Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HẬU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HẬU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - 2013 Mục lục Phương trình vi phân có chậm 1.1 Giới thiệu phương trình vi phân hàm 1.1.1 Dạng biểu diễn 1.1.2 Nghiệm định lý tồn nghiệm 1.2 Cách giải phương trình có chậm rời rạc 1.2.1 Trường hợp có độ chậm rời rạc 1.2.2 Trường hợp có nhiều độ chậm rời rạc Sự ổn định phương trình vi phân có chậm 2.1 Kiến thức mở đầu 2.1.1 Khái niệm nghiệm ổn định, bị chặn 2.1.2 Một số bổ đề cần dùng 2.1.3 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định 2.2 Hệ tuyến tính khơng dừng phương trình Riccati 2.3 Các kết cho phương trình vi phân có chậm phân phối 2.4 Bất phương trình ma trận với hệ tuyến tính khơng dừng 4 7 14 18 18 18 19 20 24 30 34 Một vài ứng dụng phương trình vi phân có chậm 39 3.1 Ứng dụng vào tốn ổn định hóa 39 3.2 Ứng dụng vào mơ hình tăng trưởng quần thể loài 45 Mở Đầu Lý thuyết ổn định phương trình vi phân hướng nghiên cứu quan trọng Toán học Lý thuyết được khởi đầu từ địi hỏi thực tế có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Cơ học, Điều khiển học, Vật lý, Toán học, Sinh thái học, Kỹ thuật, Kinh tế, Hiện lý thuyết ổn định lĩnh vực Toán học lớn nhiều người quan tâm Lý thuyết ổn định nghiên cứu nhiều cho hệ phương trình vi phân thường Ngày nay, việc nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng Một số nghiên cứu phương trình vi phân hàm, đặc biệt phương trình có chậm Luận văn đề cập đến tính ổn định lớp phương trình vi phân có chậm trình bày vài ứng dụng Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức sở phương trình vi phân hàm: giới thiệu khái niệm cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu số loại phương trình vi phân có chậm Các ví dụ phần ngồi mục đích giới thiệu cách giải phương trình vi phân hàm cịn nhằm làm bật tính vơ hạn chiều tập nghiệm phương trình vi phân hàm, không gian trạng thái vô hạn chiều hay hữu hạn chiều Chương hai trình bày khái niệm ổn định nghiệm phương pháp để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có chậm Các định lý thuộc hướng nghiên cứu ổn định phương pháp thứ hai Lyapunov Với phương trình hàm, thay hàm Lyapunov thông thường ta cần dùng tới công cụ mạnh phiếm hàm Lyapunov- Krasovskii khơng gian hàm liên tục Ngồi ra, chương cịn giới thiệu cơng thức nghiệm phương trình ma trận Riccati trường hợp hệ tuyến tính khơng dừng kết cho phương trình vi phân có chậm khơng dừng Chương ba trình bày số ứng dụng phương trình vi phân có chậm Cụ thể ứng dụng kết ổn định hệ có chậm vào tốn điều khiển tốn phân tích tính chất quần thể sinh thái đơn loài Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi quí báu thân thời gian qua Cuối tơi muốn tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý q thầy, bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Nguyễn Thị Hậu Chương Phương trình vi phân có chậm 1.1 Giới thiệu phương trình vi phân hàm 1.1.1 Dạng biểu diễn Chúng ta nhắc lại đẳng thức x(t) ˙ = f (t, x(t)), x ∈ X, t ∈ R gọi phương trình vi phân thường không gian X (xem [1, 2, 13 ]) Ở đẳng thức ta