Khái niệm tích có hướng và một số ứng dụng

BÀI GIẢNG SỐ 01: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG A... b Tính diện tích của tam giác ABC.. Biết thể tích của tứ diện bằng 5..  Chứng minh rằng: a Tích có hướng của hai vectơ a và

BÀI GIẢNG SỐ 01: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

a) Cho hai vectơ ux y z1; 1; 1,vx y z2; 2; 2

Khi đó tích có hướng của u

và v ,

ký hiệu là

u v

 

và được xác định như sau:

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

 

 

b) Tính chất:

a Vectơ u v, 

  vuông góc với hai vectơ u

và v , tức là: u v, 

 

u = u v, 

 

v

 = 0

b u v ,   u v  .sin

, trong đó  là góc giữa hai vec tơ u

và v

c u v, 

 

= 0 khi và chỉ khi hai vectơ u

và v cùng phương

d u v ,   u v  .sin u v ,

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Phương pháp: Tích có hướng của hai véctơ được cho bởi công thức:

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

 

 

Ví dụ 1:Tính tích có hướng của hai vectơ

a) a  (0;1; 2),  b  (3; 0; 4) 

Giải:

Ta có: a b  ;   1

0







2 4



 ; 2

4





0

3 ; 0 3

1 0







 4; 6; 3

    b) x  4   ik y,  2  i j.

Giải:

Ta có: x4; 0;1 , y2; 1;0 

0

;

1





0 ;1 0

4

2 ; 4 2

0 1





  1; 2; 4 

Ví dụ 2:Tính tích hỗn tạp a b c, 

   biết rằng a  (4; 2;5),b  (3;1;3),c  (2; 0;1).

Giải:

Ta có: ; 2

1



3 ; 5 3

4

3 ; 4 3

2 1







1;3; 2

a b c   , 

1;3; 2

  2;0;1 1.2 3.0 2.1 0  

a) Hai vectơ a và b cùng phương

b) Tích có hướng của hai vectơ a và b là 0.

Giải:

a) Ta có: a 2; 5;3 ,  b   4;10; 6 

2

  

 a và b cùng phương

b) Có: ; 5

10



6

 ;3 6



2 4

 ; 2 4



5 10





 0; 0; 00

Chú ý: Nếu u

và v

cùng phương thì u v  ;   0 

Dạng 2: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ

Phương pháp: Ba vectơ u v  ,

và w

đồng phẳng u v w;  0.

  

Ví dụ 1: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b và c trong các trường hợp sau đây:

a) a  (1; 1;1),  b  (0;1; 2),c  (4; 2;3).

b) a  (4;3; 4),b  (2; 1; 2),  c  (1; 2;1).

Giải:

a) Ta có: ; 1

1



2 ; 1 2

1

0; 1 0

1 1

 



    3; 2;1

 Vậy ba vectơ a, b và c không đồng phẳng

b) Tương tự: a b c   ;   10; 0; 10 1; 2;1     10 0 10    0

2 5 3  4 10 6

a ; ; ,b  ; ; .

Vậy ba vectơ a, b và c đồng phẳng

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A2;3;1 , B4;1; 2 ,  C6;3; 7 , D 5; 4;8

a Chứng minh A, B, C không thẳng hàng

b Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng

Giải:

Ta có: AB2; 2; 3 ,   AC4; 0;6 , AD   7; 7; 7

a Ta có:  AB AC;     12; 24;8   0 

 AB



và AC

không cùng phương

 ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b Ta có: AB AC;  AD  12; 24;8    7; 7; 787 168 56  3110

  

c Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Dạng 3:

1 Tính diện tích tam giác

Phương pháp:

Cho tam giác ABC Khi đó ta có:

ABC

Ví dụ: Cho ba điểm A1; 0;0 , B0; 0;1 , C2;1;1 

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tính diện tích của tam giác ABC

Giải:

a) Ta có: AB  1; 0;1 , AC1;1;1

1



1; 1 1

1 1



; 1 1

 0 1







 1; 2; 1

   0

hai vectơ AB



và AC

không cùng phương Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Diện tích tam giác ABC là:

2

ABC

S  AB AC

 

 2 2  2

      (đvdt)

2 Diện tích hình bình hành:Diện tích của hình bình hành ABCD được cho bởi công thức:

ABCD

     

