SKKN một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH GIẢI TÍCH MÔN : TOÁN KHỐI LỚP : 10 12 NHẬN XÉT CHUNG ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số : Bằng chữ : Giám khảo số 1: Giám khảo số 2: Năm học 2010 - 2011 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT NAM SÁCH II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH GIẢI TÍCH MÔN : TOÁN TÊN TÁC GIẢ : BÙI THỊ MẬN Xác nhận nhà trường,ký, đóng dấu PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: Chúng ta biết Toán học nói chung ngành khoa học gắn liền với suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính xác ngắn gọn Có nhiều ý kiến cho toán học khô khan nhàm chán rắc rối kí hiệu trừu tượng ngôn từ hình ảnh Nhìn nhận vấn đề gần trường THPT đa số em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ lo sợ học môn toán đặc biệt môn hình học Trong năm gần đây, đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng, toán cực trị hình học xuất ngày nhiều học sinh thường tỏ lúng túng giải dạng toán Đối với toán cực trị, thường có nhiều đương đến đích có cách giải ngắn gọn, hợp lí, có phương án độc đáo sáng tạo Với mong muốn góp phần rèn luyện tư sáng tạo học sinh, khơi dậy hứng thú học tập yêu thích môn toán qua toán cực trị, tìm tòi qua sách báo, đồng nghiệp để tìm phương pháp, tập phù hợp với học sinh Với mục đích xây dựng chuyên đề để bồi dưỡng cho học sinh trường, quan trọng nhằm mục đích bồi dưỡng chuyên môn cho thân mình, xin mạnh dạn đưa đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH GIẢI TÍCH” Mục đích nghiên cứu: - Đưa phương pháp giải số toán cực trị hình giải tích - Rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình giải tích - Giúp học sinh có nhìn dạng toán Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tuyển chọn xếp toán bản, hay theo trình tự hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng cách không khó khăn, tạo hứng thú cho học sinh gặp dạng toán - Đưa số nhận xét cách tiếp cận lời giải toán bản, điển hình Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: + Các toán cực trị hình học phẳng không gian + Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối THPT qua năm giảng dạy - Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống toán cực trị hình giải tích chủ yếu nằm chương trình THPT thuộc vào phần nâng cao, khai thác sâu kiến thức học sinh từ trở lên Hiện nay, dạng toán thường sử dụng đề thi vào trường Đại học, Cao đẳng Có thể nói dạng “không dễ” song “không khó” thường xuất học thi Vì đề tài có đối tượng phục vụ trước tiên đông đảo học sinh cấp THPT có mong muốn củng cố, khắc sâu kiến thức thi vào trường Đại học,Cao đẳng Kết cấu đề tài : Phần I : ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng , phạm vi nghiên cứu Kết cấu đề tài Phần II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý thuyết Biện pháp thực Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Quá trình thực Một số kết luận kiến nghị PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương trình mặt phẳng : r • Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =  Ax + By + Cz + D = (với D = - (Ax0 +By0 +Cz0) ) r r • Nếu (P) có cặp vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ) không phương có giá song song nằm (P) vectơ pháp tuyến (P) xác định: r r  a a a 3a1 a1a   a = n =  , b   b b ; b b ; b b ÷= (a2b3 −a3b2 ; a3b1 −a1b3 ; a1b2 −a2b1 ) 1   1.2 Phương trình đường thẳng : - Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0;z0) có vec tơ r phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) :  x = x0 + a1t   y = y0 + a2t (t ∈ R) z = z + a t  - Nếu a1, a2 , a3 khác không Phương trình đường thẳng ∆ viết dạng tắc sau: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 1.3 Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước: * Trong mặt phẳng, cho điểm A( xA ; y A ) , B( xB ; yB ) Khi : AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) uuur uuur Điểm M(x,y) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k : MA = k MB xác định công thức sau: x= x A − kxB 1− k y= y A − kyB 1− k * Trong không gian, cho điểm A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) Khi : AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A )2 + ( z B − z A ) uuur uuur Điểm M(x,y,z) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k : MA = k MB đựơc xác định công thức sau: x= x A − kxB 1− k y= y A − kyB 1− k z= z A − kz B 1− k 2.Biện pháp thực Ta xét số toán sau: 2.1 Bài toán 1: x = t  y = 2t + Cho hai điểm A(1;2), B(0;-1) đường thẳng (d) :  Tìm M ∈ (d) cho: a) (MA+MB) nhỏ b) | MA-MB| lớn Trong hình học phẳng ta biết: +/ Nếu A,B nằm hai phía (d) thì: (MA+MB)min  M= (AB) I (d) +/ Nếu A,B nằm phía (d) B’ điểm đối xứng B qua (d) thì: (MA+MB)min  M= (AB’) I (d) +/ Nếu A,B nằm phía (d) mà (AB) cắt (d) thì: MA-MB max  M= (AB) I (d) +/ Nếu A,B nằm hai phía (d) B” điểm đối xứng B qua (d) mà (AB”) cắt (d) thì: MA-MB max  M= (AB”) I (d) Dựa vào kết dã biết hình học phẳng ta giải toán Tuy nhiên việc tính toán phức tạp Cụ thể là: + Nếu phương trình (d )được cho dạng tham số ta buộc phải chuyển dạng tổng quát để kiểm tra A B nằm phía hay hai phía (d) + Nếu phải tìm tọa độ điểm B’ (trong câu a) B”(trong câu b) việc tính toán khó khăn hoctoancapba.com Để khắc phục tình trạng trên, xin đưa lời giải khác sau: a) Vì M ∈ (d) nên M( t ; 2t + 1) Khi ta có : MA + MB = (t − 1) + (2t − 1) + t + (2t + 2) = 5t − 6t + + 5t + 8t +  4  =  (t − )2 + + (t + ) + ÷ 25 25 ÷   −4 Xét A '( : − ) , B '( : ) , M '(t : 0) 5 5 Khi MA+MB= (M’A’+M’B’) A y B' x O A' B Vì M’ chạy trục hoành A’,B’ nằm hai phía trục Ox nên (MA+MB)min (M’A’+M’B’)min  M’= (A’B’) ∩ Ox −1 M ' A ' −1 −1 2 19  −4  = = ⇒ M ' chia đoạn  ;  theo tỉ số ( ;0) => M ( ; )  nên M’ 2 15 15 15 M 'B'  5 b/ Tương tự câu a) ta có: MA − MB = 4 (t − ) + − (t + ) + 25 25 −4     Xét A”  ; ÷; B "  ; ÷; M "(t;0) 5 5  5 Khi MA-MB = (M”A”-M”B”) A y B'' A'' M'' x O B Vì M” chạy trục Ox A”;B” nằm phía trục Ox nên : MA-MB max  M”A” − M”B” max