Bài giảng số 1.Bất đẳng thức cô si và ứng dụng

Chứng minh rằng.

Vấn đề 1: Bất đẳng thức Cauchy

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

BĐT cauchy cho hai số không âm a và b: ab  ab

2 , dấu bằng xảy ra khi a = b

BĐT cauchy cho ba số không âm a , b, c: abc  abc

3 , dấu bằng xảy ra khi a = b = c

BĐT cauchy tổng quát: Cho a1, a2, , an  0 ta luôn có:

n

n n

a a a n

a a

a

2 1 2

1









Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an Một số bất đẳng thức phụ suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

i) 1 1 4 ( ,a b 0)

ii) 1 1 1 9 ( , ,a b c 0)

B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

1 Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức cosi

Ví dụ 1: CMR với mọi ta có: 12 15 20 3 4 5

Luyện tập:

1) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz 1 Chứng minh rằng :

2) Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng :

2 Kỹ thuật tách số mũ

Ví dụ 2:

a) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a3 + b3 + c3  a2b + b2c +c2a

b) Cho 0 x1 CMR 3 27

(1 )

256

Luyện tập:

3) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a4 + b4 + c4  abc( a +b + c)

4) Cho a, b dương Chứng minh rằng : 3 3 2

3a  7b  9ab 5) minh rằng với mọi số dương a b, c ta luôn có

abc

a b abcb c abcc a abc

3 Kỹ thuật tách thêm bớt

Ví dụ 3: Cho a,b,c0 sao cho abc3 CMR

a) a3 b3 c3 3

b) a4 b4 c4 a3 b3 c3

Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương và xy z 1.

82.

Luyện tập:

6 ) Cho x, y, z dương Tìm giá trị nhỏ nhất của:

7) Cho 4 số dương a,b,c,d Chứng minh rằng

8) Cho a b , 0 Chứng minh rằng: 1 3.

a

b a b



9) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 1 2 1 4xy ( ,x y 0)

x y xy



4 Áp dụng các bất đẳng thức phụ

Ví dụ 5: Cho x, ,y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

x y z  CMR

Luyện tập

10) Chứng minh rằng với mọi x 0 và với mọi   0ta luôn có x     1  x.

Từ đó chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kì thì:

2

a b c

a b b c c a

 

C BÀI TẬP TỔNG HỢP

12) Chứng minh rằng 3x2y4z xz3 yz5 xy (x y z, , 0)

13) Cho 4 số dương a,b,c,d Chứng minh rằng

14) Cho x, y, z > 0 thoả mãn xy z 3. Chứng minh:

16) Cho các số x y z, ,  0,xy z 1. Chứng minh rằng :

17) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 2

zxy với xy 1 , y 0.

18) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

19) Chox y, ,z 0;xyz 1. Chứng minh rằng : 3 3 3

.

x y z xyz 20) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

8a8b8c2a2b 2c

21) Cho x y , 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 2

U x

x y y

 

22) Cho a b , 0.Chứng minh rằng

3 3

3 3

a b   ab