thấy tốc độ thay đổi hệ thống (đối tượng nghiên cứu) thời điểm t (đặc trưng x(t) ˙ ) phụ thuộc vào t trạng thái tức thời x(t) hệ thống Sau đây, ta đề cập đến loại phương trình vi phân ngồi phụ thuộc tốc độ thay đổi x(t) ˙ phụ thuộc vào trạng thái hệ thống khứ tương lai (xem [8, 9, 10 12] ) Ta xét phương trình sau x(t) ˙ = f (t, x(q1 (t)), x(q2 (t)), , x(qs (t))), (1.1) x ∈ Rn để đơn giản (đủ cho việc nghiên cứu định tính) ta xét cho trường hợp t ∈ R+ := [0, +∞), f : R+ × Rn×s −→ Rn , f ∈ C (liên tục theo t), qi (t) (i = 1, s) hàm đơn điệu Khi • Nếu qi (t) = t, ∀i = 1, s (1.1) phương trình vi phân thường • Nếu qi (t) ≤ t, ∀i = 1, s tồn i0 cho qi0 (t) < t (1.1) gọi phương trình vi phân có chậm • Nếu qi (t) ≥ t, ∀i = 1, s tồn i0 cho qi0 (t) > t (1.1) gọi phương trình vi phân sớm • Nếu tồn i0 i1 cho qi0 (t) < t qi1 (t) > t (1.1) gọi phương trình vi phân vừa chậm, vừa sớm Trừ trường hợp đầu (khi phương trình vi phân thường), trường hợp sau phương trình (1.1) gọi phương trình vi phân hàm Tên gọi xuất phát từ việc cần thiết phải xét tập nghiệm không gian hàm liên tục xét chúng không gian trạng thái với phương trình vi phân thường Điều phản ánh chất vô hạn chiều tập nghiệm phương trình vi phân thuộc lớp (xem [5, 6, 8, 9, 12 ] ) Qua nội dung luận văn ta làm rõ ý kiến Trong Luận văn ta bỏ qua phương trình sớm mà nghiên cứu phương trình chậm, nghĩa qi (t) ≤ t, ∀i = 1, s tồn i0 cho qi0 (t) < t Tập thời gian mặc định t ∈ R+ := [0, +∞) Trong trường hợp h := max{max{t − qi (t)}} i t∈R+ gọi độ chậm phương trình Sau số kiến thức mở đầu loại phương trình Xét phương trình (1.1) qi (t) < t độ chậm h > Ký hiệu C := C([−h, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−h, 0] nhận giá trị Rn Chuẩn hàm φ ∈ C xác định sau ||φ||C = sup ||φ(θ)||Rn −h≤θ≤0 Giả sử x = x(t) hàm liên tục R+ Với t ∈ R+ , cách đặt xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] ta có hàm xt ∈ C([−h, 0], Rn ) Như vậy, xt cung từ t − h đến t đường cong x = x(t) Khi s chạy [−h, 0] ta thấy x(t + s) chạy [t − h, t] Có thể thấy đại lượng mang thông tin trạng thái x(s) với s ∈ [t − h, t] Các thông tin "chậm" theo nghĩa xảy trước thời điểm t Khi x(t) ˙ phụ thuộc vào trạng thái này, ta có quan hệ hàm mô tả sau x(t) ˙ = f (t, xt ), (1.2) f : D ⊂ R × C −→ Rn Đây phương trình tổng quát phương trình có chậm với độ chậm h 1.1.2 Nghiệm định lý tồn nghiệm Định nghĩa 1.1 ([9]) Hàm liên tục x = x(t) có đạo hàm phải hầu khắp nơi R+ mà thay vào (1.2) đẳng thức gọi nghiệm phương trình có chậm (1.2) Điều kiện ban đầu Định nghĩa 1.2 ([9]) Cho trước φ ∈ C t0 ∈ R+ Nghiệm x(.) (1.2) thỏa mãn điều kiện x(s) = φ(s), ∀s ∈ [t0 − h, t0 ] gọi nghiệm đựợc xác định điều kiện ban đầu (t0 , φ) (hay nghiệm qua (t0 , φ)) Nghiệm thường ký hiệu x(t0 , φ, t) đơn giản x(t), khơng có khả nhầm lẫn Định lý tồn tại, nghiệm Định lý 1.1 ([9], tr 41) Giả sử D tập mở R+ ×C f ∈ C(D, Rn ) Nếu (t0 , φ) ∈ D tồn nghiệm phương trình (1.2) qua (t0 , φ) Nếu hàm f Lipschitz theo biến φ nghiệm nói xác định Định lý chứng minh [9], dựa vào bổ đề sau ([9], tr 37) Bổ đề 1.1 ([9]) Nếu t0 ∈ R+ , φ ∈ C cho trước f (t, φ) liên tục việc tìm nghiệm phương