M” = (A”B”) I Ox M ' A' = = ⇒ M " ( 2;0 ) ⇒ M ( 2;5 )  M 'B' 2 Ý tưởng lời giải dựa vào kết biết hình học phẳng Tuy nhiên thay đường thẳng (d) trục Ox xét vị trí tương đối điểm làm cho độ phức tạp tính toán giảm nhiều 2.2 Bài toán 2: −2 −1  ; ÷ đường thẳng (d) có phương 3 3   Trong không gian cho điểm A(1;0;1), B  ; trình tham số: x=t (d): y=t , t∈ R z = 1-t Tìm M ∈ (d) cho: a) (MA+MB) nhỏ b) MA-MB lớn Cách giải hình học không gian: + Để giải câu(a) ta tìm điểm biểu diễn B’ ảnh B qua phép quay quanh trục (d) với góc quay thích hợp cho A;B’;(d) đồng phẳng A, B’ nằm hai phía với (d) đó: (MA+MB)min  M= (AB’) I (d) + Để giải câu(b) ta tìm điểm B” ảnh B qua phép quay quanh trục (d) với góc quay thích hợp cho A;B”;d đồng phẳng A;B” nằm phía (d) Khi (AB”) cắt (d) : MA-MB max  M= (AB”) I (d) Dựa vào kết biết hình học không gian, ta giải toán2 Tuy nhiên việc tìm tọa độ điểm B’(trong câu a))hoặc B”(trong câu b)) buộc ta phải thực phép tính phức tạp Để khắc phục tình trạng này, ta lại tiếp tục ý tưởng có lời giải tập a) Vì M∈ (d) Nên M có tọa độ (t;t;1-t) đó: 4 MA + MB = (t − 1) + t + ( −t ) + (t − ) + (t + ) + ( − t ) = 3t − 2t + 12 + 3t − 4t + 3  2 =  (t − ) + + (t − ) +  9   ÷ ÷  −2 B '( ; ), M '(t ;0) 3 Xét : A '( ; ), 3 Khi MA + MB = (M’A’+M’B’) A y A' M' x O B' B Vì M’ chạy trục Ox A’; B’ nằm hai phía trục Ox nên: (MA+MB)min  (M’A’+M’B’)min  M’= (A’B’) ∩ Ox A'M ' 4 ⇔ = = − ⇔ M '( ;0) ⇔ M ( ; ; ) 9 9 M ' B ' −2 b) Tương tự câu (a) có : Đặt A "( ; ) 3  2 MA − MB =  (t − )2 + − (t − ) +  9  2 B "( ; ) 3 M "(t; 0) Khi : MA − MB = M '' A ''− M '' B '' 10  ÷ ÷  A y B'' A'' x O B Vì M” chạy Ox A”;B” nằm phía với trục Ox nên: MA-MB max  M”A” − M”B” max  M”= (A”B” ) ∩ 0x  M " A" = =  M "B" 2 M "(0; 0) ⇔ M (0;0;1) Trong lời giải ta thay đường thẳng (d) trục Ox biết vị trí tương đối điểm mà chuyển hệ thống không đồng phẳng gồm hai điểm A;B đường thẳng (d) thành hệ thống đồng phẳng gồm hai điểm A’ B’ trục Ox (trong câu a)) hệ thống đồng phẳng gồm hai điểm A” B” trục Ox (trong câu b)) nguyên nhân giúp ta có lời giải đơn giản 2.3 Bài toán : Trong không gian cho hai điểm A,B đường thẳng (d) Tìm điểm M (d) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ hoctoancapba.com Phương pháp giải : - Với M thuộc (d) kẻ MH vuông góc với AB Cạnh AB không đổi Khi diện tích tam giác ABM có giá trị nhỏ độ dài đoạn MH nhỏ - Trong trường hợp (AB) vuông góc với (d) => M giao (d) mặt phẳng chứa (AB) vuông góc với (d) 11 - Nếu (AB) (d) chéo => MH đoạn vuông góc chung (AB) (d) Bài toán quy tìm điểm M chân đường vuông góc chung (AB) (d) Vậy toán phải thực theo bước sau: - Điểm M chân đường vuông góc chung đường thẳng (d) (AB), M điểm thuộc (d) - Tìm véc tơ phương ( ∆ ) đường vuông góc chung (AB) (d) - Lập phương trình mp(P) qua (AB) chứa đường vuông góc chung - Tìm giao điểm M (P) (d) Ví dụ : Trong không gian cho hai điểm A(1;-1;0), B(1;0;1) đường thẳng (d) có phương trình : x = -1+t (d) y = 1+t z = -2 Tìm điểm M (d) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Lời