Nguyễn Văn Hào, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệmcận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một sốbài toán trong lĩnh vực Vật lý” được ho
Trang 1Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Biên Giới
Trang 2Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệmcận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một sốbài toán trong lĩnh vực Vật lý” được hoàn thành bởi nhận thức củabản thân tác giả
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Biên Giới
Trang 3Mục lục
Mở đầu 2
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH TIỆM CẬN 5
1.1 Các khái niệm về bậc và một số ví dụ 5
1.1.1 Lời dẫn 5
1.1.2 Các khái niệm về “không” bậc 7
1.1.3 Chú ý 9
1.1.4 Một số ví dụ về bậc 9
1.1.5 Nhận xét 10
1.2 Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận 10
1.2.1 Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận 10
1.2.2 Khái niệm về khai triển tiệm cận 11
1.2.3 Một số ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân 13
1.2.4 Một số tính chất của khai triển tiệm cận 15
1.3 Hàm Gamma 19
1.4 Hàm Gamma không hoàn chỉnh 23
Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 25
2.1 Ý tưởng khai triển tiệm cận đối với tích phân loại Laplace 25 2.1.1 Ý tưởng chung 25
2.1.2 Ý tưởng của phương pháp Laplace 26
2.2 Phương pháp tích phân từng phần 27
2.2.1 Một số ví dụ 27
2.2.2 Định lý (Bổ đề tích phân từng phần) 29
Trang 42.3 Bổ đề Watson 32
2.3.1 Ví dụ phản chứng 32
2.3.2 Định lý (Bổ đề Watson) 34
2.3.3 Ví dụ 36
2.4 Phương pháp Laplace 37
2.4.1 Ý tưởng của phương pháp Laplace 37
2.4.2 Định lý (Phương pháp Laplace) 39
2.4.3 Một số ví dụ 42
Chương 3 ÁP DỤNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VẬT LÝ – TOÁN 50
3.1 Phương trình Sch¨otdinger 50
3.2 Bài toán Burgers 53
Kết luận 59
Tài liệu tham khảo 60
Trang 5Chương 1
Mở đầu
1 Lí do chọn đề tài
Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vực Vật lý dẫn đến việc giải một
số các phương trình Toán học mà nghiệm của nó được biểu diễn dướidạng các tích phân Có khá nhiều các tích phân như vậy được gắn vớinhững hàm đặc biệt như hàm Bessel, các hàm siêu hình học, Ngoài
ra, cũng phải kể đến một công cụ rất quan trọng để giải quyết các bàitoán về phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêngtuyến tính là các phép biến đổi tích phân Chẳng hạn, nghiệm của bàitoán Cauchy đối với phương trình Sch¨otdinger
iΦt+ Φxx=0được cho bởi công thức
cơ bản về khía cạnh Vật lý, cũng như về mặt Toán học đối với nhữngnghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dáng điệu của chúng khi
Trang 6các biến x và t khá lớn Thông thường, như đối với các bài toán vềchuyển động sóng, quá trình giới hạn được quan tâm đến là khi t → ∞
số các phương pháp để khắc phục các nhược điểmở đây Một trongnhững điểm nổi bật đó, ta phải kể đến phương pháp Laplace trongviệc xử lý các tích phân dạng này Để hoàn thành luận văn tốt nghiệpchương trình bậc đào tạo Thạc sĩ khoa học Toán học, em chọn đề tài
“Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace
và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý”.Luận văn được cấu trúc thành 03 chương Chương 1 được dành để đưa
ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết tiệm cận Trong chương 2 củaluận văn, chúng tôi trình bày một cách có hệ thống một số phương phápước lượng xấp xỉ tích phân loại Laplace Ở chương cuối của luận văn,chúng tôi minh họa một số áp dụng của các phương pháp xấp xỉ trênđây trong việc giải quyết một số bài toán liên quan đến lĩnh vực Vật lý
Trang 72 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận;trình bày một số phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loạiLaplace và ứng dụng của các phương pháp này trong việc giải quyết một
số bài toán trong lĩnh vực Vật lý
3 Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mụcđích nghiên cứu
4 Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về lý thuyết khai triển tiệm cận
Trình bày một số phương pháp xấp xỉ tích phân loại Laplace
Minh họa một số ứng dụng của phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối vớitích phân loại Laplace qua việc giải quyết hai bài toán xảy ra trong lĩnhvực Vật lý
Trang 8về lý thuyết giải tích tiệm cận.
2.1 Các khái niệm về bậc và một số ví dụ
2.1.1 Lời dẫn
Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E Landau và P D
B Reymond Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xét đếnmột bài toán thường gặp trong thực tế Tính giá trị của tích phân
Trang 9Như đã trình bày trong phần mở đầu, chúng tôi sẽ trình bày một phươngpháp xấp xỉ của tích phân I(ε) bằng phương pháp dễ tiếp cận nhất(phương pháp tích phân từng phân) Lấy tích phân từng phần lần thứnhất ta thu được
Lặp lại quá trình này N lần, ta nhận được
Vế phải của phương trình này, được gọi là một khai triể tiệm cận của I(ε)tới số hạng (N + 1) Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so với số hạng thứ
N Điều này cũng đương nhiên đúng đối với tất cả n = 0, 1, 2, , N − 1
Ta chỉ ngay ra điều đó với n = N Bởi vì ε là số dương đủ nhỏ, nên
≤
(−1)N +1(N + 1)!εN +1
...
Một phương pháp đơn giản để tìm khai triển tiệmcận hàm xác định tích phân xác định lấy tích phân từngphần.Các số hạng liên tiếp chuỗi tiệm cận thu cách lấylặp tích phân phần Đặc tính tiệm cận. .. trị tích phân đượcphân bố chủ yếu lân cận điểm t = Như vậy, tính tồn cụccủa tốn thay vấn đề mang tính địa phương tronglân cận điểm t = Điều đó, lý giải cho việc thu đánh giá tiệmcận tích phân. .. Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôikhông đề cập chi tiết vấn đề Trong hầu hết áp dụng trongluận văn, việc thu vài số hạng khai triển tiệmcận đủ cho việc trìn bày vấn đề đặt
2.2.4 Một số