Nhận xét: Như vậy để tính được diện tích hình bình hành ABCD chúng ta chỉ cần biết tọa độ của ba trong bốn đỉnh của hình bình hành đó

Dạng 4:

1 Thểtích hình hộp: Thể tích V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ được cho bởi công thức:

, AA '

V  AB AD

  

2 Thể tích tứ diện: Thể tích V của tứ diện ABCD được cho bởi công thức:

1

6

  

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A1;0;1 , B2;1; 2 , D1; 1;1 ,  C' 4;5; 5    Tính thể tích của hình hộp

Giải:

Gọi C (x; y; z); A’ (x’; y’; z’)

Vì ABCD.A'B'C'D'là hình hộp nên AB



DC

và AA ' CC'

Ta có:

D

D'

C'

C



DC

     

 AA'x' 1; '; ' 1 , y z  CC'2;5; 7 

AA 'CC'

 

      

1;1;1 , 0; 1; 0 , AA ' 2;5; 7

    

AB AD

Thể tích V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là:

, AA '

V  AB AD

  

=9 9 (đvtt)

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có A(2; -1; 1), B(3; 0; -1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy Biết thể tích của tứ diện bằng 5 Tìm toạ độ đỉnh D

Giải:

Gọi D0; ; 0y Oy

Ta có: AB1;1; 2 ,  AC0; 0; 2 , AD   2;y 1; 1

 AB AC;   2; 2; 0  

AB AC AD;  2; 2;0 2;y 1; 1  4 2y1  0 2y6

  

Thể tích V của tứ diện ABCD được cho bởi công thức:

1

6

  

=1 2 6 2 6

y

Mặt khác thể tích của tứ diện bằng 5 nên 2 6

6

y

= 5

y

Vậy có 2 điểm D thỏa mãn D=(0; -18; 0) hoặc D= (0; 12; 0)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho hai vectơ a   ( 2;5;3),b   ( 4;1; 2) 

Chứng minh rằng:

a) Tích có hướng của hai vectơ a và b vuông góc với từng vectơ thành phần

b) a b ,   a b  .sin( , )a b 

Đs: a b,  ( 13; 16;18)  a b,   749

Bài 2 Cho hai vectơ u

(1; 2; -3) và v

( -1; 0; -2)

a Tính u v; 



b Tìm vectơ n

vuông góc với cả hai vectơ u

và v

và có độ dài bằng 6 5

Giải:

a Ta có u v  , 

= (-4; 5; 2)

b n 1( 8;10; 4)

,n2(8; 10; 4) 

Bài 3 Đối với hệ tọa độ O i j k; , ,   

cho các vectơ

u   i  j v i   jk  i   k j

a Tìm tọa độ các vectơ ĐS: u (1; 2;0), (3;5; 5), w(2;3; 1)  v   

b Tìm côsin của các góc     u i  ; ; v j  ; ; w;  k

ĐS: os ; 5

5

c u i  

, os ; 5

59

 

, os w;  1

14



 

c Tính các tích vô hướng u v 

, u .w , v .w ĐS: u v  ;   10;5;11

, u  ; w   2;1; 7

, v  ; w   10; 7; 1   

Bài 4.Trong không gian Oxyz cho các vectơ

1; 2;3 , 2;3; 1

và c3; 1; 2 

5; 5;1 , 9; 3; 7

và w 1;8;8 

a Chứng minh ba vectơ a b c   , ,

không đồng phẳng ĐS: a b c;  0

  

b Chứng minh ba vecto u v   , , w

đồng phẳng ĐS: u v;  w0

  

Bài 5.Tìm m để ba vectơ a, b, c   

đồng phẳng?

a) a (2; 1;1), (1; 2;1), ( ;3; 1)  b c m 

3

  b) a (1; 2;3), (2;1; ), (2; ;1).b m c m

Đs: m  1, m  9

Bài 6.Cho ba vectơ u

(4; 2; 5), v

(3; 1; 3), w

(2; 0; 1)

a Tính độ dài vectơ u v, 

 

b Chứng tỏ rằng ba vectơ u

 , v

và w



đồng phẳng

c Biểu diễn vectơ w



theo hai vectơ u



và v



d Tìm vectơ n

 vuông góc với cả hai vectơ v

và w



và có độ dài bằng 2 14 ĐS:

a Ta có: u v  , 

= (1; 3; -2)  u v,   14

 

 

b u v, 

  w

= 0

c w2v u 

d n   1 ( 2; 6; 4)



, n 2 (2; 6; 4)



Bài 7 Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D, biết rằng A2;3;1 , B4;1; 2 ,  

6;3; 7 ,  5; 4;8 

C D   ĐS: DH 11

Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A1;0;1 , B1;1; 2 , C1;1; 0 ,

D(2; 1; 2)  

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện Đs:   AB AC AD,   0.