giải Ta có : Giả sử N(-1;1;-2) (d) kẻ A d M ∈ (d ) ∈ MH ⊥ AB M H B AB.MH uuu r r r r uuu ud = (1;1;0) ; AB = ( 0;1;1) ⇒ ud AB = ≠ SVABC = uuu r uu r uuur uuur uu r uuur  AB, ud  AN = −6 ≠ ⇒ AB, ud , AN không đồng phẳng   12 => (AB) (d) chéo Gọi ( ∆ ) đưòng vuông góc chung (AB) (d) uuur r r r ⇒ u∆ =  AB, ud  = ( −1;1; −1) ⇒ u∆ = ( 1; −1;1) r uuu r r Gọi (P) mặt phẳng chứa (AB) ( ∆ ) ⇒ nP =  AB, u∆  = ( 2;1; −1) Do A ∈ ( P) nên mp(P) có phương trình (P) : 2x+y-z=1 Lại có M = ( P) ∩ (d ) => M ∈ (d ) ⇒ M (−1 + t ;1 + t ; −2) Do M ∈ (P) nên thay toạ độ M vào phương trình (P) ta có t = => M(-1;1;-2) Vậy M (-1;1;-2) thảo mãn yêu cầu toán 2.4 Bài toán 4: Trong không gian, cho mặt phẳng (P) hai điểm A,B có toạ độ cho trước Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho : MA+MB đạt giá trị nhỏ Phương pháp giải : Để tìm điểm M thoả mãn tính chất ta thực theo bước sau: Bước : Xét vị trí tương đối A,B mặt phẳng (P) cách tính : tA=axA + byA+czA+d ; tB=axB + byB+czB +d * Nếu tA.tB >0  A,B phía (P) Thực bước * Nếu tA.tB <  A,B không phía (P) Thực bước Bước : Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (P) - Viết phương trình tham số đường thẳng (A1B) - Tìm toạ độ giao điểm N (A1B) (P).Thực bước Bước 3: Viết phương trình tham số đường thẳng (AB) Tìm toạ độ giao điểm N (AB) (P).Thực bước Bước 4: Ta chứng minh MA+MB nhỏ M ≡ N : Thật vậy: Lấy điểm M thuộc (P) ta có : MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B = NA1 + NB 13 Dấu “=” xảy M ≡ N Bước 5: Ta chứng minh MA+MB nhỏ M ≡ N Thật : Lấy điểm M thuộc (P) ta có : MA + MB ≥ AB = NA + NB Dấu “=” xảy M ≡ N * Chú ý: Phương pháp sử dụng để tìm M ∈ ( P) cho: |MA-MB| lớn Ví dụ 2: Cho hai điểm A(-7;4;4),B(-6;2;2) mặt phẳng (P):3x-y-2z+19=0 Tìm M ∈ (P) cho: a) MA+MB đạt giá trị nhỏ b) | MA-MB| đạt giá trị lớn Lời Giải a) MA+MB đạt giá trị nhỏ - Xác định vị trí tương đối hai điểm A,B mặt phẳng (P), ta có : tA.tB = (3.(-7)-4-2.4+19).(3.(-6)-2-2.3+19) =98 > 0=> A,B phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P) r Mặt phẳng (P) có : n ( 3; −1; −2 ) Đường thẳng (AA1) xác định : Qua A(-7;4;4) x = -7+3t  (AA1) : (AA1) : r Vtcp n ( 3; −1; −2 ) y = 4-t (t ∈ R ) z = 4-2t * Gọi H hình chiếu vuông góc A lên (P) Ta có H = ( AA1 ) ∩ ( P ) Thay x,y,z từ phương trình tham số (AA1) vào (P), ta :t =  H(-4;3;2) Vì H trung điểm AA1 nên ta có : A1(-1;2;0) * Phương trình tham số đường thẳng (A1B): 14 Qua A1(-1;2;0) x = -1-5t  (A1B) : (A1B) : uuur Vtcp A1B ( −5;0;3) y=2 (t ∈ R ) z = 3t * Gọi N giao điểm (A1B) (P) Để tìm toạ độ N ta thay x,y,z từ phương trình tham số (A1B) vào pt (P) ta : t =  13  ⇒ N  − ; 2; ÷   Ta chứng minh MA+MB nhỏ M ≡ N Thật : Lấy điểm M thuộc (P) ta có : hoctoancapba.com MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B = NA1 + NB Dấu “=” xảy M ≡ N  Vậy điểm M  − 13  ; 2; ÷ thoả mãn điều kiện   b) | MA-MB| đạt giá trị lớn Ta có: A,B phía (P) * Phương trình tham số đường thẳng (AB): Qua B(-6;2;3) x = -6+t  (AB) : (AB) : uuur