Tính chất egodic của hệ động lực và của quá trình ngẫu nhiên : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * * * NGUYỄN HỌC THỨC TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * * * NGUYỄN HỌC THỨC TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian đo 1.1.2 Không gian xác suất 6 1.1.3 Biến ngẫu nhiên 1.2 Quá trình ngẫu nhiên hệ động lực 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.2 Hệ động lực 8 1.3 Phép biến đổi bảo toàn độ đo 10 1.3.1 Một số khái niệm 10 1.3.2 Tính egodic phép biến đổi bảo toàn độ đo 10 1.4 Xác suất có điều kiện kỳ vọng có điều kiện 1.4.1 Biến ngẫu nhiên biến cố 12 12 1.4.2 Thu hẹp độ đo 13 1.4.3 Xác suất có điều kiện 1.4.4 Định lý Radon - Nikodym 14 15 1.4.5 Xác suất có điều kiện 1.4.6 Xác suất có điều kiện quy 15 18 1.4.7 Kỳ vọng có điều kiện 19 Chương Trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian 24 2.1 Giới thiệu 24 MỤC LỤC 2.2 Trung bình theo tập hợp 24 2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2.2 Trung bình theo tập hợp 24 25 2.3 Biến ngẫu nhiên tổng quát 2.3.1 Dãy lượng tử 28 28 2.3.2 Tính đo 29 2.4 Kỳ vọng (trung bình theo tập hợp) biến ngẫu nhiên tổng quát 30 2.4.1 Kỳ vọng 2.4.2 Tích phân 30 32 2.4.3 Khả tích 34 2.5 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên 38 2.6 Trung bình theo thời gian 40 2.7 Độ đo dừng 44 Chương Hệ động lực có tính chất egodic 46 3.1 Tính chất egodic 46 3.2 Một số hệ tính chất egodic 51 3.3 Quá trình tiệm cận trung bình dừng (AMS) 57 3.4 Tính hồi quy 61 3.5 Kỳ vọng tiệm cận trung bình 64 3.6 Giới hạn trung bình theo thời gian 66 3.7 Hệ động lực egodic 68 3.8 Định lý egodic hầu khắp nơi 72 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG - người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tham gia giảng dạy giúp đỡ em suốt trình học tập khoa Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, 10-2014 Học viên Nguyễn Học Thức Lời mở đầu Lý thuyết hệ động lực khai sinh nhà toán học tiếng người Pháp, Henri Poincaré cách kỷ ông công bố tác phẩm tiếng cuả trình bày nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân Ngày nay, từ kết đạt nhiều nghiên cứu gần đây, lý thuyết hệ động lực trở thành nhánh nghiên cứu toán học nhiều nhà khoa học quan tâm Điều quan trọng lý thuyết hệ động lực có mối liên quan chặt chẽ với nhiều ngành toán học khác có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học vật lý, hóa học, sinh vật học, công nghệ thông tin,v.v Cùng thời với Poincaré, Lyapunov nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân, cách tiếp cận Lyapunov có phần khác với Poincaré Lyapunov nghiên cứu chủ yếu hệ phương trình vi phân khơng Otonom ơng đưa hai phương pháp nghiên cứu kinh điển ông phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm số Lyapunov Trong Poincaré lại tiếp cận tới tốn định tính mang tính đặc thù tảng lý thuyết hệ động lực Ơng nhìn nhận hệ phương trình vi phân Otonom mơ hình tốn hệ vật lý tiến hóa theo thời gian với tính chất nhóm