Bất đẳng thức tích chập và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - NGUYỄN TIẾN TRUNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN ỨNG DỤNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với luận văn công bố thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Tiến Trung MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU LỜI CẢM ƠN Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tích chập 1.1.1 Tích chập Fourier 1.1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine .8 1.2 Bất đẳng thức tích chập 10 1.2.1 Bất đẳng thức tích phân 10 1.2.2 Bất đẳng thức tích chập Fourier 10 1.2.3 Bất đẳng thức tích chập Fourier cosine 11 Kết luận chƣơng 14 Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP FOURIER VÀ TÍCH CHẬP SUY RỘNG 15 2.1 Các bất đẳng thức tích chập Fourier 15 2.1.1 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 15 2.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược 17 2.2 Một số bất đẳng thức tích chập suy rộng 19 2.2.1 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Fourier cosine 19 2.2.2 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Fourier sine 26 2.3 Một số ứng dụng 32 2.3.1 Phương trình vi phân cấp 32 2.3.2 Tích phân Picard 34 2.3.3 Tích phân Poisson 36 2.3.4 Nghiệm phương trình truyền nhiệt .37 Kết luận chƣơng 40 Chƣơng 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP KIỂU FOURIER 41 3.1 Các bất đẳng thức tích chập kiểu Fourier 41 3.2 Một số ứng dụng 52 3.2.1 Biến đổi Hardy .52 3.2.2 Biến đổi Meijer 53 3.2.3 Phương trình truyền nhiệt đối xứng qua biên 54 3.2.4 Phương trình tích phân 55 Kết luận chƣơng 57 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 LỜI MỞ ĐẦU -o0o - Lý chọn đề tài Tích chập phép biến đổi tích phân nhà toán học bắt đầu nghiên cứu từ khoảng kỷ 19 Đầu tiên tích chập phép biến đổi Fourier /( ) ∫ √ ( ) ( ) ( ) )( ) ( ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: /( ) ( )( )( Từ đến nay, tích chập tương ứng xây dựng cho phép biến đổi khác như: biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, biến đổi Hilbert, biến đổi Hankel, biến đổi Kontorovich – Lebedev… Lý thuyết tích chập có nhiều ứng dụng thú vị việc giải toán Toán – Lý, toán ngược, tính tổng chuỗi, xử lý ảnh, giải phương trình hệ phương trình tích phân kiểu tích chập cho nghiệm có biểu diễn gọn đẹp Khi nghiệm biểu diễn dạng này, ta dùng bất đẳng thức tích chập để đánh giá chúng không gian khác Vì vậy, nghiên cứu bất đẳng thức tích chập cần thiết để thuận tiện cho việc đánh giá ước lượng nghiệm, hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Đây sở để chọn đề tài: “Bất đẳng thức tích chập ứng dụng” Cụ thể, luận văn trình bày bất đẳng thức tích chập Fourier, kiểu Fourier, tích chập suy rộng không gian có trọng ứng dụng bất đẳng thức đánh giá nghiệm phương trình tích phân, nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình truyền nhiệt số biến đổi tích phân… Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức tích chập ứng dụng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức tích chập Fourier, kiểu Fourier, tích chập suy rộng ứng dụng đánh giá nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình truyền nhiệt, số biến đổi tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu - Dựa lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập, kết giải tích, giải tích hàm - Sử dụng phương pháp kiến thiết chứng minh bất đẳng thức từ báo [5, 7, 11, 12] Bố cục luận văn Ngoài phần Mở đầu Tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương với nội dung sau: Chƣơng 1: Kiến thức sở Nội dung chương trình bày kiến thức sở bao gồm định nghĩa tích chập phép biến đổi tích phân số bất đẳng thức tích chập nghiên cứu Chƣơng 2: Bất đẳng thức tích chập Fourier tích chập suy rộng Chương nội dung chủ yếu trình bày bất đẳng thức tích chập Fourier tích chập suy rộng không gian có trọng Trong có chứng minh chi tiết định lý, hệ từ ứng dụng đánh giá ước lượng nghiệm phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình truyền nhiệt Chƣơng 3: Bất đẳng thức tích chập kiểu Fourier Nội dung Chương trình bày bất đẳng thức tích chập kiểu Fourier Luận văn chứng minh làm rõ định lý hệ ứng dụng bất đẳng thức để đánh giá ước lượng phương trình tích phân, nghiệm phương trình truyền nhiệt đối xứng qua biên biến đổi tích phân LỜI CẢM ƠN -o0o - Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, chúc thầy luôn mạnh khỏe, hạnh phúc đạt nhiều thắng lợi nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Cô Viện Toán ứng dụng Tin học, thầy, anh, chị nhóm Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội giúp đỡ có ý kiến đóng góp qúy báu cho trình hoàn thiện luận văn Do khả hạn chế, luận văn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý thầy cô giáo, bạn độc giả quan tâm tới vấn đề Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Tiến Trung Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, luận văn trình bày định nghĩa tích chập Fourier, tích chập kiểu Fourier tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine số bất đẳng thức tích chập Các kiến thức sở cho nội dung trình bày Chương Chương Nội dung chương trình bày dựa vào tài liệu ([2, 3], [5 - 8], [10, 12]) 1.1 Tích chập 1.1.1 Tích chập Fourier Lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân bắt đầu nghiên cứu từ đầu kỉ 19 Đầu tiên tích chập phép biến đổi Fourier /( ) ( ∫ ) ( ) ( ) ( ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa /( ) ( )( )( )( ) Năm 2012, L P Castro S Saitoh giới thiệu ba tích chập sở tích chập Fourier (1.1.1), gọi tích chập tích chập kiểu Fourier có dạng sau: ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) /( ) ∫ /( ) ( ) ( ∫ ̅̅̅̅̅̅̅ /( ) ( ) ( ) ∫ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) ( ) ( ) ( ) Từ kiểu tích chập này, nhóm tác giả nhận số bất đẳng thức có ứng dụng quan trọng liên quan tới phương trình tích phân có nhân kiểu tích chập Gần đây, năm 2015 dựa kết L P Castro S Saitoh, nhóm tác giả Đinh Thanh Đức Nguyễn Dư Vĩ Nhân đưa số tích chập kiểu Fourier có dạng tổng quát hơn: ( *( ) ∫ ( ) ( ( )) | ( )| ( ) ( *( ) ∫ ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ( )) | ( )| ( ) ( *( ) ( ) ( ( ∫ ̅̅̅̅̅̅̅ )) | ( )| ( ) ( *( ) ( ) ( ( )) | ∫ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( )| ( ) Với D khoảng hữu hạn vô hạn ( ) , đó, | ( () )| Jacobi biến đổi trọng D, định nghĩa không gian Lebesgue D Như vậy, ‖ ‖ ‖ ‖ ( ( ) Cho ) hàm biến phức đo đó: 4∫ | ( )| ( ) ( ) F = bên miền hỗ trợ trọng Từ tích chập (1.1.6) tới (1.1.9), nhóm