Bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐẶNG ĐỨC QUÂN BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH Hà Nội-2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐẶNG ĐỨC QUÂN BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: TS Khuất Văn Ninh Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Giáo sư, Tiến sĩ giảng dạy chun ngành Tốn Giải tích; thầy, Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS Khuất Văn Ninh trực tiếp hướng dẫn suốt trình nghiên cứu hồn chỉnh đề tài Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS Khuất Văn Ninh Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Bảng ký hiệu Mở đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.1.1 Các số đạo hàm Nửa vi phân 1.1.2 Nghiệm toán Cauchy 10 1.2 Bất đẳng thức vi phân .11 Chương BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 19 2.1 Bất đẳng thức tích phân Volterra 19 2.1.1 Một số định lý bất đẳng thức tích phân 19 2.1.2 Bất đẳng thức tích phân Volterra .21 2.2 Bất đẳng thức tích phân Volterra – Fredholm 30 2.3 Bất đẳng thức tích phân Volterra nửa trục số 38 Chương ỨNG DỤNG 43 3.1 Phương pháp đường gấp khúc Euler .43 3.1.1 Nội dung phương pháp 43 3.1.2 Ví dụ 51 3.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard 53 3.2.1 Nội dung phương pháp 53 3.2.2 Ví dụ 64 3.3 Phương pháp Chaplyghin Chaplyghin cải tiến 66 3.3.1 Nội dung phương pháp Chaplyghin .66 3.3.2 Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ .69 3.3.3 Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ hai 74 3.3.4 Ví dụ 77 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 Bảng ký hiệu R : Đường thẳng thực R = [0; T] × [a; b] : Hình chữ nhật R2 D∗ : Số đạo hàm phải ∗D ∗ : Số đạo hàm trái D : Số đạo hàm phải ∗ D : Số đạo hàm trái sign {x (t)} : Hàm dấu x (t) Mở đầu Lý chọn đề tài Vấn đề giải (hay tồn nghiệm) bất phương trình vi phân, bất phương trình tích phân, nghĩa thu đánh giá hàm thoả mãn bất đẳng thức biểu diễn thông qua điều kiện cho trước Đây lĩnh vực quan trọng tốn học, nghiên cứu tính chất khác nghiệm phương trình vi phân, phương trình tích phân, thường dẫn đến vấn đề tính giải bất phương trình tương ứng Nhiều tốn khoa học kỹ thuật đưa việc tìm nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn số điều kiện (điều kiện ban đầu, điều kiện biên, ) Tuy nhiên tốn phức tạp khơng có hy vọng giải đúng, dẫn đến việc phải giải gần Bài toán giải gần phương trình vi phân gắn liền với lý thuyết bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân Tìm nghiệm gần tốn Cauchy từ lâu nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nhờ kết bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân nhà toán học xây dựng phương pháp, thuật tốn tìm nghiệm gần tốn Cauchy Ngoài phương pháp số Euler, Runge-Kutta, phương pháp giải tích đời khơng ngừng phát triển Với đóng góp lớn nhà toán học Euler, Picard, Chaplyghin, với tảng bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân phương pháp giải tích đưa nghiệm gần toán Cauchy dạng biểu thức giải tích Với ý nghĩa quan trọng bất đẳng vi phân, bất đẳng thức tích phân việc đánh giá nghiệm, xây dựng thuật toán giải gần phương trình vi phân, phương trình tích