Hướng dẫn: Chứng minh ba vectơ   AB AC AD, ,

không đồng phẳng

b) Tính diện tích tam giác BCD Đs: S(BCD)  13

c) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D Đs: DK 13

29

e) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD Đs: cos ,  10

102

AB CD 

g) Tính thể tích tứ diện ABCD Đs: VABCD 1

3



h) Tính độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A Đs: AH 1

13



D BÀI TẬP NÂNG CAO:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ a1; ; 2 ,t  b t 1; 2;1 , (0; c t2; 2)

Xác định t để a b c   , ,

đồng phẳng ĐS: 2

5

t 

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ a2;3;1 , b 5; 7;0 ,  c 3; 2; 4 

,d (1; 7; 0)

a Chứng tỏ a b c   , ,

không đồng phẳng ĐS: a b c;   0

  

b Phân tích d

theo ba vectơ a b c   , ,

ĐS: d 24a13b6c

Bài 3: Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5)

a Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác ĐS: AB AC;   0

b Tính chu vi, diện tích của tam giác ABC

ĐS: C ABC  14  12  26 , S ABC  42

c Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tính côsin góc giữa hai vectơ AC



và

BD



ĐS: D(1; 3; 4) , os( , ) 51

17

c  AC BD 

d Tính độ dài đường cao h a của ABC kẻ từ A ĐS: 2 273

13

a

h 

e Tính các góc của ABC

ĐS: A 90o, cos 51

13

13

C 

f Xác định tọa độ trực tâm H của ABC ĐS: H (1; 2; 3)

g Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ĐS: 3; ;5 9

2 2

I 

Bài 4: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -2)

a Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện

ĐS: AB AC,  AD0

b Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó

ĐS: os ,  3 7

14

14

c Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A

2

3

3

A

h 

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC Khoảng cách

từ S đến mp (ABC) là h Tính h theo a để hai mp (SAB) và (SAC) vuông góc nhau

ĐS: 6

6

a

h 

Bài 6: cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA

vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh MABcân và tính diện

tích MAB theo a

HD:+ Dựng hệ trục tọa độ vuông góc Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc

và A( 0; 0; 0), C (0; a 5;0), 2 ; ;0

Tọa độ trung điểm M của SC là 0; 5;

2

a

M a

3 2

a

   MABcân tại M

+

2 2 2

MAB

a

Bài 7:

a) Cho hai véc tơ a (2; 3; 1)

và b (sin 5 ; cos 3 ; sin 3 ).t t t

Tìm t để a b

ĐS:

k

3



b) Tìm véc tơ u

biết rằng u

có độ dài bằng 2, tạo với a (1; 1; 1)

góc 300 và tạo với b (1; 1; 0) góc 450

ĐS: (2 2 2; 2; 1), (2 2 2; 2; 1)

c) Tìm véc tơ u

biết rằng u

có độ dài bằng 3, vuông góc với a (1; 1; 1)

và (1; 1; 3)

b 

và tạo với Oz một góc tù

ĐS: (2 3; 3; 3 )

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 2; -1), B(2; -1; 3) và C(-4; 7;

5)

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A ĐS: 555

26

b) Tính độ dài đường phân giác hạ từ B ĐS: 2 74

3

Bài 9: Cho tứ diện ABCD có A(2; -1; 1), B(3; 0; -1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy Biết thể tích

của tứ diện bằng 5 Tìm toạ độ đỉnh D ĐS: (0; -7; 0) và (0; 8; 0)

Bài 10: Cho tam giác ABC có A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4) và C(5; -1; 0) Chứng tỏ tam giác vuông

và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ĐS: r  5