Phương pháp Laplace trong khai triển tiệm cận của tích phân

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I LÊ MANH HÙNG PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIEN TIfiM C¾N CÚA TÍCH LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Hà N®i-2011 PHÂN B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I LÊ MANH HÙNG PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIEN TIfiM C¾N CÚA TÍCH PHÂN LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 604601 Ngưòi hưóng dan khoa hoc: TS Nguyen Văn Hào Hà N®i-2011 Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn Phòng sau Đai hoc; Các thay giáo, giáo Khoa Tốn tồn the anh ch% em hoc viên khóa 13 chun ngành Tốn giái tích Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, đ®ng viên giúp đõ đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat suot q trình thnc hi¾n đe tài nghiên cúu khoa hoc Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình chí báo giúp đõ em hồn thành Lu¾n văn Do thòi gian kien thúc có han nên Lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che có thieu sót nhat đ%nh Em xin chân thành cám ơn nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban hoc viên Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Lê Manh Hùng Lài cam đoan Em xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, Lu¾n văn Thac sy chun ngành Tốn giái tích vói đe tài "PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIEN TIfiM C¾N CÚA TÍCH PHÂN" đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân tác giá, khơng trùng vói bat cú Lu¾n văn khác Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n Lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn! Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Lê Manh Hùng Mnc lnc Má đau .3 Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 M®t so kien thúc ve giái tích phúc 1.1.1 So phúc m¾t phang phúc 1.1.2 Các t¾p hop m¾t phang phúc .8 1.1.3 Hàm hình 10 1.1.4 Chuoi lũy thùa .12 1.1.5 Tích phân phúc 15 1.2 Khai trien ti¾m c¾n 23 1.2.1 M®t so khái ni¾m b¾c 23 1.2.2 Dãy ti¾m c¾n 26 1.2.3 Đ%nh nghĩa cna Poincarés ve khai trien ti¾m c¾n 26 1.2.4 Chuoi lũy thùa ti¾m c¾n .28 1.2.5 Tính chat cna khai trien ti¾m c¾n .35 Chương Phương pháp tích phân tNng phan .40 2.1 Tích phân Euler 40 2.1.1 Tích phân Euler loai 40 2.1.2 Tích phân Euler loai 43 2.2 Hàm Gamma khơng hồn 47 2.3 Tích phân Fresnel tính chat 49 2.4 Bài toán cna Stieltjes 50 Chương Phương pháp Laplace 53 3.1 Ý tưóng cna phương pháp Laplace 53 3.2 Chúng minh cna xap xí Laplace .57 3.3 M®t so áp dung cna xap xí Laplace .60 3.4 Mó r®ng cna phương pháp xap xí Laplace 62 Ket lu¾n 69 Tài li¾u tham kháo 70 Má đau Lý chon đe tài Trong thnc te thưòng