Bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân và ứng dụng

Bài toán gi iả g nầđúng phương trình vi phân g nắ li nề với lý thuyết về b tấ đ ngẳ thức viphân, b tấ đ ngẳ thức tích phân.. Tìm nghi mệ g nầ đúng c aủ bài toán Cauchy từ lâu đã và đang

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẶNG ĐỨC QUÂN

BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN TH CẠ SĨ TOÁN GIẢI

TÍCH

Hà Nội-2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẶNG ĐỨC QUÂN

BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Tôi xin g iử l iờ c mả nơ đ cặ bi tệ sâu s cắ đến TS Khu tấ Văn Ninh đã

tr cự ti pế hướng d nẫ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn ch nhỉ đềtài

Hà N i,ộ tháng 9 năm 2009

Tác giả

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan lu nậ văn là công trình nghiên cứu c aủ riêng tôi dưới

sự hướng d nẫ tr cự ti pế c aủ TS Khu tấ Văn Ninh

Trong quá trình nghiên cứu lu nậ văn, tôi đã kế thừa những thành t uự

c aủ các nhà khoa học với sự trân tr ngọ và bi tế n.ơ

Hà N i,ộ tháng 9 năm 2009

Tác giả

Mục lục

L

ờ i cảm ơ n 2

L ờ i cam đoan 3

Bảng ký hiệu 6

Mở đầu 7

Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 9 1.1 Các khái ni mệ mở đ uầ 9

1.1.1 Các số đ oạ hàm Nửa vi phân 9

1.1.2 Nghi mệ c aủ bài toán Cauchy 10

1.2 B t đ ngấ ẳ th ứ c vi phân 11

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 19 2.1 B t đ ẳấ n g t h ứ c t í c h ph ân V o lte rr a 1 9

2.1.1 M tộ số đ nhị lý cơ b nả về b tấ đ ngẳ th cứ tích phân 19

2.1.2 B tấ đẳng thức tích phân Volterra 21

2.2 B t đ ẳấ n g t h ứ c t í c h ph ân V o lte rr a – F r e dh o lm 3 0

2.3 B tấ đẳng thức tích phân Volterra trên nửa tr cụ số 38

Chư ơ n g 3 Ứ NG DỤNG 43

3.1 Ph ươ ng pháp đ ườ ng g pấ khúc Euler 43

3.1.1 N iộ dung phương pháp 43

3.1.2 Ví dụ 51

3.2 Ph ươ ng pháp x pấ xỉ liên ti pế Picard 53

3.2.1 N iộ dung phương pháp 53

3.2.2 Ví dụ 64

3.3 P hương pháp Chaplyghin v à Chaplyghin c i ti nả ế 66

3.3.1 N iộ dung phương pháp Chaplyghin 66

3.3.2 Phương pháp Chaplyghin c iả ti nế thứ nh tấ 69

3.3.3 Phương pháp Chaplyghin c iả ti nế thứ hai 74

3.3.4 Ví dụ 77

Kết luận 82

Tà i li ệu tham khả o 83

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

V nấ đề gi iả đượ (hay sự t nc ồ t iạ nghi m)ệ các b tấ phươ trình vingphân, b tấ phươ trình tích phân, nghĩa là thu đng ượ các đánh giá vềchàm tho mãnả các b tấ đ ngẳ th cứ đượ bi uc ể di nễ thông qua các đi uề

ki nệ cho trướ Đây là m tc ộ trong nh ngữ lĩnh v cự quan tr ngọ c aủ toán

h cọ , b iở vì khi nghiên c uứ các tính chất khác nhau về nghi mệ c a ủ các

phương trình vi phân, phươ trình tích phân, thng ườ d nng ẫ đ nế v nấ đề

về tính gi iả đượ c ac ủ các b tấ phươ trình tng ươ ngngứ

Nhi uề bài toán khoa học kỹ thu tậ đưa về vi cệ tìm nghi mệ phươngtrình vi phân th aỏ mãn m tộ số đi uề ki nệ nào đó (đi uề ki nệ ban đ u,ầ

