Sáng kiến hệ thống một số bài toán cực trị trong hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học hình học giải tích của học sinh lớp 12 trường thpt nguyễn du

Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN PHỤC VỤ CHO KHEN THƯỞNG THI ĐUA CẤP CƠ SỞ NĂM HỌC 2016 – 2017 Giải pháp : HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN “NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH CỦA HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU” TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Nguyễn Thanh Tài – Cử nhân sư phạm, Giáo viên Châu Đức, năm học 2016-2017 Sáng kiến kinh nghiệm Trang1 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU Sự cần thiết hình thành giải pháp …………………………………….1 Mục tiêu giải pháp………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu giải pháp…………………………………2 Giới hạn giải pháp phạm vi áp dụng…………………………… Cơ sở lý luận thực tiễn…………………………………………… 2,3 Kế hoạch thực hiện…………………………………………………… PHẦN NỘI DUNG Thực trạng mâu thuẫn……………………………………… Nội dung…………………………………………………………….4 – 12 Hiệu áp dụng……………………………………………………….13 PHẦN KẾT LUẬN Ý nghĩa đề tài công tác …………………………………….13 Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển…………………………………13 Đề xuất………………………………………………………………….13 Sáng kiến kinh nghiệm Trang2 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích PHẦN MỞ ĐẦU: Sự cần thiết hình thành giải pháp:  Tốn học mơn học đòi hỏi tư logic, phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức lại với Do đó, việc hình thành phương pháp giải dạng toán cho em học sinh cần cần thiết, đặc biệt việc thi trắc nghiệm cần nhanh lẹ xác  Phương pháp tọa độ khơng gian phân mơn tốn học quan trọng ln xuất kì thi THPT Quốc gia tuyển sinh Cao đẳng – Đại học Để lĩnh hội kiến thức phân môn dễ dàng địi hỏi người học phải tư tốt biết kết hợp tính tốn đại số tính chất hình học túy khơng gian  Đối với tốn hình học không gian liên quan đến cực trị, dùng tính tốn đại số thường gây khó khăn cho học sinh, dễ sai xót q trình tính tốn Tuy nhiên, để ý đến tính chất hình học việc giải tốn dễ dàng hơn, giảm việc tính tốn Vì vậy, đề tài tơi muốn trình bày ‘Hệ thống số tốn cực trị khơng gian’ phương pháp giải để giúp em học sinh nắm phương pháp giải số tốn cực trị khơng gian làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giải pháp:  Nhằm hệ thống cho học sinh số dạng toán phương pháp tọa độ khơng gian góp phần giúp em giải tốt toán hình học giải tích  Giúp em học sinh nâng cao tư kĩ tính tốn qua hy vọng cung cấp cho học sinh dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức giúp em bước vào kì thi, đặc biệt kì thi THPT Quốc gia  Qua đề tài giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho học sinh Sáng kiến kinh nghiệm Trang3 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích  Kết hợp định tính định lượng nhằm giúp em hệ thống tố kiến thức học giúp em hứng thú học toán Phương pháp nghiên cứu giải pháp: Cho học sinh nhận xét chứng minh số tốn cực trị hình học khơng gian túy Từ áp dụng vào khơng gian với hệ trục Oxyz Giới hạn giải pháp phạm vi áp dụng:  Đề tài viết số tốn điển hình cực trị phân mơn hình học giải tích, chưa nêu hết tất dạng tốn Tuy nhiên thơng qua toán nhằm giúp cho em nắm chất tốn cực trị khơng gian để từ giải số tốn tương tự  Đề tài dạng toán mở rộng