Tính ổn định của một lớp các hệ chuyển mạch tuyến tính trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phùng Hải Minh TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP CÁC HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phùng Hải Minh TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP CÁC HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỖ ĐỨC THUẬN Hà Nội - Năm 2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thang thời gian, tính khả vi, tính khả tích 1.2 Hàm mũ thang thời gian 12 1.3 Khái niệm tính ổn định 15 1.4 Hệ chuyển mạch 19 1.5 Tính ổn định hệ chuyển mạch 21 Chương Tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thang thời gian 26 2.1 Phát biểu toán 26 2.2 Trường hợp hệ riêng ổn định 28 2.3 Trường hợp hệ Ac ổn định hệ Ad không ổn định 35 2.4 Trường hợp hệ Ac không ổn định hệ Ad ổn định 42 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Đỗ Đức Thuận Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng Sau đại học, Đại học Khoa học tự nhiên, quý thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2015-2017 có cơng lao giảng dạy tác giả suốt thời gian học tập trường Nhận dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tơi cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017 Học viên Phùng Hải Minh Danh mục ký hiệu Ac Ma trận hệ liên tục Ad Ma trận hệ rời rạc Bδ Hình cầu tâm O bán kính δ ∆f Sai phân hàm f ep (t, s) Hàm mũ suy rộng p f∆ ∆-đạo hàm hàm f Hmin Đường trịn Hilger nhỏ Hµ(t) Đường trịn Hilger ứng với hàm hạt µ(t) K Lớp hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt K∞ Lớp hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt khơng bị chặn µ(t) Hàm hạt µ(t) = σ(t) − t Pa,b Thang thời gian R(T, Mn (R)) Lớp hàm hồi quy rd-liên tục ρ(t) Toán tử nhảy lùi σ(t) Toán tử nhảy tiến S(T) Miền ổn định mũ thang thời gian T S(T) Miền ổn định mũ thang thời gian T Spec(A) Phổ ma trận A T Thang thời gian tổng quát ξh (z) Phép biến đổi trụ Lời nói đầu Lý thuyết hệ động lực thang thời gian T quan tâm ý nhiều thể tương tác lý thuyết hệ liên tục hệ rời rạc Nó cho phép phân tích tính ổn định hệ động lực miền thời gian không R Khi T = R, phương trình động lực thang thời gian rút gọn thành phương trình vi phân liên tục thông thường Khi T = hZ (h số thực), chúng rút gọn thành phương trình sai phân thơng thường Bên cạnh hai trường hợp này, cịn có nhiều thang thời gian thú vị khác với bước thời gian không (ví dụ thang T = {tn }n∈N gồm số điều hòa tn = n k=1 k ) Tính ổn định mũ tìm cho hệ tuyến tính sử dụng thang thời gian hàm mũ Một số mở rộng cho hệ động lực thời gian biến đổi, phương trình động lực với nhiễu cấu trúc tổng quát hệ điều khiển hữu