Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng lượng giác trong đại số .

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Phần thứ nhất : MỞ ĐẦU I.Lý do chọn đề tài. Trong quá trình dạy học môn Toán của các khối lớp 10,11,12 .Tôi đã rút ra một số kinh nghiệm về các phương pháp giải toán nói chung và đặc biệt là phương pháp giải các bài toán đại số như là : phương trình ,hệ phương trình ,bất phương trình ,chứng minh đẳng thức ,bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức vì nó là một trong những chuyên đề quang trọng và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra ,thi học kỳ và đặc biệt là các kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng . Trong khi đó học sinh thường lúng túng và thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán về phương trình ,hệ phương trình ,bất phương trình ,chứng minh đẳng thức ,bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức .vì ở đây điều kiện học tập còn thiếu thốn ,tài liệu tham khảo còn hạn chế ,nhiều em ở các xã về đây trọ học nên kết quả học tập chưa cao và tỉ lệ học sinh ở đây thi vào các trường đại học ,cao đẳng còn hạn chế.vậy làm thế nào để giúp các em vượt qua trở ngại này? Chính vì những lí do đó mà tôi đưa ra phương pháp giải cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và tôi đã quyết định chọn đề tài “Ứng dụng lượng giác trong đại số” Với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng ,những phương pháp và kinh nghiệm quý báu nhằm giúp các em vượt qua những trở ngại nói trên.Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập ,và đặc biệt là các kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng .Giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn trong học Toán. II. Mục đích nghiên cứu -Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm một phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân ,đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp.Trong đề tài này tôi đề cập đến các dạng bài tập đại số mà ta ứng dụng lượng giác để giải chúng sao cho phù hợp với từng dạng bài tập .Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán .Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê học toán hơn ,do đó sẽ đem lại kết quả cao trong học tập Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:1 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . - Nhằm học hỏi trau dồi kiến thức ,nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và tích lũy kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu . III : Đối tượng nghiên cứu -Những kiến thức cơ bản về chuyên đề lượng giác , -Các dạng bài tập trong đại số mà ta tìm cách đưa chúng về các dạng lượng giác quen thuộc. IV: Phạm vi nghiên cứu -Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên. -Áp dụng cho học sinh khối 11,12 .