nghiên cứu tính chất egodic hệ Lý thuyết hệ động lực chia thành ba nhánh nhỏ: Động lực khả vi nghiên cứu ánh xạ khả vi đa tạp trơn; động lực tôpô nghiên cứu ánh xạ liên tục không gian tôpô, thường không gian metric compact; lý thuyết egodic nghiên cứu tính chất bảo tồn độ đo ánh xạ đo không gian đo, thường giả thiết hữu hạn MỤC LỤC Trong khn khổ luận văn, tác giả trình bày số nội dung lý thuyết egodic Cụ thể tính chất egodic hệ động lực định lý, đặc biệt định lý egodic hầu khắp nơi Birkhoff Bố cục luận văn trình bày theo ba chương với nội dung cụ thể sau: • Chương Kiến thức chuẩn bị Chương chủ yếu giới thiệu mơ hình tốn học trình ngẫu nhiên trình bày số khái niệm hệ động lực ngẫu nhiên • Chương Trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian Chương nêu định nghĩa phát triển số tính chất trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian • Chương Hệ động lực có tính chất egodic Trình bày tính chất egodic hệ động lực trình ngẫu nhiên Bên cạnh đó, tác giả đưa điều kiện cần đủ để hệ động lực có tính chất egodic thơng qua định lý egodic hầu khắp nơi Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức có hạn nên luận văn khó tránh khỏi sai sót ngồi ý muốn Tác giả mong nhận ý kiến góp ý thầy, cô bạn đọc quan tâm Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 10-2014 Học viên Nguyễn Học Thức Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian đo Không gian đo cặp (Ω, B), bao gồm không gian mẫu Ω với σ - trường B tập Ω (còn gọi không gian biến cố) Một σ trường hay σ - đại số B họ tập Ω với tính chất sau: Ω ∈ B (1.1) Nếu F ∈ B F c = {x : x ∈ / F} ∈ B (1.2) Nếu Fi ∈ B; i = 1, 2, , ∪ Fi ∈ B (1.3) Theo luật de Morgan ta có ∞ ∞ i=1 i=1 ∩ Fi = ( ∪ Fic )c ∈ B Có hai σ - trường đặc biệt là: • σ - trường lớn Ω họ tất tập Ω (còn gọi tập luỹ thừa) • σ - trường nhỏ {Ω, Ø} gồm khơng gian tồn thể Ω với tập rỗng Ø = Ωc (gọi không gian tầm thường) Nếu thay điều kiện hợp đếm (1.3) hợp hữu hạn họ tập họ tập gọi trường 1.1.2 Không gian xác suất Không gian xác suất ba (Ω, B, m), bao gồm không gian mẫu Ω, σ - trường B tập Ω độ đo xác suất m xác định σ - trường; CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ nghĩa m(F) gán cho số thực với phần tử F B thỏa mãn điều kiện sau: Không âm: m(F) ≥ 0, với F ∈ B (1.4) m(Ω) = (1.5) Chuẩn hóa: Cộng tính đếm được: Nếu Fi ∈ B, i = 1, 2, tập rời m ∞ ∞ i=1 i=1 ∪ Fi = Σ m(Fi ) (1.6) Hàm tập m thỏa mãn (1.4) (1.6) (không thiết phải thỏa mãn (1.5)) gọi độ đo; (Ω, B, m) gọi không gian độ đo Một hàm tập thỏa mãn (1.6) với dãy hữu hạn biến cố rời gọi cộng tính hay cộng tính hữu hạn 1.1.3 Biến ngẫu nhiên Cho (Ω, B) (A, BA ) hai không gian đo Một biến ngẫu nhiên hay hàm đo xác định (Ω, B) lấy giá trị (A, BA ) ánh xạ hàm f : Ω → A với tính chất Nếu F ∈ BA f −1 (F) = {x : f (x) ∈ F} ∈ B (1.7) Trong trường hợp A không rõ ta coi f biến ngẫu nhiên A - giá trị Nếu σ - trường khơng cho cách rõ ràng ta nói f B/BA - đo 1.2 Quá trình ngẫu nhiên hệ động lực Bây xét hai mơ hình