Vtcp AB ( 1; −2; −1) y = 2-2t (t ∈ R ) z = 3- t * Gọi N giao điểm (AB) (P) Để tìm toạ độ N ta thay x,y,z từ phương trình tham số (AB) vào pt (P) ta : t = ⇒ N ( −5; 0; ) * Ta chứng minh |MA-MB| lớn M ≡ N Thật : Lấy điểm M thuộc (P) ta có : | MA − MB |≤ AB =| NA − NB | Dấu “=” xảy M ≡ N Vậy điểm M ( −5;0; ) thoả mãn điều kiện Ví dụ 3: 15 Cho hai điểm A(1;1;2), B(2;1;-3) mặt phẳng (P) có phương trình :2x+y-3z-5=0 Tìm M mặt phẳng (P) cho : a) MA+MB đạt giá trị nhỏ b) |MA-MB| đạt giá trị lớn Lời giải: a) MA+MB đạt giá trị nhỏ - Xác định vị trí tương đối hai điểm A,B mặt phẳng (P), ta có : tA.tB = (2.1+1-3.2-5).(2.2+1-3.(-3)-5) =-72 < => A,B không phía (P) Đường thẳng (AB) xác định : Qua A(1;1;2) x=t  (AA1) : (AB) : y=1 uuur Vtcp AB ( 1;0; −5 ) (t ∈ R ) z = 2-5t Gọi N giao điểm (AB) (P) Để tìm toạ độ N ta thay x,y,z từ phương trình tham số (AB) vào pt (P) ta : t =  25 −6  ⇒ N  ;1; ÷ 17  17 17  * Ta chứng minh MA+MB nhỏ M ≡ N Thật : Lấy điểm M thuộc (P) ta có : MA + MB ≥ AB = NA + NB Dấu “=” xảy M ≡ N  25 −6  ;1; ÷ thoả mãn điều kiện  17 17  Vậy điểm M  b) |MA-MB| đạt giá trị lớn Ta có : A,B khác phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P) r Mặt phẳng (P) có : n ( 2;1; −3) Đường thẳng (AA1) xác định : Qua A(1;1;2) x = 1+2t  (AA1) : (AA1) : r Vtcp n ( 2;1; −3) y = 1+t z = 2-3t 16 (t ∈ R ) * Gọi H hình chiếu vuông góc A lên (P) Ta có H = ( AA1 ) ∩ ( P ) Thay x,y,z từ phương trình tham số (AA1) vào (P), ta :t =  15 11   H  ; ; ÷  7 7  23 15 −10  Vì H trung điểm AA1 nên ta có : A1  ; ; ÷  7  * Phương trình tham số đường thẳng (A1B): Qua B(2;1;-3) x = +9t  (A1B) : (A1B) : uuur  11  r Vtcp BA1  ; ; ÷ hay Vtcp u ( 9;8;11) 7 7  y = 1+8t (t ∈ R ) z = -3+11t * Gọi N giao điểm (A1B) (P) Để tìm toạ độ N ta thay x,y,z từ phương trình tham số (A1B) vào pt (P) ta : t =  95 79 78  ⇒N ; ; ÷  7  Ta chứng minh |MA-MB| lớn M ≡ N Thật : Lấy điểm M thuộc (P) ta có : | MA − MB |=| MA1 − MB |≤ A1 B =| NA − NB | Dấu “=” xảy M ≡ N  Vậy điểm M  95 79 78  ; ; ÷ thoả mãn điều kiện  7  2.5 Bài toán 5: Trong không gian cho mặt phẳng (P) hai điểm A,B có toạ độ cho trước Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho hệ thức : P.MA2 + Q.MB đạt giá trị nhỏ (Với tổng hệ số P+Q số dương ) Phương pháp giải : 17 uu r uur r - Tìm I thoả mãn hệ thức : P.IA + Q.IB = - Biểu thức : P.MA2 + Q.MB = ( P + Q ) IM + C (C số, P+Q số dương) Khi tổng P.MA2 + Q.MB đạt giá trị nhỏ độ dài MI nhỏ ⇔ M I ⊥ ( p ) Bài toán quy : - Tìm toạ độ điểm I thoả mãn hệ thức véctơ - Tìm toạ độ điểm M hình chiếu vuông góc I (P) Ví dụ : Cho hai điểm A(1;7;1), B ( 5;5; −3) mặt phẳng (P) : x+2y-2z+1=0 Tìm M nằm (P) cho MA2 + MB đạt giá trị nhỏ Lời giải A I B M P uu r uur r Giả sử I thoả mãn IA + IB = =>I trung điểm AB => I(3;6;-1) ⇒ MA2 + MB = MI + AB 2 ⇒ ( MA2 + MB ) ⇔ M I (do AB cố định) ⇔ M I ⊥ ( p ) r r ⇒ nP = ( 1; 2; −2 ) = uIM x = 3+t Khi IM có phương trình tham số : (MI) y = 6+2t z = -1-2t 18 Mà M nằm mặt phẳng (P) : x+2y-2z+1=0 nên M giao điểm (P) đường