Đặc biệt là học sinh 12 tham gia các kỳ thi tốt nghiệp ,đại học và cao đẳng . V:Phương pháp nghiên cứu -Sử dụng phương pháp phân tích ,tổng hợp ,so sánh, đánh giá - Tham khảo các tài liệu - Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do sở giáo dục tổ chức ,các buổi sinh hoạt tổ , nhóm chuyên môn . VI.Thời gian nghiên cứu . -Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy ở các khối lớp 10,11,12 bậc phổ thông trung học Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:2 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Phần thứ hai : NỘI DUNG I: Hệ thống kiến thức 1;kiến thức lượng giác a) công thức cộng cos(a − b) = cosa cosb + sina sinb cos(a + b) = cosa cosb − sina sinb sin(a − b) = sina cosb − cosa sinb sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb tan(a − b) = tan tan 1 tan tan a b b − + tan(a + b) = tan tan 1 tan tan a b a b + − b) công thức nhân đôi cos2a = cos 2 a − sin 2 a = 2cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a sin2a = 2sinacosa tan2a = 2 2tan 1 tan a a− c)công thức hạ bậc cos 2 a = 1 os2 2 c a+ ; sin 2 a = 1 os2 2 c a− 2 tan a = 2 2 sin os a c a = 1 os2 1 os2 c a c a − + ; 2 2 2 os 1 os2 cot sin 1 os2 c a c a a a c a + = = − d)công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích cosacosb = 2 1 [cos(a + b) + cos(a - b)] Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:3 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . sinasinb = 2 1 [cos(a − b) − cos(a + b)] sinacosb = 2 1 [sin(a + b) + sin(a - b)] Cosa + cosb = 2cos 2 ba + cos 2 ba − Cosa − cosb = −2sin 2 ba + sin 2 ba − Sina + sinb = 2sin 2 ba + cos 2 ba − Sina + sinb = 2cos 2 ba + sin 2 ba − ** chú ý 1 sinx 1; 1 cos 1x− ≤ ≤ − ≤ ≤ 2 2 sin os 1x c x+ = 2 :Các dạng bài tập đại số và phương pháp lượng giác hóa Dạng 1 : Nếu x 2 + y 2 =1 thì đặt sin os x y c α α =   =  với [ ] 0;2 α π ∈ Dạng 2 : Nếu x 2 + y 2 =a 2 (a>0) thì đặt sin os x a y ac α α =   =  với [ ] 0;2 α π ∈ Dạng 3 : Nếu 1x ≤ thì đặt [ ] sin , ; 2 2 os , 0; x x c π π α α α α π  −   = ∈        = ∈  Dạng 4 : Nếu x m≤ thì đặt [ ] sin , ; 2 2 os , 0; x m x mc π π α α α α π  −   = ∈        = ∈  Dạng 5 :Nếu 1x ≥ hoặc bài toán có chứa 2 x 1− thì đặt x= 1 osc α với 3 0; ; 2 2 π π α π     ∈ ∪ ÷ ÷       Dạng 6 :Nếu x m≥ hoặc bài toán có chứa 2 2 x m− thì đặt x = os m c α với 3 0; ; 2 2 π π α π     ∈ ∪ ÷ ÷       Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức 2 x 1+ thì đặt x = tan α với ; 2 2 π π α −   ∈  ÷   Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức 2 2 x m+ thì đặt Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:4 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . x = m tan α với ; 2 2 π π α −   ∈  ÷   Dạng 9: Nếu bài toán chứa: m x m x + − hoặc m x m x − + thì có thể đặt: x=mcos2t. . II: NỘI DUNG BÀI TẬP Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình sau với (0,6;1)x∈ 2 6 8 1 5( 1 1 )x x x x− − = + + − Giải : Điều kiện 1x ≤ Đặt cosx ϕ = với 0; 2 π ϕ   ∈     Khi đó phương trình đã cho trở thành 6cos 8sin 5( 1 cos 1 cos ) 10(0,6cos 0,8sin ) 5 2(cos sin ) 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + = + + − ⇔ + = + cos( ) cos( ) 4 2 (cos 0,6;sin 0,8). π ϕ α ϕ α α ⇔ − = − = = Do 1 cos cos 0,8 cos 2 2 4 α α π + = = > Suy ra 2 4 α π < . Từ đó 0 2 2 4 2 ϕ π π ϕ α α ϕ < − < ⇒ − = − Vậy cos cos(2 ) sin 2 2sin cos 0,96 2 x π ϕ α α α α = = − = = = Kết luận : vậy nghiệm của phương trình là x= 0,96 Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:5 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Bài 2: Giải phương trình: 1 1 2 2 =       − + x x x . (1) Giải: ĐK: 1≠x Đặt:      = − ≠= )(cos 1 )(1sin bt x x atx , thay (a) vào (b) ta được: 1sin sin cos − = t t t )(0cos.sincossin ctttt =−+⇔ . Đặt u=sint+cost, đk: 2|| ≤u ,phương trình (1) trở thành: 