Tính chất egodic của hệ động lực và của quá trình ngẫu nhiên

Mục lục Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Không gian đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Quá trình ngẫu nhiên và hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Hệ động lực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Phép biến đổi bảo toàn độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Tính egodic của phép biến đổi bảo toàn độ đo . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Xác suất có điều kiện và kỳ vọng có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1. Biến ngẫu nhiên và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Thu hẹp của độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3. Xác suất có điều kiện cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.4. Định lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.5. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.6. Xác suất có điều kiện chính quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.7. Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian. . . 24 2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 MỤC LỤC 2 2.2. Trung bình theo tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Trung bình theo tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Biến ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1. Dãy lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2. Tính đo được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4. Kỳ vọng (trung bình theo tập hợp) của biến ngẫu nhiên tổng quát. 30 2.4.1. Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2. Tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.3. Khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5. Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6. Trung bình theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7. Độ đo dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Chương 3. Hệ động lực có tính chất egodic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1. Tính chất egodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2. Một số hệ quả của tính chất egodic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Quá trình tiệm cận trung bình dừng (AMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4. Tính hồi quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5. Kỳ vọng tiệm cận trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6. Giới hạn trung bình theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.7. Hệ động lực egodic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.8. Định lý egodic hầu khắp nơi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG - người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, 10-2014 Học viên Nguyễn Học Thức 3 Lời mở đầu Lý thuyết hệ động lực được khai sinh bởi nhà toán học nổi tiếng người Pháp, Henri Poincaré cách đây một thế kỷ khi ông công bố tác phẩm nổi tiếng cuả mình trình bày các nghiên cứu về lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Ngày nay, từ những kết quả đạt được của nhiều nghiên cứu gần đây, lý thuyết hệ động lực đã trở thành một nhánh nghiên cứu chính trong toán học được nhiều nhà khoa học quan tâm. Điều quan trọng hơn là lý thuyết hệ động lực có mối liên quan chặt chẽ với nhiều ngành toán học khác cũng như có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học như vật lý, hóa học, sinh vật học, công nghệ thông tin,v.v Cùng thời với Poincaré, Lyapunov cũng đã nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân, nhưng cách tiếp cận của Lyapunov có phần khác với Poincaré. Lyapunov nghiên cứu chủ yếu hệ phương trình vi phân không Otonom và ông đã đưa ra hai phương pháp nghiên cứu kinh điển của ông là phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm số Lyapunov. Trong khi Poincaré lại tiếp cận tới bài toán định tính mang tính đặc thù nền tảng lý thuyết hệ động lực. Ông nhìn nhận hệ phương trình vi phân Otonom như một mô hình toán của một hệ vật lý tiến hóa theo thời gian với tính chất nhóm và nghiên cứu tính chất egodic của hệ. Lý thuyết hệ động lực được chia thành ba nhánh nhỏ: Động lực khả vi nghiên cứu các ánh xạ khả vi trên đa tạp trơn; động lực tôpô nghiên cứu các ánh xạ liên tục trên không gian tôpô, thường là không gian metric compact; lý thuyết egodic nghiên cứu tính chất bảo toàn độ đo của ánh xạ đo được trên không gian đo, thường được giả thiết là hữu hạn. 4 MỤC LỤC 5 Trong khuôn khổ luận văn, tác giả trình bày một số nội dung trong lý thuyết egodic. Cụ thể là tính chất egodic của hệ động lực và các định lý, đặc biệt là định lý egodic hầu khắp nơi của Birkhoff. Bố cục của luận văn được trình bày theo ba chương với nội dung cụ thể như sau: • Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này chủ yếu giới thiệu về mô hình toán học cơ bản của quá tr ình ngẫu nhiên và trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ động lực ngẫu nhiên. • Chương 2. Trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian. Chương này nêu định nghĩa và phát triển một số tính chất của trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian. • Chương 3. Hệ động lực có tính chất egodic. Trình bày tính chất egodic của hệ động lực cũng như của quá trình ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, tác giả đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ động lực có tính chất egodic thông qua định lý egodic hầu khắp nơi. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến góp ý của các thầy, cô và bạn đọc quan tâm. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 10-2014 Học viên Nguyễn Học Thức Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên 1.1.1. Không gian đo được Không gian đo được là một cặp (Ω,B), bao gồm không gian mẫu Ω cùng với σ - trường B các tập con của Ω (còn gọi là không gian biến cố). Một σ - trường hay σ - đại số B là một họ các tập con của Ω với các tính chất sau: Ω ∈ B. (1.1) Nếu F ∈ B thì F c = {x : x /∈ F} ∈ B. (1.2) Nếu F i ∈ B;i = 1,2, , thì ∪ F i ∈ B. (1.3) Theo luật de Morgan ta cũng có ∞ ∩ i=1 F i = ( ∞ ∪ i=1 F c i ) c ∈ B. Có hai σ- trường đặc biệt là: • σ - trường lớn nhất của Ω là họ tất cả các tập con của Ω (còn được gọi là tập luỹ thừa). • σ - trường nhỏ nhất là {Ω,Ø} gồm không gian toàn thể Ω cùng với tập rỗng Ø = Ω c (gọi là không gian tầm thường). Nếu thay điều kiện hợp đếm được trong (1.3) bằng hợp hữu hạn của họ các tập con thì họ các tập con đó được gọi là một trường. 1.1.2. Không gian xác suất Không gian xác suất là bộ ba (Ω,B,m), bao gồm không gian mẫu Ω, σ - trường B các tập con của Ω và độ đo xác suất m xác định trên σ - trường; 6 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 nghĩa là m(F) được gán cho một số thực với mọi phần tử F của B và thỏa mãn các điều kiện sau: Không âm: m(F) ≥ 0, với mọi F ∈ B. (1.4) Chuẩn hóa: m(Ω) = 1. (1.5) Cộng tính đếm được: Nếu F i ∈ B,i = 1,2, là các tập rời nhau thì m  ∞ ∪ i=1 F i  = ∞ Σ i=1 m(F i ). (1.6) Hàm tập m chỉ thỏa mãn (1.4) và (1.6) (không nhất thiết phải thỏa mãn (1.5)) được gọi là độ đo; khi đó (Ω,B, m) được gọi là không gian độ đo. Một hàm tập chỉ thỏa mãn (1.6) với một dãy hữu hạn các biến cố rời nhau được gọi là cộng tính hay cộng tính hữu hạn. 1.1.3. Biến ngẫu nhiên Cho (Ω,B) và (A,B A ) là hai không gian đo được. Một biến ngẫu nhiên hay hàm đo được xác định trên (Ω,B) và lấy giá trị trong (A,B A ) là một ánh xạ hoặc hàm f : Ω → A với tính chất Nếu F ∈ B A thì f −1 (F) = {x : f (x) ∈ F} ∈ B. (1.7) Trong trường hợp A không được chỉ rõ thì ta coi f như là một biến ngẫu nhiên A - giá trị. Nếu σ - trường