skkn một số bài TOÁN cực TRỊ TRONG HÌNH học GIẢI TÍCH lớp 12

tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,… Ta gặp toán tìm vị trí điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến điều kiện cực trị Đây dạng Toán khó, có chương trình nâng cao đề tuyển sinh Đại học cao đẳng Trong trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu thấy dạng toán không khó mà hay, lôi em học sinh giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt khéo léo kiến thức hình học túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích đưa toán toán quen thuộc Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích môn, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Được động viên, giúp đỡ thầy hội đồng môn Toán sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú Tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ Một số toán cực trị hình học giải tích lớp 12” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Kiến thức học, tập luyện tập nhiều - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học yêu thích môn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực chuyên đề - Được động viên BGH, nhận động viên đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập - Nhiều học sinh bị kiến thức hình học không gian, không nắm vững kiến thức hình học, vec tơ, phương pháp độ không gian - Đa số học sinh yếu môn hình học Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 1/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Số liệu thống kê Trong năm trước, gặp toán liên quan đến Cực trị hình học số lượng học sinh biết vận dụng thể qua bảng sau: Không nhận biết Số lượng Tỉ lệ ( %) Nhận biết, vận dụng Nhận biết biết vận dụng ,chưa giải hoàn chỉnh 20 22,2 9,9 60 66,7 Nhận biết biết vận dụng , giải hoàn chỉnh 1.1 III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ không gian để giải toán đặt Nội dung 2.1 Nhắc lại số dạng toán hay sử dụng a Tìm hình chiếu vuông góc điểm M lên mặt phẳng (α)  Gọi H hình chiếu vuông góc M lên (α)  Viết phương trình đường thẳng MH(qua M vuông góc với (α))  Tìm giao điểm H MH (α)  Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) ta tìm hình chiếu H M lên (α), dùng công thức trung điểm suy tọa độ M’ b.Tìm hình chiếu vuông góc điểm M lên đường thẳng d:  Viết phương trình tham số d  Gọi H  d có tọa độ theo tham số t  H hình chiếu vuông góc điểm M  lên d ud MH  Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 2/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12  Tìm t, suy tọa độ H 2.2 Các toán cực trị liên quan đến tìm điểm thỏa điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d    hay mặt phẳng (α) cho k1 MA1  k2 MA2   kn MAn có giá trị nhỏ Lời giải:      Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n   Biến đổi      k1 MA1 + k MA + + k n MA n = (k1 + k + + k n )MI = k MI   Tìm vị trí M MI đạt giá trị nhỏ Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d  : x- y+1 z = = hai điểm A  0;1;5 , 1 B  0;3;3 Tìm điểm M d cho   1) MA + MB có giá trị nhỏ   2) MA - 4MB có giá trị nhỏ Giải:    1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = I trung điểm AB I(0; 2; 4)        Khi MA + MB  MI + IA + MI  IB  MI có giá trị nhỏ  MI nhỏ M hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d x = + t   Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d: y = -1 + t z = t   Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) M hình chiếu vuông góc   I lên đường thẳng d IM.u  hay 3t – = t = Vậy M( 5; 0; 1)    2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = Ta có: (0 –x; –y; – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0) =>x = 0; y = 13 13 , z = , J(0; ; ) 5 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 3/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12         Khi MA - 4MB  MJ+ JA- 4(MJ  JB)  3MJ  MJ có giá trị nhỏ M hình chiếu vuông góc J lên đường thẳng d  18 17 ;t) M hình chiếu 5   vuông góc J lên đường thẳng d JM.u  hay 3t – = t =   Vậy M( 5; 0; 1) MA - 4MB có giá trị