xáy rang, nhung chuoi phân kỳ có the đưoc sú dung cho sn tính tốn giá tr% so cna m®t đai lưong mà theo nghĩa có the đưoc xem “tong” cna chuoi Trưòng hop đien hình đoi vói chuoi hàm, bang sn xap xí bói m®t so so hang đau tiên cna chuoi thnc sn đem lai hi¾u mong muon Trong hau het trưòng hop so hang đau tiờn cna chuoi giỏm nhanh (khi bien so đc lắp tien nhanh tói giá tr% giói han cna nó), nhung so hang sau bat đau tăng tró lai Các chuoi nh vắy oc goi l chuoi bỏn hđi tu, vi¾c tính tốn giá tr% so thưòng đưoc thnc hiắn búi mđt so cỏc so hang au cna chuoi Giái tích ti¾m c¾n đưoc hình thành tù sóm, đưoc hình thành tù cơng trình tính tốn cna L Euler Đen năm 1886, lý thuyet ti¾m c¾n múi oc xõy dnng mđt cỏch hắ thong búi T J Stieltjes H Poincaré M®t hưóng nghiên cúu cna đưoc goi lý thuyet chuoi ti¾m c¾n Trong đó, ngưòi ta nghiên cúu chuoi mà đưoc bieu dien bói dãy hàm ti¾m c¾n Thưòng dãy hàm đưoc bieu dien dưói dang tích phân, chuoi lũy thùa ho¾c dưói dang nghiắm cna phng trỡnh vi phõn Cú mđt so phng pháp đe nghiên cúu ti¾m c¾n cna tích phân phương pháp tích phân tùng phan, phương pháp điem yên ngna, phương pháp dùng pha, Đe tiep c¾n vói lý thuyet này, đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan em chon đe tài “PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIEN TIfiM C¾N CÚA TÍCH PHÂN” đe hồn thành Lu¾n văn khóa đào tao Thac sy chun ngành Tốn giái tích Bo cuc cna lu¾n văn đưoc trình bày 03 chương Chương Chúng tơi trình bày m®t so kien thúc bán ve lý thuyet hàm so bien so phúc ve lý thuyet tiắm cắn Chng Mđt nhung phng phỏp n gián nhat đe thu đưoc xap xí ti¾m c¾n cna tích phân phương pháp tích phân tùng phan Đe hình dung đưoc m®t cách đơn gián nhat, chương cna lu¾n văn chúng tơi minh hoa phương pháp bang ví du cu the đe thu đưoc xap xí ti¾m c¾n cna tích phân: tích phân Euler loai m®t loai hai; hàm Gamma khơng hồn chính; tích phân Fresnel tính chat; tốn cna Stieltjes Chương Đây phan cna lu¾n văn, ó chúng tơi trình bày ý tưóng cna phương pháp Laplace vi¾c xap xí ti¾m c¾n cna tích phân cú dang (x)evh(x)dx Tuy nhiờn, viắc a m®t chúng minh hồn cna phương pháp Laplace theo đưòng goi ý rat phúc tap Trong phan ny, chỳng tụi giúi thiắu mđt phộp chúng minh cna G Pólya G Szego vói đieu ki¾n đn tong quát cho nhieu áp dung Cuoi cùng, chúng tơi trình bày m®t ket q mó r®ng cna phương pháp Laplace đoi vói tích phân chúa tham so dang β ¸ φ(x, υ).eh(x,υ)dx α Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu ve lý thuyet ti¾m c¾n phương pháp Laplace đoi vói xap xí ti¾m c¾n cna tích phân Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp Laplace đoi vói tiắm cắn cna tớch phõn trũng hop mđt chieu Ngồi ra, chúng tơi mó r®ng thêm cho trưòng hop tích