đi uề ki nệ biên, ) Tuy nhiên những bài toán phức t pạ đó không có hyvọng gi iả đúng, d nẫ đến vi cệ ph iả gi iả g nầ đúng Bài toán gi iả g nầđúng phương trình vi phân g nắ li nề với lý thuyết về b tấ đ ngẳ thức viphân, b tấ đ ngẳ thức tích phân

Tìm nghi mệ g nầ đúng c aủ bài toán Cauchy từ lâu đã và đang đượcnhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nhờ những kết quả về b tấ

đ ngẳ thức vi phân, b tấ đ ngẳ thức tích phân các nhà toán học đã xâydựng đượ các phương pháp, thu tc ậ toán tìm nghi mệ g nầ đúng c aủ bàitoán Cauchy Ngoài các phương pháp số c aủ Euler, Runge-Kutta, cácphương pháp gi iả tích cũng đã ra đ iờ và không ngừng phát tri n.ể Với sựđóng góp l nớ c aủ các nhà toán học Euler, Picard, Chaplyghin, với nền

t ngả là b tấ đ ngẳ thức vi phân, b tấ đ ngẳ thức tích phân các phương pháp

gi iả tích đưa ra nghi mệ g nầ đúng c aủ bài toán Cauchy dưới d ngạ bi uểthức gi iả tích

Với ý nghĩa quan tr ngọ c aủ các b tấ đ ngẳ vi phân, b tấ đ ngẳ thức tíchphân trong vi cệ đánh giá nghi m,ệ xây dựng thu tậ toán gi iả g nầ đúng các

phương trình vi phân, phương trình tích phân, đ cặ bi tệ là các phươngpháp gi iả

tích tìm công thức nghi mệ g nầ đúng c aủ bài toán Cauchy em đã m nhạ

d nạ chọn đề tài:

“BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN,BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG”

2 Mục đích nghiên cứu

• N iộ dung b tấ đ ngẳ thức vi phân, b tấ đ ngẳ thức tích phân

• Ứ d ngng ụ c aủ b tấ đ ngẳ thức vi phân, b tấ đ ngẳ thức tích phân gi iả

g nầ đúng phương trình vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Lu nậ văn trình bày m t ộ cách hệ th ng n iố ộ dung các b t ấ đ ngẳ thức viphân, b tấ đ ngẳ thức tích phân và ứng d ngụ trong vi cệ tìm nghi mệ g nầđúng c aủ bài toán Cauchy

4 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các b tấ đ ngẳ thức vi phân, b tấ đ ngẳ thức tích phân và ứng d ngụ tìm nghi mệ g nầ đúng c aủ bài toán Cauchy

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu lý lu n,ậ đọc tài li uệ chuyên kh o.ả

• T nổ g h pợ ki nế thức, vận d ngụ cho m cụ đích nghiên cứu đề tài

8

Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN

1.1.1 Các số đạo hàm Nửa vi phân

.

t − t0

v (t) − v (t0).

vt (∆t) }.

δ>0 −δ<∆t<0

Nhận xét 1.1 Nếu hàm số v (t) có đạo hàm thì tất cả các số đạo hàm bằng nhau và bằng đạo hàm, nghĩa là

D∗v (t) = ∗Dv (t) = D∗v (t) = ∗Dv (t) = vt (t)

Định nghĩa 1.2 Hàm D (x, h) được gọi là nửa vi phân của

chuẩn "x" nếu nó liên tục theo h khi x cố định và thỏa mãn:

10) "x + h" − "x" ≤ D (x, h) + o ("h")

20) D (x, λh) ≤ λD (x, h) , ∀λ ∈ [0; 1].

Nhận xét 1.2 Nửa vi phân có thể không duy nhất.

• Trong không gian (Em, "x"2) thì D(x, h)

Bổ đề 1.1 Nếu hàm x (t) ∈ Em khả vi trên đoạn [0; T] và D (x,

h ) là nửa vi phân của chuẩn "x (t)" thì

Bài toán (1-2) đượ g ic ọ là bài toán Cauchy.