tốn học q trình ngẫu nhiên Đầu tiên mơ hình quen thuộc: trình ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên Mơ hình thứ hai gặp hơn: q trình ngẫu nhiên xây dựng từ hệ động lực trừu tượng bao gồm không gian xác CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ suất phép biến đổi khơng gian Hai mơ hình kết nối việc xét dịch chuyển thời gian để phép biến đổi 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên Một trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc, đơn giản trình ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên {Xn }n∈I , với I tập số, xác định không gian xác suất (Ω, B, m) Hai tập số phổ biến quan tâm tập số nguyên Z trường hợp trình ngẫu nhiên hai phía tập số ngun khơng âm Z+ trường hợp q trình ngẫu nhiên gọi phía Q trình ngẫu nhiên phía thường khó để chứng minh lý thuyết cung cấp mơ hình tốt cho q trình ngẫu nhiên vật lý 1.2.2 Hệ động lực Giả sử ta nghiên cứu hệ thống (hay trình) tiến hóa theo thời gian điều quan trọng ta muốn mơ tả mơ hình tốn học Tập hợp tất trạng thái có hệ thống xét tạo thành không gian X mà ta gọi không gian trạng thái hệ cho Định nghĩa 1.2.1 Hệ động lực trừu tượng bao gồm không gian xác suất (Ω, B, m) với phép biến đổi đo T : Ω → Ω Tính đo theo nghĩa F ∈ B ta có T −1 F ∈ B Bộ bốn (Ω, B, m, T ) gọi hệ động lực lý thuyết egodic Mơ hình q trình ngẫu nhiên dãy họ biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất thông thường xem biến ngẫu nhiên với phép biến đổi xác định không gian xác suất Nghĩa qua phép biến đổi định trước từ biến ngẫu nhiên ban đầu sinh biến ngẫu nhiên tạo thành dãy biến ngẫu nhiên không gian ta xét Bây giờ, ta giả sử T ánh xạ đo từ khơng gian mẫu Ω vào Dễ dàng thấy ta định nghĩa phép biến đổi T sau: T x = T (T x) T ánh xạ đo Tương tự vậy, ta có T n CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 66 Từ tính tuyến tính kỳ vọng, tính dừng m Bổ đề 2.7.1 với giá trị n kỳ vọng đơn giản Em f 3.6 Giới hạn trung bình theo thời gian Trong phần này, giới hạn trung bình theo thời gian có liên quan đến kỳ vọng có điều kiện Cơ sở cho phát triển kết phần 3.1 mà giới hạn trung bình theo thời gian hàm bất biến, đo I , σ trường tất biến cố bất biến Chúng ta bắt đầu với giới hạn liên quan tới tần số, tức giới hạn trung bình theo thời gian hàm tiêu Chúng ta có hệ động lực (Ω, B, m, T ) có tính chất egodic lớp tất hàm tiêu, AMS, cố định biến cố G < 1G > giới hạn tương ứng liên quan tới tần số, tức < 1G >n →< 1G > n → ∞ hầu khắp nơi Giới hạn bất biến thuộc M (I ) đo I Cố định biến cố F ∈ I nhận thấy từ Bổ đề 3.3.1 ta có F < 1G > dm = F < 1G >dm (3.31) Cho F bất biến, 1F hàm bất biến, < 1F f >n = n−1 i n−1 i (1 f )T = F ∑ f T = 1F < f >n , ∑ F n i=0 n i=0 < f >n →< f > < 1F f >= 1F < f > (3.32) Từ Hệ 3.5.1 cho F bất biến F < 1G >dm = Em < 1F 1G >= Em 1F 1G = F 1G dm = m(F ∩ G), điều với (3.31) F < 1G >dm = m(F ∩ G), F ∈ I (3.33) CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 67 Định lý 3.6.1 Cho hệ động lực (Ω, B, m, T ), gọi I lớp tất biến cố T - bất biến Nếu hệ AMS có tính chất egodic hàm tiêu 1G biến cố G (ví dụ, hệ có tính chất egodic tất hàm tiêu biến cố) với xác suất theo m m ta có n−1 < 1G >n = n−1 ∑ 1G T i → m(G|I ), i=0 n→∞ Nói cách khác, ta có < 1G >= m(G|I ) (3.34) Phương trình (3.34) giới hạn trung bình theo thời gian hàm tiêu biến cố, tức giới hạn có liên quan tới tần số biến cố, thỏa mãn định nghĩa mơ tả xác suất có điều kiện biến cố cho σ - trường biến cố bất biến Một cách giải thích kết muốn đoán xác suất biến cố G dựa hiểu biết xuất không xuất tất biến cố bất biến cách hiểu tương đương kết tất biến ngẫu nhiên bất biến suy đoán đưa biến ngẫu nhiên bất biến Một câu hỏi đặt liệu Định lý 3.6.1 có cho hàm tổng quát hàm tiêu Tức trung bình theo thời gian tổng quát < f >n hội tụ, giới hạn có phải kỳ vọng có điều kiện? Bổ đề điều trường hợp biến ngẫu nhiên bị chặn Bổ đề 3.6.1 Cho giả thiết Định lý 3.6.1, hệ có tính chất egodic biến ngẫu nhiên bị chặn f với xác suất theo m m ta có −1 n−1 < f >n = n ∑ f T i→n→∞Em( f |I ) i=0 Nói cách khác, ta có < f >= Em ( f |I ) Chứng minh Ta có giới hạn vế trái hàm bất biến < f > Áp dụng Bổ đề 3.5.1 cho biến ngẫu nhiên bị chặn g = f 1G với biến cố bất biến F lim n n→∞ −1 n−1 ∑ i=0 F f T i dm = f dm F CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 68 Theo Bổ đề 3.2.1 vế trái cho < f > dm F Sự bình đẳng hai tích phân với F bất biến bất biến giới hạn trung bình theo thời gian từ Bổ đề 3.7.1 mà < f > phiên kỳ vọng có điều kiện f I Thay Bổ đề 3.5.1 Bổ đề 3.5.2 chứng minh cho ta phần tổng quát Hệ 3.6.1 Cho hệ động lực (Ω, B, m, T ), gọi I lớp tất biến cố T - bất biến Nếu hệ AMS với trung bình dừng m có tính chất egodic biến ngẫu nhiên f mà (i) < f >n khả tích m (ii) f m - khả tích Khi đó, với xác suất theo m m ta có −1 < f >n = n n−1 ∑ f T i→n→∞Em( f |I ) i=0 Nói cách khác, ta có < f >= Em ( f |I ) Chứng minh Phần (i) suy từ thảo luận hệ trước Vì m có tính chất egodic f nên m giới hạn trung bình theo thời gian < f > giống Vì f giả sử m - khả tích m dừng nên < f >n m - khả tích đó, áp dụng (i) vào m chứng minh bình đẳng m - hầu khắp nơi Tập làm cho đẳng thức bất biến, nhiên < f > Em ( f |I ) bất biến Do đó, đẳng thức cho m - hầu khắp nơi (theo Bổ đề 3.3.1) 3.7 Hệ động lực egodic Một trường hợp đặc biệt tính chất egodic giới hạn trung bình theo thời gian số thay biến ngẫu nhiên, tức trung bình theo thời gian hội tụ với xác suất đến số biết ưu tiên CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 69 biến ngẫu nhiên Ví dụ, hệ mà tất biến ngẫu nhiên bất biến số với xác suất Nếu điều với biến ngẫu nhiên với hàm tiêu biến cố bất biến Từ đó, hàm giả sử nhận giá trị 1, cho hệ ∀F mà T −1 F = F m(F) = (3.35) Ngược lại, (3.35) với hàm tiêu biến cố bất biến với xác suất 1, hàm bất biến đơn giản số với xác suất Mỗi biến ngẫu nhiên bất biến giới hạn theo điểm biến ngẫu nhiên bất biến đơn giản (kết hợp Bổ đề 2.3.1 Bổ đề 3.3.3), biến ngẫu nhiên bất biến số với xác suất Do