc làm đòi hỏi phải nắm vững công thức lượng giác, kĩ thuật biến đổi lượng giác, tính tuần hoàn hàm số lượng giác số dạng toán sau: DẠNG 1: Nếu toán chứa: [f(x)]2 +[g(x)]2= a2, đặt:  g ( x ) = a cos t , ≤ t ≤ 2π  f ( x ) = a sin t , ≤ t ≤ 2π  DẠNG 2: 2  f ( x) = a cos t Nếu toán chứa: a − x đặt:   g ( x ) = a sin t  π π x =| a | sin t , t ∈ − ,  x = | a | cos t , t ∈[ 0, π ]  2 DẠNG 3: Nếu toán chứa: x − a đặt: x= |a| |a|  π π π  , t ∈ − ,  \ { 0} x = , t ∈ [ 0, π ] \   sin t cos t  2 2 DẠNG 4: Nếu toán chứa: a + x đặt:  π π x =| a | tan t , t ∈  − ,  x = | a | cot t , t ∈( 0, π )  2 DẠNG 5: Nếu toán ( x − a )(b − x) chứa: a+x a−x a−x có a+x thể đặt: x = acos2t DẠNG 6: Nếu toán chứa: đặt: x = a + (b - a)sin2t DẠNG 7: Nếu biến x, y, z toán thỏa mãn x + y + z = xyz xy + yz +zx = ta đặt  x = tan t π   π  y = tan u  − < t , u, v < ÷ 2  z = tan v   II Một số toán minh họa Bài toán giải phương trình  π π a) Nếu x ≤ a ta đặt x = a sin t , t ∈  − ;  x = acost , t ∈ [ 0; π ]  2 Ví dụ 1: Giải phương trình: x3 − 3x − = Lời giải: Đặt f ( x ) = x3 − 3x − Ta có f ( −1) = −1,5, f ( −0,5) = 0,5, f ( ) = −0,5, f ( 1) = 0,5 Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( −1;1) ta biết cos3α = 4cos3α − 3cosα , đặt x = cos t ( ≤ t ≤ π ) phương trình có dạng π cos3t = ⇔ t = ± + k 2π π 5π 7π π 5π 7π Vì ≤ t ≤ π ⇒ t1 = ; t2 = ; t3 = ⇒ x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos π 5π 7π Vậy phương trình có nghiệm x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos Ví dụ 2: Giải phương trình: Lời giải: Điều kiện : 1- x2 ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤  −π π  ; Khi phương trình cho có dạng :  2  Đặt x = sint với t ∈  + − sin t = sin t (1 + − sin t ) ⇔ + cos t = sin t (1 + cos t ) ⇔ 2cos t t 3t t = sin t + sin 2t ⇔ 2cos = 2sin cos 2 2 t   π cos =   t = x= t 3t  ⇔ ⇔ ⇔ 2cos (1 − sin ) = ⇔   π 2  3t  t= x = sin =  2 Vậy phương trình có nghiệm x = x=1 Ví dụ 3: 3   Giải phương trình: + − x  ( + x ) − ( − x ) ÷ = + − x   Lời giải: ĐK : −1 ≤ x ≤ Ta có VP > Nếu x ∈ [ −1;0] , VT ) phương trình có dạng: 4t − − = 2t x ⇔ 4t − 3t − = ( *) Theo Ví dụ ta có phương trình ( *) có nghiệm: π 5π 7π t1 = cos ; t2 = cos ; t3 = cos 9 Vậy phương trình cho có nghiệm π 5π   x1 = log +1  cos ÷; x2 = log +1  cos ÷ ; x3 = log  9    +1   cos 7π  ÷ Ví dụ 5: Giải phương trình: Lời giải: ĐK: −1 ≤ x ≤ Đặt x = cost, t ∈ ( 0; π ) Phương trình cho trở thành : t t t t   sin + cos ÷ = tan + cot 2 2  ⇔ ( + sin t ) = sin t Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình: x + = x Lời giải: Lập phương vế ta được: x − x = ⇔ x3 − 3x = Xét: x ≤ , đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] Khi ta 5π 7π   π S = cos ;cos ;cos  mà phương trình bậc có tối đa nghiệm 9   tập nghiệm phương trình (Hoặc theo VD1 ta tìm nghiệm) Ví dụ 7: Giải phương trình: + x − x = − x 2 Lời giải: ĐK: x ≤ Đặt x = sint ⇒ sin t ≤ π ⇒t ≤ ⇒ 2 ≤ cos t ≤ , phưong trình trở thành: + sin 2t π + sin t cos t = cos 2t (vì t ≤ ⇒ cos 2t ≥ ) = − sin t = cos 2t ⇔ sin 2t = −1 ⇔ sin 2t + sin 2t − = ⇔  sin 2t =  2 π • Với sin2t = -1 ⇔ t = − + kπ , t ≤ π π nên ta chọn nghiệm t= − 4 ⇒ nghiệm phương trình là: x = − 2 π  t= + kπ  π π 12 • Với sin2t = ⇔  5π , t ≤ nên ta chọn nghiệm t= 12 t = + kπ  12 ⇒ nghiệm phương trình là: x = sin π = − 12 Vậy phương trình có nghiệm là: x = − 6− x = Ví dụ 8: Xác định m để phương trình: − x = x − m (5) có nghiệm Lời giải: ĐK: − ≤ x ≤ Đặt x = cost, với t ∈[ 0, π ] Phương trình trở thành: sint = cost – m ⇔ cos t − sin t = m ⇔ cos(t + Vì t ∈[ 0, π ] ⇔ π m )= π π 5π π ≤t+ ≤ nên suy ra: − ≤ cos(t + ) ≤ 4 4 Vậy phương trình có nghiệm khi: − ≤ m ≤ ⇔ − ≤ m ≤1 Ví dụ 9: Xác định m để phương trình: − x + 23 − x = m (5) có nghiệm Lời giải: ĐK: − ≤ x ≤ Đặt x = cost, với t ∈ [ 0, π ] Phương trình trở thành: − cos t + 23 − cos t = m ⇔ sin t + 2.3 sin t = m Đặt u= sin t , ≤ u ≤ , Phương trình trở thành: u3+2u2 = m (c) Xét hàm số f(u) = u3+2u2 , với ≤ u ≤ u = f’(u) = 3u +4u, f’(u) = ⇒  u=−  BBT: u −∞ f'(u) F(u) − + 0 - +∞ + Vậy phương trình có nghiệm (c) có nghiệm thuộc [ 0;1] ⇔ ≤ m ≤ b Nếu +) x = ta đặt : a  π π , t ∈  − ; ÷\ { 0} sin t  2 +) x = a π  , t ∈ ( 0; π ) \   cost 2 Ví dụ 10: Giải phương trình: x + x x2 −1 =2 Lời giải: x − > ⇔ x > ĐK:  x > Đặt x =  π , t ∈  0, ÷  2 cos t Khi phương trình có dạng : 1 cos t + =2 ⇔ + =2 cos t cos t sin t −1 cos t ⇔ sin t + cos t = 2 sin t.cos t u −1 Đặt sint + cost = u ≤ u ≤ , ta có sin t.cos t = ( ) Khi phương trình cho có dạng : u = 2(u − 1) u =  ⇔ 2u − u − = ⇔  −1 u= ( loai )  2 π π π π u = ⇔ sin t + cos t = ⇔ sin(t + ) = ⇔ sin(t + ) = ⇔ t + = + 2kπ 4 ⇔t= π π + 2kπ So sánh điều kiện ta có : t = ⇔ x = 4 Vậy nghiệm phương trình x =  π π c Đặt x = tan t , t ∈  − ; ÷ để đưa phương trình lượng giác đơn giản 2   : Ví dụ 11: x + ( x + 1) x +1 + = 2x 2x ( − x2 ) Giải phương trình: Lời giải:  π π ĐK: x ≠ 0, x ≠ ±1 Đặt : x = tan t , t ∈  − ; ÷ 2   Khi phương trình trở thành 2sin t cos 2t + cos 2t − = ⇔ sin t ( − sin t − 2sin t ) = Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x = d Một số dạng khác Ví dụ 12: 10  x  Giải phương trình: x +  ÷ =1  x −1  (Bài 4.72,d trang114_ sách Bài tập Đại Số 10 Nâng cao, xuất năm 2006) Lời giải: ĐK: x ≠  x = sin t ≠ (a ) sin t  Đặt:  x , thay (a) vào (b) ta được: cos t = sin t −  x − = cos t (b) ⇔ sin t + cos t − sin t cos t = (c) Đặt u = sint + cost, đk: | u |≤ , phương trình (c) thành: u − u = + (loai ) u −1 = ⇔ u − 2u − = ⇔   u = − (thoa ) Vậy: sint +cost = − ⇒x+ x = − ⇔ x − (1 − ) x + − = ⇔ x = 1 − ± 2 − 1  x −1  Do phương trình có nghiệm là: x = 1 − ± 2 − 1 Ví dụ 13: Giải phương trình: + x + − x + (1 + x)(8 − x) = Lời giải: π   ĐK: − ≤ x ≤ Đặt x = -1 + 9sin2t, với t ∈ 0,  (vì hàm số y = sin2t tuần hoàn  2  π với chu kì π hàm số chẵn nên ta cần xét đoạn 0,  )  2 11 Phương trình trở thành: 9sin t + 9(1 − sin t ) + 9sin t.9(1 − sin t ) = ⇔ 3(sin t + cos t ) + 9sin t.cos t = (a) π Đặt u = sin t + cos t = sin(t + ) ,1 ≤ u ≤ , phương trình (a) thành: u = (thoa ) 9u +6u-15=0 ⇔  u = − (loai )  t = k 2π π ⇔ Với u=1 ⇒ sin(t + ) = t = π + k 2π  π π   Vì t ∈ 0,  nên chọn được: t = t =  2 *) t = ⇒ x = −1 *) t = π ⇒ x = Vậy phương trình có nghiệm: x = -1 x = e Bài tập tự giải Bài 1: Giải phương trình sau: 1/ x + (1 − x ) = x 2(1 − x ) 2/ − x − x − x − x + = 3/ 64 x − 112 x + 56 x − = − x x2 4/ (2 − − x )(4 + x ) − (2 − − x )(4 − x) = + − 3 5/ − x − x + + x − x = 2( x − 1) (2 x − x + 1) 6/ ( x + 1)( − x ) = + x − x 8/ x + x x −1 = 35 12  9/ x 1 +   ÷= x2 −1  Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm: 1/ − x + + x − ( − x )( + x ) = m 2/ x + − x = − x + x + m (ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997) 5/ − x = m − 6/ x − 16 = m − x 7/ x − + m x + = x − (Trích đề thi tuyển sinh Đại Học khối A _2007 Bộ GD&ĐT) 12 1 +m Bài 3: Cho phương trình: x + 1− x 1/Giải phương trình m= + 2/Định m để phương trình có nghiệm II Bài toán giải bất phương trình Các ví dụ Ví dụ 14: Giải bất phương trình: x x + ≥ x − (8) Lời giải: π π  2   Đặt x = 3tant, t ∈  − ,  phương trình trở thành: tan t 9(1 + tan t ) ≥ tan t − sin t sin t ⇔ ≥ − ⇔ sin t ≥ sin t − cos t 2 cos t cos t −1 ⇔ 2sin t − sin t − ≤ ⇔ − ≤ sin t ≤ ⇔ tan t ≥ ⇔ tan t ≥ − Vậy nghiệm bất phương trình là: x ≥ − Ví dụ 15: Tìm m để bất phương trình: − x ≥ m − x có nghiệm Lời giải: ĐK: − ≤ x ≤ 13 Đặt x = cost, với t ∈[ 0, π ] Bất phương trình trở thành: sint + cost ≥ m ⇔ sin(t + Mà − π )≥m π π ≤ sin(t + ) ≤ ⇔ − ≤ sin(t + ) ≤ 4 π Vậy để bất phương trình