Tài liệu trình bày về bất đẳng thức Schwarz ngược cùng với một số ứng dụng quan trọng của nó trong không gian có tích vô hướng một cách khá chi tiết trong mỗi phần chứng minh nhằm đem lại cho người đọc một cách nhìn tổng quan và dễ hiểu khi làm quen với bất đẳng thức Schwarz ngược và ứng dụng của nó. Cụ thể kết quả chính của tài liệu bao gồm: Tìm hiểu và trình bày lại nội dung bất đẳng thức Schwarz ngược và một số ứng dụng của nó cho các phiếm hàm tuyến tính bảo toàn thứ tự, tích phân, toán tử tuyến tính, dãy, miền số. Chứng minh chi tiết một số Bổ đề, Định lí, Mệnh đề và Hệ quả mà trong bài báo chứng minh khá ngắn gọn như Định lí 2.2.1, Bổ đề 2.3.1, Bổ đề 2.3.2, Mệnh đề 3.4.1, Mệnh đề 3.4.2, Mệnh đề 3.4.3, Hệ quả 3.4.1. Tự chứng minh và làm rõ một số vấn đề mà bài báo nói đơn giản hoặc dễ thấy như Hệ quả 2.3.1, trong Định lí 2.2.1, Hệ quả 2.3.2, Nhận xét 2.3.2, Hệ quả 2.3.3, Hệ quả 3.2.1.
BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ NGƯỢC VÀ ỨNG DỤNG Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích vơ hướng 1.2 Khơng gian có tích vơ hướng 1.3 Không gian Hilbert Chương Bất đẳng thức Schwarz ngược 2.1 Bất đẳng thức Schwarz 8 2.2 Bất đẳng thức Schwarz ngược 10 2.3 Bất đẳng thức Vectơ 15 Chương Ứng dụng bất đẳng thức Schwarz ngược 29 3.1 Ứng dụng cho phiếm hàm tuyến tính bảo toàn thứ tự 29 3.2 Ứng dụng cho tích phân 31 3.3 Ứng dụng cho toán tử tuyến tính 34 3.4 Ứng dụng cho miền số 38 3.5 Ứng dụng cho bất đẳng thức rời rạc bất đẳng thức tích phân 46 Tài liệu tham khảo 50 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi nhắc lại tích vơ hướng, khái niệm trang bị cho không gian vectơ X trường F (F trường số phức hay số thực) để biến thành khơng gian Hilbert Ta nhớ lại rằng, x ✏ ♣x1, x2, x3q y ✏ ♣y1, y2, y3q hai vectơ R3 tích vơ hướng x y x☎y ✏ x1y1 x2y2 x3y3 Như vậy, độ dài vectơ x ⑥x⑥ ✏ ❛ x1 x2 x3 ✏ ❄ x ☎ x Không gian Hilbert tổng quát tự nhiên không gian Euclide hữu hạn chiều Không gian Hilbert phát sinh thường gặp toán học, vật lý kỹ thuật, thường không gian hàm vô hạn chiều 1.1 Tích vơ hướng Định nghĩa 1.1 [6, tr 36] Cho X khơng gian tuyến tính trường F Một tích vơ hướng X ánh xạ ①☎, ☎② : X ✂ X cho với x, y, z X với α F, ta có (i) ①x, x② ➙ 0; (ii) ①x, x② ✏ x ✏ 0; Đ F (iii) ①x, y ② ✏ ①y, x②; (iv) ①αx, y ② ✏ α ①x, y ②; (v) ①x y, z ② ✏ ①x, z ② ①y, z ② Từ (iii) đến (v) ta suy công thức Với x, y, z X với α, β F, ta có ①αx βy, z② ✏ α ①x, z② β ①y, z② ; (1.1) ①x, αy② ✏ α¯ ①x, y②; (1.2) ①x, αy βz② ✏ α¯ ①x, y② β¯ ①x, z② (1.3) Cơng thức (1.1) cho thấy tích vơ hướng tuyến tính theo biến thứ Trong (1.3) có liên hợp phức α ¯ β¯ vế phải, ta nói tích vơ hướng liên hợp tuyến tính theo biến thứ hai Kết hợp hai tính chất này, ta nói tích vơ hướng bán song tuyến tính (hay nửa song tuyến tính) [5, tr 129] Chú ý 1.1 Để thuận tiện từ sau khơng nói thêm ta hiểu trường F trường số thực hay trường số phức Ví dụ 1.1 Trên khơng gian vectơ n-chiều Fn Cho x ✏ ♣x1 , x2 , , xn q y ✏ ♣y1, y2, , ynq Fn, ánh xạ ①☎, ☎② : Fn ✂ Fn Ñ F cho ①x, y② ✏ n ➳ i✏1 x i yi tích vơ hướng Fn Ví dụ 1.2 Giả sử X ✏ C ra, bs, không gian hàm có giá trị phức liên tục đoạn ra, bs Cho x, y X, ánh xạ ①☎, ☎② : X ✂ X Ñ F cho ①x, y② ✏ ➺b a x♣tqy ♣tqdt tích vơ hướng X 1.2 Khơng gian có tích vơ hướng Định nghĩa 1.2 [6, tr 36] Một khơng gian có tích vơ hướng ♣X, ①☎, ☎②q khơng gian tuyến tính với tích vơ hướng ①☎, ☎② Một khơng gian có tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Sau số ví dụ khơng gian có tích vơ hướng Ví dụ 1.3 Cho số nguyên dương n Giả sử X ✏ Fn Cho x ✏ ♣x1, x2, , xnq y ✏ ♣y1, y2, , ynq X, xác định ①x, y② ✏ n ➳ i✏1 xi yi Vì tổng hữu hạn, ①☎, ☎② xác định Nên dễ dàng chứng minh ♣X, ①☎, ☎②q khơng gian có tích vô hướng Không gian Rn (tương ứng Cn ) với tích vơ hướng gọi khơng gian Euclide n-chiều (tương ứng không gian unita n-chiều) ✏ l0, khơng gian tuyến tính chuỗi hữu hạn khác không Cho x ✏ ♣x1 , x2 , q y ✏ ♣y1 , y2 , q X, xác định Ví dụ 1.4 Giả sử X ①x, y② ✏ ✽ ➳ i✏1 Vì thực chất tổng hữu hạn, xi yi ①☎, ☎② xác định Nên dễ dàng chứng minh ♣X, ①☎, ☎②q khơng gian có tích vơ hướng ✏ l2, không gian tất dãy số thực ✽ ➳ ✏ ♣x1, x2, q với ⑤xi⑤2 ➔ ✽ Cho x ✏ ♣x1, x2, q y ✏ Ví dụ 1.5 Giả sử X số phức x i✏ ♣y1, y2, q X, xác định ①x, y② ✏ Để chứng minh ✽ ➳ i✏1 xi yi ①☎, ☎② xác định, ta thấy a b số thực ↕ ♣a ✁ bq Ta có ⑤xiyi⑤ ✏ ⑤xi⑤ ⑤yi⑤ ↕ đ Vì vậy, ✽ ➳ i✏1 ⑤xiyi⑤ ↕ ✄ ✽ ➳ i✏1 ô ab ↕ 12 ✟ a2 b2 ✠ 1✁ 2 ⑤xi⑤ ⑤yi⑤ ☛ ✽ ➳ ⑤xi⑤ ⑤yi⑤2 ➔ ✽ i✏ ①☎, ☎② xác định tốt (tức chuỗi hội tụ) ✏ C ra, bs, khơng gian hàm có giá trị phức liên tục đoạn ra, bs trang bị tích vơ hướng Ví dụ 1.6 Giả sử X ①x, y② ✏ ➺b a x♣tqy ♣tqdt Vì X khơng gian có tích vơ hướng Ví dụ 1.7 Khơng gian L2 ♣X, µq hàm bình phương µ✁khả tích Lebesgue khơng gian có tích vơ hướng với tích vơ hướng ①x, y② ✏ ➺ X x♣tqy ♣tqdµ♣tq 1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.3 [6, tr 19] Dãy ♣xn q✽ n✏1 không gian định chuẩn ♣X, ⑥☎⑥q gọi dãy Cauchy với ε → tồn n0 → cho với m, n ➙ n0 ta có ⑥xm ✁ xn ⑥ ➔ ε Định nghĩa 1.4 [6, tr 21] Không gian định chuẩn ♣X, ⑥☎⑥q gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ ❛ Cho khơng gian có tích vơ hướng ♣X, ①☎, ☎②q, với x X ta đặt ⑥x⑥ ✏ ①x, x② Ta có (i) ⑥x⑥ ➙ 0, ❅x X ①☎, ☎② tích vơ hướng, nên ⑥x⑥ ✏ x ✏ ❛ ❛ ❛ ¯ ①x, x② ✏ ⑤α⑤2 ①x, x② ✏ ⑤α⑤ ⑥x⑥ , ❅α C, (ii) ⑥αx⑥ ✏ ①αx, αx② ✏ αα ❅x X Thành thử khơng gian có tích vơ hướng (không gian tiền Hilbert) không gian định chuẩn với chuẩn sinh tích vơ hướng ❛ ⑥x⑥ ✏ ①x, x②, x X (1.4) Định nghĩa 1.5 [1, tr 108] Một khơng gian có tích vơ hướng đầy đủ theo chuẩn sinh tích vơ hướng (1.4) gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.8 (Khơng gian Euclide n-chiều) Xét không gian vectơ Cn ✏ ✥ x ✏ ♣x1 , x2 , , xn q : x1 , x2 , , xn ✭ C Khi dễ thấy công thức ①x, y② ✏ n ➳ j ✏1 xj yj với x ✏ ♣x1 , x2 , , xn q , y ✏ ♣y1, y2, , ynq Cn xác định tích vơ hướng Cn Bởi C đầy đủ Cn đầy đủ với chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide ☎ ⑥x⑥ ✏ ✆ ☞ 12 n ➳ ✞ ✞2 ✞xj ✞ ✌ j ✏1 nên Cn khơng gian Hilbert ❛ ✏ ①x, x② Ví dụ 1.3.2 (Không gian l2 ) Xét không gian l2 dãy bình phương khả tổng ✩ ✬ ✬ ✫ l2 ☎ ✏ ✬x ✏ txn✉n➙1 : ⑥x⑥l ✏ ✬ ✪ Vì ✽ ➳ n✏1 ✄ ⑤xnyn⑤ ↕ ✽ ➳ n✏1 ✆ ➳ ⑤xn⑤2✌ ➔ ✽✴ n➙1 ⑤xn⑤2 ✱ ✴ ✴ ✳ ☞ 21 ✴ ✲ ✽ ➳ n✏1 ⑤yn⑤2 ☛ nên dễ thấy, công thức ①x, y② ✏ ✽ ➳ n✏1 xn y¯n , x, y l2 xác định tích vơ hướng l2 Mặt khác ❛ ⑥x⑥l ✏ ①x, x②, x l2 nên l2 đầy đủ với chuẩn l2 khơng gian Hilbert Ví dụ 1.3.3 (Khơng gian L2 ♣X, Σ, µq) Giả sử ♣X, Σ, µq không gian đo với độ đo µ Xét khơng gian Banach L2 ♣X, , àq p dng bt ng thc Hăolder, d dng kiểm tra công thức ①f, g② ✏ ➺ X f ♣xqg ♣xqdµ♣xq, f, g L2 ♣X, Σ, µq xác định tích vơ hướng L2 ♣X, Σ, µq Vì L2 ♣X, Σ, µq khơng gian Banach với chuẩn sinh tích vơ hướng ⑥f ⑥L ✏ ✂➺ ⑤f ⑤ X ✡ 12 dµ ❛ ✏ ①f, f ②, f L2 ♣X, Σ, µq nên L2 ♣X, Σ, µq khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.6 [7, tr 67] Hai tập M N không gian Hilbert H gọi trực giao với nhau, kí hiệu M ❑ N tích vô hướng ①x, y② ✏ với x M y N Tập hợp ✥ N ❑ :✏ y H : ①x, y② ✏ 0, ❅x N gọi phần bù trực giao N H ✭ Chương Bất đẳng thức Schwarz ngược Bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức quen thuộc với ứng dụng nhiều giải tích hàm Khi ta thêm lượng vào bất đẳng thức Schwarz để dấu đổi chiều ta bất đẳng thức Schwarz ngược Trong chương này, chúng tơi trình bày hai dạng bất đẳng thức Schwarz ngược 2.1 Bất đẳng thức Schwarz Định lý 2.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz) [6, tr 37] ✟ Giả sử X, ①☎, ☎② không gian có tích vơ hướng trường F Với x, y X, ta có ✞ ✞ ✞ x, y ✞ ❛ ❛ ① ② ↕ ①x, x② ①y, y② Hơn nữa, với x, y (2.1) X, đẳng thức ✞ ✞ ✞ x, y ✞ ❛ ❛ ① ② ✏ ①x, x② ①y, y② (2.2) xảy x y phụ thuộc tuyến tính, tức tồn số α F khác cho x ✏ αy Chứng minh Nếu x ✏ y ✏ (2.1) Giả sử x ✘ y ✘ Với α F, theo Định nghĩa 1.1, ta có ↕ ①x ✁ αy, x ✁ αy ② ✏ ①x, x② ✁ α ①y, x② ✁ α ¯ ①x, y ② αα ¯ ①y, y ② ✏ ✏ ①x, x② ✁ α¯ ①x, y② ✁ α ①y, x② ✁ α¯ ①y, y② ✘ ①x, y② , ta có ①y, y② ✓ ✛ ①x, y② ①x, y② ✁ ①x, y② ①y, x② ✁ ①x, y② ①y, y② ↕ ①x, x② ✁ ①y, y② ①y, y② ①y, y② ✙ x, y ② ✑ x, y ② ① ① ✏ ①x, x② ✁ ①y, y② ①x, y② ✁ ①y, y② ①y, x② ✁ ①x, y② y② ✏ ①x, x② ✁ ①①x, ①x, y② y, y ② ✞ ✞ ✞①x, y ②✞2 ✏ ①x, x② ✁ ①y, y② , Chọn α ✏ suy ❛ ✞ ✞ ✞ x, y ✞ ❛ ① ② ↕ ①x, x② ①y, y② ✞ ✞ ❛ ❛ ✏ ①x, x② ①y, y② Ta x y phụ thuộc tuyến tính Nếu x ✏ y ✏ x y rõ ràng phụ thuộc tuyến tính Ta ①x, y② , ta có giả định x ✘ y ✘ Khi ①y, y ② ✘ Với α ✏ ①y, y② Giả sử ✞①x, y ②✞ ✞ ✞ ✞ x, y ✞2 ①x ✁ αy, x ✁ αy② ✏ ①x, x② ✁ ①①y, y②② ✏ Do đó, ①x ✁ αy, x ✁ αy② ✏ 0, ñ x ✏ αy Suy ra, x y phụ thuộc tuyến tính Ngược lại, giả sử x y phụ thuộc tuyến tính Khi đó, x ✏ λy với λ F Ta có ✞ ✞ ✞ x, y ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ① ② ✏ ✞①λy, y②✞ ✏ ⑤λ⑤ ✞①y, y②✞ ✏ ⑤λ⑤ ①y, y② ❛ ❛ ❜ ❛ ❛ ❛ ✏ ⑤λ⑤ ①y, y② ①y, y② ✏ ⑤λ⑤2 ①y, y② ①y, y② ✏ ①λy, λy② ①y, y② ❛ ❛ ✏ ①x, x② ①y, y② ✆ A✝ µ Khi g H với g ✏ αe f f ❑ e ta có ✞ ✎ ✎ ✞ ⑤α⑤2 ✎♣A ✁ λI q g✎2 ↕ ⑥g⑥ ⑥Ag⑥2 ✁ ✞①Ag, g②✞2 ✁ ✠✎ ✎ A f ↕ ⑤α⑤ ⑥ ⑥ 2 ✎ ♣ ✁ λI q g✎2 (3.8) Chứng minh Áp dụng đồng thức tham số ta viết đẳng thức sau ✞ ✞ ✞ ✞ ⑥g⑥2 ⑥Ag⑥2 ✁ ✞①Ag, g②✞ ✏ ⑥g⑥2 ⑥Ag ✁ λg⑥2 ✁ ✞①Ag ✁ λg, g②✞2 (3.9) ✞ ✞ ❑ e chuẩn vectơ đơn vị riêng ✞⑤e✞ ⑤ ✏ nên ta có ⑥g⑥2 ✏ ⑤α⑤2 ⑥f ⑥2 Vì tính trực giao f Vì e vectơ đơn vị riêng A với giá trị riêng λ tương ứng nên ta có Ag ✁ λg ✏ A ♣αeλ f q ✁ λ ♣αeλ f q ✏ αA ♣eλq Af ✁ λαeλ ✁ λf ✏ αλeλ Af ✁ λαeλ ✁ λf ✏ Af ✁ λf (3.10) Vì e vectơ đơn vị riêng A✝ với giá trị riêng µ tương ứng nên ta có ✞ ✞ Ag ✞ ① ✁ λg, g②✞2 ✏ ❅ ✏ ❅ A ♣αe f q ✁ λ ♣αe f q , αe f αA ♣eq Af ❉ ❉ ✁ λαe ✁ λf, αe f ✏ ①Af ✁ λf, αe f ② ✏ ①Af, αe f ② ①✁λf, αe f ② ✏ ①Af, αe② ①Af, f ② ①✁λf, αe② ①✁λf, f ② ✏ α¯ ①Af, e② ①Af, f ② ✁ λ¯α ①f, e② ✁ λ ①f, f ② ✏ α¯ ①f, A✝e② ①Af, f ② ✁ λ ①f, f ② ✏ α¯ ①f, µe② ①Af, f ② ✁ λ ①f, f ② ✏ α¯µ¯ ①f, e② ①Af, f ② ✁ λ ①f, f ② ✏ ①Af, f ② ✁ λ ①f, f ② ✏ ①Af ✁ λf, f ② 36 (3.11) Thay đẳng thức vào đẳng thức (3.9) ta nhận ✞ ✞ ⑥g⑥2 ⑥Ag⑥2 ✁ ✞①Ag, g②✞ ✎ ✎ ✎α ✎2 2✎ ✞ ✞ ✞ ✞ ✏ ⑤ ⑤ ⑥f ⑥ ✎ ⑥Af ✁ λf ⑥2 ✁ ✞①Af ✁ λf, f ②✞2 (3.12) Vì vậy, rõ ràng ✞ ✞ ⑥g⑥2 ⑥Ag⑥2 ✁ ✞①Ag, g②✞ ✎ ✎ ✎α ✎ ✎ ✎α ✎ ✎ ✎α ✎2 2✎ ✏ ⑤ ⑤ ⑥f ⑥ ✎ ⑥Af ✁ λf ⑥2 ✁ ✞①Af ✁ λf, f ②✞2 ✎2 2✎ ↕ ⑤ ⑤ ⑥f ⑥ ✎ ⑥Af ✁ λf ⑥2 ✎2 2✎ ↕ ⑤ ⑤ ⑥f ⑥ ✎ ⑥Ag ✁ λg⑥2 (3.13) Ta vừa chứng minh xong bất đẳng thức thứ hai (3.8) Ngoài ra, áp dụng bất đẳng thức Schwarz (3.12) ta có ✞ ✞ ⑥g⑥2 ⑥Ag⑥2 ✁ ✞①Ag, g②✞ ✎ ✎ ✎α ✎2 2✎ ✞ ✞ ✏ ⑤ ⑤ ⑥f ⑥ ✎ ⑥Af ✁ λf ⑥2 ✁ ✞①Af ✁ λf, f ②✞2 ✞ ✞ ✏ ⑤α⑤2 ⑥Af ✁ λf ⑥ ⑥f ⑥2 ⑥Af ✁ λf ⑥ ✁ ✞①Af ✁ λf, f ②✞2 ✞ ✞ ➙ ⑤α⑤2 ⑥Af ✁ λf ⑥ , ♣⑥f ⑥2 ⑥Af ✁ λf ⑥ ✁ ✞①Af ✁ λf, f ②✞2 → 0q Vậy ta chứng minh xong bất đẳng thức thứ (3.8) ✆ Mệnh đề 3.3 [4, tr 737] Cho toán tử A tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert phức H Khi với λ, δ C với λ ✘ δ ta có bất phương trình ✞ ✞ ⑥Ag⑥2 ⑥g⑥2 ✁ ✞①Ag, g②✞2 ↕ ⑥Ag ✁ λg⑥2 ⑥Ag ✁ δg⑥2 ⑤δ ✁ λ⑤ Đẳng thức xảy Ag ✁ λg ❑ Ag ✁ δg Chứng minh Theo Hệ 2.2 chọn x ✏ Ag y (3.14) ✏ g ta dễ dàng suy ✆ điều phải chứng minh 37 3.4 Ứng dụng cho miền số ✟ Cho H; ①☎, ☎② không gian Hilbert phức Miền số toán tử A tập số phức C cho W ♣Aq ✏ ✥ ✭ ①Ax, x② , x H, ⑥x⑥ ✏ Bán kính số w♣Aq toán tử A H cho ✥ w♣Aq ✏ sup ⑤λ⑤ , λ W ♣Aq ✭ ✏ ✦✞ ✞ sup ✞ Ax, x ✞ , x ② ⑥ ⑥✏1 ① ✮ (3.15) Người ta biết w♣☎q quy tắc đại số Banach B ♣H q Quy tắc tương đương với quy tắc toán tử Định lý 3.2 (Quy tắc tương đương) [4, tr 737] Với A B ♣H q ta có w♣Aq ↕ ⑥A⑥ ↕ 2w♣Aq (3.16) Sau số bất đẳng thức ngược w♣Aq chặn ⑥A⑥ ↕ ⑥A⑥, tức số ✁ w2♣Aq thu Mệnh đề 3.4 [4, tr 737] Với A B ♣H q λ C ta có ↕ ⑥A⑥ ✁ w ♣A q ↕ ⑥A ✁ λI ⑥2 ✁ wi2 ♣A ✁ λI q ↕ ⑥A ✁ λI ⑥2 , ✞ ✞ wi ♣B q :✏ inf ⑥x⑥✏1 ✞①Bx, x②✞ với B (3.17) B ♣H q Chứng minh Áp dụng đẳng thức (2.10) cho Ax, x B ♣H q λ C ta có ✞ ✞ ✞ ✞ ⑥Ax⑥2 ⑥x⑥2 ✁ ✞①Ax, x②✞2 ✏ ⑥Ax ✁ λx⑥2 ⑥x⑥2 ✁ ✞①Ax ✁ λx, x②✞2 Hay ✞ ✞ ✞ ✞ ⑥Ax⑥2 ✁ ✞①Ax, x②✞2 ✏ ⑥Ax ✁ λx⑥2 ✁ ✞①Ax ✁ λx, x②✞2 38 (3.18) với ⑥x⑥ ✏ Dùng cận nhỏ x H, ⑥x⑥ ✏ 1, ta suy từ (3.18), ta có ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ⑥Ax⑥2 ✁ ✞①Ax, x②✞2 ✏ ⑥Ax ✁ λx⑥2 ✁ ✞①Ax ✁ λx, x②✞2 ô ⑥Ax⑥2 ✏ ✞①Ax, x②✞2 ⑥Ax ✁ λx⑥2 ✁ ✞①Ax ✁ λx, x②✞2 ñ sup ⑥Ax⑥ ↕ ✦✞ ✞2 sup ✞ Ax, x ✞ ⑥x⑥✏1 ñ sup ⑥Ax⑥ ↕ ⑥x⑥✏1 ⑥x⑥✏1 ñ sup ⑥Ax⑥ ↕ ⑥x⑥✏1 ñ sup ⑥Ax⑥2 ✁ ⑥x⑥✏1 ⑥x⑥✏1 ⑥x⑥✏1 ② ↕ ① ⑥x⑥✏1 sup ⑥Ax ✁ λx⑥ ⑥x⑥✏1 ✞ ✞ Theo (3.15) wi ♣B q :✏ inf ⑥x⑥✏1 ✞①Bx, x②✞ với B ↕ ⑥A⑥ ② ✞ ✞ Ax ✞2 ✮ λx, x ✞ ② ✞ ✞ ✞ ✞ ② sup ⑥Ax ✁ λx⑥2 ✁ ⑥xinf⑥✏1 ✞①Ax ✁ λx, x②✞2 ① ✞ ✞2 sup ✞ Ax, x ✞ ⑥x⑥✏1 ✦ ✞2 ✮ λx, x ✞ ② sup ⑥Ax ✁ λx⑥ ✁ ① ✁ ① ✞ ✞2 sup ✞ Ax, x ✞ ⑥x⑥✏1 ② ⑥Ax ✁ λx⑥ ✁ ① ✁ ① ✞ ✞2 sup ✞ Ax, x ✞ ✞ ✞ Ax 2 ✁ ⑥xinf⑥✏1 ✞①Ax ✁ λx, x②✞2 B ♣H q ta suy ✁ w2♣Aq ↕ ⑥A ✁ λ⑥2 ✁ wi2 ♣A ✁ λq ↕ ⑥A ✁ λ⑥2 Thay λ ✏ λI vào bất đẳng thức ta ↕ ⑥A⑥ ✁ w2♣Aq ↕ ⑥A ✁ λI ⑥2 ✁ wi2 ♣A ✁ λI q ↕ ⑥A ✁ λI ⑥2 ✆ Vậy mệnh đề chứng minh xong Nhận xét 3.4 [4, tr 738] Ta quan sát thấy rằng, A α, β B ♣H q C cho biến đổi Cα,β ♣Aq tăng thêm ta có bất đẳng thức ↕ ⑥A⑥ ✁ w2 ♣Aq ✎ ✎2 ✂ ✡ ✎ ✎ α β α β I ✎ ✁ w2 A ✁ I ↕ ✎A ✁ ↕ ✎ ✎ ✎ ✎A ✎ ✎ ✎2 α β ✎✎ I✎ i ✁ ↕ 14 ⑤α ✁ β ⑤2 (3.19) α β vào bất đẳng thức (3.17) ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Theo bất đẳng thức (2.4) thay λ ✏ Ngoài kết thu [[2], Định lý 3] 39 Mệnh đề 3.5 [4, tr 738] Với A B ♣H q δ, λ C với δ ✘ λ ta có ↕ ⑥A⑥ ↕ ↕ ✁ w2 ♣Aq ✑ ⑤δ ✁ λ⑤2 ⑤δ ✁ λ⑤ ⑥A ✁ λI ⑥ ⑥A ✁ δI ⑥ ✁ 2 wi2 Cδ,λ ♣Aq ⑥A ✁ λI ⑥2 ⑥A ✁ δI ⑥2 (3.20) Chứng minh Áp dụng đẳng thức (2.14), với A δ, λ C với δ ✒ ✘ λ ta có ✞ ✞ ✞ Ax, x ✞2 ⑥Ax⑥ ⑥x⑥ ✁ ① 2 ✟✙ ② ✚ B ♣H q, x H ⑤δ ✁ λ⑤2 ✞ ✞ ✏ ⑥Ax ✁ λx⑥2 ⑥Ax ✁ δx⑥2 ✁ ✞①Ax ✁ λx, Ax ✁ δx②✞2 ✞ ✞ ✞ Ax, x ✞2 ✑ ô ⑥Ax⑥ ⑥x⑥ ✁ ① 2 ✏ ② ✞ ✞ Ax ✞2 ✙ δx ✞ ⑥Ax ✁ λx⑥ ⑥Ax ✁ δx⑥ ✁ ① ✁ λx, Ax ✁ ② ⑤✞δ ✁ λ⑤2 ✞ ô ⑥Ax⑥2 ⑥x⑥2 ✏ ✞①Ax, x②✞2 ✑ ⑤δ ✁ λ⑤2 ✞ ✞ ô ⑥Ax⑥2 ⑥x⑥2 ✏ ✞①Ax, x②✞2 ✞ ✞ Ax ✞2 ✙ δx ✞ ⑥Ax ✁ λx⑥ ⑥Ax ✁ δx⑥ ✁ ① ✁ λx, Ax ✁ ② 2 δ ✁ λ⑤ ⑤ ✒ ✚ ✎ ✎2 ✎ ✎2 ✞✞❅ ❉✞✞2 ✂ ✎♣A ✁ λqx✎ ✎♣A ✁ δqx✎ ✁ ✞ ♣A ✁ λqx, ♣A ✁ δqx ✞ 40 Thay λ ✏ λI, δ ✏ δI vào đẳng thức ta ✞ ✞ ⑥Ax⑥2 ⑥x⑥2 ✏ ✞①Ax, x②✞2 δI ✁ λI ⑤ ⑤ ✚ ✒ ✎2 ✞✞❅ ✎2 ✎ ✎ ❉✞✞2 ✂ ✎♣A ✁ λI qx✎ ✎♣A ✁ δI qx✎ ✁ ✞ ♣A ✁ λI qx, ♣A ✁ δI qx ✞ (3.21) ✞ ✞ ô ⑥Ax⑥2 ⑥x⑥2 ✏ ✞①Ax, x②✞2 δ ✁ λ⑤ ⑤ ✚ ✒ ✎2 ✞✞❅ ✎2 ✎ ✎ ❉✞✞2 ✂ ✎♣A ✁ λI qx✎ ✎♣A ✁ δI qx✎ ✁ ✞ ♣A ✁ λI qx, ♣A ✁ δI qx ✞ (3.22) Lấy cận nhỏ x H, ⑥x⑥ ✏ cho (3.22) ta sup ⑥Ax⑥ ⑥x⑥ 2 ⑥x⑥✏1 ★ ✞ ✞ ✞ Ax, x ✞2 ✏ sup ① ⑥x⑥✏1 ✎ ✎ A ② ✎2 δI x✎ ✂ ♣ ✁ q ñ sup ⑥Ax⑥ ⑥x⑥ 2 ⑥x⑥✏1 ↕ ⑥x⑥✏1 ✎ ✎ A ⑤δ ✁ λ⑤2 ✂ ♣ ✁ q ✞ ✞2 sup ✞ Ax, x ✞ ✎ ♣ ✁ λI qx✎2 ✚ ❉✞✞2 δI x ✞ ✁ ♣ ✁ λI qx, ♣A ✁ q ② sup ★ ⑥x⑥✏1 ✎2 δI x✎ ✎ ✎ A ✞❅ ✞ ✞ A ✞ ✞2 sup ✞ Ax, x ✞ ① ✒ ✞❅ ✞ ✞ A ✒ ⑤δ ✁ λ⑤2 ✎ ✎ A ✎ ♣ ✁ λI qx✎2 ✚ ❉✞✞2 δI x ✞ ✁ ♣ ✁ λI qx, ♣A ✁ q ★ ✎ ✎ A ✰ ✎2 ✎ λI x✎ ✎ A ✰ ✎2 δI x✎ ✰ q ♣ ✁ q ♣ ✁ δ ✁ λ⑤ ⑤ ✧ ✞❅ ✞2 ✯ ❉ ✞ ✞ ✁ ⑥xinf⑥✏1 ✞ ♣A ✁ λI qx, ♣A ✁ δI qx ✞ ⑤δ ✁ λ⑤ ★ ✰ ✞ ✞ ✎ ✎ ✎ ✎ ✎ ✎2 ✎♣A ✁ δI qx✎2 ñ sup ⑥Ax⑥2 ↕ sup ✞①Ax, x②✞2 sup ♣A ✁ λI qx ⑥x⑥✏1 ⑥x⑥✏1 ⑥x⑥✏1 ⑤δ ✁ λ⑤ ✧ ✞❅ ✞2 ✯ ❉ ✞ ✝ ✁ δI ¯ q♣A ✁ λI qx, x ✞✞ ✁ ⑥xinf⑥✏1 ♣ A ✞ ⑤δ ✁ λ⑤2 ñ sup ⑥Ax⑥ ⑥x⑥✏1 ↕ ⑥x⑥✏1 ① ② sup ⑥x⑥✏1 41 Vì ⑥x⑥ ✏ nên ta suy ⑥A⑥ ↕ w ♣Aq ✑ ✙ ⑥A ✁ λI ⑥ ⑥A ✁ δI ⑥ ⑤δ ✁ λ⑤2 ✟ ¯ q♣A ✁ λI q ✁ wi2 ♣A✝ ✁ δI ⑤δ ✁ λ⑤ ✙ ✑ 2 ñ ⑥A⑥ ↕ w ♣Aq ⑥A ✁ λI ⑥ ⑥A ✁ δI ⑥ ⑤δ ✁ λ⑤2 ✟ ✁ wi2 Cδ,λ♣Aq ⑤δ ✁ λ⑤ 2 Từ suy ↕ ⑥A⑥ ↕ ↕ ✁ w2 ♣Aq ✑ ⑤δ ✁ λ⑤2 ⑤δ ✁ λ⑤ ⑥A ✁ λI ⑥ ⑥A ✁ δI ⑥ ✁ 2 wi2 Cδ,λ ♣Aq ✟✙ ⑥A ✁ λI ⑥2 ⑥A ✁ δI ⑥2 ✆ Vậy mệnh đề chứng minh xong B ♣H q α, β, χ, ψ C với α β ✘ χ ψ cho biến đổi Cα,β ♣Aq Cχ,ψ ♣Aq accretive ta có chuỗi Nhận xét 3.5 [4, tr 738] Nếu A bất đẳng thức ↕ ⑥A⑥ ↕ ✞✞ χ ψ ✞ ↕ ✞✞ χ ψ ✞ ↕ ✁ w2 ♣Aq✓ ✁ ✁ ✞2 α β ✞ ✞ ✎ ✎ ✎A ✎ ✎ ✎ ✞2 ✎✎A α β ✞ ✞ ✁ ✁ ✎2 ✎ ✎ ✎A ✎ α β ✎✎ I✎ ✎ ✎ ✁ wi2 ✁ C χ ψ , α β ♣Aq ✠ ✛ ✎ 2 χ ψ ✎✎ α β ✎✎ ✎✎ I ✎ ✎A ✁ I✎ 2 ⑤α ✁ β ⑤ ⑤χ ✁ ψ ⑤ ⑤χ ψ ✁ α ✁ β ⑤2 ✁ ✎2 χ ψ ✎✎ I✎ 2 (3.23) α β χ ψ ,δ ✏ vào bất đẳng 2 thức (3.20) ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Theo bất đẳng thức (2.4) thay λ ✏ 42 Các kết sau cho lũy thừa toán tử: w♣An q ↕ wn ♣Aq (3.24) với n ➙ tốn tử A tuyến tính bị chặn Trường hợp quan tâm n ✏ cho ta số đảo ngược sau: Mệnh đề 3.6 [4, tr 739] Nếu A γ B ♣H q λ, δ, γ, η C với λ ✘ δ ✘ η ↕ w2 ♣Aq ✁ w A2 ✟ ↕ ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ⑥A ✁ λI ⑥ ⑥A ✁ δI ⑥ ⑥A✝ ✁ γI ⑥ ⑥A✝ ✁ ηI ⑥ (3.25) Chứng minh Từ (3.24) ta suy ↕ ⑥A⑥ ✁ w2 ♣Aq Nếu ta chọn x ✏ Au, y ✏ A✝ u với u H ⑥u⑥ ✏ bất đẳng thức (2.21) ta ✞❅ ❉ ✞ Au, A✝ u ✞ ✞ ✞ ❅ ❉ ✁ ①Au, u② ①u, A✝u② ✞ ✏ ✞✞ A2u, u ✁ ①Au, u②2✞✞ ↕ ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ⑥Au ✁ λu⑥ ⑥Au ✁ δu⑥ ⑥A✝u ✁ γu⑥ ⑥A✝u ✁ ηu⑥ ✞✞❆ ✝ δu ✞ ✞ A u ✞ ✞ Au ✁ ① ✁ λu, Au ✁ ② ✞ ❉ ✟ ✁ γu, A✝u ✁ ηu ✞✞ ↕ ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ⑥Au ✁ λu⑥ ⑥Au ✁ δu⑥ ⑥A✝u ✁ γu⑥ ⑥A✝u ✁ ηu⑥ (3.26) Bởi tính chất mơđun nên ta có ✞ ✞ ✞ Au, u ✞2 ① ② ✁ ✞❅ ❉✞✞ ✞ ✞ A u, u ✞ ↕ với u H 43 ✞❅ ❉ ✞ ✞ A u, u ✁① ✞ Au, u ✞ ② 2✞ (3.27) Từ bất đẳng thức (3.26) (3.27) ta có ✞ ✞ ✞ Au, u ✞2 ② ↕ ① ✞❅ ❉✞✞ ✞ ✞ A u, u ✞ ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ⑥Au ✁ λu⑥ ⑥Au ✁ δu⑥ ⑥A✝u ✁ γu⑥ ⑥A✝u ✁ ηu⑥ (3.28) với u H ⑥u⑥ ✏ Lấy cận với ⑥u⑥ ✏ (3.28), ta ✞ ✞2 sup ✞ Au, u ✞ ⑥u⑥✏1 ① ② ↕ sup ✓ ⑥u⑥✏1 ✞❅ ❉✞✞ ✞ ✞ A u, u ✞ ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ✂ ⑥Au ✁ λu⑥ ⑥Au ✁ δu⑥ ⑥A✝u ✁ γu⑥ ⑥A✝u ✁ ηu⑥ ↕ ✞❅ ❉✞✞ ✞ sup ✞ A u, u ✞ ⑥u⑥✏1 ✙ sup ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ⑥u⑥✏1 ✂ ⑥Au ✁ λu⑥ ⑥Au ✁ δu⑥ ⑥A✝u ✁ γu⑥ ⑥A✝u ✁ ηu⑥ ✏ ✞❅ ❉✞✞ ✞ sup ✞ A u, u ✞ ⑥u⑥✏1 ✎ ✎ A sup ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ⑥u⑥✏1 ✎✎ λ u✎ ✎ A ✂ ♣ ✁ q ✎ ✎✎ ✝ δ u✎ ✎ A ♣ ✁ q ✁ ✟ ✎✎ ✎✎ ✝ γ u✎ ✎ A ✁ ✟ ✎✎ η u✎ (3.29) Từ (3.15) (3.29) ta suy ↕ w2 ♣Aq ✁ w A2 ✟ ↕ ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ⑥A ✁ λ⑥ ⑥A ✁ δ⑥ ⑥A✝ ✁ γ ⑥ ⑥A✝ ✁ η⑥ Thay λ ✏ λI, δ ✏ δI, γ ✏ γI, η ✏ ηI vào bất đẳng thức ta ↕ w ♣A q ✁ w A ✟ ↕ ⑤λI ✁ δI ⑤1⑤γI ✁ ηI ⑤ ⑥A ✁ λI ⑥ ⑥A ✁ δI ⑥ ⑥A✝ ✁ γI ⑥ ⑥A✝ ✁ ηI ⑥ Suy ↕ w ♣A q ✁ w A ✟ ↕ ⑤λ ✁ δ⑤1⑤γ ✁ η⑤ ⑥A ✁ λI ⑥ ⑥A ✁ δI ⑥ ⑥A✝ ✁ γI ⑥ ⑥A✝ ✁ ηI ⑥ 44 ✆ Vậy mệnh đề chứng minh xong Hệ 3.3 [4, tr 739] Nếu A B ♣H q λ, δ ↕ w2 ♣Aq ✁ w A2 ✟ ↕ ⑤λ ✁ δ⑤ C với λ ✘ δ ⑥A ✁ λI ⑥2 ⑥A ✁ δI ⑥2 Chứng minh Trong bất đẳng thức (3.28) chọn γ ↕ w2 ♣Aq ✁ w A2 (3.30) ¯ η ✏ δ¯ ta ✏ λ, ✟ ✎ ✎ ✎✎ ¯ ✎ ¯ ✎ ✎A✝ ✁ δI ↕ ⑤λ ✁ δ⑤1✞✞λ¯ ✁ δ¯✞✞ ⑥A ✁ λI ⑥ ⑥A ✁ δI ⑥ ✎A✝ ✁ λI Mặt khác ta lại có ✞ ¯ ✞λ ✞ ✞ ✞ ✁ δ¯✞ ✏ ✞✞λ ✁ δ✞✞ ✏ ⑤λ ✁ δ⑤ ✎ ✝ ✎A ✁ ✎ ¯ ✎ λI ✏ ✏ ❜❅ ✁ ¯ A✝ ✁ λI ¯ A✝ ✁ λI, ❉ ❅ ✝ ❉ ❅ ❉ ❅ ❉✠1④2 ✝ ✝ ✝ ¯ ¯ ¯ ¯ ①A , A ② A , ✁λI ✁λI, A ✁λI, ✁λI ✟1④2 ✏ ①A, A② ①✁λ, AI ② ①AI, ✁λ② ①✁λI, ✁λI ② ✏ ①A, A② ✁ I ①✁λ, AI ② ✁ I ①AI, ✁λ② ①✁λI, ✁λI ② ✟1④2 ✏ ①A, A② ①✁Iλ, ✁IAI ② ①✁IAI, ✁Iλ② ①✁λI, ✁λI ② ✏ ①A, A② ①✁Iλ, A② ①A, ✁Iλ② ①✁λI, ✁λI ② ✟1④2 ✟1④2 ✏ ⑥A ✁ λI ⑥ Từ suy ↕ w ♣A q ✁ w A ✟ ↕ ⑤λ ✁ δ⑤ Vậy hệ chứng minh xong Nhận xét 3.6 [4, tr 739] Nếu A ⑥A ✁ λI ⑥2 ⑥A ✁ δI ⑥2 ✆ B ♣H q α, β, χ, ψ C với α β ✘ χ ψ cho biến đổi Cα,β Cχ,ψ accretive ta có chuỗi bất 45 đẳng thức ↕ ⑥A⑥ ↕ ✞✞ ✁ w ♣A q χ ψ ✞ ✎ ✎ ✞2 ✎✎A α β ✞ ✞ ✎2 ✎ ✎ ✎A ✎ α β ✎✎ I✎ ✁ ✁ ✎2 χ ψ ✎✎ I✎ ✁ 2 ⑤α ✁ β ⑤ ⑤χ ✁ ψ ⑤ ↕4 (3.31) ⑤χ ψ ✁ α ✁ β ⑤2 α β χ ψ Theo bất đẳng thức (2.4) thay λ ✏ ,δ ✏ vào bất đẳng 2 thức (3.30) ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức 3.5 Ứng dụng cho bất đẳng thức rời rạc bất đẳng thức tích phân Các dạng rời rạc tích phân bất đẳng thức Cauchy-BunyakovskySchwarz đóng vai trò quan trọng nhiều ứng dụng Giải tích tốn học Ở đây, khóa luận nêu vài ứng dụng dạng rời rạc dạng tích phân cho hàm giá trị vectơ với giá trị không gian Hilbert bất đẳng thức (2.17) Lưu ý trường hợp không gian Hilbert lấy trường số phức C, với tích vơ hướng ①z, w② :✏ zw, z, w Cho ♣H, ①☎, ☎②q không gian Hilbert trường F, pj ➦✽ j ✏ pj ✏ Xét lp2 ♣H q không gian lp2 ♣H q :✏ ★ x✏♣ ✞ ✞ ✞ xj j N ✞xj ✞ q H, j N ✽ ➳ j ✏1 C ➙ 0, j N với ✎ ✎2 pj ✎xj ✎ ➔✽ ✰ Không gian lp2 ♣H q không gian Hilbert trường F trang bị tích vơ hướng ①x, y②p :✏ ➦✽j✏1 pj Chuẩn ❅ ❉ xj , yj ⑥ ☎ ⑥p lp2 ♣H q cho 46 ⑥x⑥p :✏ ✁➦ ✽ j ✏1 ✎ ✎2 ✠1④2 pj ✎xj ✎ lp2 ♣H q ta có bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz Nếu x, y dạng rời rạc sau ✽ ➳ j ✏1 ✽ ✎ ✎2 ➳ pj ✎xj ✎ ✎ ✎2 j ✏1 pj ✎yj ✎ ➙ ✞2 ✞ ✞ ✞✽ ✞➳ ❅ ❉✞ ✞ pj xj , yj ✞✞ ✞ ✞ ✞j ✏1 đẳng thức xảy tồn λ j (3.32) F cho xj ✏ λyj với N (tức xj yj phụ thuộc tuyến tính) Sử dụng bất đẳng thức Schwarz ngược (2.17) ta đưa bất đẳng thức ngược cho (3.32) 0↕ ✽ ➳ ✽ ✎ ✎2 ➳ pj ✎xj ✎ j ✏1 ↕ ✽ ➳ j ✏1 ✎ ✎2 pj ✎yj ✎ ✎ pj ✎xj ✁ ✁ ✞ ✞2 ✞✽ ✞ ✞➳ ❅ ❉✞ ✞ pj xj , yj ✞✞ ✞ ✞j ✏1 ✞ ✽ ✎ ✎2 ➳ λyj ✎ pj ✎xj ⑤δ ✁ λ⑤2 j✏1 j ✏1 λ, δ C với λ ✘ δ Đặc biệt cho λ ✏ 1, δ ✏ ✁1, ta có 0↕ ✽ ➳ j ✏1 ✽ ✎ ✎2 ➳ pj ✎xj ✎ ✽ j ✏1 ✎ ✎2 pj ✎yj ✎ ✁ ✽ ✎ ✁ δyj ✎2 , (3.33) ✞ ✞2 ✞✽ ✞ ✞➳ ❅ ❉✞ ✞ pj xj , yj ✞✞ ✞ ✞j ✏1 ✞ ➳ ✎ ✎ ✎ ➳ ✎ ↕ 41 pj ✎xj ✁ yj ✎2 pj ✎xj yj ✎2 , j ✏1 j ✏1 (3.34) Hơn nữa, tồn số dương M N cho ✎ ✎xj ✎ ✁ yj ✎ ↕ M ✎ ✎xj ta có 0↕ ✽ ➳ j ✏1 ✽ ✎ ✎2 ➳ pj ✎xj ✎ j ✏1 ✎ ✎2 pj ✎yj ✎ ✁ ✎ yj ✎ ↕ N với j N ✞ ✞2 ✞✽ ✞ ✞➳ ❅ ❉✞ ✞ pj xj , yj ✞✞ ✞ ✞j ✏1 ✞ 47 ↕ 41 M 2N (3.35) Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh các bất đẳng thức (3.32),(3.33) (3.34) Bây ta chứng minh (3.35), ta có 0↕ ✽ ➳ j ✏1 ✽ ✎ ✎2 ➳ pj ✎xj ✎ j ✏1 ✽ ✎ ✎2 pj ✎yj ✎ ✁ ✽ ✞2 ✞ ✞ ✞✽ ✞➳ ❅ ❉✞ ✞ pj xj , yj ✞✞ ✞ ✞ ✞j ✏1 ✎ ✎2 ➳ ✎ ➳ ✎✎ ↕ pj xj ✁ yj ✎ pj ✎xj yj ✎2 j ✏1 j ✏1 ✽ ✽ ➳ ➳ ↕ 14 pj M pj N j ✏1 j ✏1 ✂ ✏ 14 M 2N ✽ ➳ j ✏1 ✡ pj ✏1 ✆ Giả sử ♣K, ①☎, ☎②q không gian Hilbert trường số thực ⑨ R Ñ r0, ✽q hàm khả tích