hạn chiều phi tuyến thang thời gian nghiên cứu Tuy nhiên, tính chất khơng dễ dàng mở rộng cho lớp hệ chuyển mạch Hệ chuyển mạch hệ liên quan động lực liên tục động lực rời rạc Chúng bao gồm số hữu hạn hệ quy tắc rời rạc để đưa chuyển mạch hệ Chúng nghiên cứu rộng rãi hai thập kỉ gần chúng miêu tả lớp rộng hệ vật lý hệ thống kỹ thuật Hầu hết phương pháp để phân tích tích ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính khơng thể áp dụng cho hệ phát triển (evolving) miền thời gian liên tục rời rạc Từ nhận xét bên trên, báo [9], tác giả phân tích tính ổn định cho trường hợp đặc biệt hệ chuyển mạch tuyến tính mà hệ động lực chuyển mạch hệ tuyến tính liên tục hệ tuyến tính rời rạc chu kỳ thời gian định Có nhiều ứng dụng liên quan tới hệ chuyển mạch Một ví dụ cụ thể hệ khuếch đại (cascaded system) bao gồm điều chỉnh thời gian liên tục (continuous-time plant), tập điều khiển thời gian rời rạc chuyển mạch điều khiển Thật ra, tính chất thời gian chúng khơng thể biểu diễn đường thẳng liên tục (tức R) hay đường rời rạc (tức Z) Trong số tài liệu trước đây, số điều kiện ổn định đưa cho hệ chuyển mạch tuyến tính mà xác định hai hệ tiến triển miền thời gian liên tục miền thời gian rời rạc với chu kỳ cố định Tính ổn định giải tích dựa hàm Lyapunov bậc Tuy nhiên, mở rộng cho lớp hệ lớn tiến triển miền thời gian không không tầm thường Để giải vấn đề này, lý thuyết hệ động lực thang thời gian tùy ý T dường thích hợp Tính giải tích hệ chuyển mạch thang thời gian tùy ý trình bày [6, 1] sử dụng hàm Lyapunov chung bậc bốn Theo cách tương tự, tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính mà bao gồm tập hệ tuyến tính liên tục ổn định hệ tuyến tính rời rạc ổn định với hàm hạt cố định nghiên cứu [7] Tuy nhiên, việc tìm hàm Lyapunov cho hệ chuyển mạch khơng đơn giản Ngồi ra, phương pháp tiếp cận [6, 7] không áp dụng hệ riêng biệt không ổn định tiệm cận Do tầm quan trọng đặc biệt lý thuyết mà nhiều nhà tốn học nước ngồi Việt Nam dành nhiều thời gian cơng sức cho việc nghiên cứu tính ổn định giải tích hệ chuyển mạch Trong khuôn khổ luận văn xin trình bày đề tài: “Tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thang thời gian” Luận văn tổng hợp từ báo [9] F Z Taousser, M Defoort M Djemai với số giáo trình lý thuyết hệ động lực thang thời gian, hệ chuyển mạch thang thời gian Mục đích luận văn mở rộng kết cho miền thời gian không T = Pak ,bk tạo hợp khoảng rời với độ dài biến thiên ak khoảng cách biến thiên bk Hệ nghiên cứu chuyển mạch hệ động lực liên tục hệ rời rạc với hàm hạt bị chặn Mỗi hệ liên tục rời rạc khơng ổn định Sử dụng tính chất hàm mũ thang thời gian, số điều kiện đưa để đảm bảo tính ổn định mũ lớp