nhỏ Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t - Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = ba điểm A 1;0;1 , B  -2;1;2  , C 1;-7;0  Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho :      1) MA + MB  MC có giá trị nhỏ  2) MA -2MB  3MC có giá trị nhỏ Giải:     1) Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = G trọng tâm tam giác ABC G(0;-2;1)           Ta có MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = MG có giá trị nhỏ M hình chiếu vuông góc G lên mặt phẳng (α)  MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto phương x = 2t  Phương trình tham số MG y = -2-2t z = 1+3t  Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 =  17t  17   t  1    Vậy với M(-2; 0; -2) MA + MB  MC có giá trị nhỏ     2) Gọi I(x; y; z) điểm thỏa IA -2IB  3IC  Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0) 23  x = 4; y = - ; z = - , I(4;  23 ;  ) 2 2           Ta có: MA -2MB  3MC = MI+IA -2(MI  IB)  3(MI  IC ) = 2MI có giá trị nhỏ M hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng (α) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 4/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12  x = 4+2t  23  Phương trình tham số MI: y =  -2t   z =  +3t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 73 73 23 0t  2t)  3(   3t)  10   17t  34 2     245 135 ; ) MA -2MB  3MC đạt giá trị nhỏ Vậy với M(  ;  17 34 17 2(4  2t)  2( Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) cho tổng T = k1MA12  k2 MA22   kn MAn2 đạt giá trị nhỏ giá trị lớn Lời giải:     - Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n  - Biến đổi : T = k1MA12  k 2MA 22   k nMA 2n =    = (k1 + + k n )MI + k1IA12  k 2IA 22   k nIA 2n + MI(k1 IA1 + + k n IA n ) = kMI + k1IA12  k 2IA 22   k nIA n2 Do k1IA12  k 2IA 22   k nIA 2n không đổi, Biểu thức T nhỏ lớn MI nhỏ hay M hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng hay đường thẳng Chú ý: - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ MI nhỏ - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn MI nhỏ Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ 2) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 5/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Giải:    3 1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = I trung điểm AB I(2; ;  ) 2     Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA) +(MI + IB)     IA + IB2 +2MI +2MI(IA + IB) = IA + IB2 +2MI Do IA + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M hình chiếu vuông góc củaI lên (α) Đường thẳng IM qua điểm I có vtcp n α  (1; 2; 2)  x = 2+t   Phương trình tham số MI: y = + 2t   z =  +2t  Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 3  t  2(  2t)  2(   2t)    9t    t  1 2  M (1;  ;  ) 2 Vậy với M (1;  ;  ) MA2 + MB2 có giá trị nhỏ 2 Nhận xét: AB 2 2 Với I trung điểm AB MA + MB = 2MI + , AB2 không 2 2 đổi nên MA + MB nhỏ MI có giá trị nhỏ nhất, hay M hình chiếu vuông góc I lên (α)     2) Gọi J(x; y; z) điểm thỏa JA - JB -JB = Hay (1  x;  y; 1  z)  (3  x;1  y; 2  z)  (1  x; 2  y;1  z)  (0;0;0) 3  x    3  y   J(3; 3;0) z         Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) - (MJ + JB)  (MJ + JC)      J A  JB2  JC  MJ + 2MJ(JA  JB  JC)  JA  JB2  JC  MJ Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 6/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Do JA  JB2  JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn MJ nhỏ hay M hình chiếu J mặt phẳng (α)  Đường thẳng JM qua điểm I có vtcp n α  (1; 2; 2) x = 3+t  Phương trình tham số MJ: y = -3+ 2t z = 2t  Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình:  t  2( 3  2t)  2.2t    9t    t   23 35 ; ; ) 9 23 35 Vậy với M ( ;  ;  ) MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn 9  M( Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: x-1 y-2 z-3 = = điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ Giải:    1) Gọi điểm I(x; y; z) điểm thỏa IA -2 IB = Hay: ( x;1  y; 2  z)  2(2  x; 1  y;  z)  (0;0; 0) 4  x    3  y   I(4; 3;6) - 6+z       Ta có