trình (1.2) qua (t0 , φ) tương đương với việc giải phương trình tích phân sau xt = φ (1.3) t x(t) = φ(t0 ) + f (s, xs )ds, t ≥ t0 t0 Lưu ý hàm x(t) thỏa mãn phương trình tích phân Bổ đề 1.1 cần khả vi bên phải hầu khắp nơi, khơng cần phải khả vi (hai phía) khắp nơi khái niệm nghiệm cổ điển phương trình vi phân thường Ta thấy điều qua ví dụ việc giải phương trình chậm phần sau 1.2 1.2.1 Cách giải phương trình có chậm rời rạc Trường hợp có độ chậm rời rạc Các phương trình vi phân thường dạng đặc biệt ta giải được, đưa cơng thức giải tích tường minh cho tập nghiệm toàn trục số Với phương trình vi phân hàm việc tìm nghiệm nói chung khơng thể, trừ vài phương trình đơn giản với điều kiện ban đầu cho trước Ngay trường hợp này, công thức nghiệm tìm cách dựa vào Bổ đề 1.1 (xem [9]), lấy tích phân đoạn có độ dài h0 thích hợp, t0 Các kết nhận khác theo điều kiện ban đầu khác nói chung khơng nêu cơng thức giải tích cho bán trục R+ Phương pháp lấy tích phân theo đoạn gọi phương pháp "step" (bước chậm) Sau vài ví dụ việc tìm nghiệm khoảng hữu hạn theo điều kiện ban đầu Nhắc lại phương trình có độ chậm h > (1.2) x(t) ˙ = f (t, xt ) xt ∈ C([−h, 0], Rn ), xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] Trước tiên, ta phân tích độ phức tạp tập nghiệm phương trình góc nhìn từ tập phổ Để minh họa ta xét ví dụ sau cho trường hợp x ∈ R1 x(t) ˙ = x(t) (1.4) x(t) ˙ = x(t − 1) (1.5) Tìm nghiệm dạng x(t) = eλt , (λ ∈ C), ta có phương trình đặc trưng (1.4) (1.5) tương ứng λ=1 (1.6) λ = e−λ , (λ ∈ C) (1.7) Rõ ràng nghiệm (1.6) nhất, nghiệm phương trình có hàm x = et Nghiệm tổng quát phương trình đơn giản x = Cet (C số tuỳ ý) Trong đó, tập nghiệm phức phương trình đặc trưng (1.5) tập vơ hạn đếm (xem [9] ) Do đó, tập nghiệm phương trình có chậm (1.3) tập vơ hạn đếm Qua ví dụ ta thấy phương trình đơn giản (một khoảng chậm rời rạc không gian trạng thái vô hướng) tập phổ phương trình phức tạp Khi dạng phương trình tổng quát số chiều khơng gian tăng lên tập phổ lại phong phú, nói chung khó kiểm sốt Điều có nghĩa tập nghiệm phương trình hàm phức tạp, khó nghiên cứu mặt định lượng Về khác biệt (1.2) (1.3) làm rõ qua cách giải hai phương trình phương pháp step phần sau Với điều kiện ban đầu điều kiện biên xác định, tập nghiệm trở nên đơn giản tường minh Ta minh họa nhận xét qua ví dụ sau trường hợp đơn giản nhất, không gian trạng thái vô hướng (X = R) Ta xét phương trình ba tình sau: Ví dụ 1.1 a) Phương trình vi phân có chậm khơng có điều kiện ban đầu x(t) ˙ = −x(t − π ) (1.8) b) Phương trình vi phân có chậm với điều kiện ban đầu  π x(t) ˙ = −x(t − ), t ≥ x(t) = a, π ∀t ∈ − , , (a ∈ R) c) Phương trình vi phân có chậm với điều kiện biên  π π  x(t) ˙ = −x(t − ), t ∈ 0,   2  x(t) ˙ = 0, ∀t ∈ R \ 0,    x(0) = a, π (1.9) (1.10) (a ∈ R) Ta thấy x(t) = cos t nghiệm (1.8) Thật vậy, với t ≥ có x(t) ˙ = − sin t = − cos t − π = −x t − π Tuy nhiên, x(t) = cos t lại khơng phải nghiệm (1.9) không thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t) = a, π ∀t ∈ − , Và x(t) = cos t nghiệm (1.10) khơng thỏa mãn điều kiện biên π x(t) ˙ = 0, ∀t ∈ R \ 0, Tiếp theo, để tìm nghiệm (1.9), ta sử