Lebesgue với ➩b ρ♣tqdt ✏ ta xét khơng gian L2ρ ♣ra, bs; K q tất hàm a ✎ ✎2 ➩b f : ra, bs Đ K, đo Bochner a ρ♣tq ✎f ♣tq✎ dt ➔ ✽ Không gian L2ρ ♣ra, bs; K q với tích vơ hướng cho số phức F Nếu ρ : ra, bs ①f, g②ρ :✏ ❅ ➩b ❉ ρ♣tq f ♣tq, g ♣tq dt a sinh chuẩn ⑥f ⑥ρ :✏ ✁➩ b ρ a ✎ ✎2 ✠1④2 ✎ t f t ✎ dt , ♣q ♣q không gian Hilbert trường F Sau bất đẳng thức CauchyBunyakovsky-Schwarz dạng tích phân ➺b ✎ ✎2 ρ t ✎f t ✎ dt a ♣q ♣q ➺b a ✎ ✎2 ρ t ✎g t ✎ dt ♣q ♣q ➙ ✞➺ ✞2 ✞ b ✞ ❅ ❉ ✞ ✞ ✞ ρ t f t , g t dt✞ ✞ a ✞ ♣q ♣q ♣q (3.36) L2ρ♣ra, bs; K q đẳng thức xảy tồn λ F cho f ♣tq ✏ λg ♣tq với t ra, bs với f, g Sử dụng bất đẳng thức Schwarz ngược (2.17) ta đưa bất đẳng 48 thức ngược cho (3.36) 0↕ ➺b ✎2 ✎ ρ t ✎f t ✎ dt ♣q ♣q a ↕ ⑤λ ✁ δ⑤2 ➺b ➺b ✎2 ✎ ρ t ✎g t ✎ dt ♣q ♣q a ✎2 λg t ✎ ✎ ρ t ✎f t a ♣ q ♣ q✁ ♣ q ➺b a ✁ ✞2 ✞➺ ✞ ✞ b ❅ ❉ ✞ ✞ ✞ ρ t f t , g t dt✞ ✞ ✞ a ♣q ♣q ♣q ✎2 ✎ ρ♣tq ✎f ♣tq ✁ δg ♣tq✎ , C với λ ✘ δ Đặc biệt cho λ ✏ 1, δ ✏ ✁1, ta có (3.37) λ, δ 0↕ ↕ ➺b ✎2 ✎ ρ t ✎f t ✎ dt ♣q ♣q a ➺b a ✎ ρ t ✎f t ➺b ✎2 ✎ ρ t ✎g t ✎ dt ♣q ♣q a ✎2 g t✎ ♣ q ♣ q✁ ♣ q ➺b a ✁ ✞2 ✞➺ ✞ ✞ b ❅ ❉ ✞ ✞ ✞ ρ t f t , g t dt✞ ✞ ✞ a ♣q ♣q ♣q ✎2 ✎ ρ♣tq ✎f ♣tq g ♣tq✎ (3.38) Nếu tồn số dương P Q cho ✎ ✎f t ✎ ✎ ✎ ♣ q ✁ g♣tq✎ ↕ P ✎f ♣tq g♣tq✎ ↕ Q với t ra, bs 0↕ ➺b a ✎ ✎2 ρ t ✎f t ✎ dt ♣q ♣q ➺b a ✎ ✎2 ρ t ✎g t ✎ dt ♣q ♣q ↕ 41 P 2Q2 ✁ ✞➺ ✞2 ✞ b ✞ ❅ ❉ ✞ ✞ ✞ ρ t f t , g t dt✞ ✞ a ✞ ♣q ♣q ♣q (3.39) 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2012), Giáo trình Giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm Tiếng Anh: [2] S S Dragomir (2008), New inequalities of the Kantorovich type for bounded linear operators in Hilbert spaces, Linear Algebra Appl Tr 2750–2760 [3] S S Dragomir (2015) Reverses of Schwarz inequality in inner product spaces with applications: Reverses of Schwarz inequality in inner product paces, Mathematische Nachrichten [4] S S Dragomir (2015), "Reverses of Schwarz inequality in inner product spaces with applications", Math Nachr., (288, No 7) Tr 730–742 [5] Erwin Kreyszing (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons., Inc [6] Mr Andrew Pinchuck (2011), Functional analysis notes, Rhodes University [7] Yutaka Yamamoto (2012), From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications, the Society for Industrial and Applied Mathematics 50 ... Chương Bất đẳng thức Schwarz ngược Bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức quen thuộc với ứng dụng nhiều giải tích hàm Khi ta thêm lượng vào bất đẳng thức Schwarz để dấu đổi chiều ta bất đẳng thức Schwarz. .. ↕ ⑥x⑥ ⑥y ⑥ với x, y tức X (Bất đẳng thức tam giác); ⑥☎⑥ chuẩn X 2.2 Bất đẳng thức Schwarz ngược Khóa luận trình bày số bất đẳng thức ngược cho bất đẳng thức Schwarz Chính xác hơn, khóa luận... bất đẳng thức Schwarz ngược Trong chương này, chúng tơi trình bày hai dạng bất đẳng thức Schwarz ngược 2.1 Bất đẳng thức Schwarz Định lý 2.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakowsky -Schwarz) [6, tr 37]