Phương pháp tích phân từng phần trong khai triển tiệm cận của tích phân loại laplace và áp dụng đối với một số tích phân đặc biệt

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Văn Hào tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khoá luận Xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ giải tích-khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em trình thực khoá luận Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hanh i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào khóa luận tốt nghiệp "Phương pháp tích phân phần khai triển tiệm cận tích phân loại Laplace áp dụng với số tích phân đặc biệt" hoàn thành không trùng với khóa luận khác Trong trình hoàn thành khóa luận, thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hanh ii Mục lục Mở đầu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH TIỆM CẬN 1.1 Một số khái niệm bậc 1.2 Khái niệm khai triển tiệm cận 1.3 Một số ví dụ khai triển tiệm cận 1.4 Các tính chất khai triển tiệm cận 10 TÍCH PHÂN LOẠI LAPLACE 19 2.1 Ý tưởng phương pháp khai triển tiệm cận tích phân loại Laplace 19 2.2 Trường hợp f (t) đủ trơn 20 2.3 Trường hợp f (t) không đủ trơn 24 MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT 28 3.1 Hàm Gamma không hoàn chỉnh 28 3.2 Tích phân Fresnel 30 3.3 Bài toán Stieltjes 31 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi giải nhiều toán thực tế thường xảy rằng, chuỗi phân kỳ sử dụng cho tính toán giá trị số đại lượng mà theo nghĩa xem "tổng" chuỗi Trường hợp điển hình chuỗi hàm, xấp xỉ số số hạng chuỗi thực đem lại hiệu mong muốn Trong hầu hết trường hợp số hạng chuỗi giảm nhanh (khi biến số độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn nó), số hạng sau bắt đầu tăng trở lại Các chuỗi gọi chuỗi bán hội tụ việc tính toán giá trị số thường thực số số hạng đầu chuỗi Để minh họa cho điều này, ta xét toán xét đến lần vào năm 1754 L Euler Chuỗi hàm ∞ (−1)n n!xn S(x) = − 1!x + 2!x − 3!x + = (0.1) n=0 chuỗi phân kì với x = Thế với giá trị đủ nhỏ x, số hạng đầu chuỗi giảm nhanh tính toán định lượng giá trị số xấp xỉ chuỗi Một vấn đề đặt hàm biến x có giá trị số biểu diễn xấp xỉ Euler xét hàm φ(x) = xS(x) tính toán đơn giản ta thấy φ (x) = 1! − 2!x1 + 3!x2 − = hay x2 φ (x) + φ(x) = x x − φ(x) x2 Điều cho thấy hàm φ(x) nhận từ nghiệm phương trình vi phân Mặt khác, sử dụng tích phân Euler loại hai ∞ e−t tn dt n! = ta thu ∞ ∞ −t e dt − x S(x) = ∞ ∞ −t e−t t2 dt − e tdt + x 0 ∞ (−1)n e−t (xt)n dt = n=0 Giả thiết lấy tổng cách hình thức qua dấu tích phân S(x) trở thành ∞ e−t dt + xt (0.2) Bây ta thấy ∞ f (x) = e−t dt + xt (0.3) hàm hoàn toàn xác định theo biến x, giải tích mặt phẳng phức x cắt dọc theo nửa trục không âm Một vấn đề nảy sinh chuỗi phân kỳ (0.1) biểu diễn hàm (0.3) Để trả lời cho vấn đề trước hết ta lưu ý = + xt m (−xt)m+1 (−xt) + ; ∀m = 0, 1, + xt n=0 n Do đó, ta viết f (x) = Sm (x) + Rm (x); với (0.4) m (−1)n n!xn Sm (x) = n=0 (0.5) tổng riêng thứ m ∞ m+1 Rm (x) = (−x) e−t tm+1 dt + xt (0.6) phần dư chuỗi (0.1) Ta xét hai trường hợp sau (i) Nếu Re x ta có |1 + xt|−1 ≤ ∞ m+1 |Rm (x)| ≤ |x| e−t tm+1 dt = (m + 1)! |x|m+1 (0.7) (ii) Nếu Re x < 0, φ = arg x π < ±φ < π |1 + xt|−1 < |cosec φ| |Rm (x)| ≤ (m + 1)! |x|m+1 |cosec φ| (0.8) Trong hai trường hợp, phần dư có bậc với số hạng phần dư S(x) tiến nhanh đến x → Giới hạn hội tụ hình quạt mà |arg x| < π − ε, ε > Nếu Re x > phần dư nhỏ số hạng dư x > phần dư dấu với số hạng phần dư Có số phương pháp để nghiên cứu tiệm cận tích phân phương pháp pha dừng, phương pháp đường giảm nhanh, phương pháp điểm yên ngựa Tuy nhiên, phương pháp quan tâm trước hết lý thuyết xấp xỉ tiệm cận tích phân phương pháp tích phân phần Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo cử nhân khoa học Toán học em chọn đề tài "Phương pháp tích phân phần khai triển tiệm cận tích phân loại Laplace áp dụng với số tích phân đặc biệt" Luận văn gồm 03 chương Chương 1, giành để đưa số kiến thức lý thuyết tiệm cận Chương luận văn, trình bày cách hệ thống số phương pháp ước lượng xấp xỉ tích phân loại Laplace Cuối cùng, sử dụng phương pháp tích phân phần để thu khai triển số tích phân đặc biệt Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày cách hệ thống lý thuyết xấp xỉ tiệm cận, trình bày số phương pháp xấp xỉ tiệm cận tích phân loại Laplace Ứng dụng phương pháp tích phân phần để xấp xỉ số tích phân đặc biệt Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống hóa chi tiết, lý thuyết khai triển tiệm cận Trình bày phương pháp tích phân phần xấp xỉ tích phân loại Laplace Sử dụng phương pháp tích phân phần để xấp xỉ số tích phân đặc biệt Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH TIỆM CẬN Trước giới thiệu khái niệm giải tích tiệm cận, xét việc tính giá trị tích phân sau ∞ I(ε) = e−t dt; ε > + εt Ở sử dụng phương pháp tích phân phần để xấp xỉ giá trị tích phân Tích phân phần lần thứ ta ∞ I(ε) = − ε e−t dt (1 + εt)2 Lập lại trình N lần ta nhận I(ε) = − 1!ε + 2!ε2 − 3!ε3 + + (−1)N N !εN ∞ e−t N +1 + (−1) (N + 1)! dt (1 + εt)N +2 (1.1) Phương trình (1.1) dẫn đến số khái niệm quan trọng mang tính trực giác sau (i) −ε bậc với ε, 2!ε2 bậc với ε2 , ký hiệu −ε = O(ε); 2!ε2 = O(ε2 ) (ii) 2!ε2 có bậc nhỏ ε ký hiệu 2!ε2 = o(ε) (iii) Nếu xấp xỉ tích phân I(ε) − 1!ε + 2!ε2 xấp xỉ có độ xác tới bậc ε2 Trong việc tính toán tích phân trên, tham số ε số thực Chúng ta phát biểu xác khái niệm có tính trực giác cho biến phức mức độ tổng quát 1.1 Một số khái niệm bậc Định nghĩa 1.1 Cho f (z) g(z) hai hàm xác định miền D mặt phẳng phức C z0 điểm giới hạn miền đó, ta nói (i) Hàm f (z) có bậc "O lớn" g(z) z → z0 ký hiệu f (z) = O(g(z)); z → z0 tồn số M lân cận U z0 cho |f (z)| ≤ M |g(z)| ; ∀z ∈ U ∩ D (ii) Hàm f (z) có bậc "o nhỏ" g(z) z → z0 ký hiệu f (z) = o(g(z)); z → z0 lim z→z0 f (z) = g(z) (iii) Hàm f (z) tương đương với hàm g(z) z → z0 ký hiệu f (z) ∼ g(z); z → z0 f (z) = z→z0 g(z) lim (iv) Hàm f (z) xấp xỉ I(z) tới bậc δ(z) z → z0 , I(z) − f (z) = z→z0 δ(z) lim Trở lại phương trình (1.1), cho z ε z0 = Xét xấp xỉ f (ε) = − ε + 2!