Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ BÍCH HẢO TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ BÍCH HẢO TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS NGUYỄN HỮU DƯ HÀ NỘI - 2011 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Tính khả vi 10 1.3 Tích phân 11 1.4 Mặt phẳng phức Hilger 17 1.5 Hàm mũ thang thời gian 18 1.6 Bất đẳng thức Gronwall 20 Sự ổn định hệ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian 2.1 22 Khái niệm ổn định 22 2.1.1 Các định nghĩa ổn định hệ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian 22 2.1.2 2.2 Các định lý ổn định 24 Phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định hệ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian 29 2.2.1 Khái niệm hàm Lyapunov toàn phương thang thời gian 29 2.2.2 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định 32 2.2.3 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định mũ 34 2.2.4 Việc tìm ma trận Q(t) 37 2.2.5 Tiêu chuẩn không ổn định 41 Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho số hệ tuyến tính đặc biệt 3.1 3.2 43 Hệ biến thiên chậm 43 3.1.1 Tích Kronecker 44 3.1.2 Tính ổn định mũ hệ biến thiên chậm 45 Hệ phương trình có nhiễu 50 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 Lời nói đầu Lý thuyết thang thời gian (time sacle), lần trình bày Stefan Hilger luận án tiến sỹ ông vào năm 1988 [9] (với hướng dẫn Bernd Aulbach) nhằm thống việc trình bày giải tích liên tục rời rạc Cho đến có hàng chục sách hàng ngàn báo viết thang thời gian Các yếu tố giải tích thang thời gian tác giả nghiên cứu cách sâu rộng tương đối đầy đủ Và từ nhiều kết quen thuộc trường hợp liên tục rời rạc "chuyển dịch" sang thang thời gian Chẳng hạn phương trình động lực thang thời gian, có kết sâu sắc ổn định, tính dao động, tốn giá trị biên, Việc phát triển lý thuyết phương trình động lực thang thời gian, dẫn đến kết tổng quát áp dụng cho thang thời gian hỗn hợp trường hợp liên tục rời rạc Ta biết rằng, có nhiều kết phương trình vi phân thực dễ dàng tự nhiên cho phương trình sai phân Tuy nhiên có kết dễ dàng trình bày cho phương trình vi phân lại không đơn giản cho sai phân ngược lại Việc nghiên cứu phương trình động lực thang thời gian cho ta nhìn sáng sủa để khắc phục tính khơng qn phương trình vi phân liệc tục phương trình sai phân rời rạc Ngồi ra, điều tránh kết chứng minh hai lần, lần cho phương trình vi phân lần khác cho phương trình sai phân Ta lấy thang thời gian tập số thực, kết tổng quát thu tương tự với kết phương trình vi phân Nếu lấy thang thời gian tập số nguyên, kết tổng quát thu tương tự với kết phương trình sai phân Tuy nhiên, thang thời gian