có nghiệm m ≤ Max sin(t + ) = Ví dụ 16: Giải bất phương trình : Lời giải: 1+ x − 1− x ≤ x 1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 − x ≥ Điều kiện :  Đặt x = cost , t ∈ [ 0, π ] Khi bất phương trình cho trở thành : + cos t − − cos t ≤ cos t ⇔ + cos t − 2sin t ≤ cos t t t t t t t t t ⇔ 2(cos − sin ) ≤ cos − sin ⇔ (cos − sin )(cos + sin − 2) ≥ 2 2 2 2 t π t π t π t π ⇔ 2cos( + )[ 2cos( − ) − 2] ≥ ⇔ cos( + )[cos( − ) − 1] ≥ 4 4 π t π t π π 3π ⇔ cos( + ) ≤ ⇔ ≤ + ≤ π ⇔ ≤ t ≤ ⇔ −1 ≤ cos t ≤ 2 2 ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy bất phương trình có nghiệm −1 ≤ x ≤ Ví dụ 17: 14 Giải bất phương trình: x + a2 ≤ x + 2a x + a2 ,a≠0 Lời giải : −π π   Đặt x = a tan t , t ∈  ; ÷ Khi bất phương trình có dạng :  2 a cos t ⇔ 2a cos t ⇔ ≤ sin t + 2cos t ⇔ 2sin t - sint -1 ≤ a ≤ a tan t + −1 ≤ sin t ≤ ⇔ tan t ≥ −1 −a ⇔x≥ 3 Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ −a Bài tập tự giải Bài 1: Giải bất phương trình sau: 1/ x + x x2 −1 ≥ 35 12 2/ − x > 3x 1− x2 −1 Bài 2: Tìm m để bất phương trình: (3 + x)(7 − x) ≤ x − x + m có nghiệm với ∀x ∈ [ − 3,7] III Bài toán giải hệ phương trình Ví dụ 18  2y 1 + y = x Giải hệ phương trình:   2x = y 1 + x Lời giải: 15  x = tan α  −π π  với α , β ∈  ; ÷ Khi hệ cho trở thành :  2  y = tan β Đặt   tan β 1 + tan β = tan α sin β = tan α (1) ⇔ Ta xét hai trường hợp :  sin 2α = tan β (2)  tan α = tan β 1 + tan α Nếu sin α = sin β = ngược lại nên ta có x = y = nghiệm hệ Xét sin α ≠ sin β ≠ : Nhân (1) (2) vế theo vế ta có : sin 2α sin β = tan α tan β ⇔ cos α cosβ = 1 ⇔ cos α cosβ = (3) cosα cosβ (1) ⇔ cos α sin β cosβ = sin α ⇔ sin β = sin α ⇔ β = α (4) Thay (4) vào (3) ta có cos 2α = ⇔ 2α = 1 ⇔ (1 + cos 2α ) = 2 ⇔ cos 2α = π π kπ + kπ ⇔ α = + ,k ∈ Z Khi nghiệm hệ x = y = x =  ⇔  x = y =  x = y = tan( π + kπ )  x = y = −1  Ví dụ 19:  log ( y − x) − log y = Giải hệ phương trình:   x + y = 25  (1) (2) Lời giải: y > x ĐK:  y > 16  log ( y − x) + log y = Ta có hệ phương trình  4  x + y = 25  1  ( y − x) y = ⇔  x + y = 25  (3)  x = cos t Đặt:  (sint > sint > cost), thay vào phương trình (3) ta được:  y = sin t , ( sin t − cos t ) 1 16 = ⇔ − cot t = ⇔ cot t = ⇒ sin t = ⇒ sin t 4 25  sin t =   cos t =  x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  Ví dụ 20:  x + y + xy = (1) 2  x + y = 10 (2) Giải hệ phương trình:  (Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007) Giải:  x = 10 cos t thay vào phương trình (1) ta được:  y = 10 sin t , đặt:  10 (cos t + sin