0 2 1 2 = − − u u     −= += ⇔=−−⇔ )(21 )(21 012 2 thoau loaiu uu vậy: sint +cost = 21−       −±−=⇔=−+−−⇔−= − +⇒ 12221 2 1 021)21(21 1 2 xxx x x x . Do đó phương trình có nghiệm là:       −±−= 12221 2 1 x . *** Chú ý khi giải theo phương pháp lượng giác này thì ta thấy việc giải quyết bài toán sẽ nhanh hơn phương pháp giải thông thường . và ta thực hiện cho các bài toán tiếp theo Bài 3: Giải phương trình: 23 134 xxx −=− (2) Giải: ĐK: 11 ≤≤− x . đặt x=cost, t ∈ [ π ,0 ] phương trình (2) thành: 4cos 3 t - 3cost=sint ⇔       +−= += ⇔−== π π ππ π kt kt ttt 4 28 ) 2 cos(sin3cos Vì t ∈ [ π ,0 ] nên ta chọn được: 4 3 , 8 5 , 8 πππ === ttt . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: : Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:6 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . os 8 x c π = = 2 2 2 + . 5 2 2 os 8 2 x c π − = = , 3 2 os 4 2 x c π = = Bài 4 :Giải phương trình: 2 2 21 2 121 x xx −= −+ Giải: ĐK: 2 2 ≤x . Đặt x=sint 2 2 sin ≤⇒ t ⇒≤⇒ 4 π t 1cos 2 2 ≤≤ t , phưong trình trở thành: tt tt 2cossin21 2 cos.sin21 2 =−= + t t 2cos 2 2sin1 2 = + ⇔ (vì 02cos 4 ≥⇒≤ tt π )     = −= ⇔=−+⇔ 2 1 2sin 12sin 012sin2sin2 2 t t tt -Với sin2t = -1 π π kt +−=⇔ 4 , vì 4 π ≤t nên ta chọn được nghiệm t= 4 π − ⇒ nghiệm của phương trình là: 2 2 −=x -Với sin2t =       += += ⇔ π π π π kt kt 12 5 12 2 1 , vì 4 π ≤t nên ta chọn được nghiệm t= 12 π ⇒ nghiệm của phương trình là: 2 32 12 sin − == π x Vậy phương trình có nghiệm là: 2 2 −=x và 2 32 − =x Bài 5 : Giải phương trình : 2 2 2 1 x x x + = − Giải : điều kiện : 2 x 1 0 0x  − >  >  1x ⇔ > . Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:7 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Đặt x= 1 cost , 0, 2 t π   ∈  ÷   Khi đó phương trình có dạng : 1 1 cos 2 2 cos 1 1 cos t t t + = − 1 1 2 2 cos sint t ⇔ + = sin cos 2 2 sin .cost t t t⇔ + = Đặt sint + cost = u ( ) 1 2u≤ ≤ , ta có 2 u 1 sin .cos 2 t t − = . Khi đó phương trình đã cho có dạng : 2 2(u 1) u = − 2 2u 2 0u⇔ − − = ( ) 2 1 l 2 u u  =  ⇔ −  =   2u = sin cos 2t t⇔ + = 2 sin( ) 2 4 t π ⇔ + = sin( ) 1 4 t π ⇔ + = 2 4 2 t k π π π ⇔ + = + 2 4 t k π π ⇔ = + . So sánh điều kiện ta có : 4 t π = 2x⇔ = vậy nghiệm của phương trình là 2x = Bài 6 : Giải phương trình (1-m 2 ) x + (1-m 2 ) x = (1+m 2 ) x với 0 < m <1. (1) Giải: Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho (1+m 2 ) x > 0 ta có : x x 2 2 2 1 m 2 1 1+m 1+m m   −   + =  ÷  ÷     Đặt m=tant với (0; ) 4 t π ∈ ta có 2 2 sin 2 1 m m t= + và 2 2 1 m os2 1 m c t − = + Khi đó phương trình đã cho có dạng : ( ) ( ) x x sin 2 os2 1t c t+ = Nhận xét : với x=2 là nghiệm của phương trình . Với x < 2 ta có ( ) ( ) x 2 x 2 sin 2 sin x 1 os2 os x t VT c t c  <  ⇒ <  <   , phương trình vô nghiệm. với x > 2 ta có : ( ) ( ) x 2 x 2 sin 2 >sin x 1 os2 os x t VT c t c   ⇒ >  >   , phương trình vô nghiệm . vậy với 0 < m <1 thì phương trình có nghiệm duy nhất Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:8 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Bài 7 : Định m để phương trình: mxx −=− 2 1 (5) có nghiệm. Giải: ĐK: 11 ≤≤− x . Đặt x=cost, với [ ] π ,0∈t . Phương trình thành: sint = cost – m 2 ) 4 cos(sincos m tmtt =+⇔=−⇔ π . Vì [ ] π ,0∈t 4 5 44 πππ ≤+≤⇔ t nên suy ra: 2 2 ) 4 cos(1 ≤+≤− π t . Vậy để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 