Phương pháp hệ động lực giải phương trình toán tử : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BÍCH NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BÍCH NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH PHẠM KỲ ANH HÀ NỘI - 2014 Mục lục Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phổ toán tử tuyến tính giới nội(mục 2.3.2 trang 44-48 [5]) 1.2 Định lý ánh xạ phổ (mục 2.3.4 trang 49, 50 [5]) 1.3 Định lý phổ cho toán tử tự liên hợp (mục 2.3.5 trang 50, 51 [5]) 1.4 Đạo hàm Fréchet 1.5 Bài toán đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh (xem [1]) 10 1.6 Phương pháp hiệu chỉnh biến phân(mục 2.2 trang 30-40 [4]) 12 Phương pháp hệ động lực tốn đặt khơng chỉnh 2.1 Phương pháp hệ động lực tốn đặt khơng chỉnh tuyến tính 18 18 2.1.1 Phương pháp hệ động lực(mục 2.6 trang 52-56 [4]) 18 2.1.2 Phương trình với tốn tử bị chặn(mục 4.1 trang 75-83 [4]) 21 2.1.3 Trường hợp liệu bị nhiễu 23 2.2 Phương pháp hệ động lực giải hệ đại số tuyến tính điều kiện xấu(xem [3]) 29 2.2.1 Xây dựng công thức lặp 29 2.2.2 Thử nghiệm số 30 2.2.3 Ví dụ giải số 34 ii MỤC LỤC 2.2.4 So sánh phương pháp hệ động lực với số phương pháp lặp khác 36 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt 42 3.1 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử đơn điệu(mục 6.1 trang 109-114 [4]) 42 3.1.1 Kết bổ trợ 42 3.1.2 Phương pháp hệ động lực 47 3.1.3 Trường hợp liệu bị nhiễu 51 3.2 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử trơn 53 3.2.1 Phương pháp hệ động lực (mục 7.1 trang 121-124 [4]) 53 3.2.2 Trường hợp liệu bị nhiễu (mục 7.2 trang 125, 126 [4]) 56 3.2.3 Nghiệm lặp (mục 7.3 trang 127-129 [4]) 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi muốn muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy đáng kính Qua đây, xin gửi tới thầy cô cơng tác Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người cổ vũ, động viên trình suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Học viên Trần Bích Ngọc iv Lời nói đầu Luận văn trình bày hướng tiếp cận chung đến phương trình tốn tử F (u) = 0, (0.1) F ánh xạ khơng thiết tuyến tính khơng gian Hilbert H Để giải phương trình (0.1), tìm ánh xạ phi tuyến Φ(t, u) cho toán Cauchy u˙ = Φ(t, u), (0.2) u(0) = u0 , có nghiệm tồn cục nhất, tức nghiệm tồn với t ≥ có giới hạn u(∞) thỏa mãn lim ||u(∞) − u(t)|| = 0, t→∞ nữa, giới hạn nghiệm phương trình (0.1) F (u(∞)) = Các điều kiện tóm