ε2 Ta thấy I(ε) − f (ε) = ε→0 ε2 lim Như f (ε) gọi xấp xỉ I(ε) tới bậc ε2 1.2 Khái niệm khai triển tiệm cận Trong phương trình (1.1) chứa dãy thứ tự 1, ε, ε2 , ε3 , Đặc điểm dãy số hạng thứ (j + 1) dãy nhỏ nhiều so với số hạng thứ j Đặc điểm xác định tính chất dãy tiệm cận Phương trình (1.1) cho ta khai triển tiệm cận tích phân I(ε) tương ứng với dãy tiệm cận {εj }∞ j=0 Ta phát biểu xác khái niệm sau Định nghĩa 1.2 (i) Dãy hàm {δj (z)} gọi dãy tiệm cận z → z0 với j = 1, 2, δj+1 (z) = o(δj (z)); z → z0 (ii) Giả sử I(z) hàm liên tục cho {δj (z)} dãy tiệm cận N j=1 aj δj (z) z → z0 Chuỗi có dạng gọi khai triển tiệm cận I(z) z → z0 tới bậc δN (z) với m = 1, 2, N ta có m aj δj (z) + O(δm+1 (z)); z → z0 I(z) = j=1 Khi ta viết N I(z) ∼ aj δj (z); z → z0 j=1 (1.2) 20 lý mà người ta gọi tích phân tích phân loại Laplace Trước hết phân tích ý tưởng dẫn đến việc xấp xỉ tích phân từ khía cạnh mang tính trực giác Để có điều đó, trước tiên ta xét tích phân dạng b f (t)e−zt dt I(z) = (2.3) Trong trường hợp hàm φ(t) = t có giá trị nhỏ t = Khi z → ∞, biểu thức tích phân có số mũ nhỏ với giá trị t, trừ t gần (vì z → ∞ t → zt nhận giá trị hữu hạn) Điều cho ta thấy rằng, giá trị tích phân phân bố chủ yếu lân cận điểm t = Như vậy, tính toàn cục toán thay vấn đề mang tính địa phương lân cận điểm t = Điều lý giải cho việc thu đánh giá tiệm cận tích phân 2.2 Trường hợp f (t) đủ trơn Trong phần ta xét trường hợp hàm φ(t) đơn điệu đoạn [a, b] Như phân tích trên, việc xác định giá trị tích phân dựa việc xác định dáng điệu lân cận điểm biên đoạn Trước đưa điều kiện để thực phương pháp này, trình bày số ví dụ cụ thể Từ đó, ta có nhìn nhận cách trực giác điều kiện xác định cho phương pháp Ví dụ 2.1 Đánh giá tích phân ∞ (1 + t2 )−2 e−zt dt; z → +∞ 21 Lấy tích phân phần ta ∞ −2 −zt (1 + t ) e (1 + t2 )−2 e−zt dt = −z 1 = +O z z3 ∞ + z ∞ (−4t)(1 + t2 )−3 e−zt dt Ví dụ 2.2 Đánh giá tích phân sau ∞ (t + 1)−1 e−z(t+2) dt; z → ∞ Trước tiên ta viết lại tích phân I(z) sau ∞ d −z(t+2)2 e dt I(z) = (t + 1)−1 dt (−2z)(t + 2) Áp dụng phương pháp tích phân phần ta (t + 1)−1 I(z) = e (−2z)(t + 2) −4z e e−4z = +O 4z z2 ∞ −z(t+2)2 + 2z ∞ −z(t+2)2 e d dt (t + 1)−1 t+2 dt Ví dụ 2.3 Đánh giá tích phân exp(z cosh t)dt; z → ∞ I(z) Hàm cosh t đơn điệu tăng đoạn [1, 2], tích viết dạng I(z) = d dt exp(z cosh t) dt z sinh t Lấy tích phân phần ta thu I(z) ∼ ez cosh ; z → +∞ z sinh Từ ví dụ ta thấy việc đánh giá tiệm cận tích phân dạng b f (t)e−zt dt I(z) = a 22 phụ thuộc vào dáng điệu hàm f (t) lân cận điểm t = a Trường hợp riêng f (t) đủ trơn, phương pháp tích phân phần, đem lại khai triển tiệm cận đầy đủ cho hàm f (t) Từ kết chứng minh đầy đủ ví dụ (2.1) ta có ∞ ∞ −3 −zt t(1 + t ) e dt ≤ 0 te−zt dt = z Nói tóm lại, từ chứng minh đầy đủ việc lấy tích phân