12 2 2 2 1 ≤≤−⇔≤≤− m m . Bài 8 : Giải hệ phương trình : 2 2 2 1 y 2 1 y x x y x  =  +    =  +  Giải : Đặt tan tan x y α β =   =  với , ; 2 2 π π α β −   ∈  ÷   . Khi đó hệ đã cho trở thành : 2 2 2 tan tan 1 tan 2 tan tan 1 tan β α β α β α  =  +    =  +  sin 2 tan (1) sin 2 tan (2) β α α β =  ⇔  =  . Ta xét hai trường hợp : Nếu sin 0 α = thì sin 0 β = và ngược lại nên ta có x = y = 0 là nghiệm của hệ . Xét sin 0 α ≠ và sin 0 β ≠ : Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có : sin 2 .sin 2 tan .tan α β α β = 1 4cos . os os .sin c c α β α β ⇔ = 1 cos . os 2 c α β ⇔ = (3) (1) 2sin .cos . os sinc α α β α ⇔ = sin sin β α ⇔ = β α ⇔ = (4) Thay (4) vào (3) ta có 2 1 cos 2 α = 1 1 (1 cos 2 ) 2 2 α ⇔ + = cos2 0 α ⇔ = 2 , 2 4 2 k k k Z π π π α π α ⇔ = + ⇔ = + ∈ Khi đó nghiệm của hệ là 0 tan( ) 1 4 1 x y x y k x y x y π π = =   = = + ⇔ = =   = =  Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:9 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Bài 9 :Giải hệ phương trình 2 2 2 3 3 3 3 3 3 x y x x y y z y y z z x z z x −  =  −  −  =  −   − =  −  (I) Giải : Nhận xét : Nếu 0xyz ≠ thì hệ (I) trở thành 3 2 3 2 3 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 x x y x y y z y z z x z  − =  −  −  =  −   − =  −  Khi đó ta đặt tanx α = với ( ; ) 2 2 π π α ∈ − và 0 α ≠ Vậy ta có tan3 tan9 tan 27 y z z α α α =   =   =  Suy ra tan tan 27 27 ( ) 26 k k k z π α α α α π α = ⇔ = + ⇔ = ∈ Do 2 2 π π α − < < và 0 α ≠ nên { } 1; 2; 12k ∈ ± ± ± Vậy nghiệm của hệ phương trình là 3 9 ( , . ) (tan ;tan ;tan ) 26 26 26 k k k x y z π π π = Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:10 [...] .. . công, đặc biệt là trong các tiết dạy bài tập, tiết bám sát và tiết ôn tập Được đa số học sinh vận dụng đề tài này giải bài tập đạt kết quả rất cao Phần thứ IV KIẾN NGHỊ Giáo viên thực hiện : Trần Đình Hữu Trang:22 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số Phần bài tập đại số là một trong những phần kiến thức quang trọng trong chương trình toán lớp 10 ,11,12 và cũng là phần kiến thức căn .. . rộng lớn” Tuy nhiên trong khuôn khổ của đề tài tôi chỉ nêu cách giải cho những dạng toán thường gặp Khi dùng phương pháp ứng dụng lượng giác để giải những bài toán trên, ta nên nhấn mạnh cho học sinh là khi gặp bài toán dạng nào thì dùng được phương pháp lượng giác Giáo viên thực hiện : Trần Đình Hữu Trang:21 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số Trên đây là một số suy nghĩ của tôi ,.. . toán Chưprông,Ngày 06 tháng 03 Năm 2013 Người viết sáng kiến kinh nghiệm Trần Đình Hữu Giáo viên thực hiện : Trần Đình Hữu Trang:23 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa Đại số 10-nâng cao- NXB Giáo dục năm 2006 (Đoàn Quỳnh- Nguyễn Huy – Nguyễn xuân Liêm- Đặng Hùng Thắng) 2 Sách bài tập Đại số 10-nâng cao- NXB Giáo dục năm 2006 (Đoàn Quỳnh- Nguyễn .. . nhất Bài 18: Chứng minh rằng từ 4 số thực cho trước ta luôn luôn chọn được hai số x, y trong 4 số đó sao cho: 0≤ x−y ≤1 1 + xy y1 y2 y3 y4 Giải: y5 Giả sử 4 số thực cho trước là a ≤ b ≤ c ≤ d Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với π π - < y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 < < y5 = π + y1 2 2 Giáo viên thực hiện : Trần Đình Hữu Trang:15 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số