Định nghĩa 1.3 Hàm x∗ (t) là nghiệm đúng (chính xác) của bài

14

2 1

Trong mục này ta nghiên cứu một số kết quả về bất đẳng thức vi phân cấp một.

Định lý 1.1 Giả sử hàm hai biến ϕ (t, u) liên tục trên miền

D, trong đó D = {0 ≤ t ≤ T; |u| < γ ≤ +∞} (ở đây trong trường hợp γ là một số hữu hạn thì dấu “<” có thể thay bằng dấu “≤”) Hàm v (t) (t ∈ [0; T]) liên tục, thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

Bây giờ ta sẽ ch ngứ minh v (t) < u (t) đúng v iớ m iọ t ∈ [0; T]

Th tậ v yậ , giả sử b tấ đ ngẳ th cứ không đúng trên toàn đo nạ [0; T] ,

khi đó t nồ t iạ số t0 mà v (t) < u (t) v iớ m iọ 0 < t < t0 và v (t0) = u (t0) , có nghĩa t0 là số nhỏ nhất mà t iạ đó d uấ b ngằ x yả ra

Từ (1.1) và (1.3) d nẫ đ nế vt (t0) < ϕ [t0, v (t0)] = ϕ [t0, u (t0)] = ut(t0) hay

vt (t0) < ut (t0) Suy ra t nồ

này mâuthu nẫ với tính nhỏ nh tấ c aủ t0 Đ nhị lý đượ chứng minh.c

trong đó u (t) là nghiệm trên của bài toán (1.3) trên đoạn

[0; T]

12

Định lý 1.2 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên miền {0 ≤ t ≤

T; |u| < γ}.

Hàm v (t) , t ∈ [0; T] liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

1

u (0)= u0 +

n

(0 ≤ t ≤ T) (1.6)

Do hàm ϕ [t, u (t)] là liên t c theo haiụ bi nế nên bài toán (1.6) sẽ t nồ

t iạ nghi mệ trên và nghi mệ dướ xác đ nhi ị trên [0; T] , đ ngồ th iờ v iớ n

≥ n0 các nghi mệ này h iộ tụ đ uề đ nế u (t) khi n → ∞.

Đ tặ u¯n, un nghi mệ trên, nghi mệ dưới của bài toán (1.6) Ta có

n0 Từ đây ta cho n → ∞ thu đượ (1.5) Đ nhc ị lý đượ ch ngc ứ minh

Định lý 1.3 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên miền {0 ≤ t ≤

T; |u| < γ}.

Hàm v (t) , t ∈ [0; T] liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

dv

dt ≥ ϕ (t, v) (0 < t ≤ T) , v (0) ≥ u0 Khi đó bất đẳng thức sau đúng

v (t) ≥ u (t) (0 ≤ t ≤ T) ,

19

trong đó hàm u (t) là nghiệm dưới của bài toán (1.3) trên đoạn [0; T]

20

¸ p(s)ds ¸

v (t) ≤ (≥) e0 +

t

¸ p(ξ)dξ

Th tậ vậy, từ (1.9) ta có v (t) < u (t) v iớ m iọ t thu cộ lân c nậ nào đó

c aủ đi mể t = 0 Giả s ử r ngằ (1.10) không xảy ra, ta g iọ t∗ là đi mể đ uầtiên thu cộ đo nạ [0; T] mà t iạ đó (1.10) xảy ra d uấ b ng,ằ nói cách khác

v (t) < u (t) v iớ m iọ 0 < t < t∗ và v (t∗) = u (t∗) Suy ra

∗Dv (t∗) = lim

t→t ∗−

v (t) − v (t∗)

t − t∗

≥ lim

t→t ∗−

u (t) − u (t∗)

t − t∗

= ut (t∗) = ϕ [t∗, u (t∗)] = ϕ [t∗, v (t∗)] ,

hay ∗Dv (t∗) ≥ ϕ [t∗, v (t∗)] Đi u ề này mâu thu nẫ với (1.8), t ừ đó suy ra (1.10) Đ nhị lý đượ chứng minh.c