phần ví dụ nhận kết sau Bổ đề 2.1 (Tích phân phần) Cho tích phân b f (t)e−zt dt I(z) = (2.4) a đoạn [a, b] đoạn hữu hạn trục thực Ký hiệu f (m) (t) đạo hàm liên tục đến cấp m hàm f (t), f (0) (t) ≡ f (t) Giả sử f (t) có đạo hàm liên tục đến cấp (N + 1), lúc f (N +2) (t) liên tục khúc [a, b] Khi N I(z) ∼ n=0 e−za (n) f (a); z → +∞ z n+1 (2.5) Chứng minh Với m ≤ N Thực phép lấy tích phân phần ta có m−1 I(z) = n=0 + zm e−za (n) f (a) − z n+1 m−1 n=0 e−zb (n) f (b) z n+1 b e−zt f (m) (t)dt, m = 1, 2, N a Mặt khác, lim z n ez(a−b) = z→∞ nên phần cận t = b không đáng kể (vượt tất bậc) so với phần cận t = a, ta bỏ qua 23 Tiếp theo, ta đặt Rm−1 (z) = m z b e−zt f (m) (t)dt a thực phép lấy tích phân phần ta có Rm−1 (z) = − + z m+1 f (m) (b)e−zb − f (m) (a)e−za b z m+1 f (m+1) (t)e−zt dt a Do z → ∞ ta nhận Rm−1 (z) = O(z −(m+1) e−za ) Với m = N + 1, ta chia đoạn [a, b] thành đoạn cho f (N +2) (t) liên tục đoạn Khi đó, cách sử dụng công thức tích phân phần RN ta có điều phải chứng minh Mở rộng vấn đề nói ta thu hai kết sau (i) Nếu b = ∞, vào kết ta có t → ∞, f (t) = O(eαt ), α số thực Do tích phân I(z) tồn với z đủ lớn Trường hợp riêng a = I(z) trở thành biến đổi Laplace hàm f khai triển tiệm cận theo phương trình (2.5) cách thay a = (ii) Nếu φ(t) giải tích đoạn [a, b] tích phân b f (t)e−zφ(t) dt I(z) = a biến đổi phương trình (2.4) cách thay biến τ = φ(t) Mặc dù thực tế, biến đổi thường không thích hợp để đánh giá tiệm cận tích phân vậy, mang lại cho ta phép chứng minh chặt chẽ việc lấy tích phân phần gần với tích phân 24 Ví dụ 2.4 Đánh giá tích phân ∞ (1 + t)−1 e−t dt; I( ) = → 0 Tích phân biến đổi thành tích phân loại Laplace cách đặt t = τ Khi ta có I( ) = ∞ τ (1 + τ )−1 e− dτ ; → ∞ Từ đây, áp dụng bổ đề 2.1 với f (τ ) = (1 + τ )−1 , f (n) (0) = (−1)n n! z = ta nhận N (−1)n n! n , → I(z) ∼ n=0 Trường hợp f (t) không đủ trơn 2.3 Khi hàm f (t) không đủ trơn t = a phương pháp tích phân phần đánh giá giá trị tiệm cận tích phân loại Laplace b f (t)e−zt dt; z → ∞ I(z) = a Để minh họa cho điều ta xét phản ví dụ sau Ví dụ 2.5 Tìm hai số hạng khai triển tiệm cận tích phân (t2 + 2t)− e−zt dt; z → ∞ I(z) = Hàm f (t) bậc với O(t− ) t → 0, sử dụng phép lấy tích phân phần phức tạp Thật vậy, lấy tích phân phần ta nhận (t2 + 2t)− −zt I(z) = e + −z z e−zt d (t + 2t)− dt dt 25 số hạng tích phân không xác định t = Bằng trực giác, ta cho giá trị tích phân I(z) phân bố chủ yếu lân cận điểm t = Do vậy, khai triển (t2 + 2t)− mong muốn lân cận điểm t = Bổ đề Watson mang lại cho ta hướng chứng minh chặt chẽ để giải vấn đề Bổ đề 2.2 (Bổ đề Watson) Xét tích phân b f (t)e−zt dt; b > I(z) = (2.6) Giả sử f (t) khả tích (0, b) có khai triển tiệm cận ∞ f (t) ∼ t α an tβn , t → 0+ ; α > −1, β > (2.7) n=0 Khi ∞ I(z) ∼ an n=0 Γ(α + βn + 1) , z → ∞ z α+βn+1 (2.8) Nếu b hữu hạn phải có điều kiện t > tồn số A cho f (t) ≤ A Nếu b = ∞ cần có f (t) ≤ M ect , c, M số Chứng minh Ta tách tích phân thành hai