chương trình SGK Vì phù hợp với tiết tự chọn tiết dạy chuyên đề ôn thi cho em học sinh Cơ sở lý luận thực tiễn: 5.1 Cơ sở lý luận:  Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: ∀  x ∈ D : f ( x) ≤ M - M giá trị lớn hàm số y=f(x) D  ∃x ∈ D : f ( x ) = M ∀  x ∈ D : f ( x) ≤ m - m giá trị nhỏ hàm số y=f(x) D  ∃x ∈ D : f ( x ) = m  Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (P) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vng góc M lên đường thẳng (d)  Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng (P) Đoạn MH khoảng cách ngắn nối từ điểm M đến điểm mặt phẳng (P) Sáng kiến kinh nghiệm Trang4 Một số toán cực trị khơng gian Hình học Giải tích  Với hai đường thẳng chéo độ dài đọan vng góc chung khoảng cách ngắn nối hai điểm thuộc hai đường thẳng 5.2 Cơ sở thực tiễn:  Phần lớn em học sinh hay lúng túng gặp khơng khó khăn giải tốn hình học tọa độ không gian Bởi lẻ, để giải tốn địi hỏi em cần phải có kiến thức vững hình học khơng gian  Trong hệ thống tập chương trình giáo khoa có tốn cực trị, lý mà làm cho học sinh có hội tiếp cận với dạng tốn Kế hoạch thực hiện: Thời gian Từ tháng 10/2015 đến tháng Nội dung -Nghiên cứu , đề xuất 12/2015 Từ tháng 2/2016 đến tháng - Soạn thảo Áp dụng thử nghiệm, đánh giá rút 5/2016 Từ tháng 2/ 2017 kinh nghiệm Triển khai dạy cho số lớp 12A1, 12A12 (Dự kiến) PHẦN NỘI DUNG: 1/ Thực trạng mâu thuẫn:  Do thời lượng hạn chế nên SGK đề cập đến tốn cực trị, nên em học sinh tiếp xúc luyện tập dạng Vì gặp em thường hay lung túng gây nhiều khó khăn cho em  Tuy nhiên, toán cực trị lại tốn hay có phương pháp giải lý thú thường mang lại cảm giác hưng phấn cho học sinh, từ khích lệ khả tìm tòi học hỏi cho em 2/Nội dung: Sáng kiến kinh nghiệm Trang5 Một số toán cực trị khơng gian Hình học Giải tích Bài tốn 1: Cho hai điểm A, B mặt phẳng ( α ) Tìm điểm M thuộc mp ( α ) cho MA + MB nhỏ Phương pháp: TH: Nếu A, B khác phía mp ( α ) M giao điểm AB với mp ( α ) TH: Nếu A, B phía mp ( α ) : B + Lấy A’ đối xứng với A qua mp ( α ) A Ta có MA’=MA + Do đó, MA + MB nhỏ ⇔ MA’ + MB nhỏ ⇔ M, A’, B thẳng hàng α ⇔ M = A'B I ( α ) M A’ Ví dụ 1: Trong khơng gian (Oxyz), cho hai điểm A ( 1;1;1) , B ( −4; − 10;12 ) mp(α ) : x − y − z + = Tìm điểm M thuộc mp(α ) cho MA+MB nhỏ Bài giải: Ta nhận thấy A, B nằm phía mp(α ) Gọi A’ điểm đối xứng A qua mp(α ) ⇒ A ' ( −1;5;3) + Ta có mp(α ) mặt phẳng trung trực AA’ nên M ∈ (α ) ⇒ MA ' = MA Nên, MA+MB nhỏ ⇔ MA’+MB nhỏ (Vì A’,B khác phía đ/v mp(α ) ) ⇔ M = A'B I ( α )  x = −1 + t  + Pt đường thẳng (A’B):  y = + 5t ( t ∈ R )  z = − 3t   x = −1 + t  x = −2  y = + 5t   ⇒  y = ⇒ M ( −2; 0; ) + Tọa độ M thỏa hệ   z = − 3t z =  x − y − z + =  Sáng kiến kinh nghiệm Trang6 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích Bài tốn 2: Cho hai điểm A, B mp ( α ) Tìm M thuộc mp ( α ) cho a.MA2 + b.MB ( a + b > ) nhỏ Phương pháp: uur uur r + Tìm điểm I thỏa a.IA + b.IB = (I điểm cố định) 2 2 Khi đó, a.MA + b.MB = ( a + b ) MI + a.IA + b.IB + Vì a.IA2 + b.IB khơng đổi nên a.MA2 + b.MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mp ( α ) Hệ quả: Cho hai điểm A, B mp ( α ) Tìm M thuộc m p ( α ) cho MA2 + MB nhỏ Phương pháp: A + Gọi I trung điểm AB Khi đó, MI = I B MA2 + MB AB − ⇒ MA2 + MB = MI + AB 2 + Vì AB khơng đổi nên MA + MB nhỏ 2 α M ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mp ( α ) Nhận xét: Bài tốn mở rộng: Cho n điểm A1 , A2 , , An cho mp(α ) Tìm M thuộc mp(α ) cho a1.MA12 + a2 MA2 + + an MAn ( a1 + a2 + + an > ) nhỏ Ví dụ 2a: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho A ( 3; 1; ) , B ( 1; 5; − ) mp Tìm M thuộc mp (α ) cho MA2 + MB nhỏ Sáng kiến kinh nghiệm Trang7 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích Bài giải: + Gọi I trung điểm AB ⇒ I ( 2;3; − 1) AB Ta có: MA + MB = MI + 2 2 Nên MA2 + MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mp ( α ) + Gọi d đường thẳng qua I vng góc với mp (α ) x = + t  ⇒ Pt (d):  y = + 3t ( t ∈ R )  z = −1 − 3t  + Ta có: M = (d ) ∩ ( α ) ⇒ M ( 1; 0;2 ) Ví dụ 2b: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho A ( −2; − 4; 8) , B ( 3; ; − ) mp ( α ) : x − 3y − z + = Tìm M thuộc mp cho MA2 + 3MB nhỏ Bài giải: uur uur r + Gọi I điểm thỏa IA + 3IB = ⇒ I ( 1; − 1; ) uuur uur uuur uur Ta có MA2 + 3MB = ( MI + IA ) + ( MI + IB ) = 5MI + 2IA + 2IB 2 Do đó, MA2 + 3MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mp (α) + Gọi d đường thẳng qua I vng góc với mp (α ) x = 1+ t  ⇒ Pt (d):  y = −1 − 3t ( t ∈ R ) z = − t  + Ta có: M = (d ) ∩ ( α ) ⇒ M ( 0;2;3) Bài toán 3: Cho hai điểm A, B đường thẳng (d) Tìm điểm M thuộc (d) Sáng kiến kinh nghiệm Trang8 Một số toán cực trị khơng gian Hình học Giải tích cho diện tích ∆MAB có giá trị nhỏ Phương pháp: + Gọi H hình chiếu M lên (d) S∆MAB = d MH AB B + Vì AB khơng đổi nên S∆MAB nhỏ ⇔ MH nhỏ M ⇔ MH đoạn vng góc chung AB (d) H A Ví dụ 3: Cho hai điểm A ( −2; 1; ) , B ( 2; ; ) đường thẳng (d ) : x −1 y z + = = Tìm điểm M thuộc (d) cho S∆MAB nhỏ Bài giải: + Gọi H hình chiếu M lên (d) ⇒ S∆MAB = MH AB Do đó, S∆MAB nhỏ ⇔ MH nhỏ ⇔ MH đoạn vng góc chung AB (d) x = 1+ t ur  + Pt tham số (d) :  y = 2t ( t ∈ R ) Ta có vtcp d: u1 = ( 1; 2; 1)  z = −2 + t   x = −2 + t ' uu r  ( t ' ∈ R ) Ta có vtcp AB: u2 = ( 2; 0; 1) + Pt tham số (AB):  y = z = + t '  Vì M ∈ d nên M ( + t ;2t ; − + t ) H ∈ ( AB) nên H ( −2 + 2t ';1;2 + t ' ) uuuur ur  MH u1 = ( −3 + 2t '− t ) + ( − 2t ) + ( + t '− t ) = t = ⇔ ⇔ + Ta có :  uuuur uur Vậy M(2;2;-1) t ' =  ( −3 + 2t '− t ) + ( + t '− t ) =  MH u2 = Bài toán : Cho mp(α ) mặt cầu (S) khơng có điểm chung Tìm hai điểm Sáng kiến kinh nghiệm Trang9 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích M, N thuộc mặt cầu (S) mp(α ) cho MN nhỏ Phương pháp : + Gọi N0 hình chiếu vng góc I lên mp(α ) M0 giao điểm IN0 với (S) (M0 thuộc đoạn IN) + Lấy điểm tùy ý M, N thuộc (S ),(α ) I Khi đó, ta có: IM + MN ≥ IN ≥ IN = IM + M N M Do đó, MN nhỏ M ≡ M0 , N ≡ N α N Ví dụ 4: Trong khơng gian (Oxyz), cho mp(α ) : x − y − z + 20 = mặt cầu (S ) : x + y + z2 − x − y − z − = Tìm hai điểm M, N thuộc mặt cầu (S) mp(α ) cho MN nhỏ Bài giải : Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; ; 1) bán kính R = Ta có: d ( I ,α ) = > R ⇒ mp(α ) mặt cầu (S) không giao  M ∈ (S )  Vì  N ∈ (α ) nên N hình chiếu I lên (α ) M = IN ∩ (S ) ,(M thuộc đoạn  MN  IN) x = 1+ t  + Pt đt(d) qua I vng góc với (α ) :  y = − 2t ( t ∈ R ) z = − t  x = 1+ t  y = − 2t  ⇒ t = −3 ⇒ N ( −2;7; ) + Tọa độ N thỏa  z = − t  x − y − z + 20 = Sáng kiến kinh nghiệm Trang10 Một số toán cực trị khơng gian Hình học Giải tích x = 1+ t  y = − 2t t = −1  ⇒ + Tọa độ M thỏa  z = − t t =  2  x + y + z − x − y − 2z − = = Với t = −1 ⇒ M ( 0;3;2 ) (loại M nằm ngồi đoạn IN) Với t = −1 ⇒ M ( 2; − 1; ) Bài toán 5: Cho đường thẳng ( ∆ ) điểm M nằm đường thẳng ( ∆ ) Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ( ∆ ) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn Phương pháp: Gọi I hình chiếu vng góc M lên đường thẳng ( ∆ ) Suy I cố định Giả sử mp(P) chứa ( ∆ ) H hình chiếu M lên mp(P) M Ta có: d ( M ; ( P ) ) = MH ≤ MI (MI khơng đổi) Do đó, d ( M ; ( P ) ) lớn H trùng với I uuu r Tức là, mặt phẳng (P) nhận MI làm vectơ pháp tuyến Ví dụ 5a: Cho đường thẳng ∆ : ∆ H I x −5 y + z +5 = = điểm M(2; 2; 0) Viết −1 −3 phương trình mặt phẳng (P) chứa ( ∆ ) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn Giải: + Gọi I hình chiếu vng góc M lên đường thẳng ( ∆ ) Suy I(3; 0; 1) uuu r + Áp dung tốn 5, ta có mp(P) nhận MI vectơ pháp tuyến uuu r Tóm lại, mp(P) qua I(3; 0; 1) nhận MI = ( 1; −2;1) làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình mp(P) là: x -2y + z – = Sáng kiến kinh nghiệm Trang11 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích Ví dụ 5b: Cho mặt phẳng ( α ) : x + y − mz + m − = điểm M(6; -1; 2) Tìm m để khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( α ) lớn Giải: x = t  + Ta thấy mp ( α ) chứa đường thẳng cố định ∆ :  y = − 2t z =  + Gọi I hình chiếu vng góc M lên đường thẳng ( ∆ ) Ta tìm I(2;3;1) + Áp dụng tốn 5, ta có mp ( α ) nhận uuur IM = ( 4;2;1) làm vectơ pháp tuyến r Mặt khác, n = ( 2;1; − m ) vectơ pháp tuyến mp ( α ) uuur r Từ đó, IM = ( 4;2;1) n = ( 2;1; − m ) phương Suy m = −1 Bài toán 6: Cho mặt phẳng ( α ) điểm A thuộc mặt phẳng ( α ) điểm B không thuộc mp ( α ) Xác định đường thẳng ( ∆ ) qua A nằm mp ( α ) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng ( ∆ ) nhỏ Phương pháp: + Gọi H hình chiếu vng góc B lên mp ( α ) Suy H cố định + Giả sử ( ∆ ) đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng ( α ) gọi B K hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ( ∆ ) Ta có: d ( B; ∆ ) = BK ≥ BH (BH không đổi) A Suy d ( B; ∆ ) nhỏ K trùng với H Tức là, đường thẳng ( ∆ ) qua H α K + Vậy đường thẳng ( ∆ ) đường thẳng qua A H Sáng kiến kinh nghiệm Trang12 H Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích Ví dụ 6a: Cho mặt phẳng ( α ) : x − y − 3z + = điểm A(-2; 5; 0) thuộc mp ( α ) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, nằm mp ( α ) cho khoảng cách từ B(1;0;-1) đến đường thẳng ( ∆ ) nhỏ Giải: + Gọi H hình chiếu vng góc B lên mp ( α ) Suy H(0; 1; 2) + Áp dung toán 6, ta có đường thẳng ( ∆ ) qua A H uuur Tức là, đường thẳng ( ∆ ) qua A(-2;5;0) nhận AH = ( 2; −4;2 ) làm vectơ phương Vậy phương trình ( ∆ ) là: x+ y −5 z = = −2 Ví dụ 6b: Cho mặt phẳng (P): x – y – 2z + = điểm A(3; 0; 2), B(1; 2; 3) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, song song với mp(P) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng ( ∆ ) nhỏ Giải: + Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với (P) Phương trình mp(Q): x – y – 2z + = Vì ( ∆ ) qua A song song với mp(P) nên ( ∆ ) thuộc mặt phẳng (Q) B Gọi H hình chiếu vng góc B lên mp(Q) Suy H(2 ; ; 1) + Áp dụng toán 6, A suy ( ∆ ) đường thẳng qua A H Vậy phương trình ( ∆ ) là: x−3 y z −2 = = −1 Q K P Sáng kiến kinh nghiệm Trang13 H Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích Một số