phân, đặc biệt phương pháp giải tích tìm cơng thức nghiệm gần tốn Cauchy em mạnh dạn chọn đề tài: “ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG” Mục đích nghiên cứu • Nội dung bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân • Ứng dụng bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân giải gần phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày cách hệ thống nội dung bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân ứng dụng việc tìm nghiệm gần tốn Cauchy Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân ứng dụng tìm nghiệm gần tốn Cauchy Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo • Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài 12 Vậy lim εn (t) = Định lý chứng minh n→∞ 3.3.3 Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ hai Nhận xét 3.8 Trong phương pháp Chaplyghin để tính xấp xỉ nghiệm ta phải tính đến đại lượng f [t, xn (t)] − f t, xn (t) (n = 0, 1, 2, ) xn (t) − xn (t) Điều đòi hỏi khối lượng tính tốn lớn Một cách khắc phục khó khăn thay đại lượng số, nội dung phương pháp Chaplyghin cải biên thứ hai Ta xét toán (1-2) với giả thiết hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện f (t, x) − f (t, y) ≥ −L (x − y) (∀ (t, x) , (t, y) ∈ R; x > y) , L số dương (đây gọi tính chất tăng yếu hàm f (t, x) theo biến x) Giả sử xấp xỉ ban đầu x0 (t) , x0 (t) thỏa mãn điều kiện (3.36) Các xấp xỉ liên tiếp xn+1 (t) , xn+1 (t) xây dựng sau: dxn+1 (t) dt = −L , (t)) + f [t, xn (t)] , xn+1 (t) − xn (t) + f dxn+1 = −L (t) (x n+ (t) − xn dt xn+1 (0) = x0, t, xn (t) n+ x (3.38) (0) = x0 , (n = 0, 1, 2, ) • Ta chứng minh xn (t) dãy đơn điệu tăng, bị chặn Ta có d x1 (t) − x0 (t) = −L x1 (t) − x0 (t) dt +f Theo giả thiết (3.36) suy dx0 (t) t, x0 (t) − dt d x1 (t) − x0 ≥ (t) −L dt x1 (0) − x0 (0) = x0 − x0 = x1 (t) − x0 (t) Áp dụng bất đẳng thức vi phân ta có x1 (t) − x0 (t) ≥ ⇒ x1 (t) ≥ x0 (t) Giả sử xn (t) ≥ xn−1 (t) ta có =− d xn−1 (t) − xn L x (t) − x + L xn (t) − xn−1 n+1 n (t) (t) (t) dt + f t, xn (t) − f t, xn−1 (t) Do hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện tăng yếu nên f t, xn (t) − f t, xn−1 (t) ≥ −L xn (t) − xn−1 (t) , suy d xn−1 (t) − xn ≥ −L (t) xn+1 (t) − xn , xn+1 (0) − xn (0) = (t) dt Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức vi phân ta thu xn+1 (t) − xn (t) ≥ ⇒ xn+1 (t) ≥ xn (t) (∀t ∈ [0; T]) Vậy dãy xn (t) đơn điệu tăng đoạn [0; T] Mặt khác, theo giả thiết x0 (t) ≤ x0 (t) Giả sử xn (t) ≤ x0 (t) (∀n ≥ 0) , kết hợp với điều kiện (3.36) ta có d x0 (t) − xn+1 (t) t , x + L xn+1 (t) − xn n ≥ f [t, x0 (t)] −f (t) (t) dt ≥ −L x0 (t) − xn (t) + L xn+1 (t) − xn (t) = −L x0 (t) − xn+1 (t) , hay d x0 (t) − xn+1 (t) ≥ −L x0 (t) − xn+1 , x0 (0) − xn+1 (0) = dt (t) Áp dụng bất đẳng thức vi phân thu x0 (t) ≥ xn+1 (t) Theo phương pháp qui nạp kết luận x0 (t) ≥ xn+1 (t) (∀n) • Bằng cách tương tự ta chứng minh dãy {xn (t)} giảm, bị chặn Suy dãy xn (t)., {xn (t)} hội tụ • Tiếp theo ta chứng minh xm (t) ≥ xn (t) (∀m, n) Giả sử xm (t) ≥ xn (t) với cặp số m, n Với n cố định ta chứng minh xm+1 (t) ≥ xn (t) Ta có =− d xm+1 (t) − xn L x (t) − x + L xn (t) − xn−1 m+1 m (t) (t) (t) dt + f [t, xm (t)] − f t, xn−1 (t) Mà theo giả thiết f [t, xm (t)] − f t, xn−1 (t) ≥ −L xm (t) − xn−1 (t) , suy d xm+1 (t) − xn ≥ −L (t) dt ( −x n (0) = , xm+10) xm+1 (t) − xn (t) Áp dụng bất đẳng thức vi phân thu xm+1 (t) ≥ xn (t) Như ta x0 (t) ≤ x1 (t) ≤ ≤ xn (t) ≤ ≤ xm (t) ≤ ≤ x1 (t) ≤ x0 (t) Đặt x (t) = lim có n→∞ xn (t) , x (t) = xn (t) Khi cho n → ∞ (3.38) lim ta n→∞ dx (t) = f [t, x (t)] , x (0) = x0, dt dx = f [t, x (t)] , x (0) = x0, (t) dt chứng tỏ x (t) , x (t) nghiệm toán (1-2) Rˆ = [0; T] × x0; x0 thỏa Định lý 3.11 Giả sử hàm f (t, x) xác định mãn điều kiện −L (x − y) ≤ f (t, x) − f (t, y) ≤ ϕ (t, ∀ (t, x) , (t, y) ∈ Rˆ, x > x − y) y x0 = x0 (t) , x0 = max x0 (t), hàm ϕ (t, u) tăng theo biến u 0≤t≤T 0≤t≤T toán   du = ϕ (t, u)  dt u (0) = có nghiệm u (t) ≡ đoạn [0; T] Khi dãy xấp xỉ xây dựng theo công thức (3.38) hội tụ tới nghiệm tốn (1-2), có đánh giá sau xn (t) − xn (t) ≤ εn (t) , εn (t) xác định sau: t ¸ e−L(t−s) {Lε0 (s) + ϕ [s, ε0 (s)]} ds ε0 (t) ≥ x0 − x0 + r εn+1 (t) = −Lεn+1 (t) + Lεn (t) + ϕ [t, εn (t)] εn+1 (0) = * Nội dung chứng minh định lý tương tự định lý (3.10) 3.3.4 Ví dụ Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm xấp xỉ Chaplyghin (xấp xỉ dưới) toán sau:   dx =x+t−1 dt x (0) = xác định đoạn [0; 3] Giải Ta sử dụng phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ để tìm nghiệm xấp xỉ (trên dưới) tốn • Thuật tốn tìm dãy nghiệm xấp xỉ thực Maple, xét với t ∈ [0; 3] , n = > restart; > n := 5; > Xd := array(0 n); > Xt := array(0 n); > f:=unapply(x+t-1,t,x): > Xd[0] := t-> 1-t: Xt[0] := t-> 2exp(t)-1: > hamso1 := f(t, Xd[0](t)); > for k to n vp1 := dsolve({y(0) = 1, diff(y(t), t) = hamso1}, y(t)): expr1 := subs(vp1, y(t)): hamso1 := f(t, expr1): Xd[k] := unapply(expr1, t): od: > hamso2 := f(t, Xt[0](t)): > for k to n vp2 := dsolve({y(0) = 1, diff(y(t), t) = hamso2}, y(t)): expr2 := subs(vp2, y(t)): hamso2 := f(t, expr2): Xt[k] := unapply(expr2, t): od: > print(Xt[n](t)); 2et + (1/720)t6 − (1/120)t5 − (1/24)t4 − (1/6)t3 − (1/2)t2 − 2t − > print(Xd[n](t)); (1/120)t5 + (1/24)t4 + (1/6)t3 + (1/2)t2 + • Sau nghiệm tốn >solution:=dsolve(diff(u(t),t)=u(t)+t-1,u(0)=1,u(t)); u(t) = −t + et • Dùng Maple ta vẽ đồ thị nghiệm xấp xỉ nghiệm trên, toán hệ trục tọa độ sau: >expr:=subs(solution,u(t)): >plot([Xt[n](t),expr,Xd[n](t)],t=0 3,color=[blue,red,blue]); Hình 3.4 Trong hình 3.4, đường cong màu đỏ đồ thị nghiệm toán, đường cong màu xanh tương ứng đồ thị nghiệm xấp xỉ Chaplyghin Xt5(t) Xd5(t) tốn Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm xấp xỉ Chaplyghin (xấp xỉ dưới) toán sau: xác định đoạn [0; 1]   dx = t2 dt  x (0) = − x2 Giải Ta sử dụng phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ hai để tìm nghiệm xấp xỉ (trên dưới) tốn • Thuật tốn tìm dãy nghiệm xấp xỉ thực Maple, xét với t ∈ [0; 1] , n = 13 > restart; > n := 3; > Xd := array(0 n); > Xt := array(0 n); > f:=unapply(t2 − x2,t,x): > Xd[0] := t-> -t: Xt[0] := t-> t: > hamso1 := f(t, Xd[0](t)); > for k to n vp1 := dsolve({y(0) = 0, diff(y(t), t) = -(y(t)-Xd[k-1](t)) +hamso1}, y(t)): expr1 := subs(vp1, y(t)): hamso1 := f(t, expr1): Xd[k] := unapply(expr1, t): od: > hamso2 := f(t, Xt[0](t)): > for k to n vp2 := dsolve({y(0) = 