hệ điều kiện hàm hạt bị chặn hệ ổn định mũ Các kết mở rộng khảo sát hệ rời rạc không ổn định hệ liên tục không ổn định Ngoài Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày tóm tắt khái niệm nêu ví dụ thang thời gian, ∆-đạo hàm, hàm mũ thang thời gian, khái niệm hệ chuyển mạch thang thời gian, khái niệm tính ổn định Chương 2: Tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thang thời gian Ở chúng tơi trình bày ba định lý nêu điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch thang thời gian Pak ,bk ba trường hợp khác Bao gồm trường hợp hệ ổn định mũ trường hợp hệ rời rạc không ổn định hệ liên tục không ổn định Mặc dù cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn cịn nhiều khiếm khuyết Trong trình đọc dịch tài liệu, viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi sai sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017 Học viên Phùng Hải Minh Chương Kiến thức chuẩn bị Trong Chương chúng tơi trình bày số kiến thức sơ sở liên quan hệ chuyển mạch bao gồm khái niệm thang thời gian, ∆-đạo hàm, ∆-tích phân, khái niệm tính ổn định dựa vào tài liệu [2, 9] Sau đó, dựa vào tài liệu [8], chúng tơi trình bày lại khái niệm hệ động lực liên tục, hệ động lực rời rạc để dẫn tới khái niệm hệ chuyển mạch định nghĩa mở rộng tính chất liên quan 1.1 Thang thời gian, tính khả vi, tính khả tích Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Một thang thời gian T tập đóng khác rỗng tùy ý R Do đó, tập số thực R, tập số nguyên Z, tập số tự nhiên N, tập số tự nhiên không âm N0 ví dụ thang thời gian Trong tập số hữu tỉ Q, tập số vô tỉ R\Q, tập số phức C, khoảng mở (0, 1) thang thời gian Định nghĩa 1.1.2 ([2]) Cho T thang thời gian, với t ∈ T, ta định nghĩa toán tử nhảy tiến (forward jump) toán tử nhảy lùi (backward jump) sau: Toán tử nhảy tiến σ(t) : T → T định nghĩa σ(t) := inf{s ∈ T : s > t} Toán từ nhảy lùi ρ(t) : T → T định nghĩa ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} Ta quy ước: t = max T σ(t) = t, t = T ρ(t) = t Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Ánh xạ µ : T → R+ xác định µ(t) = σ(t) − t, t∈T gọi hàm hạt thang thời gian T Định nghĩa 1.1.4 ([2]) Điểm t ∈ T gọi điểm: cô lập phải (right-scattered) σ(t) > t; trù mật phải (right-dense) t < sup T σ(t) = t; cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t; trù mật trái (left-dense) t > inf T ρ(t) = t; điểm vừa cô lập phải vừa cô lập trái gọi điểm cô lập; điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi điểm trù mật Nếu thang thời gian T có phần tử lớn m điểm lập trái ta đặt Tk = T\{m}, ngược lại đặt Tk = T Chẳng hạn, [a, b]k = [a, b] b trù mật trái [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] b