đó, biến ngẫu nhiên bất biến số với xác suất (3.35) Tiếp theo giả sử hệ có tính chất egodic tất hàm tiêu tất biến ngẫu nhiên bị chặn Vì giới hạn trung bình theo thời gian tất hàm tiêu biến cố bất biến số với xác suất nên hàm tiêu số với xác suất Khi đó, trước ta có (3.35) Do hệ động lực có tính chất egodic lớp hàm chứa hàm tiêu giới hạn trung bình theo thời gian số hầu khắp nơi (3.35) Điều dẫn tới định nghĩa sau: Định nghĩa 3.7.1 Một hệ động lực (hoặc liên quan tới trình ngẫu nhiên) gọi egodic phép biến đổi T T - egodic egodic T cho rõ ràng, biến cố bất biến có xác suất Bổ đề 3.7.1 Một hệ động lực egodic tất biến ngẫu nhiên bất biến số với xác suất Điều kiện cần để hệ có tính chất egodic với giới hạn trung bình theo thời gian số hầu khắp nơi hệ egodic Bổ đề 3.7.2 Nếu hệ động lực (Ω, B, m, T ) AMS với trung bình dừng m (Ω, B, m, T ) egodic (Ω, B, m, T ) egodic CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 70 Chứng minh Chứng minh suy từ định nghĩa Bổ đề 3.3.1 Kết hợp định nghĩa tính chất hệ egodic với tính chất egodic hệ động lực phát triển trước mang lại kết sau Bổ đề 3.7.3 Nếu hệ động lực có tính chất egodic biến ngẫu nhiên bị chặn f hệ egodic với xác suất ta có n−1 < f >n → Em < f >= lim n−1 ∑ Em f T i n→∞ n→∞ i=0 Tổng quát hơn, < f >n khả tích (do hội tụ L1 (m)) đẳng thức Nếu hệ AMS < f >n khả tích m f m - khả tích với xác suất ta có < f >n → Em f n→∞ Đặc biệt, giới hạn liên quan đến tần số cho n −1 n−1 → m(F), với F ∈ B ∑ 1F T i n→∞ i=0 Ngoài ta có lim n −1 n→∞ n−1 f T i dm = (Em¯ f )m(G), ∀G ∈ B, ∑ i=0 G kết lần lại cho biến ngẫu nhiên mà < f >n khả tích f m - khả tích Cho f hàm tiêu biến cố F , n−1 lim n−1 ∑ m(T −i F ∩ G) = m(F)m(G) n→∞ i=0 Chứng minh Nếu giới hạn trung bình theo thời gian số phải kỳ vọng Các kết cịn lại suy từ kết phần Kết cuối bổ đề mang lại thử nghiệm hữu ích để xác định hệ AMS egodic CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 71 Bổ đề 3.7.4 Giả sử hệ động lực (Ω, B, m, T ) có tính chất egodic hàm tiêu nên AMS với trung bình dừng m giả sử B sinh trường F hệ egodic lim n n→∞ −1 n−1 ∑ m(T −iF ∩ F) = m(F)m(F), ∀F ∈ F i=0 Chứng minh Điều kiện cần suy từ kết trước Để chứng minh cơng thức điều kiện đủ cho tính egodic, trước tiên ta giả sử công thức với biến cố F F bất biến Khi đó, vế trái m(F) = m(F) vế phải m(F)m(F) = (m(F))2 Nhưng hai đại lượng m(F) 1, ví dụ, egodic Chúng ta làm quan hệ với biến cố cho mà trường tổng quát Để hướng tới mục tiêu ta cố định ε > Ta chọn trường F0 cho m(F∆F0 ) ≤ ε m(F∆F0 ) ≤ ε Để thấy điều chọn trường F0 mà cung cấp xấp xỉ tốt cho F đồng thời cho độ đo m m Áp dụng Hệ 1.5.3 cho độ đo trộn p = (m + m)/2 để có F0 mà p(F∆F0 ) ≤ ε/2 Điều m(F∆F0 ) m(F∆F0 ) nhỏ ε Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: n−1 | ∑ m(T −i F ∩ F) − m(F)m(F)| ≤ n i=0 ≤| n−1 n−1 −i m(T F ∩ F) − m(T −i F0 ∩ F0 )| ∑ ∑ n i=0 n i=0 n−1 + | ∑ m(T −i F0 ∩ F0 ) − m(F0 )m(F0 )| + |m(F0 )m(F0 ) − m(F)m(F)| n i=0 Số hạng vế phải dần đến n → ∞ theo giả thiết