Định lý 1.5 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục theo hai biến trên D Hàm v (t)

liên tục trên đoạn [0; T] , thỏa mãn bất đẳng thức

v (0) ≤ u0 < u0 +

n

và

∗Dv (t) < ϕn [t, v (t)] (0 < t ≤ T) (1.15)

Giả sử (1.14) không xảy ra, khi đó t nồ t iạ số τ ∈ (0; T] mà t iạ đó xảy

t→t ∗+

u¯n (t) − u¯n

(t∗)

t − t∗

= u¯t

n

(t∗) = ϕn [t∗, un (t∗)] =

ϕn [t∗, v (t∗)]

Đi uề này mâu thu nẫ với (1.15) Hay (1.14) đúng, suy ra b tấ đ ngẳ thức(1.13) th aỏ mãn Đ nhị lý đượ chứng minh.c

Hệ quả 1.2 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên {0 ≤ t ≤ T, u

≥ 0} và ϕ (t, 0) ≡ 0 Giả sử hàm không âm, liên tục v (t) (0

T]

= ϕ (t, u) , u (0) = 0

Hệ quả 1.3 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên {0 ≤ t ≤ T, u

≥ 0} và ϕ (t, 0) ≡ 0 Giả sử hàm không âm, liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) , v (T) > 0 thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

Chứng minh Đ t ặ ψ (t, v2) = ϕ [t, max (v2, v1 (t))] Khi đó ta có

Trên đo nạ [τ0, τ ] ta nh nậ được

29

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

2.1.1 Một số định lý cơ bản về bất đẳng thức tích phân

thức vi phân ta có thể xây dựng được những kết quả sau đây

về bất đẳng thức tích phân.

Định lý 2.1 Giả sử hàm hai biến ϕ (t, u) xác định trên miền

D, trong đó D = {0 ≤ t ≤ T; |u| < γ ≤ +∞} (trong trường hợp

γ là một số hữu hạn thì dấu “<” có thể thay bằng dấu “≤”) liên tục và không giảm theo biến u Hàm liên tục v (t) (0 ≤ t

Khi đó v (t) ≤ u (t) (0 ≤ t ≤ T) , trong đó u (t) là nghiệm

du dt

dt ≤ ϕ [t, ω (t)] , ω (0) = u0.

Theo đ nhị lý 1.2 suy ra

ω (t) ≤ u (t) ⇒ v (t) ≤ u (t)

Đ nhị lý đượ chứng minh.c

* Từ định lý này coi như là một trường hợp riêng ta có bất đẳng thức

Định lý 2.2 Giả sử hàm v (t) (0 ≤ t ≤ T) liên tục và thỏa

Để ch ngứ minh đ nhị lý này, ta áp d ngụ kết quả c aủ đ nhị lý 2.1 v iớ

vi cệ đ tặ hàm ϕ (t, u) = ϕ1 (t) u + ϕ2 (t) Khi đó nghi mệ c aủ bài toán

du

dt = ϕ1 (t) u + ϕ2 (t) , u (0) = u0

chính là vế ph iả c aủ (2.2) Theo đ nhị lý 2.1 suy ra đi uề ph iả chứng minh

ds e 0

t

≤ v (t)

ϕ2 (t) không âm, liên tục trên đoạn [0; T] Khi đó:

thức tích phân Volterra, khảo sát trong trường hợp hàm ϕ phụ thuộc ba biến (t, s, u) , khi đó phương pháp chứng minh của định lý 2.1 không còn phù hợp nữa.

Định lý 2.5 Giả sử hàm ba biến ϕ (t, s, u) (0 ≤ t, s ≤ T, |u| < γ)

tục trên đoạn [0; T] Hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

t

¸

0

v (t) < u0 (t)

+

0

ϕ [t, s, v (s)] ds (0 ≤ t ≤ T) (2.11)

Giả sử b tấ đ ngẳ th cứ (2.12) không đúng v iớ m iọ t thu cộ đo nạ [0;

T] Khi đó do tính chất liên t cụ c aủ các hàm v (t) , u (t) suy ra t nồ t iạ

0

K tế quả này trái với giả thi t,ế suy ra đi uề ph iả chứng minh

v (t) ≤ G−1 G (u0) +

Ta có điều khẳng định trên với mọi t thuộc tập giá trị của hàm

t

¸

υ (t) = G (u0) +

t

giả sử hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

Chứng minh Với m i ỗ n ∈ N∗ cố đ nhị , ta kí hi uệ wn (t) (0 ≤ t ≤ T) là

nghi mệ c aủ phươ trình tích phânng

wn (t) = trong đó ε > 0 đủ nhỏ.

