Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực vật lý

HàN®i,tháng12năm2012 Tácgiá NguyenBiênGiái... HàmGammakhônghoànchính...23 Chương2.PHƯƠNGPHÁPLAPLACE...25 2.1.. Ýtưóngkhaitrienti¾mc¾nđoivóitíchphânloaiLaplace 25 2.1.1... =1 iii B¾ctương

Tôixinbàytólòngbietơ n s â u s a c tóiT S NguyenVănHào,ngưòiđãđ

%nhhưóngchonđetàivàt¾ntìnhhưóngdanđetôicóthehoànthànhlu¾nvănnày.Tôic ũ n g xinbàytólòngbietơ n chânthànhtóiphòngsa u đaihoc,c á c thayc ô giáodayc a o hocchuyênngànhToángiáitích,trưòngĐaihocSưphamHàN®i2đãgiúpđõtôitrongsuotquátrìnhhoct¾p

Nhând

%pnàytôicũngxinđưocgúilòicámơnchânthànhtóigiađình,banbèđãluônđ®ngviên,c o vũ,taomoiđieuki¾nthu¾nloichotôitrongquátrìnhhoct¾pvàhoànthànhlu¾nvăn

HàN®i,tháng12năm2012

Tácgiá

NguyenBiênGiái

Tácgiá

NguyenBiênGiái

Mnclnc

Máđau 2

Chương1.M®TSOKIENT H Ú C VEG I Á I T Í C H T I f i M C¾N 5

1.1 Cáckháini¾mveb¾cvàm®tsovídu 5

1.1.1 Lòidan 5

1.1.2 Cáckháini¾mve“ k h ôn g ” b¾c 7

1.1.3 Chúý 9

1.1.4 M®tso víduveb¾c 9

1.1.5 Nh¾nxé t 10

1.2 Dãyti¾mc¾nvàkhaitrienti¾mc¾n 10

1.2.1 Kháini¾mvàvíduvedãyti¾mc¾n 10

1.2.2 Kháini¾mvekhaitrienti¾mc ¾n 11

1.2.3 M®tsovíduvành¾nxétvekhaitrienti¾mc¾ncnatíchphân 13

1.2.4 M®ts o tínhchatc n a khaitrienti¾mc ¾ n 15

1.3 HàmGamma 19

1.4 HàmGammakhônghoànchính 23

Chương2.PHƯƠNGPHÁPLAPLACE 25

2.1 Ýtưóngkhaitrienti¾mc¾nđoivóitíchphânloaiLaplace 25 2.1.1 Ýtưóngchung 25

2.1.2 ÝtưóngcnaphươngphápLaplace 26

2.2 Phươngpháptíchphântùngphan 27

2.2.1 M®tsovídu 27

2.2.2 Đ%nhlý(Bođe tíchphântùngphan) 29

2.3 BođeWatson 32

2.3.1 Víduphánchúng 32

2.3.2 Đ%nhlý (Bođ e Watson) 34

2.3.3 Vídu 36

2.4 PhươngphápLaplace 37

2.4.1 ÝtưóngcnaphươngphápLaplace 37

2.4.2 Đ%nhlý(PhươngphápLaplace) 39

2.4.3 M®tsovídu 42

Chương3.ÁPDUNGĐOIVéIM®TSOVANĐEV¾TLÝ –TOÁN 50

3.1 PhươngtrìnhScho¨tdinger 50

3.2 BàitoánBurgers 53

Ketlu¾n 59

Tàili¾uthamkháo 60

Chương1 Máđau

1 Lídochonđetài

KhigiáiquyetnhieuvanđetronglĩnhvncV¾tlýdanđenvi¾cgiáim®tsoc á c phươngtrìnhToánhocmànghi¾mc n a nóđưocbieudiendưóidangc á c tíchphân.C

ó khánhieuc á c tíchphânnhưv¾yđưocganvóinhunghàmđ¾cbi¾tnhưhàmBessel,cáchàmsiêuhìnhhoc, Ngoàira,c ũ n g pháikeđenm®tcôngc u ratquantrongđegiáiquyetc á c bàitoánvephươngtrìnhviphânthưòngvàphươngtrìnhđaohàmriêngtuyentínhlàc á c phépbienđoitíchphân.C h a n g han,nghi¾mc n a bàitoánC a u chyđoivóiphươngtrìnhScho¨tdinger