Số hạng bên phải bị chặn 2ε Số hạng bên trái bị chặn n−1 |m(T −i F ∩ F) − m(T −i F0 ∩ F0 )| ∑ n i=0 CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 72 Với biến cố D,C ta có |m(D) − m(C)| ≤ m(D∆C), số hạng tổng bị chặn m((T −i F ∩ F)∆(T −i F0 ∩ F0 )) Với biến cố D,C, H m(D∆C) ≤ m(D∆H) + m(H∆C), số hạng tổng bị chặn m((T −i F ∩ F)∆(T −i F0 ∩ F)) + m((T −i F0 ∩ F)∆(T −i F0 ∩ F0 )) ≤ ≤ m(T −i (F∆F0 )) + m(F∆F0 ) Do đó, số hạng cịn lại tổng bị chặn n−1 m(T −i (F∆F0 )) + m(F∆F0 ) → m(F∆F0 ) + m(F∆F0 ) ≤ 2ε ∑ n→∞ n i=0 Vậy bổ đề chứng minh hoàn toàn 3.8 Định lý egodic hầu khắp nơi Tiếp theo phát biểu điều kiện đủ để hệ động lực có tính chất egodic, nội dung định lý egodic Birkhoff hay gọi định lý egodic theo điểm định lý egodic hầu khắp nơi Định lý 3.8.1 Điều kiện đủ để hệ động lực (Ω, B, m, T ) có tính chất egodic tất biến ngẫu nhiên bị chặn f AMS Ngồi ra, trung bình dừng m m hệ có tính chất egodic biến ngẫu nhiên m - khả tích f ∈ L1 (m) với xác suất theo m m ta có n−1 i lim ∑ f T = Em ( f /I ), n→∞ n i=0 I σ - trường biến cố bất biến Nhận xét phát biểu cuối suy từ tồn tính chất egodic theo Hệ 3.6.1 Trong phần coi điểm dãy T phép dịch chuyển Điều đơn giản trực giác, nhiên CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 73 tốn học có hiệu lực cho hệ động lực tổng quát Khơng tổng qt ta giả sử hàm f khơng âm (vì khơng phân tích thành f = f + − f − kết cho f + f − không âm tuyến tính suy kết cho f ) Định nghĩa f = lim inf n→∞ n−1 i ∑ fT n i=0 n−1 i f = lim sup ∑ f T n→∞ n i=0 Để chứng minh phần đầu định lý ta phải chứng minh f = f với xác suất theo m Vì f f bất biến nên biến cố F = {x : f (x) = f (x)} = {x : limn→∞ < f >n tồn tại} bất biến có xác suất theo m m Vì phải m( f = f ) = Do ta cần chứng minh định lý cho độ đo dừng kết suy cho độ đo AMS Kết từ trở giả sử m dừng Vì f ≤ f khắp nơi theo định nghĩa nên kết mong muốn thu chứng minh f (x)dm(x) ≤ f (x)dm(x); tức f − f ≥ ( f − f )dm ≤ ta phải có f − f = 0, m − h.k.n Chúng ta thực điều cách chứng minh kết sau: f (x)dm(x) ≤ f (x)dm(x) ≤ f (x)dm(x) (3.36) Theo giả thiết f ∈ L1 (m), từ định lý nói f bị chặn khả tích m, từ giả sử m dừng Vì (3.36) khơng lim < f >n tồn mà cịn hữu hạn Chúng ta đơn giản hóa việc cách tạm thời giả sử f bị chặn: Giả sử supremum f M < ∞ Cố định ε > 0, f giới hạn supremum < f >n nên với x phải tồn n hữu hạn để n−1 f (T i x) ≥ f (x) − ε ∑ n i=0 (3.37) CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 74 Định nghĩa n(x) số nguyên nhỏ cho (3.37) Vì f hàm bất biến nên ta viết lại (3.37) sử dụng định nghĩa n(x) sau n(x)−1 n(x)−1 i f (T x) ≤ ∑ ∑ i=0 f (T i x) + n(x)ε (3.38) i=0 Vì n(x) hữu hạn với x (mặc dù khơng bị chặn) nên phải có số N để ∞ m(x : n(x) > N) = ∑ m({ x : n(x) = k} ) ≤ k=N+1 ε , M tổng hội tụ tới N → ∞ Chọn N định nghĩa B = { x : n(x) > N} B có xác suất nhỏ dùng dãy "xấu", trung bình theo thời gian nhận không gần với giới hạn supremum thời gian hợp lý Nhận thấy x ∈ Bc có T i x ∈ Bc với i = 1, 2, , p − T p ∈ B