dụng cơng thức tích phân Bổ đề 1.1 (phương pháp step) t x(t) = φ(0) + f (s, xs )ds Định lý 3.1 Hệ (3.1) ổn định hóa điều khiển phản hồi tức thời (3.2) tồn ma trận đối xứng, xác định dương P, Q, R cho chúng thỏa mãn phương trình Riccati sau AT0 P + P A0 + P [A1 Q−1 AT1 − BB T ]P + Q + R = Hàm điều khiển u(t) = − B T P x(t), (t ≥ 0) (3.4) (3.5) Chứng minh Đầu tiên ta thấy hệ (3.3) có nghiệm cân tầm thường x(t) ≡ Ta chứng minh nghiệm ổn định tiệm cận Chọn hàm Lyapunov sau t V (t, xt ) = P x(t), x(t) + Qx(s), x(s) ds t−h Dễ thấy, đặt λ1 := λmin (P ) λ2 := λmax (P ) + hλmax (Q) ta có λ1 ||x(t)||2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 ||xt ||2 , ∀t ≥ Việc lại kiểm tra dấu đạo hàm V˙ (t, xt ) Ta có V˙ (t, xt ) = P x(t), ˙ x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) = P [(A0 + BK)x(t) + A1 x(t − h)], x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) = P (A0 + BK)x(t), x(t) + P A1 x(t − h), x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) = [(A0 + BK)T P + P (A0 + BK) + Q]x(t), x(t) + P A1 x(t − h), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) Áp dụng Bổ đề 2.1 cho x = x(t), y = x(t − h), ta V˙ (t, xt ) ≤ [(A0 + BK)T P + P (A0 + BK) + Q]x(t), x(t) + P A1 Q−1 AT1 P x(t), x(t) = [(A0 + BK)T P + P (A0 + BK) + Q + P A1 Q−1 AT1 P ]x(t), x(t) = −Rx(t), x(t) ≤ −λmin (R) ||x(t)||2 Vậy V˙ (t, xt ) xác định âm Nghiệm x(t) ≡ (3.3) ổn định tiệm cận Tiếp theo, ta ma trận K chọn sau 1 K = − B T P hay u(t) = − B T P x(t) 2 40 Thật vậy, thay K vào phương trình (A0 + BK)T P + P (A0 + BK) + Q + P A1 Q−1 AT1 P + R = 0, ta AT0 P + P A0 − P BB T P + P A1 Q−1 AT1 P + Q + R = ⇔ AT0 P + P A0 + P [A1 Q−1 AT1 − BB T ]P + Q + R = Đẳng thức có giả thiết định lý Vậy hệ (3.3) ổn định hóa hàm điều khiển phản hồi u(t) = − B T P x(t) Định lý chứng minh Nói chung dấu hiệu ổn định (mà thực chất điều kiện đủ) thường phụ thuộc nhiều vào cách chọn hàm Lyapunov Cùng với hệ điều khiển (3.1) hàm điều khiển dạng (3.2), ta nhận kết tốt ta chọn hàm Lyapunov phù hợp Định lý 3.2 Hệ (3.1) ổn định hóa hàm điều khiển phản hồi dạng (3.2) tồn ma trận xác định dương P, Q cho AT0 P + P A0 + AT1 P A1 − P BB T P + P + Q = (3.6) Chứng minh Thay (3.2) vào (3.1) ta có phương trình (3.3 ) Phương trình có nghiệm cân tầm thường x(t) ≡ Ta chứng minh nghiệm ổn định tiệm cận Thật vậy, chọn hàm Lyapunov sau t AT1 P A1 x(s), x(s) ds V (t, xt ) = P x(t), x(t) + t−h Khơng khó để λmin (P ) ||xt ||2 ≤ V (t, xt ) ≤ λmax (P ) + hλmax (AT1 P A1 ) ||xt ||2 41 Tiếp theo ta kiểm tra dấu V˙ (t, xt ) V˙ (t, xt ) = P x(t), ˙ x(t) + AT1 P A1 x(t), x(t) − AT1 P A1 x(t − h), x(t − h) = P [(A0 + BK)x(t) + A1 x(t − h)], x(t) + AT1 P A1 x(t), x(t) − AT1 P A1 x(t − h), x(t − h) = P (A0 + BK)x(t), x(t) + P A1 x(t − h), x(t) + AT1 P A1 x(t), x(t) − AT1 P A1 x(t − h), x(t − h) = [(A0 + BK)T P + P (A0 + BK) + AT1 P A1 ]x(t), x(t) + P A1 x(t − h), x(t) − AT1 P A1 x(t − h), x(t − h) Áp dụng Bổ đề 2.1 cho S = P −1 y = x(t), x = x(t − h), ta P A1 x(t − h), x(t) ≤ P −1 P A1 x(t − h), P A1 x(t − h) + P x(t), x(t) ≤ A1 x(t − h), P A1 x(t − h) + P x(t), x(t) ≤ AT1 P A1 x(t − h), x(t − h) + P x(t), x(t) Do