lược sau ∃!u(t) ∀t ≥ 0, ∃u(∞), F (u(∞)) = (0.3) Phương pháp hệ động lực (DSM) giải phương trình (0.1) tìm ánh xạ Φ(t, u) điều kiện ban đầu u0 cho nghiệm toán (0.2) thỏa mãn điều kiện (0.3) Khi u(∞) nghiệm toán (0.1) Phạm vi ứng dụng DSM rộng DSM áp dụng cho nhiều lớp toán khác nhau: Các toán đặt chỉnh địa phương theo nghĩa toán tử F thỏa mãn điều kiện sup ||F (j) (u)|| ≤ Mj (R), u∈B(u0 ,R) v ≤ j ≤ 2, (0.4) MỤC LỤC ||[F (u)]−1 || ≤ m(R) sup (0.5) u∈B(u0 ,R) Các tốn đặt khơng chỉnh tuyến tính Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử đơn điệu, thỏa mãn điều kiện (0.4) Lớp tốn đặt khơng chỉnh cho F (y) = f, f (y) = thỏa mãn điều kiện (0.4) Bài toán đặt khơng chỉnh với tốn tử F đơn điệu, liên tục xác định H Nếu F = L + g, L tốn tử tuyến tính, đóng, với miền xác định trù mật, g tốn tử phi tuyến thỏa mãn (0.4) Khi giải phương trình F (u) = f phương pháp DSM, với điều kiện phương trình có nghiệm, tồn L−1 giới nội Hơn ||[I + L−1 g (u)]−1 || ≤ m(R) sup u∈B(u0 ,R) Như phương pháp hệ động lực áp dụng cho phương trình với tốn tử khơng giới nội DSM sử dụng để chứng minh kết lý thuyết Ví dụ ta chứng minh DSM ánh xạ F : H → H toàn ánh, với (0.4), điều kiện sau thỏa mãn ||[F (u)]−1 || ≤ m(R), sup (0.6) u∈B(u0 ,R) R = ∞ R>0 m(R) sup Có thể sử dụng DSM để giải tốn (0.1) mà khơng cần tìm nghịch đảo F (u) Nếu có giả thiết (0.6) tốn (0.1) giải Khi DSM    u˙ = −QF (u), Q˙ = −T Q + A∗ ,   u(0) = u ; Q(0) = Q , 0 hội tụ tới nghiệm toán (0.1) t → ∞, điều kiện (0.3) thỏa mãn, hàm tốn tử Q nghiệm toán Cauchy Q˙ = −T Q + A∗ , Q(0) = Q0 , vi MỤC LỤC A = F (u), T = A∗ A với A∗ tốn tử liên hợp A DSM giải tốn đặt khơng chỉnh (0.1) khơng gian Banach Giả sử F : X → X tốn tử khả vi liên tục khơng gian Banach X c ||A−1 ε || ≤ , ε < ε < ε0 , c số, A = F (u), Aε = A + εI với ε số dương ε0 > số nhỏ tùy ý, cố định Khi sử dụng DSM giải phương trình F (u) + εu = 10 DSM xây dựng sơ đồ lặp hội tụ cho việc giải phương trình (0.1) Xét rời rạc (0.2)    un+1 = un + hn Φ(tn , un ), u0 = U0 ,   t n+1 = tn + hn Giả sử sơ đồ (0.7) hội tụ: lim un = u(∞) n→∞ Khi (0.7) sơ đồ lặp hội tụ cho phương trình (0.1) F (u(∞)) = vii (0.7) Bảng kí hiệu A ∈ B(X, Y ) Tốn tử tuyến tính liên tục đưa khơng gian tuyến tính định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y ρ(A) Tập giải thức A σ(A) Phổ A σe (A) Phổ riêng A rσ (A) Bán kính phổ A σa (A) Tập giá trị riêng xấp xỉ A w(A) Miền tính tốn A rw (A) Bán kính tính tốn A ∗ A Toán tử liên hợp A B(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục đưa X vào f (x, h) Đạo hàm Fréchet df (x, h) Vi phân Fréchet N (A) Không gian không điểm A R(A) Miền giá trị A K Tập số thực phức K(A) Số điều kiện ma trận A viii Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa, số tính chất phổ tốn tử tuyến tính, đạo hàm Fréchet, tốn đặt chỉnh đặt không chỉnh số ví dụ minh họa 1.1 Phổ tốn tử tuyến tính giới nội(mục 2.3.2 trang 44-48 [5]) Định nghĩa 1.1.1 (Tập giải thức) Giả sử X0 không gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X A : X0 → X toán tử tuyến tính Khi tập ρ(A) = {λ ∈ K : A − λI : X0 → X song ánh (A − λI)−1 ∈ B(X)}, gọi tập giải thức A Định nghĩa 1.1.2 (Phổ toán tử ) Ký hiệu σ(A) = {λ ∈ K : λ ∈ / ρ(A)}, gọi phổ A Phần tử σ(A) gọi giá trị phổ A, đại lượng rσ (A) = sup{|λ| : λ ∈ σ(A)}, gọi bán kính phổ A Định lý 1.1.1 (Nghịch đảo bị chặn) Giả sử X, Y không gian Banach, X0 không gian X T : X0 → Y Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Thật ||un − y||2 = ||un ||2 + ||y||2 − 2Re(un , y) → 0, n → ∞ Vì dãy hội tụ yếu {ua } hội tụ mạnh đến y nên ta kết luận ua → y a → ∞ 3.1.2 Phương pháp hệ động lực Trước nghiên cứu phương pháp hệ động lực, ta chứng minh bổ đề định lý sau Bổ đề 3.8 Giả sử f (t, w), g(t, u) hàm liên tục miền [0, T ) × D, D ⊂ R, f (t, w) ≤ g(t, u) w ≤ u Giả thiết toán u(0) = u0 ∈ D, u˙ = g(t, u), có nghiệm [0, τu ) Nếu w nghiệm w˙ = f (t, w), w(0) = w0 ≤ u0 ∈ D, u(t) ≥ w(t) với t Chứng minh Trước hết ta chứng minh bổ đề với giả thiết f (t, w) < g(t, u) Vì w0 ≤ u0 , w(0) ˙ ≤ f (0, w0 ) < g(0, u0 ) = u(0), ˙ nên tìm δ > cho u(t) > w(t) với t ∈ [0, δ] Nếu u(t1 ) ≤ w(t1 ) với t1 > δ, tồn t2 < t1 cho u(t2 ) = w(t2 ) u(t) < w(t) với t ∈ (t2 , t1 ] Do w(t ˙ ) ≥ u(t ˙ ) = g(t2 , u(t2 )) > f (t2 , w(t2 )) ≥ w(t ˙ ), điều mâu thuẫn Giả sử f (t, w) ≤ g(t, u) w ≤ u Ký hiệu un (t) nghiệm toán , un (0) = u0 n Khi w˙ ≤ f (t, w) ≤ g(t, u) < g(t, u) + Qua giới hạn n → ∞ ta điều phải n chứng minh u˙ n = g(t, un ) + Định lý 3.1.1 Giả sử α(t), β(t), γ(t) hàm không âm liên tục [t0 , ∞), t0 số Giả sử tồn hàm số µ ∈ C [t0 , ∞), µ > 0, lim µ(t) = ∞, t→∞ 47 Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt cho µ(t) µ(t) ˙ dµ γ(t) − , µ(t) ˙ = , µ(t) dt µ(t) ˙ β(t) ≤ γ(t) − , 2µ(t) µ(t) µ(0)g(0) < ≤ α(t) ≤ (3.11) (3.12) (3.13) Hơn g(t) ≥ thỏa mãn g(t) ˙ ≤ −µ(t)g(t) + α(t)g (t) + β(t), t ≥ t0 (3.14) Khi ≤ g(t) < Chứng minh Đặt w(t) = g(t)e t to γ(s)ds → 0, t → ∞ µ(t) Bất đẳng thức (3.14) viết lại dạng w˙ ≤ a(t)w2 + b(t), w(t0 ) = g(0) = g0 , (3.15) a(t) = α(t)e− t to γ(s)ds , b(t) = β(t)e t to γ(s)ds Xét phương trình Riccati sau u˙ = f˙ g(t) u (t) − g f (t) (3.16) Nghiệm phương trình có dạng u(t) = − g(t) + f (t) t to f (t) c − c số Đặt f = µ1/2 (t)e−1/2 t to γds , f˙(s) ds g(s)f (s) , g(t) = − µ1/2 (t) (3.17) e1/2 t to γds Giải toán Cauchy   u˙ = f˙ u2 (t) − g(t) , g f (t)  u(t ) = g(t ) o o Nghiệm tốn có dạng (3.17) với c = −1, f = −µ(t)e− g t to γds Chú ý f (t).g(t) = µ(to )g(to ) − Các giả thiết (3.11), (3.12), (3.13) tương ứng với điều kiện sau Giả thiết (3.11) f˙ µ µ˙ = (γ − )e− g µ t to 48 γds ≥ a(t) ≥ Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Giả thiết (3.12) − g˙ = f γ− µ˙ µ 2µ e t to γds ≥ b(t) ≥ Giả thiết (3.13) c < Áp dụng Bổ đề 3.8 cho toán (3.15) phương trình (3.16) ta   w(t) ≤ u(t), t ≥ t0 ,       t to γds   t e γds 1 −  to  g(t)e ≤     µ˙ t µ(t)   (γ − + )ds − µ(to )g(to ) to µ Vì γ − µ˙ ≥ 0, nên g(t) ≤ Định lý chứng minh µ µ(t) Định lý 3.1.2 Xét phương pháp hệ động lực u˙ = −A−1 a(t) (u)[F (u) + a(t)u − f ], u(0) = u0 , (3.18) u0 ∈ H phần tử bất kỳ, F thỏa mãn (3.2) (0.4), a(t) thỏa mãn  |a(t)| ˙   ≤ ,    a(t) a(t) ˙ limt→∞ = 0,   a(t)    < a(t) Giả sử phương trình (3.1) có nghiệm Khi tốn (3.18) có nghiệm tồn cục u(t) tồn giới hạn u(∞) nghiệm phương trình (3.1) Chứng minh Đặt w = u(t) − V (t), V (t) thỏa mãn (3.5) với a = a(t) Khi ||u(t) − y|| ≤ ||w|| + ||V (t) − y|| Theo Bổ đề 3.8 ta có lim ||V (t) − y|| = 0, t→∞ ta cần chứng minh lim ||w(t)|| = t→∞ Thay w vào (3.18) ta w˙ = −V˙ − A−1 a(t) [F (u) − F (V ) + a(t)w] 49 (3.19) Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Nhân hai vế với w, ta thu ww˙ = w − V˙ − A−1 a(t) (u)[F (u) − F (V ) + a(t)w] Áp dụng công thức Taylor F (u) − F (V ) + aw = Aa (u)w + , với ||ε|| ≤ M2 ||w||2 , M2 = M2 (R) ≥ supu∈B(u0 ,R) ||F (u)|| Đặt g(t) = ||w(t)||, ta g g˙ ≤ −g + M2 −1 ||Aa(t) ||g + ||V˙ ||g Vì g ≥ 0, ||A−1 a || ≤ , a ||v|| ˙ ≤ |a| ˙ ||y||, a(t) nên g˙ ≤ −g(t) + Đặt c0 = M2 |a| ˙ g + ||y|| 2a(t) a(t) (3.20) M2 , c1 = ||y|| Khi (3.20) trở thành g˙ ≤ −g(t) + c0 |a| ˙ g + c1 a(t) a(t) |a| ˙ c0 , β(t) = c1 Ta a(t) a(t) kiểm tra điều kiện (3.11)- (3.13), lấy µ(t) = λa(t) với λ số Bất đẳng thức có dạng (3.14) với µ(t) = 1, α(t) = i) Điều kiện (3.11) c0 λ |a| ˙ ≤ 1− , a(t) 