Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học

SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP TRƯỜNG Tên sáng kiến: “ ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC” Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Yên Phong số Môn: Toán Năm học: 2014 - 2015 MỤC LỤC Trang Phần I: MỞ ĐẦU 1.Mục đích của sáng kiến 2.Đóng góp của sáng kiến Phần II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận và sở thực tiễn Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn Chương 2: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến Những khó khăn sai lầm mà học sinh thường mắc phải Hướng khắc phục Chương 3: Giải vấn đề Vấn đề 1: Một số ứng dụng của lượng giác đại số I Chứng minh Đẳng thức, Bất đẳng thức II Giải phương trình III Giải hệ phương trình Vấn đề 2: Ứng dụng của lượng giác hình học I Hệ thức lượng tam giác II Một số toán hình học Chương 4: Kiểm chứng giải pháp triển khai Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Phần IV: PHỤ LỤC 2 3 4 7 12 16 20 20 23 27 28 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phần I: MỞ ĐẦU 1.Mục đích của sáng kiến Lượng Giác lĩnh vực bản của toán học, tồn tiếp tục phát triển hàng ngàn năm qua Lượng giác không nhánh của đại số mà ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng khoa học thực tiễn Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác giảng dạy vào cuối năm lớp 10 đầu năm lớp 11 với chủ đề bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác Hệ thức lượng tam giác Tuy nhiên lượng giác xuất nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân Nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn khác chuyên ngành lượng giác Đó việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các toán đại số hình học Bản thân các toán không liên quan tới lượng giác Qua số năm giảng dạy nhận thấy học sinh khối 10 học lượng giác khó tiếp thu vận dụng cao Vì để giúp học sinh học tốt nội dung lượng giác lớp 10 chọn đề tài “ Ứng dụng lượng giác đại số và hình học” 2.Đóng góp của sáng kiến Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh của trường, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến đổi lượng giác ứng dụng của việc giải toán Từ nâng cao chất lượng học tập của học sinh các tiết học chuẩn bị tốt kiến thức làm tập có tính phân loại cao các đề thi học sinh giỏi đề thi THPT quốc gia Phần II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận và sở thực tiễn Cơ sở lí luận: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy quá trình phát triển Vì quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp các em thấy sự mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình huống phản ánh cách lôgíc biện chứng quan niệm nội của bản thân các em Từ kích thích các em phát triển tốt Cơ sở thực tiễn: Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức hình thành các đặc điểm tâm lí từ lớp cuối của cấp THCS, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú đối với lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương các môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngoài có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Những vấn đề bản lượng giác công thức lượng giác, phương trình lượng giác… đề cập tới chương trình Trung học phổ thông Tuy nhiên khuôn khổ sách giáo khoa ứng dụng của lượng giác không nhắc đến Chuyên đề viết nhằm giúp độc giả thấy ứng dụng của lượng giác việc giải quyết các toán khác Qua rèn luyên kĩ tư duy, phát triển toán nhiều góc độ khác Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác bản Đọc giả muốn tìm hiểu tất nhiên phải nắm các tính chất chương trình phổ thông Chương II: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải Tôi nhận thấy đa số học sinh biến đổi lượng giác lúng túng dẫn đến sai lầm Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh đòi hỏi nhiều công sức