0, diff(y(t), t) = -(y(t)-Xt[k-1](t)) +hamso2}, y(t)): expr2 := subs(vp2, y(t)): hamso2 := f(t, expr2): Xt[k] := unapply(expr2, t): od: > print(Xt[n](t)); {44t + 5e−2t − (29/3)t3 − 8t2et + 2te−2t − t2e−2t +20te−t − 5t2e−t − 2t3e−t + t4e−t + 49tet + 25e−t +(9/2)t2 + (3/2)t4 − 79et + (1/3)e−3t + 146/3}e−t > print(Xd[n](t)); 14 {−(5/3)t3 − t2e−2t + 16te−t + 7t2e−t + 2t3e−t + t4e−t + 3tet +13e−t + (3/2)t2 + (1/2)t4 − 5et + (1/3)e−3t − 25/3}e−t • Sau đồ thị biểu diễn nghiệm xấp xỉ nghiệm Chap- lyghin trên, toán >solution:=dsolve(diff(u(t),t)=t2 − u(t)2,u(0)=0,u(t)); >dothi:=subs(solution,u(t)): >plot([Xt[n](t),dothi,Xd[n](t)],t=0 1,color=[blue,red,blue]); Hình 3.5 Trong hình 3.5, đường cong nằm đồ thị nghiệm toán, đường cong nằm (dưới) tương ứng đồ thị nghiệm xấp xỉ Chaplyghin (dưới) toán Kết luận Dưới hướng dẫn tận tình TS Khuất Văn Ninh, tác giả hoàn thành luận văn kế hoạch đạt mục đích nghiên cứu đề Cụ thể, nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Nghiên cứu cách khái quát bất đẳng thức vi phân, đưa số kết quan trọng, áp dụng giải vấn đề hai chương sau Chương 2: Nhờ kết có từ bất đẳng thức vi phân, luận văn đưa số kết bất đẳng thức tích phân Volterra; bất đẳng thức tích phân Volterra-Fredholm Chương 3: Áp dụng kết nghiên cứu bất đẳng thức vi phân bất đẳng thức tích phân vào nội dung toán giải gần phương trình vi phân Trong chương luận văn đưa ba phương pháp giải tích tìm nghiệm gần toán Cauchy (đưa nghiệm toán dạng biểu thức giải tích) Đồng thời với việc ứng dụng phần mềm Maple, luận văn xây dựng thuật tốn giải số ví dụ tương ứng cho phương pháp Với phạm vi đề tài thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận bảo, góp ý thầy bạn đọc quan tâm để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh(2005), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường(2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Đinh Thế Lục(1998), Hướng dẫn thực hành tính tốn Maple, NXB Giáo dục [4] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng(2005), Giải tích tốn học hàm số biến số, lý thuyết thực hành tính tốn, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Hoàng Tụy(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [6] A CAN˜ ADA, P DRÁBEK, A FONDA(2006), Handbook of differen- tial equations, ordinary differential equations (Volume 3), Elsevier, AE Amsterdam, The Netherlands [C] Tài liệu tiếng Nga [7] Mamedov.Ỉ.D(1978), Priblixennye metody rexenie obyknoven- nyh differencialanyh uravneniu, Maarif, Baku [8] Mamedov.Ỉ.D., Axirov S., Atdaev S.(1980), Teorema o neraven- stvah, Ylym, Axhaaaq ... thống nội dung bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân ứng dụng vi c tìm nghiệm gần tốn Cauchy Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân ứng dụng tìm nghiệm... Mục đích nghiên cứu • Nội dung bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân • Ứng dụng bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân giải gần phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu... tảng bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân phương pháp giải tích đưa nghiệm gần toán Cauchy dạng biểu thức giải tích Với ý nghĩa quan trọng bất đẳng vi phân, bất đẳng thức tích phân vi c