tích phân I(z) = I1 (z) + I2 (z) R f (t)e−zt dt I1 (z) = b f (t)e−zt dt I2 (z) = R 26 R số dương, R < b Biểu thức tích phân thứ hai có số mũ nhỏ z → ∞ Với b hữu hạn, f (t) có giới hạn với t > nên tồn số dương A cho f ≤ A với t ≤ R; b e−zt dt = I2 (z) ≤ A R A −zR (e − e−zb ) z Theo định nghĩa 1.1 ta có e−zR z I2 (z) = O , z → ∞ Ta hiểu số nguyên dương N phương trình (2.7) N R an tα+βn + O(tα+β(N +1) ) e−zt dt, z → ∞ I1 (z) = n=0 Do ∞ R α+βn −zt t e dt = ∞ α+βn −zt t e tα+βn e−zt − R Γ(α + βn + 1) = +O z α+βn+1 e−zR z ; z→∞ đây, ta dùng định nghĩa hàm gamma để tính tích phân thứ sử dụng công thức tích phân phần để tìm tích phân thứ hai.Tiếp theo ta có R R O(t α+β(N +1) )e −zt tα+β(N +1) e−zt dt dt ≤ AN 0 ≤ AN Γ(α + β(N + 1) + 1) z α+β(N +1)+1 Vậy N I(z) = an n=0 Γ(α + βn + 1) +O z α+βn+1 z α+β(N +1)+1 , z → ∞ 27 Lưu ý ta giả sử α > −1, β > hiển nhiên hội tụ t = Cũng tương tự trên, b = ∞ ta cần có f (t) ≤ M ect , M, c số để hội tụ t → +∞ Trong trường hợp ta đánh giá tích phân I2 sau e−(z−c)R I2 (z) ≤ M =O z−c e−zR z ; z → ∞ Ví dụ 2.6 Ước tính khai triển tiệm cận tích phân ∞ (t2 + 2t)− e−zt dt; z → ∞ I(z) = Trong trường hợp này, áp dụng khai triển nhị thức ta có − 12 (t + 2t) − 12 = (2t) t 1+ − 12 ∞ − 12 = (2t) n=0 t n cˆn cˆn hệ số khai triển Taylor (1 + z)α với z < α = − Thông thường hệ số nhị thức khai triển Taylor (1 + z)α xác định α(α − 1)(α − 2) (α − n + 1) n! α! = n!(α − n)! Γ(α + 1) = ; n≥1 Γ(n + 1)Γ(α − n + 1) cn (α) = c0 = 1, nghĩa cˆn = cn − 1 Vậy theo bổ đề Watson với α = − , 2 β = ta suy ∞ I(z) ∼ cˆn Γ(n + 12 ) n=0 2(n+ ) z (n+ ) , z → ∞ Chương MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Trong chương này, minh họa phương pháp trình bày chương để ước lượng số tích phân đặc biệt 3.1 Hàm Gamma không hoàn chỉnh Để minh họa cho việc xấp xỉ tích phân phương pháp tích phân phần, trước hết xét hàm Gamma không hoàn chỉnh xác định công thức x e−t ta−t dt γ(a, x) = với x a số dương Một chuỗi thích hợp cho việc tính toán giá trị tích phân giá trị x đủ nhỏ, ta khai triển chuỗi lũy thừa hàm mũ dấu tích phân sau lấy tích phân số hạng chuỗi hàm để nhận chuỗi ∞ γ(a, x) = n=0 (−1)n xn+a a + n n! hội tụ với số dương x đủ nhỏ Tuy nhiên, công thức sử dụng cho phương pháp tính toán giá trị số Ví dụ, x = 10, a = , √ , 10 = π với sai số số hạng lớn tương ứng với n = 923, γ có bậc 10−5 Khi x dương đủ lớn, cách tốt ta xét hàm ∞ e−t ta−t dt Γ(a, x) = Γ(a) − γ(a, x) = x 29 tích phân hội tụ với giá trị tham số a Lấy tích phân phần, ta nhận Γ(a, x) = e−x xa−1 + (a − 1)Γ(a − 1, x) Nếu lặp lại trình trên, thấy Γ(a, x) tích e−x với đa thức x có bậc (a − 1) (với a số nguyên dương) Thế nhưng, trường hợp tổng quát nhận sau n lần lấy tích phân phần n Γ(a, x) = r=1 Γ(a) Γ(a) e−x xa−r + Γ(a − n, x) Γ(a − r + 1) Γ(a − n) Bây ta có đánh giá ∞ ∞ Γ(a) Γ(a) −t a−n−1 a−n−1 e t dt ≤ x e−t dt Γ(a − n) x Γ(a − n) x Γ(a) e−x xa−n−1 = Γ(a − n) n > a − Vì x → +∞, ta có ∞ Γ(a, x) ∼ r=1 