Thực tế p < n(x) p−1 ∑ f (T i x) < p( f (x) − ε) i=0 T p x ∈ B suy n(x)−1 ∑ f (T i x) < (n(x) − p)( f (x) − ε) i=p Từ suy n(x)−1 ∑ f (T i x) < n(x)( f (x) − ε), i=o mâu thuẫn với định nghĩa n(x) Bây sửa đổi f (x) n(x) cho dãy xấu để tránh vấn đề tạo việc n(x) không bị chặn Định nghĩa ∼ f (x) = f (x) x ∈ /B M x ∈ B ∼ n (x) = n(x) x ∈ /B x ∈ B CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 75 Tương tự (3.38) hàm sửa đổi thỏa mãn ∼ ∼ n(x)−1 i f (T x) ≤ ∑ i=0 n(x)−1 ∼ ∑ ∼ f (T i x) + n (x)ε (3.39) i=0 ∼ n (x) bị chặn N Để thấy (3.39) có hiệu lực, ý tầm thường x ∈ B Nếu x ∈ / B, lập luận trước T i x ∈ / B với i = ∼ 1, 2, , n(x) − f (T i x) = f (T i x) (3.39) suy từ (3.38) Quan sát điều tham khảo sau ∼ ∼ f (x)dm(x) = f (x)dm(x) + Bc ≤ f (x)dm(x) B ∼ BC ∼ ≤ ∼ f (x)dm(x) + Mdm(x) B f (x)dm(x) + Mm(B) ≤ f (x)dm(x) + ε, (3.40) f giả thiết dương bất đẳng thức thứ hai Bây ta phá vỡ dãy thành khối không chồng lấp mà khối, ∼ trung bình theo thời gian f gần với giới hạn supremum Vì trung bình theo thời gian tổng thể tổng có trọng số trung bình theo thời gian khối nên điều cung cấp trung bình theo thời gian gần với giới hạn supremum Để xác, chọn L đủ lớn mà NM/L < ε định nghĩa quy nạp nk (x) n0 (x) = ∼ nk (x) = nk−1 (x) + n (T nk−1 (x) x) Cho k(x) k lớn để nk (x) ≤ L − 1, tức số lượng khối chiều dài dãy L Từ k(x) nk (x)−1 L−1 ∑ i f (T x) = i=0 ∑ ∑ k=1 i=nk−1 (x) L−1 f (T i x) + ∑ f (T i x) i=nk(x) (x) áp dụng ràng buộc (3.39) cho khối k(x), tức L−1 L−1 i ∑ f (T x) ≤ ∑ f (T ix) + Lε + (N − 1)M, i=0 i=0 số hạng cuối có nhiều giá trị khối cuối M tính ∼ khơng âm f cho phép tổng mở rộng tới L − Chúng ta tích phân CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 76 hai vế phương trình trên, chia cho L, sử dụng tính dừng m áp dụng (3.40) để có f dm ≤ ∼ f dm + ε + (N − 1)M ≤ L f dm + 3ε, (3.41) chứng minh bất đẳng thức trái (3.36) cho trường hợp f không âm f bị chặn ε tuỳ ý Tiếp theo giả sử f không bị chặn Với M bất kỳ, định nghĩa hàm "cắt xén" f M (x) = min( f (x), M) thay f f M (3.37) Vì f M bất biến nên đồng bước dẫn đến f M dm ≤ f dm Lấy giới hạn M → ∞ thu bất đẳng thức vế trái mong muốn (3.36) từ định lý hội tụ đơn điệu Để chứng minh bất đẳng thức bên phải (3.36) tiến hành cách tương tự Cố định ε > định nghĩa n(x) số nguyên dương nhỏ mà n−1 f (T i x) ≤ f (x) + ε ∑ n i=0 định nghĩa B = {x : n(x) > N} với N chọn đủ lớn để chắn f (x)dm(x)ε B Lần xác định ∼ f (x) = f (x) x ∈ /B x ∈ B ∼ n (x) = n(x) x ∈ /B x ∈ B tiến hành tương tự trước Điều chứng minh (3.36) trung bình theo thời gian tất hàm m - khả tích hội tụ Từ Hệ 3.6.1, giới hạn phải kỳ vọng có điều kiện CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC CĨ TÍNH CHẤT EGODIC 77 Kết hợp định lý với kết chương trước mang lại cho ta hệ sau Hệ 3.8.1 Nếu hệ động lực (Ω, B, m, T ) AMS với trung bình dừng m i dãy n−1 ∑n−1 i=0 f T khả tích m giới hạn sau m - hầu khắp nơi, m - hầu khắp nơi L1 (m): n−1 i lim ∑ f T =< f >= Em ( f /I ) n→∞ n i=0 I σ - trường biến