%nhcnaphươngphápnày,c á c nhàtoánhocđãtìmram®tsoc á c phươngphápđekhacphucc á c nhưocđiemóđây.M ® t trongnhungđiemnoib¾tđó,tapháikeđenphươngphápLaplacetrongvi¾cxúlýcáctíchphândangnày.Đehoànthànhlu¾nvăntotnghi¾pchươngtrìnhb¾cđàotaoT h a c s ĩ khoahocToánhoc,e m ch

onđetài“Khaitrienti¾mc¾ncúatíchphânloaiLaplace

vàNngdnnggiáiquyetm®tsobàitoántronglĩnhvNcV¾tlý”.Lu¾nvănđ ư

o cc a u trúcthành03chương.C h ư ơ n g 1 đ ư o cdànhđeđưaram®ts o kienthúcc ă

n bánvelýthuyetti¾mc ¾ n Trongchương2 c n a lu¾nvăn,chúngtôitrìnhbàym®tcáchcóh¾thongm®tsophươngphápưóclưongxapxítíchphânloaiLaplace.é chươngc u o i c n a lu¾nvăn,chúngtôiminhhoam®tsoápdungcna

cácphươngphápxapxítrênđâytrongvi¾cgiáiquyetm®ts o bàitoánliênquanđenlĩnhvncV¾tlý

2 Mncđích,nhi¾mvn,đoitưangvàphamvinghiêncNu

Lu¾nvăntrìnhbàym®tcáchcóh¾thongvelýthuyetxapxíti¾mc¾n;trìnhbàym

®ts o phươngphápxapxíti¾mc ¾ n đoivóitíchphânloaiLaplacevàúngdungcnacácphươngphápnàytrongvi¾cgiáiquyetm®tsobàitoántronglĩnhvncV¾tlý

Minhhoam®ts o úngdungc n a phươngphápxapxíti¾mc¾nđoivóitíchphânloaiLaplacequavi¾cgiáiquyethaibàitoánxáyratronglĩnhvncV¾tlý

Chương2 M®TSOKIENTHÚCVEGIÁITÍC

HT I f i M C¾N

Giáitíchti¾mc¾nđưochìnhthànhkhóinguontùm®tsocáccôngtrìnhtínhtoáncnaL.Euler.Đennăm1886,lýthuyetti¾mc¾nmóiđưocxâydnngm®tcáchh¾thongbóiStieltjes[6]vàPoincaré[5].éđây,ngưòitanghiêncúucácchuoimànóđưocbieudienbóicácdãyhàmti¾mc¾n.Thôngthưòngc á c hàmđóđưocbieudiendưóidangtíchphân,chuoilũythùaho¾cdưóidangnhưnghi¾mc n a phươngtrìnhviphân.Trongchươngnày,chúngtôisetrìnhbàyvóimúcđ®canthietvàcănbánnhatvelýthuyetgiáitíchti¾mc¾n

2.1 Cáckháini¾mveb¾cvàm®tsovídn

2.1.1 Làidan

Cáckýhi¾uO,o và ∼ đưocs ú dungđautiênbóiE LandauvàP.D.

B Reymond.Trưóckhigióithi¾ucáckháini¾mnày,chúngtaxétđenm®tbàitoánthưòngg¾ptrongthncte.Tínhgiátr%cnatíchphân

(1+εt) N+2

0

. .

(−1)

N+

1

N!ε N.

gh®itu.Tac ó thethayngaynh¾nxétnàyrangkhiε co

ngu

ε4cócùngb¾cvóiε4.Cácphátbieunàyđưockýhi¾utươngúngbói−ε=O(ε)và4!ε4=O.ε4.;

(ii) 2!ε2làc ó b¾cnhóhơnε ,nóđ ư o ckýhi¾ubói2 !

ε2=o (ε)ho¾c 2!ε2ε;

.