MA2 - 2MB2 = (MI + IA)  2(MI + IB)     IA  2IB  MI + 2MI(IA  IB)  IA  2IB2  MI Do IA - IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M hình chiếu vuông góc I lên d 2 x = 1+t   Đường thẳng d có vtcp u  (1; 2;1) , phương trình tham số d: y = 2+ 2t z = 3+ t  Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 7/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12  M  d  M(1  t;  2t;  t) , IM = ( t-3; 2t + ; t - 3) M hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d   2 IM.u   6t    t    M ( ; ; ) 3 3 3 Vậy với M ( ; ; ) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn Nhận xét: Ta dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí điểm M Với M  d  M(1  t;  2t;  t) Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2 = - 6t2 – 8t +5 Xét hàm số f (t )   6t – 8t  5, t  R Có đạo hàm f '(t )   12t – 8t , f '(t )   t   Bảng biến thiên t  f’(t)  +  23 f(t)   Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn t   3 3   Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn M ( ; ; )  2) Gọi điểm G(x; y; z) điểm thỏa GA + GB +GC = G trọng tâm tam giác ABC G(2; 1; 1)       Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC)     2 2 = GA  GB  GC +3MG + 2MG(GA  GB  GC) = GA  GB2  GC +3MG Do GA  GB2  GC không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ MG nhỏ nhất, hay M hình chiếu vuông góc G lên đường thẳng d  M  d  M(1  t;  2t;  t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 8/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Khi M hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d   1 GM.u   6t    t    M ( ;1; ) 2 Vậy với M ( ;1; ) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ 2 Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = hai điểm A,B không thuộc (α) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Lời giải: Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < A, B nằm hai phía với (α) Để MA + MB nhỏ M thuộc AB hay M giao điểm (α) AB Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 A, B nằm phía với (α) Khi ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ M thuộc A’B hay M giao điểm (α) A’B Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y – 2z + = hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Giải: Thay tọa độ A B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ M giao điểm AB (α)  Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB  (1; 1;0) làm vecto phương x   t  Phương trình tham số AB:  y  t z   Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: + t – 2(-t)- 2.2 + =  3t    t   3 Hay M ( ; ; 2) điểm cần tìm Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 9/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ 2) MA - MC có giá trị lớn Giải: 1) Thay tọa độ A B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm phía (α) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ M giao điểm A’B với (α)  Đường thẳng AA’ qua A vuông góc với (α), AA’ nhận n  (1; 1;2) làm vecto phương x  1 t  Phương trình tham số AA’:  y   t  z  1  2t  Tọa độ hình chiếu vuông góc H A (α) ứng với t phương trình 3 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) =  6t – = hay t =  H( ; ; 0) 2 x A ' = 2x H  x A   Do H trung điểm AA’ nên  y A ' =2y H  y A   A '(2; 1; 1)  z = 2z  z  H A  A'  A’B có vtcp A'B  (1;0; 3) x   t  Phương trình tham số A’B: y   z   3t  Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: + t – + 2(1 – 3t) =  5t    t  13 hay M ( ;1;  ) 5 13 ;1;  ) MA + MB có giá trị nhỏ 5 Vậy với M ( 2) Thay tọa độ A C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía (α).Vậy nên A’ C nằm phía (α) Ta thấy MA - MC  MA' - MC  A'C Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 10/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm D(1; -2; 3) cách điểm I(3; -1; -2) khoảng lớn Giải: (α) cách điểm I(3; -1; -2) khoảng lớn (α) mặt phẳng qua D vuông  góc với DI (α) nhận DI  (2; 1; -5) làm vecto pháp tuyến Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) =  2x + y – 5z + 15 = Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) mặt phẳng qua A Trong mặt cầu tâm A tiếp xúc với (α), viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn Giải: Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn (α) qua B vuông góc với AB  BA  (1; 2; 2) véctơ pháp tuyến (α) Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) =  x + 2y + 2z – = 11 1 3 R = d(A; (α)) 2 2 2 Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = Bài toán 2: Cho điểm A đường thẳng ∆ không qua A Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (α) lớn Lời giải: Gọi H hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (α), K hình chiếu vuông góc A lên ∆ Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn H ≡ K, (α) mặt phẳng qua ∆ vuông góc với AK Hay (α) qua ∆ vuông góc với mp(∆, A) Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B cách C khoảng lớn Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 18/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Giải: Mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B cách C khoảng lớn (α) qua hai điểm  A, B vuông góc với mp(ABC)  AB  (1; 1; 1) , AC  (2; 3; 2)    (ABC) có véctơ pháp tuyến n  [AB, AC ]  (1;4; 5)    (α) có véctơ pháp tuyến n  [n, AB]  (9  6; 3)  3(3;2;1) Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) =  3x + 2y + z – 11 = Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng d1 : x  y 1 z 1 x y  z 1    , d2 :  2 2 4 1) Chứng minh hai đường thẳng song song với 2) Trong mặt phẳng chứa d1, viết phương trình mặt phẳng (α) cho khoảng cách d2 (α) lớn Giải:  1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1  (1; 2; 2)  d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u  (2; 4; 4)   Ta thấy u  2u1 M1  d nên hai đường thẳng song song với 2) Xét (α1) mặt phẳng chứa d1 d2 (α1) có véctơ pháp tuyến     n1  [ u1 , M1M ]  (8; 2;6)  2(4;1;3)  2n Khoảng cách d2 (α) lớn (α) phải vuông góc với (α1)   [ u Do (α) nhận , n ]  (8; 11; 7) véctơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1) Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = hay 8x – 11y – 7z – 12 = Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α) qua A cách B khoảng lớn nhất, nhỏ Lời giải: Gọi H hình chiếu B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 19/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn A ≡ H hay ∆ đường thẳng nằm (α) vuông góc với AB Gọi K hình chiếu vuông góc B lên (α) d(B; (α)) = BH ≥ BK Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ K ≡ H hay ∆ đường thẳng qua hai điểm A, K Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = điểm A (-3; 3; -3) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua điểm A cách điểm B(2;3; 5) khoảng : 1) Nhỏ 2) Lớn Giải:  Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n  (2; 2;1) 1) Gọi H hình chiếu vuông góc B lên (α) x   t  Phương trình BH: y   2t z   t  Tọa độ điểm H ứng với t nghiệm phương trình: 2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + + t + 15=  t  2 hay H(-2; 7; 3) Ta thấy d(B; ∆) nhỏ ∆ qua hai điểm A, H AH  (1;4;6) véc tơ phương ∆ Phương trình ∆: x+3 y-3 z +3   2) Ta thấy d(B; ∆) lớn ∆ đường thẳng nằm (α), qua A vuông góc với AB    ∆ có véctơ phương u   [AB, n ]  (16;11; 10) Phương trình ∆: x+3 y-3 z +3   16 11 10 Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm C(2; -1; 3), vuông góc với đường thẳng d: x-3 y+2 z +5 cách điểm D(4; -2; 1)   khoảng lớn Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 20/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Giải:  Xét mặt phẳng (α) qua C vuông góc với d, (α) nhận u d  (1;2; 3) làm véctơ pháp tuyến, ∆ nằm (α) Do d(D; ∆) lớn nhấtkhi ∆nằm (α), qua C vuông góc với CD   ∆ có véctơ phương u   [CD, n ]  (1; 8;5) Phương trình ∆: x-2 y+1 z -3   8 x   t  Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) đường thẳng d: y  z  t  1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua d B 2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn 3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ Giải:   1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp u d  (1;0; -1) , MB  (2;2;0)    [u d , MB]  (2;2; 2)  2(1;1;1)  2n  (α) qua B nhận n  (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): x + y + z – = 2) Gọi H hình chiếu A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ ∆1 qua hai điểm B,H x   t  Phương trình tham số AH: y   t  z  1  t  Tọa độ H ứng với t nghiệm phương trình: + t + + t -1 + t – =  3t    t    4 4 BH  ( ; ; )  3  Ta thấy u1 u d 4  H( ; ; ) 3 3  4  (2; 1; 1)  u1  ∆1 nhận u1 làm véc tơ phương 3 không phương nên d ∆1 cắt (do thuộc mặt phẳng (α)) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 21/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Vậy phương trình ∆1: x+1 y-2 z   1 1 3) Gọi K hình chiếu A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn  khi K ≡ B hay ∆2 nằm (α)và  vuông góc với AB   Ta có [n , AB]  (0; 4; 4)  4(0;1; 1)  4u  ∆2 nhận u làm véc tơ   phương, mặt khác u u d không phương nên d ∆2 cắt (do thuộc mặt phẳng (α))  x  1  Phương trình ∆2: y   t  z  t  Chú ý : Ta dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý ý ví dụ Gọi ∆ đường thẳng tuỳ ý qua B cắt d, giả sử ∆ cắt d điểm  N(1+t, 0;-t), ∆ có véc tơ phương NB  (2  t ;2; t )    Ta có AB  (3;1;1) , [NB, AB]  (2  t ;2  2t ;4  t )   [NB, AB] (2  t )  (2  2t )  (4  t ) 3t  10t  12 Và d(A;∆) = =   t  2t  NB (2  t )2  22  (t ) Xét hàm số f (t )  16t  64t 3t  10t  12 f '( t )  có , với t  R (t  2t  4) t  2t  t  f '(t )    t  2 Bảng biến thiên f (t ) t  f’(t) + -2 - 11  + f(t) 3 Từ bảng biến thiên ta thấy: d(A;∆) lớn 11 t = -2  N(-1; 0;2) NB  (0;2; 2)  2(0;1; 1) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 22/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12  x  1  đường thẳng cần tìm có phương trình là: y   t  z  t   d(A;∆) nhỏ t =  N(3; 0;-2)  NB  (4;2;2)  2(2; 1; 1) đường thẳng cần tìm có phương trình : x+1 y-2 z   1 1 Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song nằm (α) không qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách ∆ d lớn Lời giải: Gọi d1 đường thẳng qua A song song với d, B giao điểm d với (α) Xét (P) mặt phẳng (d1, ∆), H I hình chiếu vuông góc B lên (P) d1 Ta thấy khoảng cách ∆ d    BH BH ≤ BI nên BH lớn I ≡ H, ∆ có vtcp u   [BI, n ] Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-1 y-2 z -3   , mặt phẳng (α): 2x – y – z + 1 = điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách ∆ d lớn Giải:   Đường thẳng d có vtcp u  (1; 2; -1), (α) có vtpt n  (2; -1; 1) x   t  Phương trình tham số d:  y   2t z   t  Gọi B giao điểm d (α), tọa độ B ứng với t nghiệm phương trình: 2+ 2t – – 2t – 3+ t + =  t = -1  B(0; 0; 4) Xét d1 đường thẳng qua A song song với d Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 23/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x  1  t  Phương trình tham số đường thẳng d1: y   2t z   t  Gọi I hình chiếu vuônggóc B lên d1  I(-1 + t; + 2t; – t), BI  (-1 + t; + 2t;-5– t)   Ta có BI.u   -1 + t + 2(1+  2t) –(-5– t) =  t = -1  I(-2; -1; 2) Đường thẳng ∆ có vtcp u   [BI, n ] = (-5; -10; 4) Phương trình ∆: x+1 y-1 z -1   5 10 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) đường thẳng ∆ : x+1 y z-4 = = Trong đường thẳng qua A song song 3 song với (P), viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách d ∆ lớn Giải: Mặt phẳng (α) qua A song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= => d nằm (α)   n Đường thẳng ∆ có vtcp u  (2;1;-3), (α) có vtpt   (1;1;-1) x  1  2t  Phương trình tham số ∆:  y  t  z   3t  Gọi B giao điểm ∆ (α), tọa độ B ứng với t nghiệm phương trình: -1+ 2t + t – (4- 3t) + =  t = 1  B(0; ; ) 2 Xét ∆1 đường thẳng qua A song song với ∆ x   2t  Phương trình tham số đường thẳng ∆1:  y  1  t  z   3t  Gọi H hình chiếu vuông góc B lên ∆1  H(1 + 2t; -1 + t; – 3t),  BH  (1 + 2t; t - ; -3t)   Ta có BI.u   + 4t + t - + 9t =  t =  28 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 24/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12   BH =( 13 43 1  ;  ; ) = (26; -43; 3) = u1 14 