Γ(a) e−x xa−x Γ(a − r + 1) với sai số dừng số hạng thứ n nhỏ giá trị tuyệt đối số hạng phần dư Một trường hợp riêng kết khai triển tiệm cận hàm lỗi ∞ Erfc T = T 1 2 e−u du = Γ ,T 2 T → +∞, nghĩa √ −T Erfc T ∼ πe ∞ r=1 Γ − r T 2r−1 dựa vào kết biết biến đổi Laplace ta có Erfc T ∼ √ e−T π ∞ Γ r− r=1 (−1)r−1 T 2r−1 30 3.2 Tích phân Fresnel Tích phân Fresnel tích phân có dạng ∞ ∞ sin(θ2 )dθ, cos(θ )dθ, u u viết lại dạng ∞ cos t √ dt, t u2 ∞ u2 sin t √ dt t Các tích phân phần thực phần ảo tích phân sau ∞ F (x, a) = x eit dt ta Tích phân hội tụ với số dương x a dương Nếu sử dụng phương pháp tích phân phần ta nhận ieix F (x, a) = a − iaF (x, a + 1) x Lặp lại trình ta ieix F (x, a) = a x n r=0 Γ(a + r) Γ(a + n + 1) + F (x, a + n + 1), Γ(a)(ix)r in+1 Γ(a) từ điều ta suy ieix F (x, a) ∼ a x n r=0 Γ(a + r) Γ(a)(ix)r x → +∞, với giá trị tuyệt đối phần dư sau (n + 1) số hạng Γ(a + n + 1) Γ(a) ∞ x ∞ eit Γ(a + n + 1) dt ≤ ta+n+1 Γ(a) Γ(a + n) = Γ(a)xn+a x dt ta+n+1 giá trị tuyệt đối số hạng thứ (n + 1) Vì phần dư sau n số hạng không vượt giá trị tuyệt đối số hạng thứ (n + 1), kết quan trọng Khai triển tiệm cận a số phức với phần thực dương 31 3.3 Bài toán Stieltjes Trong [6] Stieltjes đưa phương pháp tích phân phần cho hàm ∞ dt t+z Từ tính hội tụ tích phân miền e−t F (z) = |z| ≥ ε > 0, |ph z| ≤ π − δ < π ta suy F (z) hàm giải tích, quy mặt phẳng phức cắt dọc theo trục thực âm Nó hàm siêu bội suy biến Ψ(1, 1; z), hàm quy nhánh gần gốc tọa độ, có hình dáng giống nhánh hàm log Nếu lấy tích phân phần n lần, ta z nhận n F (z) = r=1 (−1)r−1 (r − 1)! + (−1)n n! r z Chuỗi phân kỳ n r=1 ∞ e−t dt (t + z)n+1 (−1)r−1 (r − 1)! zr khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận hàm F (z) |z| → ∞ miền |ph z| ≤ π − δ Để chứng minh điều này, ta thấy t ≥ |ph z| ≤ π − δ |z + t| ≥ |z| sin δ Giá trị tuyệt đối phần dư Rn (z) sau n số hạng ∞ e−t n |Rn (z)| = (−1) n! n! ≤ n+1 n+1 |z| sin δ n! ≤ n+1 n+1 |z| sin δ dt (t + z)n+1 ∞ e−t dt 32 bậc với số hạng thứ (n + 1) |z| → ∞ Vì ∞ F (z) ∼ r=1 (−1)r−1 (r − 1)! zr Khi z = x > 0, ta có ∞ e−t n < (−1) Rn (x) = n! dt n! < (t + x)n+1 xn+1 phần dư sau n số hạng dấu với số hạng thứ (n + 1) nhỏ giá trị tuyệt đối Khai triển tiệm cận chuỗi đan dấu chuỗi hữu hạn, tổng riêng liên tiếp nằm đan xen so với giá trị F (x) Xấp xỉ tốt tổng riêng nhận cách dừng cho số số hạng nhỏ T J Stieltjes rằng, xấp xỉ tốt nhận cách thêm vào nửa số hạng nhỏ Nếu x = N + η, với N số nguyên dương ≤ η ≤ số hạng nhỏ số hạng thứ (N + 1) Phần dư sau N số hạng ∞ e−t N RN (N + η) = (−1) N ! (−1)N N ! = (N + η)N +1 ∞ −t e dt (t + N + η)N +1 t 1+ N +η −N −1 dt Hàm dấu tích phân nhỏ e−t Bằng định lý tính hội tụ làm trội ta có RN (N + η).