Khái niệm tích có hướng và một số ứng dụng

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 1 BÀI GIẢNG SỐ 01: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: a) Cho hai vectơ     1 1 1 2 2 2 ; ; , ; ; . u x y z v x y z     Khi đó tích có hướng của u  và , v  ký hiệu là ; , u v       và được xác định như sau:   1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ; ; ; ; ; . y z z x x y u v y z y z z x z x x y x y y z z x x y                  b) Tính chất: a. Vectơ , u v       vuông góc với hai vectơ u  và v  , tức là: , u v       u  = , u v       v  = 0 b. , . .sin u v u v           , trong đó  là góc giữa hai vec tơ u  và v  c. , u v       = 0 khi và chỉ khi hai vectơ u  và v  cùng phương. d.   , . .sin , u v u v u v            B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ Phương pháp: Tích có hướng của hai véctơ được cho bởi công thức:   1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ; ; ; ; ; . y z z x x y u v y z y z z x z x x y x y y z z x x y                  Ví dụ 1:Tính tích có hướng của hai vectơ a) (0;1; 2), (3;0; 4). a b       Giải: Ta có: ; a b        1 0    2 4   ; 2 4   0 3 ; 0 3 1 0      4; 6; 3     b) 4 , 2 . x i k y i j           Giải: Ta có:     4;0;1 , 2; 1;0 x y     0 ; 1 x y             1 0 ; 1 0 4 2 ; 4 2 0 1       1;2; 4   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 2 Ví dụ 2:Tính tích hỗn tạp , a b c        biết rằng (4;2;5), (3;1;3), (2;0;1). a b c      Giải: Ta có: 2 ; 1 a b           5 3 ; 5 3 4 3 ; 4 3 2 1      1;3; 2    , a b c          1;3; 2   .   2;0;1 1.2 3.0 2.1 0     Ví dụ 3: Cho Chứng minh rằng: a) Hai vectơ a và b cùng phương. b) Tích có hướng của hai vectơ a và b là 0 .  Giải: a) Ta có:     2; 5;3 , 4;10; 6 a b        2 a b       a và b cùng phương b) Có: 5 ; 10 a b            3 6  ; 3 6  2 4  ; 2 4  5 10       0;0;0  0   Chú ý: Nếu u  và v  cùng phương thì ; 0. u v         Dạng 2: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ Phương pháp: Ba vectơ , u v   và w  đồng phẳng ; 0. u v w          Ví dụ 1: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b và c trong các trường hợp sau đây: a) (1; 1;1), (0;1;2), (4;2;3). a b c       b) (4;3;4), (2; 1;2), (1;2;1). a b c       Giải: a) Ta có: 1 ; 1 a b            1 2 ; 1 2 1 0 ; 1 0 1 1       3; 2;1     Vậy ba vectơ a , b và c không đồng phẳng b) Tương tự:     ; 10;0; 10 . 1;2;1 10 0 10 0 a b c                  2 5 3 4 10 6 a ; ; ,b ; ; .        http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 3 Vậy ba vectơ a , b và c đồng phẳng. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm         2;3;1 , 4;1; 2 , 6;3;7 , 5; 4;8 A B C D   a. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b. Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng Giải: Ta có:       2; 2; 3 , 4;0;6 , 7; 7;7 AB AC AD          a. Ta có:   ; 12; 24;8 0 AB AC             AB  và AC  không cùng phương  ba điểm A, B, C không thẳng hàng b. Ta có:     ; . 12; 24;8 . 7; 7;7 87 168 56 311 0 AB AC AD                  c. Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Dạng 3: 1. Tính diện tích tam giác Phương pháp: Cho tam giác ABC. Khi đó ta có:   1 1 , . sin , 2 2 ABC S AB AC AB AC AB AC             Ví dụ: Cho ba điểm       1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1 . A B C a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính diện tích của tam giác ABC. Giải: a) Ta có:     1;0;1 , 1;1;1 AB AC      0 ; 1 AB AC           1 1 ; 1 1 1 1  ; 1 1  0 1      1;2; 1    0    hai vectơ AB  và AC  không cùng phương Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. b) Diện tích tam giác ABC là: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 4 1 ; . 