thẳng IM Khi toạ độ M nghiệm hệ phương trình sau: x = 3+t y = 6+2t z = -1-2t => t = -2 => M(1;2;3) x+2y-2z+1=0 Vậy M(1;2;3) điểm thoả mãn yêu cầu 2.6 Bài tập - Đáp án Bài : (Đề 97-Va ) Tìm trục hoành điểm P cho tổng khoảng cách từ P đến hai điểm A(1;2) B(3;4) nhỏ Bài : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vuông góc Oxy,cho đường thẳng (d) có phương trình 2x – 3y + 18 = điểm A(2;3) ,B(-6;0) Tìm điểm M đường thẳng (d) cho MA+MB nhỏ Bài : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vuông góc Oxy ,cho đường thẳng (d) có phương trình : x–2y+2=0 hai điểm A(0;6),B(2;5) Tìm đường thẳng (d) điểm M cho: a) (MA+MB) nhỏ b) | MA-MB| lớn Bài (CĐ NÔNG LÂM - 2000) 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1;0) ,B(2;1) đường thẳng (d) có phương trình 2x – y + = Tìm điểm M đường thẳng (d) cho MA+MB nhỏ so với điểm lại (d) Viết toạ độ điểm M Bài Cho hai điểm A(1;2;-1), B( − ; ;-3 ) đường thẳng (d) có phương trình : x + y +z -3 =0 (d) y+z-5=0 Tìm điểm M đường thẳng (d) cho MA+MB nhỏ hoctoancapba.com Bài (ĐHQY-96) Cho hai điểm A(1;1;0) ;B(3;-1;4 ) đường thẳng (d) : x +1 y −1 z + = = Tìm điểm −1 M đường thẳng (d) cho tổng độ dài MA+MB nhỏ Bài (CĐ SP KONTUM ( KA- 2003)) 2x +3y – = Cho đường thẳng (d) : điểm A(1,2,-1) ; B(7;-2;3) y+ z – = Trên(d) ,tìm điểm I cho độ dài đường gấp khúc IAB ngắn Bài : (CĐ SƯ PHẠM BÌNH PHƯỚC -2004 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;1) ;B(-2;3;7 ) đường thẳng (d) có phương trình : x − y − z +1 = = Tìm điểm M đường thẳng (d) −2 −3 cho : MA+MB nhỏ Bài toán : Trong không gian cho hai điểm A(1;0;-1) ,B(1;1;0) đường thẳng (d) có phương trình : tích nhỏ x −1 y + z = = Tìm điểm M (d) cho tam giác MAB có diện −1 20 Bài 10 (ĐHNNI-97) Cho hai điểm A(1;2;3) ;B(4;4;5 ) a)Viết phương trình đương thẳng (AB) Tìm giao điểm P mặt phẳng (Oxy) CMR với điểm Q ∈ ( Oxy ) , biểu thức |QA-QB| có giá trị lớn Q trùng với P b) Tìm điểm M thuộc (Oxy) cho tổng độ dài MA+MB nhỏ Bài 11 (HVKTQS-94) Cho hai điểm A(-1;3;-2) ;B(-9;4;9 ) mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0 Tìm điểm M thuộc (P) cho MA+MB nhỏ Bài 12 (ĐH Huế/A hệ chưa phân ban -97) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0 hai điểm A(3;1;0) ;B(-9;4;9 ) Tìm điểm M thuộc (P) cho |MA-MB| đạt giá trị lớn Bài 13 (ĐHQG – 2000 ) Cho mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 hai điểm A(1;-3;0) ;B(5;-1;-2 ) a) Chứng tỏ đường thẳng qua A,B cắt mặt phẳng (P) điểm I Tìm toạ độ điểm I b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho |MA-MB| đạt giá trị lớn Bài 14 (ĐH,CĐ 2007 - Khối D) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai điểm A(1;4;2) ;B(-1;2;4 ) đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : x −1 y + z = = Tìm điểm M ( ∆ ) cho : MA 2+MB2 −1 nhỏ Đáp số 21 Bài : P( ;0 ) Bài 2: M ( −36 90 ; ) 19 19 Bài 3: a)M ( 11 19 ; ) b) M(( 5; ) Bài M ( Bài 7: −8 17 ; ) 11 11 Bài I(2;0;4)  4 M  2; ; − ÷  3 Bài : M(1;-1;2) −5 −12  ; ; ÷  11 11 11   Bài 9: M  Bài 8: M(0;4;2) x =1+3t Bài 10 :a) (AB): y = 2+2t   Toạ độ điểm P  − ; −1;0 ÷  , t∈ R  z = 3+2t  17 22  ; ;0 ÷  8  b) M  Bài 11: M(-1;2;3) Bài 12: M(7;2;-13) Bài 13:a) I( 4; −3 −3 ; ) 2 b) M(6;-1;-4) Bài 14: M(-1;0;4) Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Quá trình thực : Để thực đề tài tìm đọc nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn tập phù hợp với nội dung cần phân tích Qua năm giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt môn hình học cụ thể toán cực trị hình giải tích cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết cần vận dụng phương pháp chứng minh Nắm vững yếu tố giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt Thực tế cho thấy, học sinh hào hứng thích thú thực đề tài kết tương đối khả quan Nếu trước đó, học sinh thường làm dạng tập thời gian việc lựa chọn để có kết gọn khó em 22 chán nản Sau áp dụng đề tài kết có tiến rõ rệt thời gían làm giảm nhiều hoctoancapba.com Một số kết luận kiến nghị : Tuy đề tài hữu ích xong phương pháp nhiều phương pháp để giải toán cực trị hình giải tích Việc tích cực đọc tài liệu khai thác toán theo nhiều khía cạnh không mong muốn mà thuộc tất say mê môn toán Do thời gian có hạn điều kiện nghiên cứu hạn chế nên đề tài không tránh khỏi sai sót, mong quan tâm, góp ý bảo Ban giám hiệu nhà trường, đồng nghiệp tổ Toán toàn thể bạn quan tâm đến đề tài để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn đồng chí tổ Toán góp ý, động viên để hoàn thành tốt đề tài MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Phần I : ĐẶT VẤN ĐỀ Phần II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý thuyết Biện pháp thực 2.1 Bài toán 2.2 Bài toán 2.3 Bài toán 2.4 Bài toán 11 2.5 Bài toán 23 15 2.6 Bài tập - Đáp án 17 Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 Quá trình thực 20 Một số kết luận kiến nghị 20 24 [...]... thời gían làm bài giảm được nhiều hoctoancapba.com 2 Một số kết luận và kiến nghị : Tuy đề tài hữu ích xong đây cũng chỉ là một phương pháp trong nhiều phương pháp để giải bài toán cực trị trong hình giải tích Việc tích cực đọc tài liệu và khai thác bài toán theo nhiều khía cạnh đó không chỉ là mong muốn của tôi mà là thuộc về tất cả những ai say mê môn toán Do thời gian có hạn và điều kiện nghiên cứu... tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung cần phân tích Qua những năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy cho học sinh học tốt môn hình học và cụ thể là các bài toán cực trị trong hình giải tích thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết cần vận dụng và các phương pháp... NỘI DUNG TRANG Phần I : ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Phần II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 Cơ sở lý thuyết 3 2 Biện pháp thực hiện 4 2.1 Bài toán 1 4 2.2 Bài toán 2 7 2.3 Bài toán 3 9 2.4 Bài toán 4 11 2.5 Bài toán 5 23 15 2.6 Bài tập - Đáp án 17 Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 1 Quá trình thực hiện 20 2 Một số kết luận và kiến