(N + η)N +1 −→ (−1)N N ! ∞ e−2t dt = N → ∞ Vì vậy, x = N + η, với N số nguyên đủ lớn ≤ η < 1, phần dư sau N xấp xỉ nửa số hạng thứ (N + 1), nghĩa nửa số hạng nhỏ 33 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận tốt nghiệp Nội dung luận văn giải vấn đề sau Trình bày hệ thống số vấn đề lý thuyết tiệm cận Phân tích ý tưởng xấp xỉ tiệm cận tích phân loại Laplace Từ đưa số phương pháp xấp xỉ tiệm cận tích phân trường hợp cụ thể Trình bày ứng dụng phương pháp tích phân phần để xấp xỉ tiệm cận số tích phân đặc biệt Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Trước kết thúc khoá luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo trường, đặc biệt TS Nguyễn Văn Hào tận tình giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [1] M J Ablowitz and A S Fokas, "Complex Variables Introduction and Applications", second edition, Cambrigde University Press, 2003 [2] E T Copson, "Asymptotic Expansions", Cambridge at the university press, 1965 [3] I Avramidi, "Lecture Notes on Asymptotic Expansions", New Mexico Institute of Mining and Technology, 2000 [4] A Erdélyi, "Asymptotic Expansions", Dover publications, Inc New York, 1956 [5] H Poincaré, "Asymptotic Expansions", Acta Math 8, 295-344, 1886 [6] Th Stieltjes, "Asymptotic Expansions", Ann.de l’Éc Norm Sup (3) 3, 201-258, 1886 [...]... thống một số các vấn đề cơ bản về lý thuyết tiệm cận 2 Phân tích được ý tưởng xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại Laplace Từ đó đưa ra một số phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân này trong các trường hợp cụ thể 3 Trình bày ứng dụng của các phương pháp tích phân từng phần để xấp xỉ tiệm cận một số tích phân đặc biệt Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên đề tài mới chỉ đạt được một. .. π Tích phân thứ hai có thể được đánh giá bằng cách sử dụng phương pháp tích phân từng phần Do đó ta nhận được I(z) = √ e−z π− √ +O z e−z 3 z2 Chương 2 TÍCH PHÂN LOẠI LAPLACE Một trong những phương pháp đơn giản nhất để tìm ra khai triển tiệm cận của một hàm xác định bởi tích phân xác định là lấy tích phân từng phần Các số hạng liên tiếp của chuỗi tiệm cận thu được bằng cách lấy tích phân lặp từng phần. .. không tìm hiểu thêm về vấn đề này Trong hầu hết các áp dụng, ta chỉ cần thu được một vài số hạng đầu của khai triển tiệm cận là đủ 1.4 Các tính chất của khai triển tiệm cận Các tính chất sau đây của khai triển tiệm cận có thể được thiết lập một cách dễ dàng như sau Tính chất 1.1 (Tính duy nhất của chuỗi tiệm cận) Cho dãy tiệm cận {δj (z)}∞ j=1 , khi đó khai triển tiệm cận của hàm f (z) là duy nhất Rõ ràng,... ∞ z Tích phân như vậy thường được đánh giá bằng cách sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đôi khi ta cần phải viết lại tích phân này trước khi áp dụng phương pháp tích phân từng phần Để rõ hơn về vấn đề này, ta xét các ví dụ sau Ví dụ 1.8 Đánh giá tích phân sau ∞ 2 e−t dt; z → ∞ I(z) = z 2 Giá trị của e−t là rất lớn tại điểm biên t = z Bởi vì tích phân từng phần ước tính được giá trị của tích phân. .. t = a thì phương pháp tích phân từng phần không thể đánh giá được giá trị tiệm cận của tích phân loại Laplace b f (t)e−zt dt; z → ∞ I(z) = a Để minh họa cho điều