(i) Ob¾clán.Hàmf (z)đưocgoilàcó“O b¾clón”đoivóihàm

g (z)khiz→z0(ho¾cf (z)cócùngb¾cg(z)khiz→z0)vàkýhi¾ulà

(ii) ob¾cnhó.Hàmf (z)đ ư o cgoilàc ó “ob¾cnhó”đoivóihàmg(z)khiz

→ z0(ho¾cf (z)làti¾mc ¾ n nhóhơnđoivóihàmg(z)khiz →z0)vàkýhi¾ulà

neuvóimoiε> 0)nhótùyý,tontaim®tlânc¾nUc n a z0s a ocho

|f(z)|≤ε|g(z)|;vóimoiz∈U∩D.

=1

(iii) B¾ctươngđương.Tanóif (z)cób¾ctươngđươngvóihàm

g (z)khiz→z0vàkýhi¾ulàf(z)∼g(z)khiz→z. 0neu

f(z).

limz→z

0 .g (z).

(i) Cáckýhi¾uO,o và ∼cũngdùngđưocđoivóicáchàmvóibienròirac.C h a n

g han,nhưvóidãys o thnc(nghĩalàhàmc n a c á c s o nguyêndươngn).Đoivóidã

x n =o(n3),x n =O(n2)vàx n ∼5n2;khin→∞.

(ii) Ngưòitacũngthưòngsúdungkýhi¾uf (k)g(k);khik→k0

dt r

trênkhôngh®itukhiN →∞vàkcođ%nhchuoikhôngh®itu;nhưng

(3e)3=3.7×10) .

2.2.4 M®tsotínhchatcúakhaitrienti¾mc¾n

Tínhduynhat.C h o m®tdãyti¾mc ¾ n{φ n (x)},dãykhaitrienti¾mc¾nc n a

f(x)∼ .a n (x−x0)n ;khix→x0,

n=0

làti¾mc¾nkhix →x0,chúnglànhưnhau.Hơnnuatínhduynhatcna

khaitrienti¾mc¾nnghĩalàa n= b nv óimoin,nghĩalàcách¾socna

Γ(n+1)=n.Γ(n)=n 3.2.1=n!. (2.9)

n − 1 .

=

2 2 n −2 1 . 2 n −2 3 Γ

.2

n − 3 .

.

2L¾plaicôn g thúc(1.7)vàtùgiátr%c n aΓ(1)tanh¾nđưoccông thúc

dưóiđây

1)

=√ 2. Γ(n) π21−2n

(iv) βg(a,n)= a+n−1 a+n−2 .

1 2 ( n 1)

a (a+1)(a+2) (a+n−1) (v) βg(m,n)=

=

1 2 . ( n − 1)

m (m+1)(m+2) (m+n−1) ( n − 1)!( m − 1) !

βg (a,b)= Γ(a)Γ(b)

.

Γ(a+b)

Chương3 PHƯƠNGPHÁPLAPLACE

%nhónhatđattaiđiembiênho¾cđattaiđiemtrong

Đedanđenvi¾chieubietc¾nkehơnvephươngphápLaplacecũngnhưýnghĩac n

a phươngphápnày.Trưóchetchúngtôitrìnhbàym®tdangđơngiánhơnc n a loaitíchphânnày,c ó thexapxíkháđơngiánbang

%nh.Trongphannàychúngtôichímuonminhhoaphươngphápnàybangvi¾cxemxétm®tsocáctíchphânloaiLaplacecuthe.

e kcosh2

→ ∞

) (t)dt

b

¸1

¸∞

1 t− 1 t 1

= (2k) 2 2 Γ. 23 . .

−2(2

k)2

1 3

Trongvídutrên,sausntrncgiáccnatarangsnphânboti¾mc¾nchínhc n a tíchp

hântrênnh¾nđưoctaiđiemt =0,tađãsúdungcácbưócđenh¾nđưocxapxícn

atíchphântrênnhưsau

f(t)e −kt d t,

Tongquát,h¾s o nh%thúckhaitrienTaylorc n a(1 +z) αfđưocchobóicôngthúc

αf !

n !(αf−n)!

khiφ (t)làhàmđơnđi¾utrênđoan[ a,b].Bâygiòtaxéttrưònghop

φ (t)khôngđơnđi¾u.Đeđơngiánvanđe,tagiású rangc n c tieuđ

%aphươngcnahàmφ(t)đaytaim®tđiemtrongc,túclàa<c<b,φ r (t)=0,φ rr (t )>0).Thêmnua,chúngtagiásúrangφ r (t)ƒ=0trênđoan[a,b]trùkhit=cvàc áchàmf,φ đntrơnđoivóicácphéptoánđưocchúngminhdưóiđây.