lập trái Ví dụ 1.1.5 Ta xét hai trường hợp T = R T = Z (i) Nếu T = R ta có với t ∈ R σ(t) = inf{s ∈ R : s > t} = inf{t, ∞} = t tương tự ρ(t) = t Cho nên điểm t ∈ R điểm trù mật Hàm hạt µ trở thành µ(t) ≡ với t ∈ R (ii) Nếu T = Z ta có với t ∈ Z σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = inf{t + 1, t + 2, t + 3, } = t + tương tự ρ(t) = t − Cho nên điểm t ∈ Z điểm lập Hàm hạt µ trường hợp µ(t) ≡ với t ∈ Z 37 nghiệm (2.2) Từ điều kiện (i)-(iii), ta thu cận nghiệm (2.16) sau k x(t) = e λjc (t− k i=1 (1 + µ(ti )λjd ) Vj µ(ti )) i=1 k j = eλc (t− k i=1 λjc (t− k i=1 λjc (t− k i=1 |1 + µ(ti )λjd | Vj µ(ti )) i=1 ≤e =e µ(ti )) max {|1 + µ(ti )λjd |}k Vj 1≤i≤k µ(ti ))+k log(max1≤i≤k {|1+µ(ti )λjd |}) Vj Nếu λjd nằm hẳn hình trịn Hilger, tức max1≤i≤k {|1 + µ(ti )λjd |} < 1, k µ(ti ) tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, ta có k ≥ i=1 cận µmax nghiệm (2.16) viết lại thành x(t) ≤ eλt Vj với λ = max{λjc , log(max1≤i≤k {|1+µ(ti )λjd |}) } µmax (2.17) < Thì nghiệm x(t) hội tụ tới t → ∞ Vì Ad khơng ổn định nên tồn λjd khơng nằm hình ∞ k=0 {tk+1 } trịn Hilger, tức |1 + µ(t)λjd | > 1, với t ∈ Điều kéo theo < max |1 + µ(ti )λjd | = + max µ(ti )λjd = |1 + µmax λjd | 1≤i≤k 1≤i≤k Vì hàm hạt bị chặn, ta suy với t ∈ [tσk , tk+1 ], k k (ti − σ(ti−1 )) ≤ 1≤i≤k k ti − σ(ti−1 ) ≤ t − i=1 Kéo theo k≤ t− µ(ti ) (2.18) i=1 k i=1 µ(ti ) min1≤i≤k (ti − σ(ti−1 )) (2.19) Cho nên, cận (2.16) trở thành x(t) ≤ e ≤e λjc (t− (t− k i=1 k i=1 µ(ti ))+(t− µ(ti )) k i=1 j log(|1+µmax λ |) d (t −σ(t i−1 )) 1≤i≤k i µ(ti )) j log(|1+µmax λ |) d λjc + 1≤i≤k (ti −σ(ti−1 )) Vj Vj (2.20) 38 Sử dụng điều kiện (iv), ta thu log max |1 + µmax λjd | ≤ 1≤j≤n 1≤j≤n − λjc ti − σ(ti−1 ) 1≤j≤n (2.21) Cho nên, ta rút − (−λjc ) + 1≤j≤n log(max1≤j≤n |1 + µmax λjd |) < min1≤j≤n (ti − σ(ti−1 )) (2.22) Điều có nghĩa λjc log(|1 + µmax λjd |) < 0, ∀1 ≤ j ≤ n + min1≤i≤k (ti − σ(ti−1 )) (2.23) Từ phương trình (2.20)-(2.22) bất đẳng thức (2.23), nghiệm tổng quát (2.2) cho (2.15) hội tụ cấp số mũ Nhận xét 2.3.3 ([9]) Nói chung, điều kiện (iv) có nghĩa ảnh hưởng hệ không ổn định (phần bên trái điều kiện (2.14)) quan trọng ảnh hưởng phần ổn định (phần bên phải (2.14)) để đảm bảo tính ổn định mũ hệ chuyển mạch miền thời gian không Nhận xét 2.3.4 ([9]) Điều kiện (2.14) luôn thỏa mãn hệ rời rạc ổn định Thật vậy, ma trận Ad Hilger ổn định giá trị riêng λd Ad nằm đường tròn Hilger Hmin Do ta có λd + µmax < µmax ⇔ µmax λd + 1 < µmax µmax ⇔ |µmax λd + 1| < Mặt khác, ta có (−λjc ) > 0, (ti − σ(ti−1 )) > ti−1 < σ(ti−1 ) < ti , 1≤j≤n 1≤i≤k nên j emin1≤j≤n (−λc ) min1≤i≤k (ti −σ(ti−1 )) > Từ ta ln có (2.14) hệ rời rạc ổn định Nhận xét 2.3.5 ([9]) Ta làm nhẹ điều kiện (iv) Thật ra, giá trị riêng ma trận Ac Ad không số thực, ta thay điều kiện (iv) j max |1 + µmax λjd | < emin1≤j≤n (− Re(λc )) min1≤i≤k (ti −σ(ti−1 )) 1≤j≤n (2.24) 39 Re(λjc ) phần thực λjc |1 + µmax λjd | mơđun số phức (1 + µmax λjd ) Ví dụ 2.3.6 Ta xét ví dụ sau sử dụng thang thời gian T = P{tσk ,tk+1 } = ∞ k=0 k2 + 2k , (k k+1 + 1)2 + k+1 k+2     −1     x, t ∈     −1 −4  x∆ =    −2     x,  t∈    ∞ k=0 k2 + 2k , (k k+1 + 1)2 + k+1 k+2 (2.25) ∞ k=0 (k + 1)2 + k+1 k+2 k 2k Hệ (2.25) viết lại theo (2.2) với tk = k + k+1 , σ(tk ) = tσk = k + k+1 , k k+1 ≤ µ(tk ) = σ(tk ) − tk = ≤ 1, k = 1, , ∞ Do đó, hệ động lực (2.25) chuyển đổi hệ tuyến tính liên tục ổn định với −1 Ac = −1 −4 , với hệ tuyến tính rời rạc khơng ổn định −2 Ad = khoảng thời gian định (i) Các giá trị riêng Ac λ1c = −2 λ2c = −3 Các giá trị riêng Ad λ1d = 3, λ2d = Suy giá trị riêng Ac Ad giá trị thực Với t ∈ ∞ k=0 k2 + 2k , (k k+1 + 1)2 + k+1 k+2 , ta có µ(t) = 0, lúc đường tròn Hilger H0 nửa trái mặt phẳng phức Cho nên giá trị riêng λ1c , λ2c ∈ H0 ma trận Ac Hilger ổn định Với t ∈ ∞ k=0 {tk } = ∞ k=1 trịn Hilger Hµ(t) thỏa mãn k2 + k k+1 , ta có ≤ µ(t) ≤ 1, ∀t Các đường Hmax = Hµmin = {z ∈ C : |z + 2| < 2} Hmin = Hµmax = {z ∈ C : |z + 1| < 1} 40 Vậy giá trị riêng λ1d , λ2d không nằm đường trịn Hilger Hµ(t) , hay hệ Ad khơng Hilger ổn định Suy điều kiện (i) Định lý 2.3.2 thỏa mãn (ii) Ta có Ac Ad = −1 −1 −4 −2 = 12 −6 −18 = Ad Ac Vậy điều kiện (ii) Định lý 2.3.2 thỏa mãn = µmin ≤ µ(t) ≤ µmax = với t ∈ (iii) Hàm hạt bị chặn < ∞ k=0 {tk+1 } Vậy điều kiện (iii) Định lý 2.3.2 thỏa mãn (iv) Ta có max (1 + µmax λld ) = max{|1 + · 3|, |1 + · 4|} = 5, 1≤l≤2 (−λjc ) = min{2, 3} = 1≤j≤2 Mặt khác, i 2(i − 1) − (i − 1)2 − i+1 i i = 2i − + + , i = 1, 2, , k i+1 i ti − σ(ti−1 ) = tj − tσi−1 = i2 + Xét hàm f (x) = 2x − + f (x) = + x + , với x ≥ Ta có x+1 x 2(x2 − 1) − = + , với x ≥ (x + 1)2 x2 (x + 1)2 x2 Do f (x) > với x ≥ 1, nên hàm f (x) đồng biến Ta thu fmin = f (1) = − + +2= 2 Do đó, (ti − σ(ti−1 )) = fmin = 1≤i≤k Suy ra, j max (1 + µmax λld ) = < emin1≤j≤2 (−λc ) min1≤i≤k (ti −σ(ti−1 )) 1≤l≤2 41 = e2 = e3 Vậy điều kiện (iii) Định lý 2.3.2 thỏa mãn Sử dụng Định lý 2.3.2, hệ chuyển mạch (2.25) ổn định mũ Để chứng minh tính hiệu Định lý 2.3.2, ta tìm nghiệm giải tích (2.25) sau k x(t) = C1 e −2(t− k i=1 µ(ti )) (1 + 3µ(ti )) V1 i=1 k + C2 e −3(t− k i=1 µ(ti )) (1 + 4µ(ti )) V2 i=1 với V1 = x0 −1 , V2 = −1 , C1 C2 số biết trước phụ thuộc vào Nghiệm bị chặn x(t) ≤ |C1 |e (t− + |C2 |e k i=1 (t− = |C1 |e(t− log(1+3µmax ) µ(ti )) −2+ (t −σ(t −1)) j k i=1 k i=1 j j V1 log(1+4µmax ) µ(ti )) −3+ (t −σ(t −1)) j j µ(ti ))[−2+ log(1+3(1)) ] j V2 