ví dụ tương tự : Bài : Cho mặt phẳng ( α ) : x + y − z − = điểm A(1 ;4 ; 0) B(5;4; -7) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α ) cho MA + MB nhỏ Kết : M(1 ; ; -1) Bài : Cho mp ( α ) : x − y + z − = điểm A(5;1;4), B(2;0 ;3), C(2 ; ;2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α ) cho uuur uuur uuuu r MA + MB + MC nhỏ Kết quả: M(1; 1; 2) Bài 3: Cho mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = hai điểm A(1; -1 ; 0), B(0;-4 ;-2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α ) cho 2MA2 − MB nhỏ Kết quả: M(1;1;1)  x = + 2t x y −1 z −1  ; d2 : = = Bài 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1 :  y = t Với z =  A, B điểm thuộc đường thẳng (d2) mà AB không đổi Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d1) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Kết quả: M(1; -1; 2)  x = −1 + 3t  Bài 5: Cho đường thẳng ∆ :  y = t điểm A(1; 3; 0) Viết phương trình z = − t  mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ( ∆ ) cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Kết quả: (P): x – 2y + z – = Bài 6: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + = điểm B(1; 0; 4), A(2; 3;2) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua B, nằm mp(P) cho khoảng cách từ A đến ( ∆ ) lớn Sáng kiến kinh nghiệm Trang14 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích Kết : ( ∆ ) : x −1 y z − = = −1 −1 / Hiệu áp dụng: - Sau áp dụng vào giảng dạy cho em học sinh, đa số em thích thú học tập, hiểu vận dụng tốt - Qua nhận thấy em tự tin việc giải tốn phương pháp tọa độ khơng gian KẾT LUẬN : Ý nghĩa đề tài công tác :  Đề tài giúp thân tơi có thêm tư liệu để giảng dạy tài liệu nhỏ để em học sinh tham khảo  Các tốn tơi sử sụng tính chất cực trị khơng gian sau vận dụng vào giải Tuy nhiên, tốn giải theo cách khác Bài học kinh nghiệm hướng phát triển :  Qua viết này, hy vọng hệ thống cho em số toán nhỏ phân mơn hình học giải tích để giúp em học sinh thuận tiện gặp phải  Thông qua tiết dạy theo chuyên đề, mong muốn triển khai rộng rãi cho nhiều khối 12 trường THPT Nguyễn Du Đề xuất:  Bài viết tơi trình bày theo chủ ý cá nhân, chắn cịn nhiều thiếu xót chưa thật hồn chỉnh, tơi mong góp ý đồng nghiệp em học sinh Tài liệu tham khảo : Hình học Nâng cao 12 (SGK) Sáng kiến kinh nghiệm Trang15 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích Học ơn Hình học 12 (Tác giả Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc) Các đề thi tuyển sinh năm trước Tôi xin cam đoan sáng kiến thân viết, không chép người khác Ngãi Giao, ngày 10 tháng 01 năm 2017 Người viết Nguyễn Thanh Tài Xác nhận, đánh giá quan Sáng kiến kinh nghiệm Trang16 ... ? ?Hệ thống số toán cực trị không gian? ?? phương pháp giải để giúp em học sinh nắm phương pháp giải số tốn cực trị khơng gian làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giải pháp:  Nhằm hệ thống cho học sinh. .. (SGK) Sáng kiến kinh nghiệm Trang15 Một số tốn cực trị khơng gian Hình học Giải tích Học ơn Hình học 12 (Tác giả Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc) Các đề thi tuyển sinh năm trước Tôi xin cam đoan sáng kiến. .. khơng gian Hình học Giải tích  Kết hợp định tính định lượng nhằm giúp em hệ thống tố kiến thức học giúp em hứng thú học toán Phương pháp nghiên cứu giải pháp: Cho học sinh nhận xét chứng minh số