nghị 20 24 ... đạt giá trị nhỏ nhất (Với tổng các hệ số P+Q là một số dương ) Phương pháp giải : 17 uu r uur r - Tìm I thoả mãn hệ thức : P.IA + Q.IB = 0 - Biểu thức : P.MA2 + Q.MB 2 = ( P + Q ) IM 2 + C (C là hằng số, P+Q là một số dương) Khi đó tổng P.MA2 + Q.MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi độ dài MI nhỏ nhất ⇔ M I ⊥ ( p ) Bài toán quy về : - Tìm toạ độ điểm I thoả mãn hệ thức véctơ - Tìm toạ độ điểm M là hình chiếu... ; ) 4 8 7 2 b) M(( 5; ) Bài 4 M ( Bài 7: −8 17 ; ) 11 11 Bài 5 I(2;0;4)  7 4 M  2; ; − ÷  3 3 Bài 6 : M(1;-1;2) 5 −5 −12  ; ; ÷  11 11 11   Bài 9: M  Bài 8: M(0;4;2) x =1+3t Bài 10 :a) (AB): y = 2+2t   Toạ độ điểm P  − ; −1;0 ÷ 7  2 , t∈ R  z = 3+2t  17 22  ; ;0 ÷  8 8  b) M  Bài 11: M(-1;2;3) Bài 12: M(7;2;-13) Bài 13:a) I( 4; −3 −3 ; ) 2 2 b) M(6;-1;-4) Bài 14: M(-1;0;4) Phần... trục Ox (trong câu b)) đó là những nguyên nhân cơ bản giúp ta có một lời giải đơn giản 2.3 Bài toán 3 : Trong không gian cho hai điểm A,B và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất hoctoancapba.com Phương pháp giải : - Với M thuộc (d) kẻ MH vuông góc với AB Cạnh AB không đổi Khi đó diện tích tam giác ABM có giá trị nhỏ nhất khi độ dài đoạn MH nhỏ nhất - Trong trường... mặt phẳng (P) tại một điểm I Tìm toạ độ điểm I b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho |MA-MB| đạt giá trị lớn nhất Bài 14 (ĐH,CĐ 2007 - Khối D) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai điểm A(1;4;2) ;B(-1;2;4 ) và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : x −1 y + 2 z = = Tìm điểm M trên ( ∆ ) sao cho : MA 2+MB2 −1 1 2 nhỏ nhất Đáp số 21 5 3 Bài 1 : P( ;0 ) Bài 2: M ( −36 90 ; ) 19 19 Bài 3: a)M ( 11... điểm thoả mãn yêu cầu bài ra 2.6 Bài tập - Đáp án Bài 1 : (Đề 97-Va ) Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P đến hai điểm A(1;2) và B(3;4) là nhỏ nhất Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy,cho đường thẳng (d) có phương trình 2x – 3y + 18 = 0 và các điểm A(2;3) ,B(-6;0) Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho MA+MB nhỏ nhất Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ... (P) nên thay toạ độ của M vào phương trình của (P) ta có t = 0 => M(-1;1;-2) Vậy M (-1;1;-2) thảo mãn yêu cầu của bài toán 2.4 Bài toán 4: Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và hai điểm A,B có toạ độ cho trước Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho : MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất Phương pháp giải : Để tìm điểm M thoả mãn tính chất trên ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A,B... MA+MB nhỏ nhất Bài toán 9 : Trong không gian cho hai điểm A(1;0;-1) ,B(1;1;0) và đường thẳng (d) có phương trình : tích nhỏ nhất x −1 y + 1 z = = Tìm điểm M trên (d) sao cho tam giác MAB có diện 1 −1 2 20 Bài 10 (ĐHNNI-97) Cho hai điểm A(1;2;3) ;B(4;4;5 ) a)Viết phương trình đương thẳng (AB) Tìm giao điểm P của nó và mặt phẳng (Oxy) CMR với mọi điểm Q ∈ ( Oxy ) , biểu thức |QA-QB| có giá trị lớn nhất