3.4.1 ÝtưángcúaphươngphápLaplace

Taxéttíchphân(2.1)trongđóf (t)vàφ(t)làcáchàmthncliêntuctrongđoana ≤ t≤

%aphươngnhónhatxuathi¾ntaiđiemtrongc vóia <c<b,φ r (c)=0,φ rr (c)>0) Hơnnua,φ r (t)ƒ=0trong[ a,b]ngoaitrùtait =c vàf (t),φ (t)làđntrơnđoivóic

á c phéptoánđ ư o cchúngminhdưóiđây.Trưóchet,tađưaranh¾nxétmangtínhtrncgiácrang,giátr

%ti¾mc ¾ n chínhcn a tíchphânnh¾nđưoctronglânc¾ncna điemc nc tieucn a

hàmφ(t).T ù phươngtrình(2.1)bangvi¾ckhaitrienđoivóic á f vàφ tronglânc ¾

n c n a c ,tamongrangvóigiátr%lónc n a k,tíchphânI(k)làti¾m

f(t).

t=t(τ)

;khiτ→ 0)+.

k 2

+a

1

Γ(1)

k

.1

thêmvetínhtrơncnacáchàmfvàφtronglânc¾ncnađiemt =c.Tuynhiên,bóiv

ìphươngphápLaplaceđưocdnatrênbođeWatson,nênnóc ó theđưarađưockhaitrienti¾mc¾ncnam®ttíchphânvóitatcácácb¾c.Trongcácvídudưóiđây,đeđơngiánchovi¾ctrìnhbày,tachíđưaradángđi¾uti¾mc¾nnhatđ

e −ksinht dt ;khik→∞.

Hàmφ (t)= sinh2(t)đatđưocc n c tieutaiđiemc u o i t = 0 Hơnnua,cũngđ

edàngtínhđưoc

φ rr (t)=2cosh2t,φ rr (0)=2,f (t)=1,

trongđóτ = (t−c)

cncđai)

− 2 φ rr (c).Chúýrangφ ( c)<0)(dot =clàm®t

Vídn3.7.SúdungphươngphápLaplacechúngtóxapxícnam®tlópcáchàmh®

itutheoL pchuanmaxkhip→∞

ChuanL pc n a hàmgđưocxácđ%nhbóicôngthúc

1 .

Dođó"g" p tienđen|g(c)|khip → ∞,nóđ ư o cgoilàchuanm a x Ý

tưóngchínhtrongvi¾cthuđưocphươngtrình(2.7)cũngcótheápdungđegiáiquyetđoivóic á c tíchphântươngtnkhác

Nhưđãchíratrongvi¾ctrìnhbàyphươngphápLaplace,trongm®tsotrưònghoptacóthexapxíđưoccáctíchphânnàođómàkhôngcansúdungtrnctiepketquáđãt

c vídusau

điemcnctieukt + 1,nghĩalàlânc¾ncnađiemt=

t

1.Vìđiemnàyphu

Bóivìt k = e klogt nêngiátr%cncđaicnahàmlogtđatđưockhit→

d

dt (klogt−t)= 0 ho¾ct =k.Đieu này,goiýchotadùngphépđoibient =skvàtatìmđưocΓ(k+1)=

Vídn3.13.Xéttíchphân

n

I (n)= .C k k !n −k ;khin→∞, trongđóC k

2

Bâygiò,tas ú dungphươngphápLaplaceđeđánhgiáti¾mc ¾ n tíchphântrênkhi

%cncđaitaix =0.Đ¾tu=nx2tanh¾nđưocđánhgiáti¾mc¾ncnatong

1

Chương4 ÁPDUNGĐOIVéIM®TSOVAN

ĐEV¾TLÝ–TOÁN

Trongchươngnày,chúngtaminhhoaphươngphápLaplaceđeưóclưongm®tsotíchphânxuathi¾ntùvi¾cđánhgiácácnghi¾mcnam®tsobàitoánvephươngtrìnhviphânđaohàmriêngratđưocquantâm.Đâylànhungbàitoánxuathi¾ntùvi¾cnghiêncúucácvanđethnctientrongV¾tlý.Chúngtase nghiênc ú u úngdungc n aphươngphápnàyđegiáiquyethaibàitoánScho¨tdingervàbàitoánB u r g e r s