2a(t) a(t) |a| ˙ ≤ , a(t) |a| ˙ = −a, ˙ nên c0 ≤ λ Vậy ta lấy λ ≥ 4c0 điều kiện (3.11) thỏa mãn ii) Điều kiện (3.12) |a| ˙ a(t) |a| ˙ c1 ≤ 1− a(t) 2λ a Điều kiện thỏa mãn 4λc1 ˙ |a(t)| ≤ a2 t 50 Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Sử dụng phép biến đổi a(t) → νa(t), ν số dương Nếu ν đủ lớn |a| ˙ đủ nhỏ a2 Vậy lấy νa(t) thay cho a(t) ta (3.12) iii) Giả thiết (3.13) λ g(0) < a(0) Điều kiện thỏa mãn với g(0) ν a(0) đủ lớn Lấy νa(t) thay cho a(t) νa(0) thay cho a(0) với ν số đủ lớn Vậy (3.13) thỏa mãn Theo Định lý 3.1.1 ta có a(t) → (t → ∞) λ Vậy ||u(t)|| bị chặn [0, ∞) (u(t) nghiệm địa phương (3.18) ) g(t) < Do tốn (3.18) có nghiệm tồn cục tồn u(∞) = y nghiệm có chuẩn nhỏ phương trình (3.1) Định lý 3.1.3 Giả sử y nghiệm có chuẩn nhỏ phương trình (3.1) có giả thiết (3.2), (0.4) Khi toán u˙ = −A−1 a (u)[F (u) + au − f ], u(0) = u0 , với u0 phần tử tùy ý thuộc H, a số dương, có nghiệm tồn cục ua (t) lim lim ||ua (t) − y|| = a→0 t→∞ Chứng minh Nghiệm toàn cục tồn từ tính chất F liên tục Lipschitz địa phương Hơn nữa, ||ua (t)|| bị chặn [0, ∞) Theo Bổ đề 3.6 tồn ua (∞) = limt→∞ ua (t) F (ua (∞)) + aua (∞) = f Áp dụng Bổ đề 3.7 ta điều phải chứng minh 3.1.3 Trường hợp liệu bị nhiễu Xét Định lý 3.1.2 trường hợp f thay fδ Ký hiệu uδ nghiệm tương ứng với fδ Ta có ||uδ (t) − y|| ≤ ||uδ (t) − Vδ (t)|| + ||Vδ (t) − V (t)|| + ||V (t) − y||, với V (t) thỏa mãn (3.5), Vδ (t) thỏa mãn (3.1) f thay fδ Ta t thay tδ , với tδ thời điểm dừng lấy tích phân, lim ||uδ (tδ ) − Vδ (tδ )|| = 0, lim ||Vδ (tδ ) − V (tδ )|| = δ→0 δ→0 51 (3.21) Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Bổ đề 3.9 Ta có ||Vδ (t) − V (t)|| ≤ δ a(t) Hơn nữa, δ = 0, δ→0 a(tδ ) lim lim ||Vδ (tδ ) − V (tδ )|| = δ→0 Chứng minh Từ phương trình (3.5) ta có F (Vδ ) − F (V ) + a(t)(Vδ − V ) − (fδ − f ) = Nhân vô hướng hai vế với Vδ − V , sử dụng (3.2) ta a(t)||Vδ − V ||2 ≤ δ||Vδ − V ||, ( ||fδ − f || ≤ δ.) Chia hai vế cho a(t) ta ||Vδ (t) − V (t)|| ≤ δ a(t) Theo giả thiết bổ đề δ = 0, δ→0 a(tδ ) lim nên lim ||Vδ (tδ ) − V (tδ )|| = δ→0 Đặt uδ (t) − Vδ (t) = g(t), w = uδ − Vδ (t), w˙ = −V˙ δ − A−1 a(t) [F (uδ ) − F (Vδ ) + a(t)w], phương trình giống với phương trình (3.19) Theo Định lý 3.1.2, ta thu g˙ ≤ −g(t) + c0 |a| ˙ g + c1 , a(t) a(t) ta có kết luận g(t) ≤ a(t) λ Do đó, tδ thỏa mãn lim tδ = ∞, δ→0 52 δ ), δ→0 a(tδ lim Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt (3.21) thỏa