2 ABC S AB AC             2 2 2 1 6 1 2 1 2 2       (đvdt) 2. Diện tích hình bình hành:Diện tích của hình bình hành ABCD được cho bởi công thức:   , . sin , ABCD S AB AD AB AD AB AD              Nhận xét: Như vậy để tính được diện tích hình bình hành ABCD chúng ta chỉ cần biết tọa độ của ba trong bốn đỉnh của hình bình hành đó. Dạng 4: 1. Thểtích hình hộp: Thể tích V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ được cho bởi công thức: , .AA' V AB AD         2. Thể tích tứ diện: Thể tích V của tứ diện ABCD được cho bởi công thức: 1 , .AD 6 V AB AC         Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết         1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5 . A B D C   Tính thể tích của hình hộp. Giải: Gọi C (x; y; z); A’ (x’; y’; z’) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AB   DC  và AA' ' CC     Ta có: D D' A' B' C' A B C http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 5 AB   DC    1 1 2 1 1 0 2;0;2 1 1 2 x x y y C z z                            ' ' 1; '; ' 1 , ' 2;5; 7 AA x y z CC        AA' ' CC      ' 1 2 ' 3 ' 5 ' 5 ' 3;5; 6 ' 1 7 ' 6 x x y y A z z                               1;1;1 , 0; 1;0 ,AA' 2;5; 7 AB AD              ; .AA' 1;0; 1 . 2;5; 7 2 0 7 9 AB AD                Thể tích V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: , .AA' V AB AD         = 9 9  (đvtt) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có A(2; -1; 1), B(3; 0; -1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết thể tích của tứ diện bằng 5. Tìm toạ độ đỉnh D. Giải: Gọi   0; ;0 D y Oy  Ta có:       1;1; 2 , 0;0;2 ,AD 2; 1; 1 AB AC y              ; 2; 2;0 AB AC               ; 2; 2;0 2; 1; 1 4 2 1 0 2 6 AB AC AD y y y                     Thể tích V của tứ diện ABCD được cho bởi công thức: 1 , .AD 6 V AB AC         = 2 6 1 2 6 6 6 y y      Mặt khác thể tích của tứ diện bằng 5 nên 2 6 6 y   = 5 2 6 30 18 2 6 30 2 6 30 12 y y y y y                       Vậy có 2 điểm D thỏa mãn D=(0; -18; 0) hoặc D= (0; 12; 0) C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 6 Bài 1. Cho hai vectơ ( 2;5;3), ( 4;1; 2). a b        Chứng minh rằng: a) Tích có hướng của hai vectơ a và b vuông góc với từng vectơ thành phần. b) , . .sin( , ) a b a b a b            . Đs: , ( 13; 16;18) , 749 a b a b                  Bài 2. Cho hai vectơ u  (1; 2; -3) và v  ( -1; 0; -2) a. Tính ; u v      b. Tìm vectơ n  vuông góc với cả hai vectơ u  và v  và có độ dài bằng 6 5 Giải: a. Ta có , u v       = (-4; 5; 2) b. 1 ( 8;10;4) n   , 2 (8; 10; 4) n    Bài 3. Đối với hệ tọa độ   ; , , O i j k    cho các vectơ   2 ; 3 5 ;w 2 3 u i j v i j k i k j                    a. Tìm tọa độ các vectơ ĐS: (1; 2;0), (3;5; 5),w(2;3; 1) u v       b. Tìm côsin của các góc       ; ; ; ; w; u i v j k       ĐS:   5 os ; 5 c u i    ,   5 os ; 59 c v j    ,   1 os w; 14 c k     c. Tính các tích vô hướng . u v   , .w u   , .w v   ĐS:   ; 10;5;11 u v        ,   ;w 2;1;7 u        ,   ;w 10; 7; 1 v          Bài 4.Trong không gian Oxyz cho các vectơ     1;2;3 , 2;3; 1 a b    và   3; 1;2 c       5; 5;1 , 9; 3;7 u v    và   w 1;8;8  a. Chứng minh ba vectơ , , a b c    không đồng phẳng ĐS: ; . 0 a b c         b. Chứng minh ba vecto , ,w u v    đồng phẳng. ĐS: ; .w 0 u v         Bài 5.Tìm m để ba vectơ a,b,c    đồng phẳng? http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 7 a) (2; 1;1), (1;2;1), ( ;3; 1) a b c m      Đs: 8 m 3   b) (1;2;3), (2;1; ), (2; ;1). a b m c m    Đs: m 1, m 9   Bài 6.Cho ba vectơ u  (4; 2; 5), v  (3; 1; 3), w  (2; 0; 1) a. Tính độ dài vectơ , u v       b. Chứng tỏ rằng ba vectơ u  , v  và w  đồng phẳng. c. Biểu diễn vectơ w  theo hai vectơ u  và v  d. Tìm vectơ n  vuông góc với cả hai vectơ v  và w  và có độ dài bằng 2 14 ĐS: a. Ta có: , u v       = (1; 3; -2) , 14 u v         b. , u v       . w  = 0 c. w 2 v u      d. 1 ( 2; 6;4) n     , 2 (2;6; 4) n    Bài 7. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D, biết rằng     2;3;1 , 4;1; 2 , A B      6;3;7 , 5; 4;8 . C D   ĐS: 11. DH  Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm       1;0;1 , 1;1;2 , 1;1;0 , A B C  D(2; 1; 2)   . a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Đs: , 0. AB AC AD         Hướng dẫn: Chứng minh ba vectơ , , AB AC AD    không đồng phẳng. b) Tính diện tích tam giác BCD. Đs: S(BCD) 13  c) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D. Đs: DK 13  d) Tính cosin góc . CBD  Đs: 4 cos CBD 29   e) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Đs:   10 cos , . 