2

ĐâylàphươngtrìnhviphânđaohàmriêngScho¨tdingerphuthu®cthòigianvóiv

%không,nóxuathi¾ntrongnhieuvanđegiáiquyetc á c bàitoánV¾tlý.Hailĩnhvncđienhìnhpháikeđennhưtrongnghiêncúuvec ơ hoclưongtúho¾ctrongvi¾cnghiêncúuvephươngtrìnhtruyensóngtuyentínhtrongquanghocv¾tli¾u

¸

Φ(x,t)=

vóiφ(k)=kc−k2đưocthaythebóiphươngtrình

+∞

¸

Φ(x,t)= Φˆ0(k)e i(kx−w(k)t) dk, (4.6)

−∞

u t +uu x =εu xx (4.7)

x x

¸2

Phươngtrìnhnàyxuathi¾nratnhieutrongnhungúngdungv¾tlýkhácnhau.C h a

n g han,nhưnómôphóngnhungs ó n g vachamyeutrongđ®nglnchocchatlóngch

%unén.Chúngđưocphânbi¾tsnkhácnhauvóic á c phươngtrìnhphituyenkhác,bóiđólànhungphươngtrìnhc ó theđưoctuyentínhhóathôngquam®tphépđoibienc u the.HainhàkhoahocHopfvàCo l e đãchírarangphươngtrìnhBu r g e r s c ótheđưađưocphươngtrìnhtruyennhi¾tquaphépđoibien

tacó

x u0(ηr)

hieulàđ®nhót.é đâytaquantâmđentrưònghopε → 0) ,s ú dungphươngphápLa

placeđeđánhgiás n phânbotr®ic n a tíchphânxuathi¾ntrongphươngtrình(3.10).Đelàmđưocđieunày,tatìmnhungđiemsaocho

− G

BangphươngphápLaplace,s ú dungc á c phươngtrình(2.7)vàphương

e −

|G rr (ξ)|

G(ξ)

2e

làms á n g tóhơn.T h n c te,vóim®ts o u0(x)nàođó,phươngtrình(3.14)chonhun

gnghi¾mđatr

%,trongkhiđónghi¾mc n a phươngtrình(3.10)chílànghi¾mđơn.Đieunàyc ó nghĩalà,ngoàitatc á c á c nghi¾mmà

phươngtrình(3.14)cóthenh¾nđưoc,vantontaim®tnghi¾mduynhat

=− (u0(ξ1)+u0(ξ2)).

Dođó

12(u0(ξ1)+u0(ξ2))(ξ1−ξ2)=

ξ2

¸

u0(η)dη. (4.18)

ξ1

Cácphươngtrình(3.18)vóiđieuki¾n(3.12)chírarangkhiε →0)s n

thayđoidángđi¾ucnau(x,t)danđensngiánđoan.Theocáchthúcnày

nghi¾mcnaphươngtrìnhBurgertientóim®tsnvasóngkhiε →0).Đây

lànghi¾mđ¾cbi¾tcnaphươngtrìnhgióihan(3.14)thóamãnđieuki¾nva(3.18).Đieuki¾nnàycóm®tsngiáithíchhìnhhocđơngiánlà:vói

u0(ξ)chotrưóc,tìmξ1,ξ2saochophanógiudâycungξ1−ξ2vàđưòng

congu0(ξ)bóihaiphanbangnhau.K h i đó,đưam®tđiemvàotrongnghi¾mđatr

%ρ (ρ=u0(ξ))cnaphươngtrình(3.14)taiv%tríx=s(t),vói

s (t)=ξ1+u0(ξ1)t=ξ2+u0(ξ2)t. (4.19)

Sup(3)3,201-258.