mãn, lim uδ (tδ ) − y = δ→0 Ta có kết sau Định lý 3.1.4 Giả sử ||fδ − f || ≤ δ, limδ→0 tδ = ∞, δ = δ→0 a(tδ ) lim Khi lim ||uδ (tδ ) − y|| = δ→0 với uδ (t) nghiệm toán(3.18) fδ thay cho f 3.2 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với toán tử trơn Trong phần ta xây dựng phương pháp hệ động lực hội tụ để giải phương , F (y) = 0, với F (y) = trình với tốn tử trơn F (u) = với giả thiết F ∈ Cloc 3.2.1 Phương pháp hệ động lực (mục 7.1 trang 121-124 [4]) Xét phương trình F (u) = 0, (3.22) F : H → H thõa mãn (0.4) Giả sử phương trình (3.22) có nghiệm y A˜ = F (y) = (3.23) Với giả thiết cho, ta xây dựng phương pháp hệ động lực để giải phương trình (3.22) Xét phương pháp hệ động lực −1 u˙ = −Ta(t) [A∗ F (u) + a(t)(u − z)], u(0) = u0 , (3.24) với u0 ∈ H, z ∈ H Ký hiệu ˜ A = F (u), T = A∗ A, Ta = T + aI, T˜ = A˜∗ A (3.25) Với giả thiết (3.23) ta tìm phần tử v = cho T˜v = Khi ta chọn phần tử z cho y − z = T˜v, ||v|| 53 Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Vì y chưa biết nên khơng cần đưa thuật tốn tìm z mà cần chứng minh tồn Đặt w = u(t) − y Do F (y) = nên áp dụng cơng thức Taylor ta có F (w) = F (u) − F (y) = Aw + ε, ||ε|| ≤ M2 ||w||2 Phương trình (3.24) trở thành −1 w˙ = −Ta(t) [(A∗ A + a(t))w + A∗ ε + a(t)T˜v] Đặt g(t) = ||w(t)||, nhân vơ hướng hai vế phương trình với w ta g g˙ ≤ −g + M2 g a(t) −1 ˜ + a(t)||Ta(t) T ||||v||g , thay (3.25) vào ta || − Ta−1 A∗ || ≤ a(t) Vì g ≥ nên c0 g g˙ ≤ −g + a(t) −1 ˜ + a(t)||v||||Ta(t) T ||, c0 = M2 (3.26) Ta có −1 ˜ −1 −1 −1 ˜ ||Ta(t) T || ≤ || Ta(t) − T˜a(t) T˜|| + ||T˜a(t) T ||, −1 ˜ ||T˜a(t) T || ≤ 1, ||aTa−1 || ≤ 1, Ta−1 − T˜a−1 = Ta−1 (T˜ − T )T˜a−1 Hơn nữa, ||T˜ − T || = ||A˜∗ A˜ − A∗ A|| ≤ 2M1 M2 ||u − y|| = 2M1 M2 g Do ta chọn ||v|| thỏa mãn 2M1 M2 ||v|| ≤ , ta viết lại (3.26) sau c0 g g˙ ≤ − g(t) + + a(t)||v||, a(t) Đặt µ = λ a(t) t ≥ 0, c0 = M2 Áp dụng Định lý 3.1.1 với γ(t) = , α(t) = c0 a(t) 54 , β(t) = a(t)||v|| (3.27) Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Kiểm tra điều kiện (3.11), (3.12),(3.13) i) Điều kiện (3.11) c0 a(t) ≤ λ a˙ λ ( + )= a(t) 2a a(t) (1 − |a| ˙ a (3.28) Giả sử < a(t) 0, |a(t)| ˙ ≤ a (3.29) Cho ví dụ lấy a(t) = e−ct , c ≤ Khi (3.28) có λ ≥ 8c0 (3.30) ii) Điều kiện (3.12) a(t) |a| ˙ (1 − ) 2λ a a(t)||v|| ≤ Từ (3.29) ta có điều kiện thỏa mãn 4λ a(0)||v|| ≤ 1, hay ||v|| ≤ 4λ a(0) (3.31) iii) Điều kiện (3.13) λ a(0) g(0) < Điều kiện thỏa mãn ||u0 − y|| < a(0) λ (3.32) Bất đẳng thức (3.32) với xấp xỉ ban đầu u0 với điều kiện λ đủ lớn, (3.31) với λ ||v|| đủ nhỏ Nếu có điều kiện (3.29), (3.30), (3.31), (3.32) ||u(t) − y|| < a(t) → 0(t → ∞) λ (3.33) Định lý 3.2.1 Giả sử phương trình (3.22) có nghiệm y có điều kiện (0.4), (3.23), (3.29), (3.30), (3.31), (3.32) Khi tốn (3.24) có nghiệm u(t) tồn u(∞) cho u(∞) = y với tốc độ hội tụ u(t) tới nghiệm y cho (3.33) 55 Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt 3.2.2 Trường hợp liệu bị nhiễu (mục 7.2 trang 125, 126 [4]) Xét phương trình F (u) = f, (3.34) phương trình có nghiệm y, F (y) = f Giả thiết f thay fδ với ||fδ −f || ≤ δ Xét phương pháp hệ động lực dạng −1 u˙ δ = −Ta(t) [A∗ (F (uδ ) − fδ ) + a(t)(uδ − z)], (3.35) uδ (0) = u0 Đặt wδ = uδ − y, gδ = ||wδ (t)|| Ta chứng minh với thời điểm dừng tδ thích hợp , limδ→0 tδ = ∞ wδ (tδ ) → δ → 0, hay lim ||uδ − y|| = 0, uδ = uδ (tδ ) δ→0 Ta có fδ = f + ηδ , ||ηδ || ≤ δ Bất đẳng thức (3.27) thay c0 g (t) δ g˙ ≤ − g(t) + + a(t)||v|| + , a(t) a(t) c0 = M2 , với 2M1 M2 v ≤ Chọn µ(t) = λ , với giả thiết (3.29), (3.30), (3.31) Khi điều kiện (3.11) a(t) (3.13) thõa mãn Điều kiện (3.12) thỏa mãn a(t)||v|| + δ a(t) ≤ a(t) 4λ (3.36) Chọn v đủ nhỏ cho a(t)||v|| ≤ a(t) , 4λ hay 4λ a(0)||v|| ≤ , chọn tδ cho ≤ a(t) , 4λ 2λδ ≤ , a(t) t ≤ tδ δ a(t) tức 56 (3.37) Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Khi (3.36) thỏa mãn với t ≤ tδ Ta có a(t) , t ≤ tδ λ ||uδ − y|| ≤ Do đó, chọn tδ nghiệm phương trình a(t) = 4λδ, (3.38) uδ = uδ (tδ ) thỏa mãn ||uδ − y|| ≤ δ λ (3.39) Ta có kết sau Định lý 3.2.2 Giả sử phương trình (3.34) có nghiệm y, ||fδ − f || ≤ δ có điều kiện (0.4), (3.23), (3.24), (3.29), (3.30), (3.32), (3.37) thỏa mãn, đồng thời tδ thỏa mãn (3.38) Khi tốn (3.35) có nghiệm uδ (t) đoạn [0, tδ ], uδ = uδ (tδ ) thỏa mãn (3.39) 3.2.3 Nghiệm lặp (mục 7.3 trang 127-129 [4]) Bổ đề 3.10 Giả sử gn+1 ≤ γgn + pgn2 , g0 = m > 0, q−γ m≤ , với γ < q < 1, limn→∞ gn = 0, p gn ≤ g0 q n < γ < 1, p > Nếu (3.40) Chứng minh Chứng minh (3.40) phương pháp quy nạp q−γ Với n = 1, m ≤ , γ < q < , nên g1 ≤ γm + pm2 ≤ qm = g0 q Vậy (3.40) p với n = Giả sử (3.40) với n, tức gn ≤ g0 q n , ta chứng minh (3.40) với n + Ta có gn+1 ≤ γg0 q n + p(g0 q n )2 = g0 q n (γ + pg0 q n ) ≤ g0 q n+1 , ( γ + pg0 q n ≤ γ + pg0 q ≤ q.) Vậy gn ≤ g0 q n Theo phương pháp quy nạp tốn học (3.40) với n Ta có < lim gn ≤ lim g0 q n = n→∞ n→∞ Do lim gn = n→∞ 57 Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Định lý 3.2.3 Xét q trình lặp un+1 = un − hn Ta−1 [A∗ (un )F (un ) + an (un − z)], n u0 = u0 , (3.41) hn > 0, an > lựa chọn phù hợp Với giả thiết Định lý 3.2.1 dãy un hội tụ tới y Chứng minh Đặt wn = un − y, gn = ||wn || Như phần chứng minh Định lý 3.2.1, ta giả sử 2M1 M2 ||v|| ≤ , ta viết lại (3.41) sau [A∗ (un )(F (un ) − F (y)) + an wn + an (y − z)], wn+1 = wn − hn Ta−1 n w0 = ||u0 − y|| Áp dụng công thức Taylor F (un ) − F (y) = A(un )wn + K(wn ), ||K|| ≤ M2 gn2 , với ||Ta−1 A∗ (un )|| ≤ √ , n an y − z = T v, ta có wn+1 = (1 − hn )wn − hn Ta−1 A∗ (un )K(wn ) − hn an Ta−1 T v n n Vì ||Ta−1 T || ≤ 1, ||Ta−1 || ≤ , a > 0, a nên T v|| ≤ ||(Ta−1 − Ta−1 )T ||||v|| + ||v||, ||Ta−1 n n n ||(Ta−1 − Ta−1 )T || = ||Ta−1 (Tan − Tan )Ta−1 T || ≤ n n n n Đặt c0 = 2M1 M2 gn c1 gn = an an M2 , từ (3.42) ta có c0 hn g gn+1 ≤ (1 − hn )gn + √ n + c1 hn ||v||gn + hn an ||v|| an 58 (3.42) Chương Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt Với giả thiết phần chứng minh Định lý 3.2.1 ||v|| ≤ , gn+1 ≤ (1 − hn c0 hn g )gn + √ n + hn an ||v|| an Chọn an = 16c20 gn2 , ta có gn+1 ≤ (1 − hn )gn + 16c20 hn gn2 ||v||, g0 = ||u0 − y|| ≤ R, R > định nghĩa (0.4) Lấy hn = h ∈ (0, 1), chọn g0 = m cho h −1 , m< 16c20 h||v|| q+ q ∈ (0, 1), q+ Theo Bổ đề 3.10 ||un − y|| ≤ g0 q n → 59 h > KẾT LUẬN Nhiều vấn đề thực tế dẫn đến việc giải phương trình tốn tử F(u)=0 Các phương pháp phổ biến để giải phương trình toán tử phương pháp lặp đơn, phương pháp tuyến tính hóa, phương pháp chiếu, phương pháp biến phân, phương pháp thác triển theo tham số, phương pháp toán tử đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Luận văn trình bày phương pháp hệ động lực giải phương trình tốn tử F (u) = 0, F ánh xạ khơng thiết tuyến tính khơng gian Hilbert H Với phạm vi thời gian có hạn chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong q thầy bạn độc giả góp ý để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] N.S.Hoang and A.G.Ramm (2008), Solving ill-conditioned linear algebraic systems by the dynamical systems method, Inverse problems in science and engineering, Vol.16, No5, pp.617-630 [4] A.G.Ramm (2007), Dynamical Systems Method for Solving Operator Equations, Kansas State University [5] M.T.Nair (2009), Linear operator Equation Approximation and regularization, World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd 61