này ta xét phản ví dụ sau Ví dụ 2.5 Tìm hai số hạng đầu tiên trong khai triển tiệm cận của tích phân 5 1 (t2 + 2t)− 2 e−zt dt; z → ∞ I(z) = 0 1 Hàm f (t) là cùng bậc với O(t− 2 ) khi t → 0, vì vậy sử dụng phép lấy tích phân từng phần là rất... bằng cách lấy tích phân lặp từng phần Đặc tính tiệm cận của chuỗi được xác định bằng cách kiểm tra phần dư, nó có dạng một tích phân xác định Tuy nhiên phương pháp này có nhiều hạn chế và việc thiết lập các kết quả có tính tổng quát thường gặp phải những khó khăn nhất định Trong phần này chúng tôi trình bày phương pháp lấy tích phân từng phần đối với tích phân loại Laplace được xác định bởi b f (t)e−zφ(t)... những phương pháp đã trình bày trong chương 2 để ước lượng một số tích phân đặc biệt 3.1 Hàm Gamma không hoàn chỉnh Để minh họa cho việc xấp xỉ tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần, trước hết chúng ta xét hàm Gamma không hoàn chỉnh được xác định bởi công thức x e−t ta−t dt γ(a, x) = 0 với x và a là các số dương Một chuỗi thích hợp cho việc tính toán giá trị của tích phân khi giá trị của x... f (t)e−zφ(t) dt; z → ∞ I(z) = a 2.1 Ý tưởng của phương pháp khai triển tiệm cận đối với tích phân loại Laplace Chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận khi z → ∞ của các tích phân có dạng b f (t)e−zφ(t) dt I(z) = (2.1) a ở đó f (t) và φ(t) là những hàm biến thực khả vi Một trường hợp đặc biệt của các tích phân như vậy (khi φ(t) = t, a = 0, b = ∞) là biến đổi Laplace được xác định bởi ∞ f (t)e−zt dt, £(z)... chuỗi tiệm cận (ngoại trừ chuỗi lũy thừa tiệm cận) có thể lấy tích phân các số hạng tương ứng được nhưng nói chung, nó không cho phép lấy vi phân từng số hạng để thu được khai triển tiệm cận 13 Tính chất 1.2 (Tính không duy nhất của khai triển tiệm cận) Một khai triển tiệm cận cho trước có thể được biểu diễn bởi hai hàm hoàn toàn khác nhau π π < arg z < , 2 2 hàm f (z) được cho dưới dạng khai triển. .. Các khai triển tiệm cận điển hình tìm được chỉ thỏa mãn trong phạm vi của một số hình quạt nào đó của mặt phẳng phức Thường thì khai triển tiệm cận của một hàm f (z) cho trước sẽ có dạng f (z) ∼ φ(z) a0 + a1 a2 + 2 + z z với z nằm trong hình quạt của mặt phẳng phức Dãy tiệm cận này hoặc ∞ ∞ φ(z) 1 là khi xét đến khai triển của f (z), hay đơn giản là z j j=0 z j j=0 f (z) nếu ta lựa chọn việc khai triển ... thống lý thuyết xấp xỉ tiệm cận, trình bày số phương pháp xấp xỉ tiệm cận tích phân loại Laplace Ứng dụng phương pháp tích phân phần để xấp xỉ số tích phân đặc biệt Phương pháp nghiên cứu Đọc sách,... khóa luận tốt nghiệp "Phương pháp tích phân phần khai triển tiệm cận tích phân loại Laplace áp dụng với số tích phân đặc biệt" hoàn thành không trùng với khóa luận khác Trong trình hoàn thành... tiệm cận tích phân loại Laplace Từ đưa số phương pháp xấp xỉ tiệm cận tích phân trường hợp cụ thể Trình bày ứng dụng phương pháp tích phân phần để xấp xỉ tiệm cận số tích phân đặc biệt Do thời gian