tác giả đưa số bất đẳng thức tích chập áp dụng chứng minh số ứng dụng tính bị chặn biến đổi Hardy Meijer, đánh giá nghiệm phương trình vi phân không gian có trọng Đây nội dung trình bày luận văn chi tiết trình bày Chương 1.1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine Năm 1951, Sneddon đưa tích chập suy rộng Fourier sine mà đẳng thức nhân tử hóa xuất hai phép biến đổi tích phân Định nghĩa 1.1 Tích chập suy rộng Fourier sine có dạng : /( ) ∫ , (| √ |) |)- ( ) (| ( ) ( ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau /( ) Trong đó, )( ) ( ( )( ) phép biến đổi Fourier sine ( √ ∫ ( ) )( ) Cùng năm 1951, Sneddon đề xuất tích chập phép biến đổi Fourier cosine: Định nghĩa 1.2 Tích chập Fourier cosine có dạng sau /( ) ∫ , (| √ |) )- ( ) ( ( ) ( ) ( ) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng sau /( ) Với ( )( )( )( ) ( ) phép biến đổi Fourier cosine ( )( ) √ ∫ ( ) Đến năm 1998, V A Kakichev, N X Thảo V K Tuấn đưa tích chập suy rộng Fourier cosine [6]: Định nghĩa 1.3 Tích chập suy rộng Fourier cosine có dạng /( ) √ ∫ , ( ) (| |) ( )- ( ) ( thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa ) hàm phức có dạng sau: ( ) ( ) ( Trong đó, số Định lý 3.2 Cho hàm ) ( ) hàm dương bị chặn thỏa mãn ( ) / ( )1 Khi đó, ta có bất đẳng thức sau ‖ /‖ ( ‖ ‖ ) ( )‖ ‖ ( ) với ( )( số ⁄ ( ) Đẳng thức thỏa mãn đó, ) ( ) ( ) Nhận xét 3.1 Trên sở Bổ đề 3.1 Định lý 3.2, tồn hàm cực trị thỏa mãn đẳng thức (3.1.9) có dạng: Với ( ) ⁄ ( ) ( ) ( ) ⁄ ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ ( ) ( ) ( ) số, Với ( ) số thực cho ( ) 1, , từ Bổ đề 3.1 Định lý 3.2 ta có đẳng thức (3.1.5) thỏa mãn ( ) ⁄ ( ) 46 ( ) , tương tự phương pháp chứng minh [1], tồn số phức Với ( ) cho ( ) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) hàm đo Giờ ta cần chứng minh ( ) ( ) Ta có hàm ( ) với ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) 1, hàm đo ( ) ( ) Đặt với ta có ( ) Hay ( ) ( ) ( ) ( Theo Bổ đề 3.1, từ (3.1.10) ta có ( ) hàm đo ( ) 1, có dạng hàm , j=1, ) tồn Trong đó, số với Từ đó, ta có hàm ⁄ ( ) ( ) ⁄ ( ) Lập luận tương tự với trường hợp ( ) Từ Nhận xét 3.1 Hệ 3.2 ta có hệ 3.3 sau: Hệ 3.3 Với ( ) 1, 2, có bất đẳng thức sau /‖ ‖ ‖ ‖ ‖ [∑ ( )] ‖∑ ( ) ( ) với điều kiện tồn tại: ( ) Đẳng thức (3.1.11) thỏa mãn ( ) với số, hệ số , ( ) ( ) ( 47 ) 1, Bây giờ, xem xét vài trường hợp đặc biệt tích chập (1.1.6) có dạng ( ( Ta đặt *( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ( )) | ( )| ) Khi đó, từ tích chập trên, ta có tích chập dạng Mellin sau: ( )( ) ( ) ( ∫ ) ( ) Trên sở Hệ 3.1, ta có Hệ 3.4 trường hợp tích chập dạng (3.1.13) Hệ 3.4 Cho hai hàm trọng ( ) Giả sử tồn hàm trọng ) ( )] [( Khi đó, ta có bất đẳng thức sau: ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) ( ) Đẳng thức thỏa mãn ( ) thỏa mãn ( ) , với ( ) ( ) ( số, α số thực 1, ) Chứng minh Chứng minh tương tự Hệ 3.2 Ta có |( )| ∫ | ( )|| ( )|| | ∫ | ( )| | ( ( ) )| ( ) ( ) ( ) Áp dụng bất đẳng thức Holder (2.1) ta có: |( )| 64 ( )7 6∫ 48 | ( )| | ( )| ( ) ( ) ( ) Lấy lũy thừa với )| |( hai vế (3.1.16) ta ) ( )] {[( ) ( )] [( | ( )| | ( )| ( ) ( ) 6∫ ∫ ( Lấy tích phân hai vế (3.1.17) theo η )| |( 4∫ ( ) ∬ } | ( )| | ( )| ( ) ( ) | ( )| | ( )| ( ) ( ) ( )∫ ) áp dụng định lý Fubini ta có: | ( )| | ( )| ( ) ( ) | ( )| ( ) ‖( )‖ ∫ ‖( )‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ∫ | ( )| ( ) Bất đẳng thức (3.1.14) chứng minh  Xét đẳng thức (3.1.14) Căn vào Bổ đề 3.1 Định lý 3.2, đẳng thức (3.1.14) thỏa mãn tồn hàm phức ( ) cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hay ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( với ) ⁄ ( , tồn ( ) ( ⁄ ( ) ( ) Đặt cho ) ( ) ( ( ) ( ) ( Khi ta có ( ) ( ) 49 ( ) ) ) ( ) Từ Bổ đề 3.1, hàm phức ( ) ( ) ( ) có dạng sau ( ) Từ hàm ( ) ta dễ dàng có ( ) Suy ( ) ( ) ( ) vào (3.1.18) ta dễ dàng có Thay ( ) có dạng giống (3.1.15) Ta có điều phải chứng minh Trong số trường hợp, biểu diễn tích chập kiểu Mellin có dạng sau: ( )( ) ( ) ( ∫ ) ( ) ( ) ( ) Khi đó, chứng minh tương tự Hệ 3.4 ta có Hệ 3.5 sau Giả sử tồn hàm trọng Hệ 3.5 Với ( ) ) ( )] [( Khi đó, ta có bất đẳng thức sau: ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Đẳng thức thỏa mãn ( ) thỏa mãn ( ) với ( ) ( ) số, α số thực Cuối cùng, cố định hàm thỏa mãn ( ) ( ) 1, với Chúng ta xem xét tích chập sau: ( )( ) ∫ ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( Chúng ta thấy rằng, tích chập Laplace trường hợp đặc biệt tích chập 50 ) Hệ 3.6 Cho hai trọng ( ) [( ( với Giả sử tồn hàm trọng thỏa mãn ) ( )] 1, Khi đó, ta có ( ) ‖ ‖ ) ( ), ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) Đẳng thức thỏa mãn khi: ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( số α, β số thực thỏa mãn với ) ( ) 1, Chứng minh ( Ta thấy đặt ) ( ) ( ) với D=(0, - tích chập (3.1.22) trở thành tích chập kiểu Fourier (1.1.6) Khi đó, từ Hệ 3.1 ta có bất đẳng thức (3.1.23)  Xét đẳng thức (3.1.23) Căn vào Bổ đề 3.1 Định lý 3.2 đẳng thức (3.1.23) thỏa mãn tồn hàm phức ( ) cho ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) Hay ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) với ⁄ ( ( )) ( ( )) , tồn ( ) ( ) ( ) cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) Từ Bổ đề 3.1, hàm phức ) ( ) có dạng sau: ( ) Hay ( ) 51 ( ) ( ) Đặt ( ) đó, từ (3.1.25) ta có ⁄ ( ) Thay ngược ( ) vào (3.1.26) ta có có dạng (3.1.24) Ta có điều phải chứng minh 3.2 Một số ứng dụng Trong phần này, luận văn trình bày vài ứng dụng đánh giá tính bị chặn biến đổi Hardy, Meijer nghiệm phương trình vi phân không gian có trọng số 3.2.1 Biến đổi Hardy Xét biến đổi Hardy có dạng * +( ) đó, ( ) ( ) ( ∫ ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) hàm Bessel loại loại Cụ thể: ( ) ( ) ( ) / ( * , ( )- ( / ) /1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ( * , [ ( )- / ( , thấy Với Vậy thì, với ) tới ( ( *] ) toán tử bị chặn từ không gian ) thỏa mãn bất đẳng thức sau: 52 ( thỏa mãn: ( ) áp dụng Hệ 3.4 ta có biến đổi Hardy ) ) hàm trọng ∫ ( ( ∫ | * +( )| với ( ( ) 6∫ ( )| ∫ | ∫ | ( )| ( ) ( ) ) Chú ý với biến đổi Hardy đồng với biến đổi Hankel, với ta có tương ứng biến đổi 3.2.2 Biến đổi Meijer Xét biến đổi Meijer có dạng √ ∫ √ * +( ) ( ( ) ( ) ) ( ) hàm McDonald đinh nghĩa thông qua hàm Bessel đó, sau: ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )- Hơn ( ) ( ) ( * , ( )- ( ) ( ) ( * ( ) thuộc không gian Ta có √ đó, cho trọng số ( ( ( *] ( ) với điều kiện ) Do thỏa mãn: ∫ ( với [ ) ( ) * , từ bất đẳng thức (3.1.20) ta có bất đẳng thức sau: 53 ∫ | * +( )| ( ) ( *