phân tham so Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu DN kien đóng góp cúa lu¾n văn H¾ thong hóa kien thúc bán ve lý thuyet xap xí ti¾m c¾n; Trình bày phương pháp tích phân tùng phan xap xớ mđt so tớch phõn ắc biắt nh tớch phõn Euler, tích phân Fresnel, tốn cna Stieltjes, ; Đưa m®t chúng minh đay đn đoi vói phương pháp Laplace ve xap xí et cos θ cos nθdθ; ó φ(θ) = cos nθ h(θ) = cos θ m®t hàm giám thnc sn đat cnc đai tai θ = Bói h(0) = 1, hr(0) = 0, hrr(0) = −1, ta suy t , e In(t) (2πt) ∼ t → +∞ Xét m®t ví du tương tn dang trên, xét tích phân đau tiên cna Laplace cho đa thúc Legendre Pn(à), ngha l Pn(à) = π − µ+ (µ2 1) n cosθ dθ vúi > v cn bắc hai l dng é φ(θ) = f (θ) = µ + (µ − 1) cosθ r Tù f (θ) đat giá tr% lón nhat tai θ = vói f (θ) = 0, f rr () = (à 1) , chỳng ta nhắn đưoc 1, Pn(µ) (2πn) µ+ (µ2 − n+ 1) 2 n → ∞ ∼ (µ2 − 1) Ví du cuoi cùng, xét hàm Gamma đưoc đ%nh nghĩa bói tích phân Euler ¸∞ Γ(v + 1) = e−uuvdu tìm xap xí ti¾m c¾n v dương đn lón Tù u khơng có cnc đai, neu đ¾t u = vt, nh¾n đưoc Γ(v + 1) = vv+1 ¸∞ ev(−t+log t)dt Tích phân dang mà ta muon có vói h(t) = −t + log t, có m®t cnc đai đơn tai t = 1, vói hr(1) = 0, hrr(1) = −1 Neu áp dung xap xí cho hai khống ≤ t ≤ t ≥ 1, ta có Γ(v + 1) ∼ (2πv)2 vve−v v → +∞ 3.4 Má r®ng cúa phương pháp xap xí Laplace Trong muc trưóc ve xap xí Laplace, xét tích phân có dang β ¸ φ(x)evh(x)dx α Khi v → ∞, vói h(x) có m®t cnc đai đơn tai m®t điem ξ thuđc khoỏng huu han hoắc vụ han x ≤ β Đe ti¾n loi, ta có the chia đoan cho cnc đai đat tai điem cuoi, đieu khơng mang tính cot yeu Ta có the tong qt hóa phương pháp cho tích phân có dang β ¸ φ(x, v)eh(x,v)dx α vói φ(x, v) b% ch¾n v → ∞ h(x, v) có m®t cnc đai đơn ξ, điem dùng ξ không m®t điem co đ%nh, phu thu®c vào v Vói moi bieu thúc dưói dau tích phân vói nhân tú bien đoi khác có the cho ta cơng thúc khai trien ti¾m c¾n khác Tuy nhiên, điem dùng khơng phu thu®c vào tham bien v Đieu khơng phái ln ln xáy khơng can thiet phái làm vi¾c Chang han, trưòng hop cna hàm Gamma Γ(v + 1) = ¸∞ ev log x−xdx không lay φ(x) = e−x, h(x) = log x, bói log x khơng có điem dùng Nhưng có the lay φ(x) = 1, h(x, v) = v log x − x Hàm h(x, v) có m®t cnc đai đơn tai x = v xap xí ti¾m c¾n có the đưoc làm vi¾c só Chúng ta tránh đieu bang cách đoi bien x = vt Trong trưòng hop hàm Bessel Kv(a) = ¸∞ evx−a cosh xdx −∞ vói v a so dương v đn lón, xap xí Laplace khơng áp dung đưoc vói nhân tú h(x) = x, φ(x) = e−a cosh x h(x) khơng có cnc đai Nhưng−vx v vói a cosh x có m®t cnc đai đơn tai x = sinh−1 a bien v Neu đ¾t x = sinh−1 + t, nh¾n đưoc a v + Kv(a) = v v(t−et) √ ¸ v + a2 v ∞ e φ(t, v)dt −∞ vói a φ(t, v) = exp −a2 , , v + (v2 + a2) , cosh t/ Hàm t − et có m®t cnc đai đơn tai