cố bất biến Em < f >= Em < f >= Em f Nếu thêm vào điều kiện hệ egodic n−1 i lim ∑ f T = Em ( f ), n→∞ n i=0 theo hai nghĩa Hệ 3.8.2 Điều kiện cần đủ để hệ động lực có tính chất egodic biến ngẫu nhiên bị chặn AMS Kết luận Luận văn trình bày kiến thức quen thuộc chương trình đại học khơng gian xác suất, biến ngẫu nhiên, kỳ vọng, xác suất Bên cạnh đó, tác giả giới thiệu số khái niệm phép biến đổi bảo toàn độ đo, hệ động lực liên kết với trình ngẫu nhiên Tiếp theo luận văn trình bày hai khái niệm trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian, mối quan hệ hai loại trung bình Các tính chất liên quan đến hai loại trung bình cở sở để phát triển tính chất egodic hệ tính chất Trên sở kiến thức kết liên quan đến trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian, tác giả trình bày tính chất egodic hệ động lực, từ đến khái niệm trung bình dừng, trình tiệm cận trung bình dừng (AMS), kỳ vọng tiệm cận trung bình, giới hạn trung bình theo thời gian hệ động lực egodic Cuối định lý quan trọng Birkhoff gọi định lý egodic hầu khắp nơi đưa điều kiện cần đủ để hệ động lực có tính chất egodic Do thời gian kiến thức có hạn nên khn khổ luận văn, tác giả nêu kết tính chất egodic hệ động lực trừu tượng, mối quan hệ trung bình theo thời trung bình theo tập hợp Trong tương lai, tác giả mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu tính chất egodic hệ động lực để áp dụng kết lý thuyết egodic vào thực tế 78 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Cơng (2002), Lý thuyết hệ động lực, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Đặng Hùng Thắng (2001), Quá trình dừng ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [4] P Billingsley (1965), Ergodic Theory and Information, Wiley, New York [5] Michael Brin and Garrett Stuck (2002), Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press [6] L A Bunimovich, S G Dani, R L Dobrushin, M V Jakobson, I P Kornfeld, N B Maslova, Ya B Pesin, Ya G Sinai, J Smillie, Yu M Sukhov, A M Vershik (1999), Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications, Springer [7] N A Friedman (1970), Introduction to Ergodic Theory, Van Nostrand Reinhold Company, New York [8] R M Gray (1987), Probability, Random Processes and Ergodic Properties, Springer-Verlag [9] R M Gray and J C Kieffer (1980), Asymptotically mean stationary measures, Ann Probab [10] P R Halmos (1956), Lectures on Ergodic Theory, Chelsea, New York [11] D Ornstein (1975), Ergodic Theory, Randomness, and Dynamical Systems, Yale University Press, New Haven 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 [12] K Petersen (1983), Ergodic Theory, Cambridge University Press, Cambridge [13] Omri Sarig (2008), Lecture Notes on Ergodic Theory, Penn State, Fall [14] Ya G Sinai (1989), Ergodic Theory with Applications to Dynamical Systems and Statistical Mechanics, Springer-Verlag [15] Peter Walters (1982), An Introduction to Ergodic Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin