Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12

www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, tìm tọa độ điểm… ta gặp toán tìm vị trí điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến điều kiện cực trị Đây dạng Toán khó, có chương trình nâng cao đề tuyển sinh Đại học, cao đẳng Trong trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 nghiên cứu, thấy dạng toán không khó mà hay, lôi em học sinh giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt khéo léo kiến thức hình học túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích đưa toán toán quen thuộc Với tinh thần trên, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, trình bày chuyên đề “ Một số toán cực trị hình học giải tích lớp 12” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Học sinh trang bị kiến thức, tập luyện tập nhiều - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học yêu thích môn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực chuyên đề Khó khăn - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập - Nhiều học sinh bị kiến thức hình học không gian, không nắm vững kiến thức hình học, vec tơ, phương pháp độ không gian - Đa số học sinh yếu môn hình học III NỘI DUNG Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ không gian để giải toán đặt Nội dung Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 1/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 2.1 Nhắc lại số dạng toán hay sử dụng a Tìm hình chiếu vuông góc điểm M lên mặt phẳng (α) - Gọi H hình chiếu vuông góc M lên (α) - Viết phương trình đường thẳng MH(qua M vuông góc với (α)) - Tìm giao điểm H MH (α)  Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) ta tìm hình chiếu H M lên (α), dùng công thức trung điểm suy tọa độ M’ b Tìm hình chiếu vuông góc điểm M lên đường thẳng d: - Viết phương trình tham số d - Gọi H  d có tọa độ theo tham số t H hình chiếu vuông góc điểm M lên d  -  ud MH  - Tìm t, suy tọa độ H 2.2 Các toán cực trị liên quan đến tìm điểm thỏa điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d hay mặt phẳng (α)    cho k1 MA1  k2 MA2   kn MAn có giá trị nhỏ PP chung:      Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n        Biến đổi k1 MA1 + k MA + + k n MA n = (k1 + k + + k n )MI = k MI Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d  : x- = y+1 = z hai điểm A  0;1;5 , B  0;3;3 1 Tìm tọa độ điểm M đương thẳng d cho:   1) MA + MB có giá trị nhỏ   2) MA - 4MB có giá trị nhỏ  Tìm vị trí M  MI đạt giá trị nhỏ Giải:    1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = I trung điểm AB I(0; 2; 4)        Khi MA + MB  MI + IA + MI  IB  MI có giá trị nhỏ   MI nhỏ  M hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d x = + t  Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d: y = -1 + t z = t   Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) M hình chiếu vuông góc I lên   đường thẳng d IM.u  hay 3t – =  t = Vậy M( 5; 0; 1) Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 2/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT  SÔBÀI  TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = Ta có: (0 –x; –y; – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0) 13 13  x = 0; y = , z = , J(0; ; ) 5         Khi MA - 4MB  MJ+ JA- 4(MJ  JB)  3MJ  MJ có giá trị nhỏ M hình chiếu vuông góc J lên đường thẳng d  18 17 ;t) M hình chiếu vuông góc J 5   lên đường thẳng d JM.u  hay 3t – =  t =   Vậy M( 5; 0; 1) MA - 4MB có giá trị nhỏ Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t - Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = ba điểm A 1;0;1 , B  -2;1;2  , C 1;-7;0  Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho :    1) MA + MB  MC có giá trị nhỏ    2) MA -2MB  3MC có giá trị nhỏ Giải:     1) Gọi G thỏa GA + GB +GC = G trọng tâm tam giác ABC G(0;-2;1)           Ta có MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = MG có giá trị nhỏ M hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α) Đường thẳng MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto phương nên phương trình tham số x = 2t MG là: y = -2-2t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: z = 1+3t  4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 =  17t  17   t  1    Vậy với M(-2; 0; -2) MA + MB  MC có giá trị nhỏ     2) Gọi I(x; y; z) điểm thỏa IA -2IB  3IC  Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0) 23 23 ; z = - , I(4;  ;  ) 2 2           Ta có: MA -2MB  3MC = MI+IA -2(MI  IB)  3(MI  IC ) = 2MI có giá trị nhỏ M  x = 4; y = - hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng (α)  x = 4+2t  Phương trình tham số đường thẳng MI: y =  23 -2t    z =  +3t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 2(4  2t)  2( 73 73 23 0t   2t)  3(  3t)  10   17t  2 34 Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 3/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12    Vậy với M(  ;  245 ;  135 ) MA -2MB  3MC đạt giá trị nhỏ 17 34 17 Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) cho tổng T = k1MA1  k2 MA22   kn MAn2 đạt giá trị nhỏ giá trị lớn PP chung:    - Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n  - Biến đổi : T = k1MA12  k 2MA 22   k nMA n2 =    = (k1 + + k n )MI + k1IA12  k 2IA 22   k n IA n2 + MI(k1 IA1 + + k n IA n ) = kMI + k1IA12  k 2IA 22   k n IA 2n Do k1IA12  k 2IA 22   k n IA n2 không đổi, Biểu thức T nhỏ lớn MI nhỏ hay M hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng hay đường thẳng Chú ý: - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ MI nhỏ - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn MI nhỏ Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ 2) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn Giải:    3 1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = I trung điểm AB I (2; ;  ) 2     2 Ta có: MA + MB = (MI + IA) +(MI + IB)     IA + IB2 +2MI +2MI(IA + IB) = IA + IB2 +2MI Do IA + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M  hình chiếu vuông góc I lên (α) Đường thẳng IM qua điểm I có vtcp n α  (1; 2; 2) Phương trình tham số MI:  x = 2+t   y = + 2t   z =  +2t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 3  t  2(  2t)  2(   2t)    9t    t  1  M (1;  ;  ) 2 2 Vậy với M(1;  ;  ) MA2 + MB2 có giá trị nhỏ 2 Nhận xét: Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 4/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 AB Với I trung điểm AB MA + MB = 2MI + , AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M hình chiếu vuông góc I lên (α)     2) Gọi J(x; y; z) điểm thỏa JA - JB -JB = Hay (1  x;  y; 1  z)  (3  x;1  y; 2  z)  (1  x; 2  y;1  z)  (0; 0; 0) 2 3  x    3  y   J(3; 3; 0) z         Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) - (MJ + JB)  (MJ + JC)      J A  JB2  JC  MJ + 2MJ(JA  JB  JC)  JA  JB2  JC  MJ Do JA  JB  JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn MJ nhỏ hay M hình chiếu J mặt phẳng (α)  Đường thẳng JM qua điểm I có vtcp n α  (1; 2; 2) x = 3+t Phương trình tham số MJ: y = -3+ 2t z = 2t  Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình:  t  2( 3  2t)  2.2t    9t    t   23 35  M( ;  ;  ) 9 9 Vậy với M ( 23 ;  35 ;  ) MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn 9 Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: x-1 y-2 z-3 điểm A(0;1;-2), = = B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm tọa độ điểm M d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ Giải:   1) Gọi điểm I(x; y; z) điểm thỏa IA -2 IB = 4  x   2) Hay: ( x;1  y; 2  z)  2(2  x; 1  y;  z)  (0;0;0)  3  y   I(4; 3;6) - 6+z       2 Ta có MA - 2MB = (MI + IA)  2(MI + IB)     IA  2IB  MI + 2MI(IA  IB)  IA  2IB2  MI Do IA - IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M hình chiếu vuông góc I lên d x = 1+t  Đường thẳng d có vtcp u  (1; 2;1) , phương trình tham số d:  y = 2+ 2t  z = 3+ t  Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 5/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12  M  d  M(1  t;  2t;  t) , IM = ( t-3; 2t + ; t - 3) M hình chiếu vuông góc   2 I lên đường thẳng d IM.u   6t    t    M ( ; ; ) 3 3 Vậy với M( ; ; ) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn 3 Nhận xét:Ta dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí điểm M Với M  d  M(1  t;  2t;  t) Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2 = - 6t2 – 8t +5 Xét hàm số f (t )   6t – 8t  5, t  R Đạo hàm f '(t )   12t – 8t , f '(t )   t   Bảng biến thiên    T f’(t) + 23 f(t)   Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn t   Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn M( ; ; )  3 33  2) Gọi điểm G(x; y; z) điểm thỏa GA + GB +GC = G(2;1;1) trọng tâm  ABC Ta có:       MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC)     = GA  GB2  GC +3MG + 2MG(GA  GB  GC) = GA  GB  GC +3MG Do GA  GB2  GC không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ MG nhỏ nhất, hay M hình chiếu vuông góc G lên đường thẳng d  M  d  M(1  t;  2t;  t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) Khi M hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d   1 GM.u   6t    t    M( ;1; ) 2 Vậy với M ( ;1; ) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ 2 Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = hai điểm A,B không thuộc (α) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ PP chung: Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 6/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < A, B nằm hai phía với (α) Để MA + MB nhỏ M thuộc AB hay M giao điểm (α) AB Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 A, B nằm phía với (α) Khi ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ M thuộc A’B hay M giao điểm (α) A’B Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – 2y – 2z + = hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Giải: Thay tọa độ A B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ M giao điểm AB (α)  Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB  (1; 1;0) làm vecto phương x   t Phương trình tham số AB:  y  t Tọa độ M ứng với t nghiệm pt: z   2 + t – 2(-t)- 2.2 + =  3t    t   Hay M ( ; ;2) điểm cần tìm 3 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ 2) MA - MC có giá trị lớn Giải: 1) Thay tọa độ A