V1 log(1+4(1)) k ] V + |C2 |e(t− i=1 µ(ti ))[−3+ √ √ −6+2 log(4) k ] + 2|C |e(t− = |C1 |e(t− i=1 µ(ti ))[ 2 −6+2 log(4) k ] ≤ Ce(t− i=1 µ(ti ))[ k i=1 µ(ti ))[ −9+23log(5) ] Quỹ đạo hội tụ không, minh họa Hình 2.3 trạng thái ban đầu x0 = [2 5]T Nhận xét 2.3.7 ([9]) Nếu hệ chuyển mạch tuyến tính định nghĩa thang thời gian Pa,b (Ví dụ 1.1.6) tạo hợp khoảng rời với độ dài a cố định khoảng cách b cố định, ta có µmax = max{0, b} = b, ti − σ(ti−1 ) = ti − (ti−1 + b) = i(a + b) + a − [(i − 1)(a + b) + a] − b = a 42 Hình 2.3: Quỹ đạo hội tụ hệ chuyển mạch (2.25) với giá trị ban đầu x0 = [2 5]T nên (ti − σ(ti−1 )) = a = a 1≤i≤k 1≤i≤k Để đảm bảo tính ổn định mũ, điều kiện (2.14) thay bất đẳng thức sau j max |1 + bλjd | < ea min1≤i≤n (−λc ) 1≤j≤n 2.4 (2.26) Trường hợp hệ Ac không ổn định hệ Ad ổn định Định lý 2.4.1 ([9]) Xét hệ chuyển mạch tuyến tính (2.2) giả sử có điều kiện sau đây: (i) Các giá trị riêng λjc (tương ứng λjd ) Ac (tương ứng Ad ) số thực ∀j = 1, , n Ngoài ra, Ad Hilger ổn định với thang thời gian Ptσk ,tk+1 (tức tất λjd nằm Hmin ) hệ liên tục (tức Ac ) giả sử khơng ổn định (ii) Ac Ad giao hốn với nhau, tức Ac Ad = Ad Ac , 43 (iii) hàm hạt bị chặn, tức < µmin ≤ µ(t) ≤ µmax với t ∈ ∞ k=0 {tk+1 } (tk+1 − tσk ) bị chặn (tức thời gian sống hệ liên tục bị chặn) với k ∈ N (iv) giá trị riêng Ac Ad thỏa mãn điều kiện sau với k ∈ N j max 1≤j≤n,1≤i≤k |1 + µ(ti )λjd | < e− max1≤j≤n (λc ) max1≤i≤k (ti+1 −σ(ti )) (2.27) Dưới điều kiện (i)-(iv) bên trên, hệ chuyển mạch (2.2) ổn định mũ Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.3.2, nghiệm tổng quát (2.2) cho (2.15) Suy nghiệm (2.2) đặc trưng (2.16) Từ điều kiện (i)-(iii), ta thu cận nghiệm (2.16) chứng minh trước với t ∈ Ptσk ,tk+1 sau j x(t) ≤ eλc (t− k i=1 µ(ti ))+k log(max1≤i≤k {|1+µ(ti )λjd |}) Vj (2.28) Vì hàm hạt bị chặn (tk+1 − σ(tk )) = (tk+1 − tσk ) bị chặn với k ∈ N, ta suy với t ∈ [tσk , tk+1 ], k t − i=1 µ(ti ) k+1≤ max1≤i≤k (ti+1 − σ(ti )) (2.29) Vì Ad ổn định, λjd nằm hình trịn Hilger, tức |1 + µ(t)λjd | < 1, ∀t ∈ ∞ k=0 {tk+1 }, ∀1 ≤ j ≤ n Điều kéo theo cận (2.28) trở thành x(t) ≤ e =e λjc (t− (t− k i=1 k i=1 t− k i=1 µ(ti ) max1≤i≤k (ti+1 −σ(ti )) −1 (log(max1≤i≤k |1+µ(ti )λjd |)) j log(max |1+µ(ti )λ |) d λjc + max 1≤i≤k 1≤i≤k (ti+1 −σ(ti )) −log(max1≤i≤k |1+µ(ti )λjd |) µ(ti ))+ µ(ti )) Vj Vj (2.30) Sử dụng điều kiện (iv), ta thu log( max 1≤j≤n,1≤i≤k |1 + µ(ti )λjd |) + max (λjc )[ max (ti+1 − σ(ti ))] < (2.31) log(max1≤j≤n,1≤i≤k |1 + µ(ti )λjd |) + < max1≤i≤k (ti+1 − σ(ti )) (2.32) 1≤j≤n 1≤i≤k Cho nên, ta rút max (λjc ) 1≤j≤n 44 Điều có nghĩa với k ∈ N λjc + log(max1≤j≤n,1≤i≤k |1 + µ(ti )λjd |) < 0, ∀1 ≤ j ≤ n max1≤i≤k (ti+1 − σ(ti )) (2.33) Từ phương trình (2.30)-(2.32) bất đẳng thức (2.33), nghiệm tổng quát (2.2) cho (2.15) hội tụ cấp số mũ Nhận xét 2.4.2 ([9]) Ta làm nhẹ điều kiện (iv) Thật ra, giá trị riêng ma trận Ac Ad khơng số thực, ta thay điều kiện (iv) max 1≤j≤n,1≤i≤k j |1 + µ(ti )λjd | < e− max1≤j≤n (− Re(λc )) max1≤i≤k (ti+1 −σ(ti )) (2.34) Re(λjc ) phần thực λjc |1 + µ(ti )λjd | mơđun số phức (1 + µ(ti )λjd ) Ví dụ 2.4.3 Ta xét ví dụ sau sử dụng thang thời gian T = P{tσk ,tk+1 } = ∞ k=0 5k + 3k , 5(k 2k+4 + 1)    −1     36  x, t ∈     −1 ∆ x =  72    −2     x, t ∈     −1 ∞ k=0 5k + 3k , 5(k 2k+4 + 1) (2.35) ∞ k=0 {5(k + 1)} Hệ (2.35) viết lại theo (2.2) với tk = 5k, σ(tk ) = tσk = 5k + ≤ µ(tk ) = σ(tk ) − tk = 3k 2k+4 3k , 2k+4 ≤ 32 , k = 1, , ∞ Do đó, hệ động lực (2.35) chuyển đổi hệ tuyến tính liên tục ổn định với Ac = −1 36 −1 72 với hệ tuyến tính rời rạc khơng ổn định Ad = khoảng thời gian định −2 −1 45 (i) Các giá trị riêng Ac λ1c = 18 36 −1 , λ2d > λ2c = không ổn định Các giá trị riêng Ad λ1d = > nên hệ liên tục = −1 Từ µmax = 23 , kéo theo Hmin = {z ∈ C : z + µmax < µmax } = {z ∈ C : z + 2 < } 3 Vậy λ1d , λ2d ∈ Hmin Ad Hilger ổn định Điều kiện (i) Định lý 2.4.1 thỏa mãn (ii) Ta dễ dàng kiểm tra Ac Ad = Ad Ac Vậy điều kiện (ii) Định lý 2.4.1 thỏa mãn ≤ µ(t) ≤ , nên hàm hạt bị chặn Mặt 2 khác, thời gian sống hệ liên tục bị chặn ∞ k=0 {tk+1 }, (iii) Với t ∈ ta có 3.5 ≤ tk+1 − σ(tk ) = − 3k ≤ 5, ∀k ∈ N 2k + Vậy điều kiện (iii) Định lý 2.4.1 thỏa mãn (iv) Ngoài ra, max i 1≤j≤2,1≤i≤k |1 + µ(ti )λjd | = 0.75 < e− max1≤i≤2 (λc ) max1≤i≤k (ti+1 −σ(ti )) 1 = e− 18 ×4.5 = e− = 0.7788 Do điều kiện (iv) Định lý 2.4.1 thỏa mãn Sử dụng Định lý 2.4.1, hệ chuyển mạch (2.25) ổn định mũ Để chứng minh tính hiệu Định lý 2.4.1, ta tìm nghiệm giải tích (2.35) sau k x(t) = C1 e 18 (t− k i=1 1 − µ(ti ) V1 µ(ti )) i=1 k + C2 e 36 (t− k i=1 µ(ti )) (1 − µ(ti )) V2 i=1 với V1 = x0 , V2 = , C1 C2 số biết trước phụ thuộc vào 46 Hình 2.4: Quỹ đạo hội tụ hệ chuyển mạch (2.35) với giá trị ban đầu x0 = [5 1]T Nghiệm bị chặn  (t− k i=1 µ(ti )) 18 + log 1− 2(2)  − 1− 2(2) log x(t) ≤ |C1 |e V1  (t− k i=1 µ(ti )) 36 + log 1−  − log 1− + |C2 |e √ k = 17|C1 |e(t− i=1 µ(ti ))(−0.002)−0.0575 √ k + 37|C2 |e(t− i=1 µ(ti ))(−0.1109)−0.1386 V2 Quỹ đạo hội tụ không minh họa Hình 2.4 trạng thái ban đầu x0 = [5 1]T Nhận xét 2.4.4 ([9]) Nếu hệ chuyển mạch tuyến tính định nghĩa thang thời gian Pa,b (Ví dụ 1.1.6) tạo hợp khoảng rời với độ dài a cố định khoảng cách b cố định, ta có  0 t ∈ ∞ [k(a + b), k(a + b) + a) k=0 µ(t) = b t ∈ ∞ {k(a + b) + a} k=0 47 ti+1 − σ(ti ) = ti − (ti + b) = (i + 1)(a + b) + a − i(a + b) − a − b = a nên max (ti+1 − σ(ti )) = max a = a 1≤i≤k 