Các điểm y1 ,.. . viên thực hiện : Trần Đình Hữu Trang:20 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số 1) 64 x 6 − 112 x 4 + 56 x 2 − 7 = 2 1 − x 2 2) 1 − 2 x − x 2 + 1 + 2 x − x 2 = 2( x − 1) 4 (2 x 2 − 4 x + 1) , TP.HCM_2001) (ĐH Bách Khoa Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm: 1/ 2 − x + 2 + x − ( 2 − x )( 2 + x ) = m 2/ x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m (ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997) Bài 2: Giải các hệ phương .. . Đình Hữu Trang:13 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số Giải : −π π   Đặt x = a tan t , t ∈  ; ÷ Khi đó bất phương trình có dạng :  2 2 a 2a 2 cos t −1 ≤ a tan t + ≤ sin t ≤ 1 ⇔ 1 ≤ sin t + 2cos 2 t ⇔ 2sin 2 t - sint -1 ≤ 0 ⇔ cos t a 2 ⇔ tan t ≥ −1 −a ⇔x≥ 3 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ −a 3 Bài 15: Tìm m để bất phương trình: 1 − x 2 ≥ m − x có nghiệm Giải: ĐK: .. . bài kiểm tra đầu ra của lớp đối chứng (ĐC) có số học sinh đạt khá trở lên là 37,2% thấp hơn lớp thực nghiệm, điều này chứng tỏ rằng khi sử dung đề tài này vào quá trình dạy học làm nâng cao kết quả học tập phần bài tập đại số và tạo điều kiện cho học sinh học tập tốt các phần kiến thức khác có liên quan đến kiến thức lượng giác Đề tài này đã được phổ biến và ứng dụng đại trà cho khối 11 và 12 năm học .. . 2 2 ≤ 2 (1 + a )(1 + b ) 2 Bài 20: Chứng minh rằng nếu |x| < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có: (1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1) Giải: Vì |x| < 1 nên có thể đặt x = cost với t ∈ (0; π) và bất đẳng thức (1) được viết thành: (1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n Giáo viên thực hiện : Trần Đình Hữu (2) Trang:16 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số Thay t t 1 + cos t = 2cos2 2 và 1.. . phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ Max 2 sin(t + ) = 2 Bài 16:Cho x ≥ y chứng minh rằng x + y + x − y = x + x2 − y 2 + x − x2 − y 2 (1) Giải -Nếu x = 0 thì ( 1 ) luôn đúng , -Nếu x ≠ 0 ta chia hai vế của (1 ) cho x ta được 1+ y y y y + 1 − = 1 + 1 − ( )2 + 1 − 1 − ( )2 x x x x Giáo viên thực hiện : Trần Đình Hữu (2) Trang:14 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số Do x ≥ y .. . Thắng 3 Học và ôn tập toán Lượng giác 11- NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm 2007 (Lê Bích Ngọc- Lê Hồng Đức ) 4.Học và ôn tập toán Đại số và Giải tích 11- NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm 2007 ( Lê Bích Ngọc- Lê Hồng Đức ) 5 Chuyên đề đại số ôn thi đại học NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm 1994 (Lê Quang Ánh-Nguyễn Thành Dũng-Trần Thái Hùng) 6.Tuyển chọn 400 bài tập toán 12 NXB Đại học quốc gia thành phố . Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Phần thứ nhất : MỞ ĐẦU I.Lý do chọn đề tài. Trong quá trình dạy học môn Toán của các khối lớp 10,11,12 .Tôi đã rút ra một số kinh. phương trình vô nghiệm . vậy với 0 < m <1 thì phương trình có nghiệm duy nhất Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:8 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Bài 7. y 5 Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số . Các điểm y 1 , y 2 , y 3 chia đoạn [y 1 ; y 1 + π] thành 4 đoạn [y 1 ; y 2 ], [y 2 ; y 3 ], [y 3 ; y 4 ] , [y 4 ; y 5 ]. Trong số