có cấu trúc phong phú nên kết thu tổng quát hay nhiều kết tập số thực tập số nguyên Do vậy, đặc trưng thang thời gian thống mở rộng Trong luận án vào năm 1892, Lyapunov đưa hai phương pháp để phân tích tính ổn định phương trình vi phân Từ đó, phương pháp trực tiếp Lyapunov trở thành công cụ sử dụng rộng rãi để xem xét tính ổn định phương trình vi phân phương trình sai phân tuyến tính phi tuyến Sự tinh tế phương pháp trực tiếp Lyapunov nằm chỗ ta khơng cần tìm nghiệm hệ mà xem xét dáng điệu nghiệm (ổn định hay không ổn định) hệ Trong luận văn sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định phương trình động lực tuyến tính thang thời gian, nội dung báo Jeffrey J DaCunha [11] Nội dung luận văn chia làm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, liệt kê mà khơng chứng minh tính chất ∆-đạo hàm, tích phân, thang thời gian Việc chứng minh chi tiết tìm thấy [1, 2, 5] Chương 2: Sự ổn định hệ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian Trong chưong này, đưa định nghĩa tính chất tính ổn định đều, ổn định mũ đều, ổn định tiệm cận hệ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian Đặc biệt, chương có nêu phương pháp hàm Lyapunov thang thời gian dùng để xét tính ổn định khơng ổn định phương trình động lực tuyến tính Chương 3: Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho số hệ phương trình tuyến tính đặc biệt Trong chương này, chúng tơi đưa hai hệ phương trình tuyến tính đặc biệt hệ biến thiên chậm hệ có nhiễu dùng phương pháp hàm Lyapunov để xét tính ổn định chúng Vì khả cịn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót tính chưa hồn thiện vấn đề đặt ra, thân cố gắng nhiều q trình thực luận văn Tơi xin tiếp thu ý kiến nhận xét thầy cơ, nhà tốn học, học viên cao học NCS Nhân đây, xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư nghiêm túc nhiệt tình thầy, tơi gửi lời cảm ơn nhóm seminar Tốn Giải tích, trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội gợi mở đóng góp q báu cho tơi suốt trình thực luận văn Hà Nội 12-2011 Vũ Thị Bích Hảo Chương Kiến thức chuẩn bị Những định nghĩa định lý xem giới thiệu tổng quan thang thời gian, ta tham khảo [1] 1.1 Một số khái niệm Thang thời gian (time scale) tập đóng tuỳ ý khác rỗng tập số thực R, ký hiệu T Ta giả sử xuyên suốt thang thời gian T có tơpơ mà cảm sinh từ tơpơ tập số thực R với tơpơ tiêu chuẩn Thí dụ: (a) R; Z; [0; 1] ∪ [2; 3] thang thời gian (b) Q, R\Q không thang thời gian khơng đóng Định nghĩa 1.1 Cho T thang thời gian, với t ∈ T, ta có định nghĩa sau: (i) Tốn tử nhảy tiến (forward jump): σ : T → T σ(t) := inf{s ∈ T, s > t} (ii) Toán tử nhảy lùi (backward jump): ρ : T → T ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t} Ngồi ra, • Một điểm t ∈ T gọi điểm cô lập phải (right-scattered) σ(t) > t; điểm cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t; điểm cô lập (isolated) t vừa điểm cô lập trái, vừa điểm cô lập phải; điểm trù mật phải (right-dense) t < sup T σ(t) = t; điểm trù mật trái (left-dense) t > inf T ρ(t) = t; điểm trù mật (dense) t vừa điểm trù mật phải vừa điểm trù mật trái • Hàm hạt (graininess): µ : T → [0; +∞), µ(t) := σ(t) − t • Tập Tk xác định sau: Nếu T có phần tử lớn M điểm lập trái ta đặt Tk := T\{M }, Tk := T trường hợp lại Để cho đơn giản, ngoại trừ trường hợp cần nhấn mạnh, từ trở ta viết (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho (a; b]T ; [a; b)T ; [a; b]T Quy ước: inf ∅ = sup T (nghĩa là, t = max T σ(t) = t), sup ∅ = inf T (nghĩa là, t = T ρ(t) = t) Định lý 1.1 (Nguyên lý quy nạp thang thời gian) Với t0 ∈ T, xét họ phát biểu {S(t) : t ∈ [t0 ; +∞)} thoả mãn: Phát biểu S(t0 ) đúng, Nếu t ∈ [t0 ; ∞) điểm cô lập phải S(t) S(σ(t)) đúng, Nếu t ∈ [t0 ; ∞) điểm trù mật phải S(t) tồn lân cận U t cho S(s) với s ∈ U ∩ (t; ∞), Nếu t ∈ (t0 ; ∞) điểm trù mật trái S(s) với s ∈ [t0 ; t) S(t) Khi đó, S(t) với t ∈ [t0 ; ∞) 1.2 Tính khả vi Định nghĩa 1.2 Xét hàm số f : T → R ∆- đạo hàm (còn gọi đạo hàm Hilger) f t ∈ Tk số (nếu tồn tại), ký hiệu f ∆ (t), với ε > cho trước tồn lân cận U t cho |[f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s]| ε|σ(t) − s| với s ∈ U Hàm f gọi ∆- khả vi (nói ngắn gọn khả vi) Tk f ∆ (t) tồn với t ∈ Tk Định lý 1.2 Xét hàm số : T → R t ∈ Tk Khi ta có: Nếu f khả vi t f liên tục t Nếu f liên tục t t điểm cô lập phải f khả vi t f ∆ (t) = f (σ(t)) − f (t) µ(t) Nếu t điểm trù mật phải f khả vi t giới hạn f (t) − f (s) tồn nhận giá trị hữu hạn, lim s→t t−s f (t) − f (s) f ∆ (t) = lim s→t t−s Nếu f khả vi t f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) Nhận xét 1.1 Ta xét hai trường hợp T = R T = Z Nếu T = R hàm f : R → R ∆-khả vi t f khả vi theo nghĩa thông thường t f (t) − f (s) s→t t−s f ∆ (t) = f (t) = lim Nếu T = Z hàm f : Z → R ∆-khả vi t ∈ Z ta có f ∆ (t) = f (t + 1) − f (t) = ∆f (t), ∆ tốn tử sai phân tiến thơng thường 10 + eAT (t) (s, 0)M eA(t) (s, 0)A(t)∆s I AT (t)eA = T (t).s M eA(t).s ds + I eA T (t).s M eA(t).s A(t)ds I d d AT (t).s T [e ]M eA(t).s + eA (t).s M [eA(t).s ]ds = ds I ds d AT (t).s = [e M eA(t).s ]ds I ds T = [eA (t).s M eA(t).s |∞ = −M Vì t ∈ T tuỳ ý cố định nên Q(t) xác định (2.2.8) nghiệm (2.2.7) với t ∈ T Bây giờ, ta Q(t) Giả sử Q∗ (t) nghiệm khác (2.2.7) Khi đó, AT (t)[Q∗ (t)−Q(t)]+[Q∗ (t)−Q(t)]A(t)+µ(t)AT (t)[Q∗ (t)−Q(t)]A(t) = điều suy eAT (t) (s, 0)AT (t)[Q∗ (t) − Q(t)]eA(t) (s, 0) + eAT (t) (s, 0)[Q∗ (t) − Q(t)]A(t)eA(t) (s, 0) + µ(t)eAT (t) (s, 0)AT (t)[Q∗ (t) − Q(t)]A(t)eA(t) (s, 0) = 0, s Từ ta có, [eAT (t) (s, 0)[Q∗ (t) − Q(t)]eA(t) (s, 0)]∆s = 0, s (2.2.9) Lấy tích phân hai vế (2.2.9) [0; ∞)S ta có ∗ [eAT (t) (s, 0)[Q∗ (t) − Q(t)]eA(t) (s, 0)]|∞ = −(Q (t) − Q(t)) = Điều suy Q∗ (t) = Q(t) Cuối cùng, giả sử M xác định dương Khi đó, xT M x > với n × 1véctơ x = Rõ ràng Q(t) đối xứng Hơn nữa, M xác định dương nên với n × 1-véctơ x = ta có xT (t)Q(t)x(t) = xT (t)eAT (t) (s, 0)M eA(t) (s, 0)x(t)∆s > I 40 Do vậy, Q(t) xác định dương 2.2.5 Tiêu chuẩn không ổn định Để kiểm tra tính khơng ổn định hệ (2.2.1) ta dùng hàm Lyapunov tồn phương thang thời gian Điều hữu ích trường hợp ta gặp khó khăn việc tìm ma trận Q(t) thoả mãn Định lý 2.5 hay Định lý 2.6, có khả xảy hệ khơng ổn định Định lý cho ta tiêu chuẩn tính khơng ổn định Định lý 2.9 Giả sử tồn n × n-ma trận đối xứng Q(t) ∈ Crd với t ∈ T thoả mãn hai tính chất sau: (i) Q(t) ρ, (ii) AT (t)Q(t) + (I + µ(t)AT (t))(Q∆ (t) + Q(t)A(t) + µ(t)Q∆ (t)A(t)) −νI , ρ, ν > giả sử tồn ta ∈ T cho Q(ta ) khơng nửa xác định dương Khi đó, hệ (2.2.1) không ổn định Chứng minh Giả sử x(t) nghiệm (2.2.1) với điều kiện ban đầu t0 = ta x(t0 ) = x(ta ) = xa với xTa Q(ta )xa < Khi đó, t T x (t)Q(t)x(t) − xT0 Q(t0 )x0 [xT (s)Q(s)x(s)]∆s ∆s = t0 t xT (s)x(s)∆s −ν 0, t t0 t0 Do đó, xT (t)Q(t)x(t) xTt0 Q(t0 )x0 0, t t0 t xT (s)x(s)∆s ν xT0 Q(t0 )x0 − xT (t)Q(t)x(t) t0 xT0 Q(t0 )x0 + xT (t)Q(t)x(t) xT (t)Q(t)x(t) , t t0 (2.2.10) Từ (i) ta có −ρ x(t) xT (t)Q(t)x(t) xT (t0 )Q(t0 )x(t0 ) < 0, 41 t t0 Suy x(t) ≥ T x (t)Q(t)x(t) > 0, ρ t t0 (2.2.11) Từ (2.2.10) (2.2.11) ta có t 2ρ x(t) ν xT (s)x(s)∆s t0 , t t0 (2.2.12) Cuối cùng, ta x(t) không bị chặn Giả sử tồn γ > cho x(t) γ với t t0 Khi đó, từ (2.2.12) ta có t xT (s)x(s)∆s t0 2ργ , ν t t0 suy x(t) → t → ∞ Điều mâu thuẫn với (2.2.11) Do nghiệm x(t) khơng bị chặn Vậy (2.2.1) có nghiệm khơng bị chặn, ta kết luận khơng ổn định 42 Chương Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho số hệ tuyến tính đặc biệt 3.1 Hệ biến thiên chậm Vị trí giá trị riêng ma trận mặt phẳng phức điều kiện cần đủ để đảm bảo cho tính ổn định hay ổn định mũ hệ Điều biết đến định lý cho phương trình vi phân sai phân, nghiên cứu sâu báo [14] Tuy nhiên, trường hợp tổng quát cho hệ động lực tuyến tính biến thiên thời gian, vị trí giá trị riêng chưa đảm bảo cho điều kiện cần hay điều kiện đủ Các viết [3, 4, 16] đưa ví dụ cho hệ biến thiên thời gian với giá trị riêng "đóng băng" (khơng biến đổi theo thời gian) thoả mãn điều kiện ma trận hệ số bị chặn giá trị riêng có phần thực âm hệ không ổn định Trong báo [6, 15, 17], tác giả chứng minh điều phương trình vi phân, họ với điều kiện định, ma trận hệ biến thiên đủ chậm bị chặn, tính ổn định mũ có giá trị riêng có vị trí định mặt phẳng phức Desoer công bố báo [7] tương tự, báo minh hoạ cho đặc 43 trưng không ổn định hệ biến thiên theo thời gian tập rời rạc Việc tìm phương pháp chung cho hai trường hợp liên tục rời rạc cần thiết với ma trận hệ bị chặn biến thiên đủ chậm Đầu tiên, ta nghiên cứu định nghĩa [14] miền ổn định hệ tuyến tính với hệ số thang thời gian 3.1.1 Tích Kronecker Định nghĩa 3.1 Miền ổn định mũ hệ động lực (2.1.1) A(t) ≡ A ma trận hồi quy định nghĩa sau S(T) = λ ∈ C : lim sup T →∞ T − t0 T ln |1 + sλ| ∆τ < µ(t) s lim t0 s Dễ thấy miền ổn định mũ S(T) chứa tập {λ ∈ C : Re(λ) < 0} (có thể tham khảo [14] để giải thích rõ hơn) Trong định lý đây, ta đòi hỏi giá trị riêng λi (t) ma trận A(t) phải nằm đường tròn Hilger tương ứng với t t0 i = .n Sau đây, ta đưa định nghĩa tích Kronecker để sử dụng Định lý 3.1 Tích Kronecker cho phép ta thực phép nhân hai ma trận với cấp tuỳ ý Định nghĩa 3.2 Tích Kronecker nA ×mA -ma trận A nB ×mB -ma trận B nA nB × mA mB -ma trận xác định sau   a11 B a1mA B   A ⊗ B =   (3.1.1) an A B · · · an A m A B Bổ đề 3.1 (Zang [18]) Giả sử m × m-ma trận A n × n-ma trận B ma trận nhận giá trị phức Ta có, (i) (A ⊗ In )(Im ⊗ B) = (A ⊗ B) = (Im ⊗ B)(A ⊗ In ) (ii) Nếu λi γj giá trị riêng A B , với i = 1, , m j = 1, , n giá trị riêng A ⊗ B λi γj , i = 1, , m, 44 j = 1, n, giá trị riêng (A ⊗ In ) + (Im ⊗ B) λi + γj , 3.1.2 i = 1, , m, j = 1, n Tính ổn định mũ hệ biến thiên chậm Bây ta nêu Định lý cho tính ổn định mũ hệ biến thiên chậm theo thời gian Ở ta xét ma trận biến thiên thời gian A(t) có chuẩn bị chặn; biến thiên đủ chậm (tức A∆ (t) β , với số dương β đó, với t ∈ T) giá trị riêng phải thoả mãn điều kiện định Định lý 3.1 Xét hệ động lực tuyến tính hồi quy (2.2.1) với A(t) ∈ (T, Rn×n ), µmax , µ∆ Crd max < ∞ Giả sử tồn số α > cho 1 A(t) α, số < ε < µmax µ(t) cho với giá trị riêng λi (t) A(t), Reµ [λi (t)] −ε < Khi đó, tồn số β > cho A∆ (t) β (2.2.1) ổn định mũ Chứng minh Với t ∈ T, gọi Q(t) nghiệm phương trình AT (t)Q(t) + Q(t)A(t) + µ(t)AT (t)Q(t)A(t) = −I (3.1.2) Theo Định lý 2.8, Q(t) tồn tại, xác định dương với t Ta ý rằng, với t ∈ T, nghiệm (3.1.2) Q(t) = eAT (t) (s, 0)eA(t) (s, 0)∆s, I I := [0; ∞)S S = µ(t)N0 Để chứng minh (2.2.1) ổn định mũ ta cần chứng minh Q(t) thoả mãn điều kiện Định lý 2.6 Đặt     v1 q1     v =   , q =   qn Khi (3.1.2) trở thành [(AT (t) ⊗ I) + (I ⊗ AT (t)) + µ(t)(AT (t) ⊗ AT (t))]q(t) = −v 45 (3.1.3) ρI với t ∈ T Gọi vi cột thứ i I , qi cột thứ i Q(t) Vì A(t) ∈ R nên giá trị riêng λ1 (t), , λn (t) A(t) hồi quy Ta ý rằng, theo Bổ đề 3.1, giá trị riêng AT (t) ⊗ I I ⊗ AT (t) λ1 (t), , λn (t) 2 Vì (R(T, Rn ×n ), ⊕) nhóm nên (AT (t) ⊗ I), (I ⊗ AT (t)) ∈ R Bây giờ, ta tồn số ρ > cho Q(t) (AT (t) ⊗ I) ⊕ (I ⊗ AT (t)) = (AT (t) ⊗ I) + (I ⊗ AT (t)) + µ(t)(AT (t) ⊗ I)(I ⊗ AT (t)) = (AT (t) ⊗ I) + (I ⊗ AT (t)) + µ(t)(AT (t) ⊗ AT (t)) ∈ R, với t ∈ T Bây ta (AT (t) ⊗ I) ⊕ (I ⊗ AT (t)) giá trị riêng 0, det[(AT (t) ⊗ I) ⊕ (I ⊗ AT (t))] = n2 giá trị riêng ma trận (AT (t)⊗I)⊕(I ⊗AT (t)) = (AT (t)⊗I)+(I ⊗AT (t))+µ(t)(AT (t)⊗AT (t)), λi,j = λi (t) ⊕ λj (t) = λi (t) + λj (t) + µ(t)λi (t)λj (t) ∈ R, với i, j = 1, , n |µz + 1| − Ta ý Reµ (z) = nên |Reµ (z)| µ |µ(z) + 1| < Do vậy, ta có |z| Reµ (z) −ε < |1 + µ(t)(λi (t) ⊕ λj (t))| − µ(t) |(1 + µ(t)λi (t))||1 + µ(t)λj (t)| − = µ(t) |(1 + µ(t)λj (t))| − < |1 + µ(t)λi (t)| < µ(t) Reµ [λi (t) ⊕ λj (t)] = = Reµ [λj (t)] −ε, với t ∈ T i, j = 1, , n Do đó, suy 0 cho tồn số ρ cho Q(t) AT (t)Q(t) + (I + µ(t)AT (t))Q(t)A(t) + (I + µ(t)A(t))T Q∆ (t)(I + µ(t)A(t)) −νI, với t ∈ T Vì Q(t) thoả mãn (3.1.2) nên bất đẳng thức tương đương với (I + µ(t)A(t))T Q∆ (t)(I + µ(t)A(t)) (1 − ν)I, điều suy Q∆ (t) (1 − ν)I(I + µ(t)AT (t))−1 (I + µ(t)A(t))−1 ∆-đạo hàm hai vế (3.1.2) t, ta có ∆ σ AT (t)Q∆ (t) + AT (t)Q(t) + Q∆ (t)Aσ (t) + Q(t)A∆ (t) ∆ + µ∆ (t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ (t)AT (t)Q(t)A(t) σ σ + µσ (t)AT (t)Q∆ (t)A(t) + µσ (t)AT (t)Qσ (t)A∆ (t) = 47 (3.1.5) Do Qσ (t) = µ(t)Q∆ (t) + Q(t), đẳng thức trở thành σ ∆ AT (t)Q(t) + AT (t)Q(t) + Q∆ (t)Aσ (t) + Q(t)A∆ (t) ∆ + µ∆ (t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ (t)AT (t)Q(t)A(t) σ σ + µσ (t)AT (t)Q∆ (t)A(t) + µ(t)µσ (t)AT (t)Q∆ (t)A∆ (t) σ + µσ (t)AT (t)Q(t)A∆ (t) = Do σ σ AT (t)Q∆ (t) + Q∆ (t)Aσ (t) + µσ (t)AT (t)Q∆ (t)A(t) σ + µ(t)µσ (t)AT (t)Q∆ (t)A∆ (t) ∆ = −AT (t)Q(t) − Q(t)A∆ (t) − µ∆ (t)AT (t)Q(t)A(t) ∆ σ − µσ (t)AT (t)Q(t)A(t) − µσ (t)AT (t)Q∆ (t)Aσ (t) Biến đổi vế trái ta có σ σ AT (t)Q∆ (t) + Q∆ (t)Aσ (t) + µσ (t)AT (t)Q∆ (t)A(t) σ + µ(t)µσ (t)AT (t)Q∆ (t)A∆ (t) σ σ σ σ = AT (t)Q∆ (t) + Q∆ (t)Aσ (t) + µσ (t)AT (t)Q∆ (t)(A(t) + µ(t)A∆ (t)) = AT (t)Q∆ (t) + Q∆ (t)Aσ (t) + µσ (t)AT (t)Q∆ (t)Aσ (t) Do đó, ta có σ σ AT (t)Q∆ (t) + Q∆ (t)Aσ (t) + µσ (t)AT (t)Q∆ (t)Aσ (t) σ = −AT (t)Q(t) − Q(t)A∆ (t) − µ∆ (t)AT (t)Q(t)A(t) ∆ σ − µσ (t)AT (t)Q(t)A(t) − µσ (t)AT (t)Q(t)A∆ (t) Để đơn giản, ta đặt ∆ X =AT (t)Q(t) + Q(t)A∆ (t) + µ∆ (t)AT (t)Q(t)A(t) ∆ σ + µσ (t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ (t)AT (t)Q(t)A∆ (t) Do đó, nghiệm Q(t) phương trình ma trận (3.1.6) thoả mãn Q∆ (t) = Iσ eAT σ (t) (s, 0)XeAσ (t) (s, 0)∆s, I σ := [0; ∞)Sσ Sσ = µσ (t)N0 48 t ∈ Tk = T, (3.1.6) Để chứng minh Q∆ (t) bị chặn, ta sử dụng tính bị chặn Q(t), Qσ (t), A(t), A∆ (t), µmax µ∆ max (t) Với x t ta có |xT eAT σ (t) (s, 0)XeAσ (t) (s, 0)x| σ = |xT eAT σ (t) (s, 0)[AT (t)Q(t) + Q(t)A∆ (t) + µ∆ (t)AT (t)Q(t)A(t) ∆ σ + µσ (t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ (t)AT (t)Q(t)A∆ (t)]eAσ (t) (s, 0)x| ∆ AT (t)Q(t) + Q(t)A∆ (t) + µ∆ (t)AT (t)Q(t)A(t) ∆ + µσ (t)AT (t)Q(t)A(t) σ + µσ (t)AT (t)Q(t)A∆ (t) xT eAT σ (t) (s, 0)eA σ (t) (s, 0)x Do đó, |xT Q∆ (t)x| = xT eAT σ (t) (s, 0)XeAσ (t) (s, 0)x∆s Iσ T∆ A (t)Q(t) + Q(t)A∆ (t) + µ∆ (t)AT (t)Q(t)A(t) ∆ σ + µσ (t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ (t)AT (t)Q(t)A∆ (t)||xT Qσ (t)x T σ (2β Q(t) + µ∆ max α Q(t) + 2µmax αβ Q(t) )x Q (t)x T σ = Q(t) (2β + α2 µ∆ max + 2αβµmax )x Q (t)x Với x thoả mãn x = ta có |x∆ (t)x| Q(t) Qσ (t) (2β + α2 µ∆ max + 2αβµmax ) đó, với x = ta có Q∆ (t) ρ2 (2β + α2 µ∆ max + 2αβµmax ), t ∈ Tk Điều cho ta tính bị chặn Q∆ (t) Vì vậy, chọn ν thoả mãn (3.1.5) Cuối cùng, ta chứng minh tồn số η > cho ηI Q(t) với t ∈ T Với t x ta có [xT eAT (t) (s, 0)eA(t) (s, 0)x]∆s = xT [AT (t)eAT (t) (s, 0)eA(t) (s, 0) + eAT (t) (s, 0)eA(t) (s, 0)A(t) + µ(t)AT (t)eAT (t) (s, 0)eA(t) (s, 0)A(t)]x = xT eAT (t) (s, 0)[AT (t) + A(t) + µ(t)AT (t)A(t)]eA(t) (s, 0)x (−2α − µmax α2 )xT eAT (t) (s, 0)eA(t) (s, 0)x 49 Vì s → ∞ eA(t) (s, 0) → nên −xT x = [xT eAT (t) (s, 0)eA(t) (s, 0)x]∆s ∆s (−2α − µmax α2 )xT Q(t)x I Điều tương đương với Q(t) ≥ Chọn η = 3.2 I, (2α + µmax α2 ) t ∈ T ta có điều phải chứng minh (2α + µmax α2 ) Hệ phương trình có nhiễu Trong mục ta xét điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nhiễu ổn định Trong [12, 13] [16] ra, hệ phương trình vi phân sai phân tuyến tính ổn định thơng qua việc chọn hàm Lyapunov thích hợp với số tính chất nhiễu, phương trình có nhiễu tương ứng ổn định Xét phương trình z ∆ (t) = [A(t) + F (t)]z(t) (3.2.1) Định lý 3.2 Giả sử hệ tuyến tính (2.2.1) ổn định Khi đó, hệ động lực tuyến tính có nhiễu (3.2.1) ổn định tồn số β cho với τ ta có ∞ F (s) ∆s β (3.2.2) τ Chứng minh Với t0 z(t0 ) = z0 , Định lý 1.18, nghiệm (3.2.1) thoả mãn t z(t) = ΦA (t, t0 )z0 + ΦA (t, σ(s))F (s)z(s)∆s (3.2.3) t0 ΦA (t, t0 ) ma trận chuyển hệ (2.2.1) Do tính ổn định (2.2.1) nên tồn số γ > cho ΦA (t, τ ) γ với t, τ ∈ T, t ≥ τ Lấy chuẩn hai vế (3.2.3) ta có t z(t) γ z0 + γ F (s) t0 50 z(s) ∆s, t t0 (3.2.4) Áp dụng Hệ 1.0.2 từ (3.2.2) ta có, z(t) γ z0 eγ F (t, t0 ) t = γ z0 exp γ z0 exp Ln(1 + µ(s)γ F (s) ) ∆s µ(s) t0 ∞ Ln(1 + µ(s)γ F (s) ) ∆s µ(s) t0 ∞ γ z0 exp γ F (s) ∆s t0 γ z0 eγβ , t t0 Vì t0 z(t0 ) lấy tuỳ ý nên phương trình (3.2.1) ổn định 51 Kết luận Trong luận văn, chúng tơi thu kết sau đây: • Trình bày định nghĩa tính chất tính ổn định đều, ổn định mũ đều, ổn định tiệm cận hệ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian • Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để xét tính ổn định khơng ổn định phương trình động lực tuyến tính thang thời gian Hàm Lyapunov mà ta sử dụng hàm Lyapunov dạng toàn phương • Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình tuyến tính biến thiên chậm 52 Tài liệu tham khảo [1] M Bohner, A Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, Birkhăauser, Boston, 2001 [2] M Bohner and G Sh Guseinov,Riemann and Lebesgue Integrations,preprint [3] W.L Brogan, Modern Control Theory, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 1991 [4] C.T Chen, Linear System Theory and Design, Oxford University Press, New York, 1999 [5] A Cabada and D R Vivero, Expression of the Lebesgue ∆-integral on time scales as a usual Lebesgue integral; application to the caculus of ∆-antiderivatives , Math Comput Modelling 43, 2006, 194- 207 [6] C.A Desoer, Slowly varying x = A(t)x, IEEE Trans Automat Control CT-14(1969) 780–781 [7] C.A Desoer, Slowly varying xi+1 = Ai xi , Electron Lett (1970) 339–340 [8] W Hahn, Stability of Motion, Springer, New York, 1967 [9] S Hilger, Ein Masskettenkalkă ul mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten, Ph.D Thesis, Universităat Wă urzburg, 1988 [10] A Ilchmann, D.H Owens, D Prăatzel-Wolters, High-gain robust adaptive controllers for multivariable systems, Systems Control Lett (1987) 397–404 53 [11] Jeffrey J DaCunha, Stability for time varying linear dynamic systems on time scales, Journal of Computational and Applied Mathematics 176 (2005) 381–410 [12] R.E Kalman, J.E Bertram, Control system analysis and design via the second method of Lyapunov I: Continuous-time systems, Trans ASME Ser D J Basic Eng 82 (1960) 371–393 [13] R.E Kalman, J.E Bertram, Control system analysis and design via the second method of Lyapunov II: Discrete-time systems, Trans ASME Ser D J Basic Eng 82 (1960) 394400 [14] C Păotzsche, S Siegmund, F Wirth, A spectral characterization of exponential stability for linear time-invariant systems on time scales, Discrete Continuous Dynamic Systems (2003) 1223–1241 [15] H.H Rosenbrock, The stability of linear time-dependent control systems, J Electron Control 15 (1963) 73–80 [16] W.J Rugh, Linear System Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996 [17] V Solo, On the stability of slowly-time varying linear systems, Math Control Signals Systems (1994) 331–350 [18] F Zhang Matrix Theory: Basic results and Techniques, Springer, New York, 1999