28 28 28 28    Đường thẳng d có vtcp u d  [u1 , n ] = (40; 29; 69) Phương trình d : x-1 y+1 z -2   40 29 69 Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 ∆2 phân biệt không song song với Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 tạo với ∆2 góc lớn Lời giải: Vẽ đường thẳng ∆3 song song với ∆2 cắt ∆1 M Gọi I điểm cố định ∆3 H hình chiếu vuông góc I lên mp(α), kẻ IJ  ∆1 Góc (α) ∆2 góc IMH Trong tam giác vuông HMJ có HM MJ  không đổi IM IM Suy góc IMH lớn MJ = MI hay H ≡ J, IMH =(∆1,∆2) (α) mặt phẳng chứa cos IMH = ∆1 đồng thời vuông góc với mặt phẳng (∆1,∆2)    Khi (α) nhận [u 1 ,[u 1 , u  ]] làm véctơ pháp tuyến Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-2 y+1 z-1   hai điểm A( 3; -4; 2), B( 1 4; -3; 4) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB tạo với d góc lớn Giải:   Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp u  (2; 1; 1) , AB  (1;1;2)    => n = [u, AB]  (3; 3;3)  3(1;1; 1)   Mặt phẳng (α) qua điểm A nhận [n, AB]  (3; 3;0)  3(1; 1;0) làm vecto pháp tuyến Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = hay x – y – = 1   Khi cos((α),d) = 5 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 25/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Trong mặt phẳng qua A vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với trục Oy góc lớn Giải:  Mp(p) có vecto pháp tuyến n P  (2; 1; 2) , Xét đường thẳng d qua  A vuông góc với (P),  d có véctơ phương n P  (2; 1; 2) , Oy có véctơ phương j  (0;1;0) nên d Oy không song song Theo toán (α) tạo với trục Oy góc lớn (α) chứa d vuông góc với mp(d,Oy)    Do (α) nhận [n P ,[n P , j ]] = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): 1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = hay x + 4y + z – = Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α) điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song nằm (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A tạo với d góc lớn nhất, nhỏ Lời giải: Vẽ đường thẳng d1 qua A song song với d Trên d1 lấy điểm B khác A điểm cố định, gọi K, H hình chiếu vuông góc B lên (α) ∆ Ta có góc (d, ∆) = BAH BH BK sin(d, ∆) = sin BAH = ≥ Do AB AB góc (d, ∆) nhỏ K ≡ H hay ∆ đường thẳng AK    Góc (d, ∆) lớn 900 ∆  d ∆ có vtcp u   [ud , n ] Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – = 0, điểm A(1; 2; -2) đường thẳng d: x+2 y-1 z -3   1 1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm (α), qua A tạo với d góc lớn 2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm (α), qua A tạo với d góc nhỏ Giải: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 26/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12   (α) có vectơ pháp tuyến n  (2;2; -1) , d có vectơ u d  (1;1;1) qua điểm   M(-2; 1; 3) Ta thấy A (α) mặt khác n u d  nên d không song song nằm (α) 1) ∆1 tạo với d góc lớn ∆  d   1 Do ∆1 có vectơ phương u1  [ud , n ] = (-3; 3; ) = -3(1; -1; 0) x   t  Phương trình tham số ∆1: y   t  z  2  2) Xét đường thẳng d1 qua A song song với d Phương trình d1: x-1 y-2 z +2   , lấy điểm B(2; 3; -1)  d1 1 Gọi K hình chiếu vuông góc B lên (α) x   2t  Phương trình tham số BK y   2t , tọa độ K ứng với t nghiệm  z  1  t  phương trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- – t) – =  9t + = hay t =  10 19 5  K( ; ; ) 9 9  1 13 ) 9 ∆2 tạo với d góc nhỏ qua hai điểm A K, AK  ( ; ;   ∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ phương u  9.AK  (1;1;13) Phương trình ∆2 : Ví dụ 2: d: x-1 y-2 z +2   1 13 Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) đường thẳng x-1 y-2 z -3   Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với 1 d tạo với AB góc nhỏ Giải:  Đường thẳng d có vectơ u d  (2;1;1) Xét mặt phẳng (α) qua A vuông góc với d  ∆ nằm (α)  (α) nhận u d  (2;1;1) làm vectơ pháp tuyến Phương trình (α): 2x + y + z – =  Gọi H hình chiếu vuông góc B lên (α), BH có vectơ u d  (2;1;1) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 27/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x  t  Phương trình tham