t = 0, ta có đưoc đieu đơn gián tù m®t bieu dien cna v φ Đieu thnc sn có ích, tù moi khoáng huu han −α ≤ t ≤ α, φ(t, v) liên tuc φ(α, v) ≤ φ(t, v) ≤ φ(0, v) Vì v¾y φ(t, v) → v → ∞ đeu theo t φ(t, v) ≤ vói moi t, v Bây giò ta có α ¸ v(t−e ) dt ¸ e t ev(t−e )φ(t, v)dt = φ(t0, v) −α t α −α vói −α ≤ t0 ≤ α Do đó, ta có ¸α ¸∞ t t ev(t−e )dt ev(t−e )φ(t, v)dt ∼ −α −∞ ¸∞ ∼ e−v − vt e 12 dt = e −∞ −v 2π v Đe chúng minh sn đóng góp cna khống t ≥ α t ≤ −α nhó, ta viet t = α + τ đe ý φ(t, v) ≤ vói moi t, v Khi đó, tù eα − α >1 sú dung bat thúc eτ ≥ + τ (τ ≥ 0), ta có ) ¸∞ ¸∞ dτ τ− (e t α α v(t−e ) v(α−e ) ≤e φ(t, v)dt ≤ e evτ−ve α ≤ ev(α−eα ¸∞ e ) α −vτ (e −1) dτ = e−v(α−e α ) = o e−v v(eα − 1) v Tương tn vói t ≤ −α Chúng ta chí rang, a m®t so dương v → +∞ , ,v + (v2 + 2π a2),v v e Kv(a) v 2a − v hoắc dúi dang mđt cụng thỳc tiắn loi hn 2vvve−v π Kv(a) ∼ av 2v Mđt ket quỏ khỏc cng nhắn oc v khụng m®t so nguyên Kv(a) = π sin vπ {I−v(a) − Iv(a)} M®t ví du khó hàm tru parabolic đưoc xác đ%nh bói 2 ¸ x v ∞ − a e −ax− D−v−1 (a) = Γ(v + 1) e x dx vói v > −1 Chúng tơi trình bày cách tỡm mđt xap xớ tiắm cắn cna T M Cherry [2], [3], a m®t so dương v → +∞ Neu đ¾t x = s v, ta có e D−v−1(a) = − a v+ v2 Γ(v + 1) vói ∞ ¸ h(s,v) e ds h(s, v) = v log s − √ − as v vs Hàm h(s, v) có m®t cnc đai đơn mien xác đ%nh cna hàm dưói dau tích phân tai a2 a s= 1+ − 2√v , 4v xap xí bang v đn lón Neu viet s = + t, ta tìm đưoc D−v−1 (a) = vói ¸∞ √ 1 e− a −a vv v+ Γ(v + 1) I = I √ −at v v log(1 + t) − v(1 + t) exp dt e ieu ny l mđt sn khỏc biắt thnc sn đoi vói tốn trưóc e−at√v khơng tien đen m®t giói han liên tuc v → +∞ √ u Đe tránh tính liên tuc đe ti¾n loi ta viet v = k Đ¾t t = , ta có k ¸∞ I = exp −k k2 log + k u − 2 (u + k) − au k u d Bây giò bang cách áp dung đ%nh lý giá tr% trung bình ta nh¾n đưoc u u u u3 log + = − + k k 3(k + u1) 2k2 vói u1 nam giua u Vì v¾y 1 u 2 k2 log + − (u + k) − au = − k − u2 − au + Tù suy e I = vói 3(k + u1) k k u −1 ∞ 2k ¸ e−u −auψ(u, k)du k −k k 2u3 3(k + u1) ψ(u, k) = exp Khi k > < ε < 1, khống −kε ≤ u ≤ kε nam ngồi mien xác đ%nh cna tích phân, khống 3ε k3ε−1 k2+ k2 u < k3ε−1 = 3(k + u1) 3(k − 3(1 − kε−1 ) ≤ kε ) vói moi k đn lón Vì v¾y ψ(u, k) nam giua exp ±k3ε−1 Neu bây giò ta chon ε cho < ε , ψ(u, k) tien tói k → ∞, đeu theo < bien u Viet η thay kε, ta thay rang η −1 k2 ¸ e 2 −1 ¸∞ e 2k π e k −η −u −ak ψ(u, k)du ∼ k e−u −au du = e− v+ a −∞ k → ∞ Giá tr% cna I khoáng u ≥ η dương bang v exp k ¸∞ η k log + k (u + k) au du − u − ¸∞ ex 1 p − au du ≤ k η ku − (u + k) ¸∞ 1 u2 au du = − k 2 − exp − k η e− k ≤ k e − k − ¸∞ e − u du η1 2 ¸∞ − e − v 2 dv η π = e−22ηk k ≤ 2 1 = e− v − η2 π k 2v Giá tr% rat nhó so vói giá tr% khống −η ≤ u ≤ η, vói η = kε < ε