V˙ (t, xt ) ≤ [(A0 + BK)T P + P (A0 + BK) + AT1 P A1 + P ]x(t), x(t) = −Qx(t), x(t) ≤ −λmin (Q) ||xt ||2 Vậy hệ (3.3) ổn định tiệm cận 2 Bây ta kiểm tra cho K = − B T P hay u(t) = − B T P x(t) Theo chứng minh hệ (3.3) ổn định tiệm cận tồn P, Q đối xứng, xác định dương cho (A0 + BK)T P + P (A0 + BK) + AT1 P A1 + P + Q = (3.7) Thay K = − B T P vào (3.7), ta có AT0 P + P A0 − P BB T P + AT1 P A1 + P + Q = ⇔ AT0 P + P A0 + AT1 P A1 − P BB T P + P + Q = Đẳng thức giả thiết định lý Vậy u(t) = − B T P x(t) làm ổn định hệ (3.1) Định lý chứng minh Ví dụ 3.1 Xét tính ổn định hóa được, xây dựng hàm điều khiển phản hồi cho 42 hệ  x˙ (t) = −2x1 (t) − x2 (t) − x2 (t − 2) x˙ (t) = x1 (t) − 3x2 (t) + 2x1 (t − 2) + 2u(t) (3.8) Giải Đặt x1 (t) x(t) = x2 (t) Ta có −2 −1 A0 = , −3 −1 A1 = , 0 B= Khi hệ trở thành x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − 2) + Bu(t) (3.9) Ta tìm ma trận P, Q dạng đơn giản sau α P = β , u Q= v , R=I= , cho chúng thỏa mãn phương trình Riccati AT0 P + P A0 + P A1 Q−1 AT1 − BB T P + R + Q = hay AT0 P + P A0 + Q + R + P A1 Q−1 AT1 − BB T P = −2 ⇔ α −1 −3 β  + α 0 β u   −1 −2 −1 α + β −3 u + v   v −α + β ⇔ 0  −1 0 − 2   α2 −4α + u + +  v ⇔ + α 0 β  β−α −6β + v + + 4β u − 4β  α2   −4α + u + +    v β−α  = =0 =0     −6β + v + + 4β − 4β u 43 =0 0 0 = 0 0 Lấy α = ⇒ β = Khi đó, ta có  u + =3 v v + u =9 Giải hệ ta  u = v1 √ 13 = √ = 14 − 13 v2  P = 0 , √ 5+ Q1 =   13 13 5−  Vậy √ √ = 14 + 13   u 5+  , Q2 =  √ 14 + 13 5− √ 13  √ 14 − 13  Hàm điều khiển phản hồi 1 u(t) = − B T P x(t) = − 2 x1 (t) x2 (t) = 0x1 (t) − x2 (t) Ví dụ 3.2 Xét tính ổn định hóa được, xây dựng hàm điều kiện phản hồi cho hệ  x(t) ˙ = −2x(t) + y(t) + x(t − 3) − 2u1 (t), y(t) ˙ = −x(t) − 3y(t) − x(t − 3) + 2y(t − 3) + 2u2 (t) Giải Đặt x(t) z(t) = y(t) , u1 (t) u(t) = u2 (t) Ta có A0 = −2 −1 −3 , A1 = , −1 B= Khi hệ trở thành z(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − 3) + Bu(t) Ta tìm ma trận P, Q dạng đơn giản sau P = α 0 β , Q= 44 u 0 v , −2 cho chúng thỏa mãn phương trình Riccati AT0 P + P A0 + AT1 P A1 − P BB T P + P + Q = ⇔ −2 −1 α −3 β α −2 β − + α −2 β −1 α −2 β + + −1 α 0 β α 0 β + u 0 v = −1 0 0    −4α2 + β − 2α + u =   ⇔ 4αβ + α − 3β =0    −4β + v − β =0 Cho β = 2, ta tìm α = , u = 10 , v = 18 Vậy 3    ,  P =  10 9 0 18     Q=     T   u(t) = − B P x(t) = − −2 2 2 x1 (t) x2 (t) = −2 x1 (t) x2 (t) u(t) = x1 (t) − 2x2 (t) 3.2 Ứng dụng vào mơ hình tăng trưởng quần thể loài Giả sử mơi trường khép kín tồn phát triển loài với số lượng cá thể thời điểm t x(t) Nếu điều kiện sống bình thường giả sử nội lồi khơng có tượng cạnh tranh Khi đó, phương trình tăng trưởng lồi x(t) ˙ = rx(t), số r gọi số tăng trưởng riêng loài Phương trình tăng trưởng đơn lồi khơng có cạnh tranh gọi phương trình Malthus Nếu r > 0, x0 = x(t0 ) > nghiệm qua (t0 , x0 ) phương trình x(t) = x0 er(t−t0 ) → +∞ t → +∞ Đó điều không thực tế 45 quy mô môi trường hữu hạn Tuy nhiên, quần thể sinh thái nào, cạnh tranh ln thực tế tất yếu Đó yếu tố làm cho quần thể tăng trưởng chậm lại số lượng cá thể nhiều lên Đưa yếu tố cạnh tranh vào quần thể loài, ta nhận nhiều loại mơ hình khác Một số