số BH y  2  t , tọa độ H ứng với t nghiệm z  t  phương trình: 4t -2 + t + t – =  6t – =  t  4 hay H( ; ; ) 3 3 ∆ tạo với AB góc nhỏ qua hai điểm A H,  4 AH  ( ; ; ) 3   ∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ phương u   3.AH  (1; 4; 2) Phương trình ∆ : x-1 y z   4 2.3 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + = 1) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ 2) Tìm điểm N (α) cho NA + NC có giá trị nhỏ 3) Tìm điểm S (α) cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn    4) Tìm điểm P (α) cho PA +2PB  4PC có giá trị nhỏ Bài 2: Cho đường thẳng  d  : x-2 y + z+2 = = hai điểm A(3; 1; 1), -1 B(-1; 2; -3) Hãy tìm điểm M d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho đường thẳng  d  : x-2 y - z-2 = = hai điểm A(0; 1; 1), 2 B(1; 2; 3) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ x   3t x-1 y-2 z +1    Bài 4: Cho đường hai thẳng d1: y  2t d2: Trong mặt  z   2t  cầu tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2, viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ Bài 5: Cho hai điểm C(1; -2; 2) đường thẳng d có phương trình x-1 y- z +1   Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d khoảng cách từ 2 1 C đến (P) lớn Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 28/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x   t  Bài 6: Cho họ đường thẳng dm: y   (1  m)t , với t   z   mt  m tham số 1) Chứng minh họ dm qua điểm cố định nằm mặt phẳng cố định 2) Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ 3) Tìm m để khoảng cách từ dm trục Oy lớn 4) Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ Bài 7: Cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) đường thẳng d có phương trình x-3 y+2 z -1   Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I(-1; 1; 0), 2 vuông góc với trục Oy tạo với d góc Nhỏ Lớn Bài 8: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + = đường thẳng d: x-1 y-2 z -3   Trong mặt phẳng qua B vuông góc với (P), viết 1 phương trình mặt phẳng (α) tạo với d góc lớn Bài 9: Cho điểm A(0; -1; 1) ba đường thẳng ∆ : d1: x+1 y z-4 = = , 3 x y 1 z x+3 y+1 z-4 = = = = , d2: 1 3 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2 2) Trong đường thẳng qua A nằm (P), viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách d ∆ lớn Bài 10: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) D(-2;-1;-2)     1) Tìm điểm M cho MA + MB  MC  MD có giá trị nhỏ 2) Tìm điểm N mặt phẳng (ABC) cho NA2 – NB2 – 2ND2 có giá trị lớn 3) Cho (P) mặt phẳng qua D song song với (ABC), đường thẳng qua D mp(P) Hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách d trục Oz lớn Bài 11: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) đường thẳng d: x-1 y-2 z-3 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 29/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Bài 12: Cho hai điểm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) đường thẳng d: x-2 y-2 z-3 = = 2 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua C, nằm mặt phẳng (P): x + y + z -1 = cho khoảng cách từ D đến ∆ nhỏ Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) mặt phẳng (α): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với (α) tạo với Oz góc lớn Bài 14: Cho điểm A(2; -1; 0) hai đường thẳng có phương trình ∆1: x-1 y+1 z-1 x-2 y-1 z+3 = = = = , ∆2 : Trong đường thẳng qua A 1 1 cắt ∆1 viết phương trình đường thẳng ∆ cho khoảng cách ∆ ∆2 lớn Bài 15: Trong mặt cầu qua điểm E(1; 2; -2) tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2x – 2y + z – = Hãy viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ IV KẾT QỦA Chuyên đề thực giảng dạy tham gia dạy 12NC Luyện thi Đại học hai năm gần Trong trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết sau thực chuyên đề: Số lượng Tỉ lệ ( %) Không nhận biết 0.0 Nhận biết, vận dụng 3.3 Nhận biết biết vận dụng ,chưa giải hoàn chỉnh 50 55.6 Nhận biết biết vận dụng , giải hoàn chỉnh 37 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng toán cực trị hình