B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm phía (α) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ M giao điểm A’B với (α)  Đường thẳng AA’ qua A vuông góc với (α), AA’ nhận n  (1; 1; 2) làm vecto x  1 t phương nên phương trình tham số AA’:  y   t   z  1  2t Tọa độ hình chiếu vuông góc H A (α) ứng với t phương trình 3 2 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) =  6t – = hay t =  H( ; ; 0) x A ' = 2x H  x A   Do H trung điểm AA’ nên y A ' =2y H  y A   A '(2; 1; 1) A’B có vtcp A'B  (1;0; 3) z = 2z  z   A' H A x   t Phương trình tham số A’B:  y   z   3t  Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 7/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 + t – + 2(1 – 3t) =  5t    t  hay M(13 ;1;  ) 5 Vậy với M (13 ;1;  ) MA + MB có giá trị nhỏ 5 2) Thay tọa độ A C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía (α).Vậy nên A’ C nằm phía (α) Ta thấy MA - MC  MA' - MC  A'C Nên MA - MC đạt giá trị lớn M thuộc A’C phía đoạn A’C, tức M  giao điểm A’C (α) Đường thẳng A’C có vtcp A'C  (1; 3; 3) x   t Phương trình tham số A’C: y   3t  z   3t  Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) =  4t    t  hay M ( ;  ;  ) 4 4 Vậy với M ( ;  ;  ) MA - MC có giá trị lớn 4 Bài toán 4: Cho đường thẳng d hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB có giá trị nhỏ PP chung: Nếu d AB vuông góc với Ta làm sau: - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB vuông góc với d - Tìm giao điểm M AB (α) - Kết luận M điểm cần tìm Nếu d AB không vuông góc với Ta làm sau: - Đưa phương trình d dạng tham số, viết tọa độ M theo tham số t - Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB - Tính giá trị nhỏ hàm số f(t), từ suy t - Tính tọa độ M kết luận Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d  : x-1 = y + = z-3 hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3) 2 Hãy tìm điểm M d cho MC + MD đạt giá trị nhỏ Giải:  x   2t Đường thẳng d có phương trình tham số  y  2  2t z   t    qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp u  (2; 2;1) CD  (7;5; 4)   Ta có u CD = 14 -10 – =  d  CD Xét mặt phẳng (P) qua CD vuông góc với d  (P) qua điểm C(-4; 1; 1) nhận u  (2; 2;1) làm vecto pháp tuyến Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = hay 2x – 2y + z + = Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 8/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ M giao điểm d mp(P) Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: + 4t + + 4t + + t + =  9t + 18   t  2 Vậy M(-3; 2; 1) MC + MD đạt giá trị nhỏ bằng:  17 Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0) Hãy tìm điểm M trục Ox cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải:     Ox có vtcp i  (1;0;0) qua O(0; 0; 0), AB có vtcp AB  (1;1; 2) i.AB  1   Ox AB không vuông góc    Ta có [i , AB]OA = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = + +2 = nên AB Ox chéo x  t Phương trình tham số Ox:  y  M  Ox  M(t;0;0) z   S = MA + MB = (t -3)2    (t -2)2   = (t -3)2   (t -2)2  Ta phải tìm t cho S đạt giá trị nhỏ Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét điểm Mt(t; 0)  Ox hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) S = MtAt + MtBt Ta thấy At, Bt nằm phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – = S = MtAt + MtBt nhỏ M giao điểm Ox At'Bt  3t - = hay t  Vậy M ( ;0;0) điểm cần tìm Cách khác: Ta tìm điểm M phương pháp khảo sát hàm số Ta xét hàm số f  t   (t -3)2   (t -2)2  ( t  R ) f t   t 3  t  3 f t     t  2 4 t 3  t  3 (t  3)  t2   ; 1 t 2 t  2 4 (t  2)   t  3  2 0 1 (*) với điều kiện ≤ t ≤ ta có: t  2  2 (*)   t  3 [ t    1]   t   [ t  3  4] t   [2;3] t   2(t  2)   t  3   t      t  t   2(t  2)  Bảng biến thiên hàm số f(t) : T f’(t)  -  + Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 9/24 www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12   f(t) 38  10 7 Từ bảng biến thiên suy f  t   f   = 3 38  10 38  10 , đạt t  , tức M( ;0; 0) 3 Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ Ví dụ 3: Cho đường thẳng  d  : x-2 = y-2 = z -1 hai điểm A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0) Hãy 2 tìm điểm M d cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Giải:  x   2t Đường thẳng d có phương trình tham số  y   2t qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp z   t      u  (2;2;1) AB  (2;3; 1) Ta có u CD = + – = ≠  d không vuông góc với    AB [u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – =  d AB chéo - Chu vi tam giác MAB 2p = 2(MA + MB + AB), AB không đổi nên 2p đạt giá trị nhỏ MA + MB đạt giá trị nhỏ Xét điểm M  d  M(1  2t ; 2+2t;1  t ) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ Xét f  t   MA + MB = (2t  2)2  (2t  1)2  t  (2t )  (2t  2)  (t  1)2 f  t  = 9t  12t   9t  6t  = (3t  2)2   (3t  1)  Có đạo hàm f '(t )  3t  2  3t  (3t  2)  (3t  1)2  3t  3t 1 3t  (3t  1) f '(t )    0   với   t  2 2 3 (3t  2) 1 (3t 1)  (3t  2)  (3t  1)   (3t  2) [(3t  1)  4]  (3t  1) [(3t  2)2  1]  5 t   2(3t  2)  3t  1 2  4(3t  2)  (3t  1)    t   2(3t  2)  3t  t    Bảng biến thiên hàm số f(t) : T   f’(t) -  +  f(t)  32 Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 10/24