phương trình tăng trưởng Logistic sau x(t) ˙ = rx(t) − x(t) K Ở đây, K số, coi phù hợp môi trường < K < X∞ , X∞ gọi sức mang mơi trường, có nghĩa số lượng tối đa cá thể lồi mà mơi trường chấp nhận Mơ hình cho thấy, x(t) bé so với K phương trình gần với phương trình Malthus Khi x(t) tăng lên, đại lượng dấu ngoặc đơn giảm đi, tốc độ phát triển lồi chậm lại Điều giải thích chế cạnh tranh nội lồi Trong phương trình cạnh tranh đơn lồi trên, yếu tố cạnh tranh số lượng loài tính thời điểm Trong quần thể sinh học, cách tính thường khơng phù hợp với tình hình thực tế Wright (xem [11, 14]) cho số lượng lồi tham gia vào q trình cạnh tranh cần tính sớm khoảng thời gian kỳ sinh sản (nghĩa nên tính từ mùa thụ tinh) Phương trình cạnh tranh tính đến yếu tố chậm với độ chậm τ Wright cho sau x(t − τ ) x(t) ˙ = γx(t) − (3.10) K Để thuận lợi việc khảo sát phương trình ta đổi bước lưới thời gian, đưa lưới thời gian quen biết Z Ta thay đổi tỉ lệ thời gian sau (t = τ t) biến x (x = Kx) (3.10) trở thành ˙ x(t) = γτ x(t) − x(τ (t − 1)) (3.11) Dễ thấy phương trình Wright có điểm cân dương x∗ = K Ta tìm cách đổi biến để đưa điểm cân điểm cân tầm thường y ∗ = Muốn vậy, ta đặt y(t) = x(t) − 1, α = −γτ Khi đó, (3.11) trở thành y(t) ˙ = −α (1 + y(t)) y(t − τ ) (3.12) Mở rộng phương trình sang trường hợp có nhiều độ chậm biến thiên τ = τ (t) ta xét phương trình sau ([11]) 46 n t x(t) ˙ = −(1 + x(t)) (3.13) fi (t, x(s))dµi (t, s) t−r(t) i=1 Ở đây, fi (t, x) r(t) hàm khả vi liên tục, µi (t, s) liên tục với biến t, không giảm với biến s xác định với (t, s) ∈ R2 Ta giả thiết rằng: n (H1 ) Với x > −1, xfi (t, x) ≥ ∀t ≥ 0, fi (t, x) = x = i=1 (H2 ) r(t) > 0, t − r(t) không giảm lim (t − r(t)) = +∞ t→+∞ (H3 ) µi (t, t − r(t)) liên tục theo t, không giảm theo (t − r(t)) (H4 ) Với c = đó, tồn hàm liên tục (t) ≥ 0, bi (|c|) ≥ 0, bi (|c|) = ⇔ c = cho |fi (t, c)| ≥ (t)bi (|c|) t n τ lim t→+∞ (τ )dµi (τ, s) i=1 dτ = +∞ τ −r(τ ) Giả sử r = r(0) giá trị ban đầu toán (3.13) cho dạng θ ∈ [−r, 0], x(θ) = φ(θ), (3.14) φ(θ) ∈ C = C([−r, 0], R) Ta giả sử φ(θ) ≥ −1, φ(0) > −1 Phương trình (3.13) với điều kiện ban đầu (3.14) có nghiệm địa phương Chúng ta ký hiệu x(φ)(t) hay đơn giản x(t) Từ (H1 ) (H3 ) ta thấy (3.13) có trường hợp x(t) = −1 x(t) = Chúng ta nói hàm x(t) xác định [−r, ∞) dao động quanh x∗ tồn dãy tn → +∞ n → +∞, cho x(tn ) = x∗ , n = 1, 2, 3, Nếu x∗ = nói x(t) dao động quanh Trong trường hợp khác, nói x(t) không dao động quanh x∗ (hoặc không giao động trường hợp x∗ = 0) Ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Giả sử có số M > 0, cho với x > −1, fi (t, x) > −M, i = 1, n x(φ)(t) tồn với ∀t ≥ Hơn nữa, x(φ)(t) > −1, ∀t ≥ 0, x(φ)(t) không dao động lim x(φ)(t) = t→+∞ Chứng minh: Ta viết lại (3.13) sau t n τ ln (1 + x(t)) = ln (1 + φ(0)) − fi (τ, x(s))dµi (τ, s) i=1 47 τ −r(τ ) dτ (3.15) Từ ta thấy x(t) > −1 với t ≥ Do −fi (t, x) < M, ∀t ≥ 0, i = 1, n, n [µi (t, t) − µi (t, t − r(t))] x(t) ˙ ≤ M (1 + x(t)) (3.16) i=1 Do + x(t) ≤ (1 + φ(0))e M t n [µi (τ,τ )−µi (τ,τ −r(τ ))]dτ i=1 (3.17) Điều cho thấy x(t) tồn với ∀t ≥ Nếu với t ≥ , x(φ)(t) = −1 x(φ)(t) > −1 với t < t có số M > cho |x(φ)(t)| ≤ M , ∀t ≤ t Do có số N > cho n t |fi (t, x(s))| dµi (t, s) ≤ N, i=1 ∀t ≤ t t−r(t) Suy x(t) ˙ ≥ −(1 + x(t))N, ∀t ≤ t Điều dẫn đến + x(t) ≥ (1 + φ(0))e−N t > Mâu thuẫn với giả thiết Điều x(φ)(t) > −1, ∀t ≥ Giả sử x(t) không dao động có số T > cho với t > T, x(t) không đổi dấu Không tính tổng quát ta giả sử x(t) > 0, ∀t > T Khi đó, phương trình (3.13) với giả thiết (H1 ) − (H3 ) cho thấy x(t) ˙ T1 , T1 − r(t1 ) = T Do có số c ≥ cho lim x(t) = c t→+∞ Nếu c > 0, từ (3.15) với giả thiết (H4 ) ta lim ln(1 + x(t)) = −∞ t→+∞ Điều dẫn đến lim x(t) = −1, dẫn đến mâu thuẫn Do c = t→+∞ Trong trường hợp x(t) < với t > T giải tương tự Bổ đề chứng minh Định lý sau đưa điều kiện cho nghiệm phương trình (3.13) với hàm φ(θ) ban đầu thỏa mãn φ ≥ −1, φ(0) > −1, có cận giống Định lý 3.3 ([11]) Trong phương trình (3.13), giả sử tồn M > 0, N > cho với x > −1, fi (t, x) > −M, i = 1, n số t lớn t n [µi (τ, τ ) − µi (τ, τ − r(τ ))] t−r(t) i=1 48 dτ ≤ N (3.18) Khi với t lớn x(φ)(t) ≤ eM N − (3.19) Thêm vào đó, có số M > M cho với −1 < x < eM N , |fi (t, x)| < M , ∀t ≥ 0, i = 1, n với t đủ lớn, ta có x(φ)(t) ≥ e−M N − (3.20) Chứng minh Theo Bổ đề 3.1, x(φ)(t) tồn với ∀t ≥ lim x(φ)(t) = x(φ)(t) dao dộng t→+∞ Giả sử x(t) = x(φ)(t) dao động giả sử t1 = r(t1 ) (do (H2 ), t1 tồn tại), t∗ > t1 cho x(φ)(t) đạt cực đại địa phương t∗ Khi x(t ˙ ∗ ) = Từ t∗ − r(t∗ ) > t1 − r(t1 ) = Do Bổ đề 3.1, ta thấy x(φ)(t) > −1 với t ∈ [t∗ − r(t∗ ), t∗ ] Do đó, từ (3.13) ta thu t∗ n fi (t∗ , x(s))dµi (t∗ , s) = i=1 t∗ −r(t∗ ) Từ (H1 ) − (H3 ), ta có t0 ∈ [t∗ − r(t∗ ), t∗ ] cho x(t0 ) = Do đó: ∗ n t τ ∗ ln(1 + x(t )) = − fi (τ, x(s))dµi (τ, s) dτ τ −r(τ ) t0 i=1 n t∗ ≤M [µi (τ, τ ) − µi (τ, τ − r(τ ))]dτ i=1 t∗ −r(t∗ ) Từ (3.18), ta dễ dàng thấy với t đủ lớn ln(1 + x(t)) ≤ M N Nên ta thu x(t) ≤ eM N − Do có t2 > t1 cho với t > t2 − r(t2 ) mà x(t) ≤ eM N Giả sử t˜ > t2 cực tiểu địa phương x(t) Khi x( ˙ t˜) = Từ (3.13) ta thấy có t3 ∈ [t˜ − r(t˜), t˜] cho x(t3 ) = Bằng lập luận tương tự trên, ta có ln(1 + x(t˜)) ≥ −M N Từ dẫn đến x(t˜) ≥ e−M N − Định lý chứng minh Định lý sau kết tổng quát cho tính ổn định nghiệm phương trình (3.13) 49 Định lý 3.4 ([11]) Xét phương trình (3.13) Ngồi giả thiết Định lý 3.3, giả sử thêm có hàm liên tục αi (t) cho |fi (t, c)| ≤ αi (t) |c| , i = 1, n, với t đủ lớn n t τ αi (τ )dµi (τ, s) dτ ≤ t−r(t) (3.21) τ −r(τ ) i=1 lim x(φ)(t) = t→+∞ Chứng minh Giả sử x(t) = x(φ)(t) dao động Mặt khác, theo Bổ đề 3.1, lim x(t) = t→+∞ Ký hiệu u = lim sup x(t), t→+∞ v = − lim inf x(t) (3.22) ≤ v ≤ − e−M N (3.23) t→+∞ Theo Định lý 3.3, ta có ≤ u ≤ eM N − 1, Giả sử số dương t4 lớn, cho t ≥ t4 − r(t4 ) n t τ αi (τ )dµi (τ, s) dτ ≤ t−r(t) τ −r(τ ) i=1 −v − < x(t) < u + (3.24) −αi (τ )(u + ) ≤ −fi (τ, x(s)) ≤ αi (τ )(v + ) (3.25) Do Giả sử x(t∗ ) giá trị cực đại cực tiểu cho t∗ − r(t∗ ) ≥ t4 Khi có t5 ∈ [t∗ − r(t∗ ), t∗ ] cho x(t5 ) = Do t∗ n τ ∗ ln(1 + x(t )) = − fi (τ, x(s))dµi (τ, s) dτ t5 τ −r(τ ) i=1 Rõ ràng, từ (3.24) ta suy t∗ n τ ∗ ln(1 + x(t )) < − αi (τ )(v + )dµi (τ, s) dτ t5 i=1 τ −r(τ ) t∗ ≤ n τ (v + ) t∗ −r(t∗ ) αi (τ )dµi (τ, s) dτ i=1 ≤v+ 50 τ −r(τ ) (3.26) Do x(t∗ ) < ev+ − Tương tự ta có x(t∗ ) > −1 + e−(u+ ) Theo định nghĩa u v , ta thấy luôn tồn t6 > t5 , t7 > t5 cho x(t6 ) > u − x(t7 ) < −v + Do u − < eu+ − 1, v − < − e−(u+ ) (3.27) Cho → 0, ta thu v ≤ − e−u u ≤ ev − 1, (3.28) Từ (3.28 ) ta thấy u = v = Do ta giả sử u > 0, (3.29) < v < Rõ ràng từ (3.28 ) dẫn đến −u + u ≤ ev ≤ e(1−e ) (3.30) Nhưng từ u > ta có −u + u − e(1−e u ) u1 −u2 −u (1 − e−u2 )e(1−e = 2) du2 du1 > 0 Điều mâu thuẫn với (3.30) Định lý chứng minh Tóm lại Trong chương chúng tơi trình bày hai ứng dụng lý thuyết ổn định phương trình vi phân hàm Phần ứng dụng cho hệ điều khiển tự thực (phát biểu chứng minh định lý, tìm hai ví dụ cách giải tay phương trình Riccati (khơng dùng Matlab), sau sử dụng chúng để khảo sát tính ổn định) Phần ứng dụng vào quần thể sinh học tham khảo [11] 51 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm phương trình vi phân hàm Sau trình bày số định lý tồn nghiệm chúng tơi có trình bày cách giải phương trình số trường hợp riêng đơn giản Nội dung luận văn tập trung vào việc tìm điều kiện đủ để phương trình vi phân có chậm ổn định Các dấu hiệu ổn định chủ yếu dựa vào tồn nghiệm đối xứng, xác định dương phương trình Riccati bất phương trình ma trận tương ứng Luận văn đề cập đến việc ứng dụng kết ổn định hệ có chậm vào tốn điều khiển tốn phân tích tính chất quần thể sinh thái đơn loài Kết tự làm bao gồm: Định lý ổn định hệ có trễ dạng phân phối, tự tìm giải tất ví dụ luận văn 52 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hồn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn Lý thuyết điều khiển Tốn học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001) [3] T.T Anh, L.V Hien and V.N.Phat, Stability analysis for linear nonautonomous systems with continuously distributed multiple time-varying delays and applications,ACTA Math Vietnamica (2011), 36, 2, 129-143 [4] E Accinelli and J G Brida, The dynamics of the Ramsey economic growth model with the von Bertalanffy population growth law, AMS.,1, (2007), 109-118 [5] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13, (2010), 59-69 [6] Nguyen S Bay, Stabilization of nonlinear nonautonomous time-delay systems with the memory of the past control, AMS, 4, 57 (2010), 2829-2841 [7] S Boyd, L.E Ghaoui, E Feron and V Balakrisnan, Linear matrix inequalities in systems and control theory, SIAM, Philadelphia (1994) 53 [8] J Hale and S.M V Lunel Introduction to Functional Differential Equations, Springer - Verlag, New York (1993) [9] J Hale, Theory of Functional Differential Equations , Springer - Verlag, New York (1997) [10] N N Krasovskii, Stability of Motions, Stanford University Press (1963) [11] Y Kuang, Global stability for a class of nonlinear non-autonomous delay equations, Nonl Anal Theory, Meth & Appl., 17, (1999), 627-634 [12] S Mondie, V.L Kharitonov, Exponential estimates for retarded time-delay systems :An LMI Approach, IEEE Trans Aut Contr., 50, (2005), 268273 [13] T Yoshizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Math Soc of Japan (1966) [14] E.M Wright, A nonlinear difference-differential equation J Reine Angew Math., 494 (1955), 66-87 54