t ) + 10 sin t cos t = (3) đặt u = cost + sint, ĐK: u ≤ , phương trình (3) thành: 5u + 10 u − 12 = 17  10 u = ⇔  10 u = −  (thoa ) (loai )  sin t =    10 cos t = sin t + cos t = 10 ⇒  với u = ⇒  sin t cos t = sin t =  10   cos t =  10 10 10 10 x = x = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:   y = y = Ví dụ 21:  x = y(4 − y) (1)  Cho hệ phương trình  y = z(4 − z) (2) Gọi ( x; y; z ) nghiệm hệ  z = x(4 − x) (3)  phương trình Tìm tất giá trị tổng T = x + y + z Lời giải: 2 Cộng vế hệ ta x + y + z = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) ⇒ 3T = x2 + y + z ⇒ T ≥ ⇒ số x y z có số không âm giả sử x ≥ ⇔ y ( − y ) ≥ ⇔ ≤ y ≤ Với ≤ y ≤ ⇔ ≤ z ( − z ) ≤ ⇔ ≤ z ≤ ≤ z ≤ ⇔ ≤ x ( − x ) ≤ ⇔ ≤ x ≤ π  Đặt x = 4sin α  ≤ α ≤ ÷ (4) Từ (3), (2), (1) ⇒ ( ) z = 4sin α − 4sin α =16sin α cos2α = 4sin 2α ( ) x = 4sin 4α ( − 4sin 4α ) =16sin 4α cos 4α = 4sin 8α y = 4sin 2α − 4sin 2α =16sin 2α cos2 2α = 4sin 4α (5) 18 Từ (4) (5) suy 4sin 8α = 4sin α ⇔ cos16α = cos2α  α ⇔  α  = kπ = kπ ( k ∈Z ) π kπ Với α = ≤ α ≤ ⇒ k = 0; 1; 2; Với k = ⇒ x = 4sin = 0; z = 4sin ( 2.0 ) = 0; y = 4sin ( 4.0 ) = ⇒ T = Với k = 1; 2; ⇒ ta giá trị   ⇒ T = sin π + sin 2π + sin 4π  7 ÷    = 1 − cos 2π +1 − cos 4π +1 − cos 8π ÷ 7     = −  cos 2π + cos 4π + cos 8π ÷ 7   A= cos 2π + cos 4π + cos 8π 7 ⇒ 2sin π A = 2sin π cos 2π + 2sin π cos 4π + 2sin π cos 8π 7 7 7 = sin 3π − sin π + sin 5π − sin 3π + sin 9π − sin 7π = − sin π 7 7 7 ⇒ A= - ⇒ T = π kπ Với α = ≤ α ≤ ⇒ k = 0; 1; 2; 3; Với k = ⇒ x = 4sin = 0; y = 4sin ( 2.0 ) = 0; z = 4sin ( 4.0 ) = ⇒ T = Với k = 1; 2; ⇒ ta giá trị   ⇒ T = sin π + sin 2π + sin 4π   9 ÷    = 1 − cos 2π +1 − cos 4π +1 − cos 8π ÷ = −  cos 2π + cos 4π + cos 8π 9  9   A= cos 2π + cos 4π + cos 8π 9 π π π ⇒ 2sin A = 2sin cos + 2sin π cos 4π + 2sin π cos 8π 9 9 9 π π π π π π = sin − sin + sin − sin + sin − sin 9 9 9 π π π π π = − sin + sin − sin = − sin − 2cos sin π ⇒ A=0 ⇒ S=6 9 9  3π 6π 12π  Với k = ⇒ S =  sin + sin + sin ÷ =    ÷  Vậy T nhận giá trị 0; 6; 7; 19 Bài tập tự giải Giải hệ phương trình sau: ( ( ) ) ( ( ) ) log + − x = log − y + 2 1/  log + − y = log − x + 2 x + − y =  2 y + − x =  x + y = 2/  3/  x + y + xy = + x + y =  4/  3 3 x − y = x + y   x + y = 5/  6 x + x + y − xy = 20 LỜI KẾT Nói đến toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình nói đến toán rộng lớn ứng dụng lượng giác đại số nhiều Tuy nhiên khuôn khổ viết nêu ứng dụng lượng giác vào giải số phương trình, bất phương trình hệ phương trình thường gặp Trong trình giảng dạy sử dụng phương pháp giảng dạy cho học sinh khối 12 ôn luyện thi đại học nhận thấy đa số em tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng Trên số suy nghĩ tôi, mong đóng góp đồng nghiệp để giúp học sinh giải tốt toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình 21 22 [...]