thời gian Sự nhận thức của học sinh thể khá rõ: - Các em lúng túng việc vận dụng các công thức lượng giác - Kiến thức bản nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lôgíc hạn chế - Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học Hơn năm trở lại đề thi vào Đại học kỳ thi THPT quốc gia thường phân loại học sinh câu khó có tính vận dụng cao Chính SKKN giúp phần trang bị thêm ứng dụng để các em có thêm hướng giải quyết làm câu phân loại Hướng khắc phục Ngoài công thức biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác mà các em học Sau số lưu ý số phép thế đặc trưng: 2.1 Một số phép lượng giác chung a) Nếu x ≤ a ( a > ) đặt:   π π x = a sin α ; α ∈   − ;    x = a cos α ;α ∈ [ 0; π ] Biểu thức áp dụng: a2 − x2 2 b) Nếu x + y = a đặt:  x = a sin α ;α ∈ [ 0;2π ]   y = a cos α c) Nếu x ≥ a đặt: x= Biểu thức áp dụng: a a ,x = cos α sin α x2 − a2 d) Với x đặt:  π π x = tan α ;α ∈  − ; ÷  2 Biểu thức áp dụng: x2 + a2 , x+ y − xy 2.2 Một số phép lượng giác tam giác a) Nếu xy + yz + zx = tồn các góc α , β , γ cho: α β γ   x = tan , y = tan , z = tan 2  α + β + γ = π b) Nếu x + y + z = xyz tồn các góc α , β , γ cho:  x = tan α , y = tan β , z = tan γ  α + β + γ = π Đặc biệt: Nếu ba số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = tồn tam giác ABC cho: A B C , y = tan , z = tan 2 Nếu ba số dương x, y, z thỏa x + y + z = xyz tồn tam giác nhọn ABC x = tan thỏa: x = tan A, y = tan B, z = tan C Chương III: Giải vấn đề Vấn đề 1: Một số ứng dụng của lượng giác đại số Các dạng toán bản Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức nhắc tới Vấn đề 2: Ứng dụng của lượng giác hình học Bản thân lượng giác xuất phát từ hình học Tiêu biểu Hệ thức lượng tam giác Tài liệu đưa số toán hình học phẳng mà giải công cụ lượng giác Do chuyên đề không nhắc lại kiến thức lượng giác bản nên tác giả chủ yếu đưa tập để bạn đọc tham khảo Các em học sinh cần có kiến thức sở lượng giác để theo dõi tập Vấn đề 1: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ I Chứng minh Đẳng thức, Bất đẳng thức Bài 1: 2 2 Cho x ≥ y Chứng minh rằng: x + y + x − y = x + x − y + x − x − y Giải Nếu x=0 y=0: đẳng thức hiển nhiên Nếu x ≠ : chia hai vế cho |x| 2 y y  y  y 1+ + 1− = 1+ 1−  ÷ + 1− 1−  ÷ x x x x Vì (1) y y ≤ nên đặt = cos α ( ≤ α ≤ π ) x x ( 1) ⇔ + cos α + − cos α = + sin α + − sin α ⇔ + cos α + − cos α = + sin α + − sin α Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh Bài 2: Cho a, b, c các số thuộc khoảng (0;1) Chứng minh: abc + ( − a) ( − b) ( − c) < Giải  π Vì < a, b, c < nên tồn các góc x, y, z ∈  0; ÷ thỏa:  2 a = cos x, b = cos y, c = cos z Bất đẳng thức trở thành: cos x cos y cos z + sin x sin y sin z < Thật vậy: cos x cos y cos z + sin x sin y sin z < cos x cos y + sin x sin y = cos ( x − y ) ≤ Bất đẳng thức ban đầu chứng minh Bài 3: 2 Cho hai số thực x, y thỏa x + y = Chứng minh rằng: 16 ( x + y ) − 20 ( x + y ) + ( x + y ) ≤ Giải Đặt x = cos a, y = sin a; a ∈ ( 0;2π ) Áp dụng các công thức lượng giác: cos5a = 16cos5 a − 20cos3 a + 5cos a = 16 x − 20 x + x sin 5a = 16sin a − 20sin a + 5sin a = 16 y − 20 y + y Do đó: π  16 ( x + y ) − 20 ( x + y ) + ( x + y ) = sin 5a + cos5a = sin  5a + ÷≤ 4  Bài 4: ( x − y ) (1− x y ) P = Cho biểu thức Chứng minh (1+ x ) (1+ y ) 2 2 2 2 P≤ Giải Ta có: P = x2 ( + x2 ) − y2 (1+ y ) 2 Đặt x = tan α , y = tan β sin 2α = 2x 2y ,sin β = 1+ x + y2 Do đó: 1 sin 2α − sin 2 β ) = ( sin 2α − sin β ) ( sin 2α + sin β ) ( 4 = cos ( α + β ) sin ( α − β ) sin ( α + β ) cos ( α − β ) P= = sin ( 2α + 2β ) sin ( 2α − β ) Vậy P ≤ 10 Bài 5: Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1 Chứng minh: 2x 2y 2z 1 + + ≤ + + + x2 + y + z + x2 + y2 + z2 Giải Tồn tam giác ABC thỏa: x = tan A B C , y = tan , z = tan 2 Bất đẳng thức viết lại: sin A + sin B + sin C ≤ cos A B C + cos + cos 2 Ta có: sin A + sin B = 2sin A+ B