1≤i≤k Để đảm bảo tính ổn định mũ, điều kiện (2.27) thay bất đẳng thức sau j max |1 + bλjd | < e−a max1≤i≤n (λc ) 1≤j≤n (2.36) Nhận xét 2.4.5 ([9]) Trường hợp hai hệ không ổn định khảo sát mơ hình Thật ra, khơng có điều kiện thu từ việc sử dụng giá trị riêng Ac Ad mơ hình bên 48 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày: Kiến thức chuẩn bị thang thời gian, tính khả vi, tính khả tích thang thời gian, hàm mũ thang thời gian, khái niệm tính ổn định hệ vi phân tuyến tính thang thời gian, khái niệm hệ chuyển mạch, tính ổn định hệ chuyển mạch hệ chuyển mạch tùy ý Các ví dụ phần kiến thức chuẩn bị thang thời gian, tính khả vi, tính khả tích Chương chúng tơi tính tốn cụ thể, chi tiết Chúng tơi xét tính ổn định lớp hệ chuyển mạch với hệ chuyển mạch tùy ý thang thời gian Ptσk ,tk+1 Có ba trường hợp khảo sát trường hợp hệ riêng biệt ổn định, trường hợp hệ tuyến tính liên tục ổn định hệ tuyến tính rời rạc khơng ổn định trường hợp cuối hệ tuyến tính liên tục khơng ổn định hệ tuyến tính rời rạc ổn định Ba ví dụ minh họa cho ba trường hợp chúng tơi tính tốn chi tiết, cụ thể, áp dụng định lý để kiểm tra tính ổn định Tìm phản ví dụ cho Định lý 2.2.1 Khi bỏ điều kiện giao hoán Định lý 2.2.1 khơng đảm bảo điều kiện ổn định hệ 49 Tài liệu tham khảo [1] J.M Davis, I.A Gravagne and A.A Ramos (2010), Stability of Switched Linear Systems on non-uniform time domains, in: IEEE Southeastern Symposium on Systems Theory, Texas [2] M Bohner and A Peterson (2001), Dynamic Equation on Time Scales, An Introduction with Applications, Birkhauser, Boston [3] T.S Doan, A Kalauch and S Siegmund (2009), “Exponential Stability of Linear Time-Invariant Systems on Time Scales”, Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 9(1), pp 37–50 [4] G Eisenbarth, J Davis and I Gravagne (2014), “Stability of simultaneously triangularizable switched systems on hybrid domains”, Electron J Differential Equations, 63, pp 1-19 [5] L Gauthier (1956), “Commutation des matrices et congruences d’ordre un”, Bull Soc Math., France 84, pp 283-294 [6] I.A Gravagne, E Johns and J.M Davis (2011), Switched linear systems on time scales with relaxed commutativity constraints, in: IEEE Southeastern Symposium on Systems Theory, Auburn University [7] F.Z Taousser and M Djemai (2013), Stability of switched linear systems on time scale, in: 3rd International Conference on Systems and Control, Algeria [8] Z Sun and S S Ge (2011), Stability Theory of Switched Dynamical Systems, Springer 50 [9] F Z Taousser, M Defoort and M Djemai (2014), “Stability analysis of a class of switched linear systems on non-uniform time domains”, Systems & Control Letters, 74, pp 24-31