... toán: Giải phương trình ,bất phương trình, hệ phương trình là nói đến bài toán rộng lớn và ứng dụng của lượng giác trong đại số cũng rất nhiều Tuy nhiên trong khuôn khổ của bài viết này tôi chỉ nêu ứng dụng lượng giác vào giải một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình thường gặp Trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp này giảng dạy cho học sinh khối 12 ôn luyện thi đại học và. .. ≤ x ≤ 0 Ví dụ 17: 14 Giải bất phương trình: x 2 + a2 ≤ x + 2a 2 x 2 + a2 ,a≠0 Lời giải : −π π   Đặt x = a tan t , t ∈  ; ÷ Khi đó bất phương trình có dạng :  2 2 a cos t ⇔ 2a 2 cos t ⇔ 1 ≤ sin t + 2cos 2 t ⇔ 2sin 2 t - sint -1 ≤ 0 a ≤ a tan t + −1 ≤ sin t ≤ 1 2 ⇔ tan t ≥ −1 −a ⇔x≥ 3 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ −a 3 2 Bài tập tự giải Bài 1: Giải các bất phương trình sau: 1/ x + x x2... x ≥ − 3 Ví dụ 15: Tìm m để bất phương trình: 1 − x 2 ≥ m − x có nghiệm Lời giải: ĐK: − 1 ≤ x ≤ 1 13 Đặt x = cost, với t ∈[ 0, π ] Bất phương trình trở thành: sint + cost ≥ m ⇔ 2 sin(t + Mà − π )≥m 4 π 2 π ≤ sin(t + ) ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ 2 sin(t + ) ≤ 2 4 2 4 π 4 Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ Max 2 sin(t + ) = 2 Ví dụ 16: Giải bất phương trình : Lời giải: 1+ x − 1− x ≤ x 1 + x ≥... cos t = 3  5 x = 3 y = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:  Ví dụ 20:  x + y + xy = 7 (1) 2 2  x + y = 10 (2) Giải hệ phương trình:  (Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007) Giải:  x = 10 cos t thay vào phương trình (1) ta được:  y = 10 sin t , đặt:  10 (cos t + sin t ) + 10 sin t cos t = 7 (3) đặt u = cost + sint, ĐK: u ≤ 2 , phương trình (3) thành: 5u 2 + 10 u − 12... 10 x = 3 x = 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:  và  y = 3 y = 1 Ví dụ 21:  x = y(4 − y) (1)  Cho hệ phương trình  y = z(4 − z) (2) Gọi ( x; y; z ) là nghiệm của hệ  z = x(4 − x) (3)  phương trình Tìm tất cả các giá trị của tổng T = x + y + z Lời giải: 2 2 2 Cộng các vế của hệ ta được x + y + z = 4 ( x + y + z ) − ( x + y + z ) ⇒ 3T = x2 + y 2 + z 2 ⇒ T ≥ 0 ⇒ trong 3 số x hoặc y hoặc... trình sau: 1/ x + x x2 −1 ≥ 35 12 1 2/ 