A− B C cos ≤ 2cos 2 Tương tự A B sin C + sin A ≤ 2cos sin B + sin C ≤ 2cos Cộng ba bất đẳng thức lại ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy khi: A= B =C = π ⇔x=y=z= 3 Bài 6: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b Chứng minh: 2 10 − + ≤ a +1 b +1 c +1 Giải Từ điều kiện của a, b, c suy b = a+c − ac 11 288 cos5 t − 360 cos3 t + 90 cos t − 27 = ⇔ ( 16cos5 t − 20cos3 t + 5cos t ) − = ⇔ cos5t = cos π π k 2π ⇔t=± + ( k ∈¢) 30 Vậy ta tìm nghiệm đoạn  −2 3;2  là:  π k 2π cos  +  30  ÷; k = 0,1,2,3,4  Phương trình bậc năm có tối đa nghiệm nên chính tất cả các nghiệm Bài 16: Cho a (vô lý) Giả sử x số nhỏ x[...]... được đóng góp một phần công sức của mình trong việc hướng dẫn học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán và ôn thi đại học Với SKKN nhỏ này cũng giúp tôi và đồng nghiệp nâng cao năng lực chuyên môn và làm tư liệu dạy ôn thi đại học nay là kỳ thi THPT quốc gia Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ của bản thân còn hạn chế nên sáng kiến kinh nghiệm này vẫn còn nhiều thiếu sót, nên... chung được nâng lên rõ rệt, trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm khá cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường Cụ thể chất lượng khi áp dụng sang kiên kinh nghiệm: Kết quả khảo sát: Năm học Không áp dụng SKKN Yếu TB Khá Giỏi 2013-2014 8 20 10 4 Yếu 2 áp dụng SKKN TB Khá 13 19 Giỏi 8 Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 29 Qua đây... I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC không đều Chứng minh rằng góc AIO ≤ 900 khi và chỉ khi 2BC ≤ AB + AC Bài 11: Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB Chứng minh: MB '+ MC ' A ≤ 2sin MA 2 28 Chương 4: Kiểm chứng các giải pháp đã được triển khai Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học. .. các em học sinh rất hứng thú với môn học, Đặc biệt các em hiểu thêm về cách xây dựng công thức, những bài toán đặc trưng ở những câu khó Chính vì các em nhận thấy với mỗi bài toán nếu ta chịu tìm tòi sang tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổ ích nên rất hứng thú với môn học do dó mỗi năm học tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh... Vậy nghiệm của hệ thỏa điều kiện là  x = − ÷ 3 3 3 3   LUYỆN TẬP Bài 23: Giải các hệ phương trình sau:  x 2 + y 2 = 1 a)  2 4 xy ( 2 y − 1) = 1  x + y + z = xyz b)  2 2 2 2 2 2  x ( y − 1) ( z − 1) + y ( x − 1) ( z − 1) + z ( x − 1) ( y − 1) = 0  x − 3z − 3z 2 x + z 3 = 0  2 3 c)  y − 3x − 3 x y + x = 0  z − 3 y − 3 y2 z + y3 = 0  Vấn đề 2: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC... viên mở lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, phụ đạo cho học sinh yếu để các em có khả năng tìm hiểu sâu hơn kiến thức - Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh Phần IV: PHỤ LỤC 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn... kiến kinh nghiệm này vẫn còn nhiều thiếu sót, nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ hơn trong giảng dạy Trên đây chỉ là một kinh nghiệm nhỏ của tôi, vì vậy để nâng cao chất lượng bộ môn tôi xin có một số kiến nghị nhỏ với BGH, các cấp quản lý như sau: - Tăng cường mua sách tham khảo... Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010 2 Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM - 2005 3 Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho - NXB Giáo Dục – 2005 4 Đại số lớp 10 – NXB Giáo dục 31 ... 4π  S = 4  sin 2 + sin 2 + sin 2 3 3 3  2π 4π 8π   3   + cos + cos ÷ = 9 ÷ = 4  −  cos 3 3 3   2  Bài 22: Trong các nghiệm (x;y;z;t) của hệ phương trình:  x2 + y2 = 1  2 2 z + t = 2   xt + yz ≥ 2 Hãy tìm nghiệm sao cho tổng y+t nhỏ nhất Giải Giả sử hệ có nghiệm Khi đó tồn tại các góc α , β sao cho: x = cos α , y = sin α , z = 2 cos β , t = 2 sin β Từ bất phương trình thứ... nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm Bài 16: Cho a