học giải tích không gian nói chung đa dạng phong phú Mỗi toán lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Để đạt kết cao học sinh cần Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 30/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Quá trình áp dụng Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Hiệu sau sử dụng Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học tự nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chuyên đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh KẾT LUẬN Một toán có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Do chuyên đề nhiều chuyên đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể toán từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước toán khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 31/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Tuy nội dung chuyên đề rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, toán điển hình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Toán học tuổi trẻ năm 2010 Các dạng Toán LT ĐH Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 Long khánh,ngày 22 tháng 05 năm 2011 Người thực Nguyễn Ngọc Duật Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 32/32 [...]... tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn VII TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 2 Hình học 12 nâng... 11y – 7z – 12 = 0 Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải: Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 19/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Vậy khoảng... kết quả cao học sinh cần Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 30/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY 1 Quá trình áp dụng Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được một số kiến thức... giải được hoàn chỉnh 50 55.6 Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh 37 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng toán cực trị trong hình học giải tích không gian nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học. .. hàm số f(t) : t  f’(t)  - 1 3  0 +  f(t)  32 Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 khi t =  1 3 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 14/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 2 4 1 Hay với M( ; ; ) thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 2 3 3 3 Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì... Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 28/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x  1  t  Bài 6: Cho họ đường thẳng dm: y  1  (1  m)t , với t   z  1  mt  và m là tham số 1) Chứng minh họ dm luôn đi qua một điểm cố định và nằm trong một mặt phẳng cố định 2) Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ nhất 3)... tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải 2 Hiệu quả sau khi sử dụng Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu 3 Bài học kinh... Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 29/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Bài 12: Cho hai điểm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) và đường thẳng d: x-2 y-2 z-3 = = 2 2 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua C, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0 sao cho khoảng cách từ D đến ∆ là nhỏ nhất Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (α): 2x – y + z + 2 =... = 2 3 , AB = 2 2 Diện tích S MAB  1 AB.MH  6 2 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 16/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x  0 Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: y  t Trong các mặt cầu tiếp xúc z  2  t  với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất Giải: - Giả sử mặt cầu... với AB Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh Trang 17/32 tailieuonthi SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất Giải: (α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và vuông  góc với DI (α) nhận DI  (2; 1; -5)