1 − x 2 > 3x 1− x2 −1 Bài 2: Tìm m để bất phương trình: (3 + x)(7 − x) ≤ x 2 − 4 x + m có nghiệm đúng với ∀x ∈ [ − 3,7] III Bài toán giải hệ phương trình Ví dụ 18  2y 1 + y 2 = x Giải hệ phương trình:   2x = y 1 + x 2 Lời giải: 15  x = tan α  −π π  với α , β ∈  ; ÷ Khi đó hệ đã cho trở thành :  2 2  y = tan β Đặt   2 tan β 1 + tan 2 β = tan α... trình 1 Các ví dụ Ví dụ 14: Giải bất phương trình: x x 2 + 9 ≥ x 2 − 9 (8) Lời giải: π π  2 2   Đặt x = 3tant, t ∈  − ,  phương trình trở thành: 3 tan t 9(1 + tan 2 t ) ≥ 9 tan 2 t − 9 sin t sin 2 t ⇔ ≥ − 1 ⇔ sin t ≥ sin 2 t − cos 2 t 2 2 cos t cos t 1 −1 ⇔ 2sin 2 t − sin t − 1 ≤ 0 ⇔ − ≤ sin t ≤ 1 ⇔ tan t ≥ ⇔ 3 tan t ≥ − 3 2 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là: x ≥ − 3 Ví dụ 15: Tìm m để bất. .. để phương trình sau có nghiệm: 1/ 2 − x + 2 + x − ( 2 − x )( 2 + x ) = m 2/ x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m (ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997) 5/ 1 − 9 x 2 = m − 3 6/ 4 x 2 − 16 = m − 2 x 7/ 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 (Trích đề thi tuyển sinh Đại Học khối A _2007 Bộ GD&ĐT) 12 1 1 +m Bài 3: Cho phương trình: x + 1− x 1 /Giải phương trình khi m= 2 + 2 3 2/Định m để phương trình có nghiệm II Bài toán giải bất phương. ..  x = y = −1  4 Ví dụ 19: 1  log 1 ( y − x) − log 4 y = 1 Giải hệ phương trình:  4  x 2 + y 2 = 25  (1) (2) Lời giải: y > x ĐK:  y > 0 16 1  log 1 ( y − x) + log 1 y = 1 Ta có hệ phương trình  4 4  x 2 + y 2 = 25  1 1  ( y − x) y = 4 ⇔  x 2 + y 2 = 25  (3)  x = 5 cos t Đặt:  (sint > 0 và sint > cost), thay vào phương trình (3) ta được:  y = 5 sin t , ( sin t − cos t ) 1 1 1 3... 12 ôn luyện thi đại học và nhận thấy đa số các em tiếp thu kiến thức rất nhẹ nhàng Trên đây là một số suy nghĩ của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh giải tốt các bài toán: Giải phương trình ,bất phương trình, hệ phương trình 21 22 .. .ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Cơ sở lí thuyết: Trong chương trình toán THPT, chuyên đề phương trình, bất phương trình hệ phương trình. .. Chính trình giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta lại chuyển sang giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác Việc làm đòi hỏi phải nắm vững công thức lượng giác, ... toán: Giải phương trình ,bất phương trình, hệ phương trình nói đến toán rộng lớn ứng dụng lượng giác đại số nhiều Tuy nhiên khuôn khổ viết nêu ứng dụng lượng giác vào giải số phương trình, bất phương