102 AB CD  g) Tính thể tích tứ diện ABCD. Đs: ABCD 1 V 3  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 8 h) Tính độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A. Đs: 1 AH 13  D. BÀI TẬP NÂNG CAO: Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ     1; ;2 , 1;2;1 , (0; 2;2) a t b t c t     Xác định t để , , a b c    đồng phẳng ĐS: 2 5 t  Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ       2;3;1 , 5; 7;0 , 3; 2;4 a b c      , (1;7;0) d  a. Chứng tỏ , , a b c    không đồng phẳng ĐS: ; 0 a b c         b. Phân tích d  theo ba vectơ , , a b c    ĐS: 24 13 6 d a b c         Bài 3: Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5) a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. ĐS: ; 0 AB AC         b. Tính chu vi, diện tích của tam giác ABC ĐS: 14 12 26 ABC C    , 42 ABC S  c. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tính côsin góc giữa hai vectơ AC  và BD  ĐS: (1; 3;4) D  , 51 os( , ) 17 c AC BD    d. Tính độ dài đường cao a h của ABC  kẻ từ A ĐS: 2 273 13 a h  e. Tính các góc của ABC  ĐS: 90 o A  , 51 cos 13 B  , 118 cos 13 C  f. Xác định tọa độ trực tâm H của ABC  ĐS: H (1; 2; 3) g. Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  ĐS: 5 9 3; ; 2 2 I       Bài 4: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -2). a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện ĐS: , . 0 AB AC AD          b. Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó. http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 9 ĐS:   3 7 os , 14 c AB CD  ,   0 , 90 AC BD  ,   3 7 os , 14 c AD BC   c. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A 2 3 V  , 2 3 3 A h  Bài 5: Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC. Khoảng cách từ S đến mp (ABC) là h. Tính h theo a để hai mp (SAB) và (SAC) vuông góc nhau . ĐS: 6 6 a h  Bài 6: cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh MAB  cân và tính diện tích MAB  theo a. HD:+ Dựng hệ trục tọa độ vuông góc Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc và A( 0; 0; 0), C (0; 5 a ;0), 2 ; ;0 5 5 a a B       Tọa độ trung điểm M của SC là 5 0; ; 2 a M a         3 2 a MA MB   MAB   cân tại M + 2 2 2 MAB a S  Bài 7: a) Cho hai véc tơ (2; 3;1) a  và (sin5 ; cos3 ; sin 3 ). b t t t  Tìm t để a b    . ĐS: 24 4 k t      , 2 3 t k     b) Tìm véc tơ u  biết rằng u  có độ dài bằng 2, tạo với (1;1;1) a  góc 30 0 và tạo với (1;1; 0) b  góc 45 0 . ĐS: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ; ; 1), ( ; ; 1) 2 2 2 2 u u       http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 10 c) Tìm véc tơ u  biết rằng u  có độ dài bằng 3, vuông góc với (1;1;1) a  và (1; 1; 3) b   và tạo với Oz một góc tù. ĐS: 3 3 3 (2 ; ; ) 2 2 2 u    Bài 8: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 2; -1), B(2; -1; 3) và C(-4; 7; 5). a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A. ĐS: 555 26 b) Tính độ dài đường phân giác hạ từ B. ĐS: 2 74 3 Bài 9: Cho tứ diện ABCD có A(2; -1; 1), B(3; 0; -1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết thể tích của tứ diện bằng 5. Tìm toạ độ đỉnh D. ĐS: (0; -7; 0) và (0; 8; 0) Bài 10: Cho tam giác ABC có A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4) và C(5; -1; 0). Chứng tỏ tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. ĐS: 5 r  [...]...http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 11 . học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 1 BÀI GIẢNG SỐ 01: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG A và chỉ khi hai vectơ u  và v  cùng phương. d.   , . .sin , u v u v u v            B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ Phương pháp: Tích có hướng. Cho Chứng minh rằng: a) Hai vectơ a và b cùng phương. b) Tích có hướng của hai vectơ a và b là 0 .  Giải: a) Ta có:     2; 5;3 , 4;10; 6 a b        2 a b       a và b