Theo đ nhị lý 2.5 ta có u (t) < wn+1 (t) < wn (t) ≤ w1 (t) Suy ra {wn (t) }

Nhận xét 2.1 Kết quả của định lý 2.7 vẫn còn đúng khi hàm ϕ

(t, s, u) khả tích theo biến s và liên tục theo hai biến t và u.

Nhận xét 2.2 Điều kiện đơn điệu của hàm ϕ (t, s, u) theo biến

đẳng thức tích phân Thật vậy, ta xét phương trình tuyến tính

là hàm không giảm khi và chỉ khi Q (t, s) ≥ 0 (0 ≤ s, t ≤ T)

Ta chỉ ra rằng nếu điều kiện này không được thỏa mãn thì định lý về bất đẳng thức tích phân nói chung không đúng.

thì điều kiện cần và đủ là R (t, s) ≥ 0 (0 ≤ s, t ≤ T) , trong đó

R là giải thức của hạt nhân Q.

Rõ ràng, nếu Q ≤ 0 và Q không đồng nhất không thì R không thể là hàm không âm Điều đó suy ra rằng nếu Q (t,

s ) < 0 thì bất đẳng thức (2.20) nói

chung không đảm bảo cho bất đẳng thức (2.21) đúng Như vậy có thể nói điều kiện đơn điệu của hàm ϕ (t, s, u) theo biến u là điều kiện cốt yếu của định lý về bất đẳng thức tích phân Tuy nhiên trong những trường hợp tổng quát điều kiện này không phải là điều kiện cần.

Thật vậy, ta kiểm tra với Q (t, s) = sin (t − s) (0 ≤ t, s <

+∞) có giải thức R (t, s) = t − s (0 ≤ t, s < +∞) suy ra với

không phải là hàm đơn điệu theo biến u.

Định lý 2.8 Giả sử hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn

m-chiều, ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 2.2 Hệ phương trình tích phân Volterra được định nghĩa là hệ có dạng

Khi đó với cách phát bi uể và chứng minh tươ tự các đ nhng ị lý 2.5 và đ nhị

lý 2.7 ta có kết quả như sau

Định lý 2.10 Giả sử vector-hàm ϕ (t, s, u) .0 ≤ t, s ≤ T; .ui < γi,

T) là liên tục Giả sử vector-hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T)

trong đó u (t) là nghiệm dưới của hệ phương trình (2.23), xác

định trên đoạn

[0; T]

Nhận xét 2.3 Trong các định lý về bất đẳng thức tích phân Volterra nêu trên, điều kiện thỏa mãn của hàm ϕ (t, s, u) là tính liên tục Vấn đề đặt ra là có thể thay thế điều kiện này bằng một điều kiện khác tổng quát hơn, nói cách khác là

có thể mở rộng lớp hàm ϕ (t, s, u) hay không? Sau đây ta xét đến một điều kiện như thế, đó là điều kiện Caratheodory.

Định nghĩa 2.3 Ta nói vector-hàm

thỏa mãn điều kiện Caratheodory (C) nếu:

1 ϕ (t, s, u) liên tục theo u với mọi t và hầu khắp s; đo được theo s với mọi t và u.

thỏa mãn điều kiện (C), không giảm theo biến u với mọi t

và hầu khắp s Giả sử u0 (t) liên tục, "u0 (0)" < γ và uα (t) là

nghiệm dưới (trên) không thể thác triển được của hệ (2.23).

Nếu vector-hàm v (t) liên tục trên [0; α) ⊂ [0; T), "v (t)"

là hàm liên tục trên [0; T] Nếu hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