không được cho một cách rõ ràng thì ta nói rằng f là B/B A - đo được. 1.2. Quá trình ngẫu nhiên và hệ động lực Bây giờ chúng ta xét hai mô hình toán học của quá trình ngẫu nhiên. Đầu tiên là một mô hình quen thuộc: một quá trình ngẫu nhiên là một dãy các biến ngẫu nhiên. Mô hình thứ hai ít gặp hơn: một quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xây dựng từ một hệ động lực trừu tượng bao gồm một không gian xác CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 suất và một phép biến đổi trên không gian đó. Hai mô hình được kết nối bởi việc xét sự dịch chuyển thời gian để được một phép biến đổi. 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên Một quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc, hoặc đơn giản là quá trình ngẫu nhiên là một dãy các biến ngẫu nhiên {X n } n∈I , với I là tập chỉ số, xác định trên không gian xác suất (Ω,B,m). Hai tập chỉ số phổ biến nhất được quan tâm là tập số nguyên Z trong trường hợp quá trình ngẫu nhiên hai phía và tập số nguyên không âm Z + trong trường hợp quá trình ngẫu nhiên được gọi là một phía. Quá trình ngẫu nhiên một phía thường khó để chứng minh hơn trong lý thuyết nhưng nó cung cấp những mô hình tốt cho những quá trình ngẫu nhiên vật lý. 1.2.2. Hệ động lực Giả sử rằng ta đang nghiên cứu một hệ thống (hay một quá trình) tiến hóa theo thời gian và điều quan trọng là ta muốn mô tả nó bằng một mô hình toán học. Tập hợp tất cả các trạng thái có thể có của hệ thống đang xét tạo thành một không gian X mà ta gọi là không gian trạng thái của hệ đã cho. Định nghĩa 1.2.1. Hệ động lực trừu tượng bao gồm một không gian xác suất (Ω,B, m) cùng với một phép biến đổi đo được T : Ω → Ω. Tính đo được theo nghĩa là nếu F ∈ B thì ta cũng có T −1 F ∈ B. Bộ bốn (Ω,B,m,T) được gọi là hệ động lực trong lý thuyết egodic. Mô hình quá trình ngẫu nhiên là một dãy hoặc một họ các biến ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất thông thường được xem như một biến ngẫu nhiên cùng với một phép biến đổi được xác định trên một không gian xác suất. Nghĩa là qua một phép biến đổi nào đó định trước thì từ biến ngẫu nhiên ban đầu sinh ra các biến ngẫu nhiên tiếp theo và tạo thành dãy các biến ngẫu nhiên trên không gian ta đang xét. Bây giờ, ta giả sử rằng T là một ánh xạ đo được từ không gian mẫu Ω vào chính nó. Dễ dàng thấy rằng nếu ta định nghĩa phép biến đổi T 2 như sau: T 2 x = T (T x) thì T 2 cũng là ánh xạ đo được. Tương tự như vậy, ta có T n cũng CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 là ánh xạ đo được với mỗi n nguyên dương. Giả sử rằng nếu f là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên A, hay còn gọi là biến ngẫu nhiên A - giá trị xác định trên không gian (Ω,B) thì hàm f T n : Ω → A xác định bởi f T n (x) := f (T n x),∀x ∈ Ω, cũng là một biến ngẫu nhiên với mỗi n là số nguyên dương. Do vậy, hệ động lực cùng với một biến ngẫu nhiên hoặc một hàm đo được f cho ta xác định được một quá trình ngẫu nhiên một phía X n , n ∈ Z + bởi hệ thức X n (x) = f (T n x). Và ta có thể định nghĩa quá trình ngẫu nhiên hai phía nếu T là phép biến đổi có nghịch đảo T −1 cũng bởi hệ thức X n (x) = f (T n x),∀n ∈ Z. Hầu hết hệ động lực thông thường cho mô hình quá trình ngẫu nhiên thường bao gồm một dãy không gian Ω chứa một dãy biến ngẫu nhiên một hoặc hai phía A - giá trị cùng với phép dịch chuyển T . Nghĩa là thông qua phép biến đổi T thì dãy {x n } chuyển thành dãy {x n+1 }. Chúng ta có thể xét một ví dụ đơn giản như sau: xét Ω := A Z + = {x = (x 0 ,x 1 , ),x i ∈ A} và định nghĩa phép dịch chuyển T như sau T : Ω → Ω T (x 0 ,x 1 ,x 2 , ) =(x 1 ,x 2 ,x 3 ),∀(x 0 ,x 1 ,x 2 , ) ∈ Ω. Phép biến đổi T xác định như trên còn được gọi là phép dịch chuyển trái. Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày thí dụ về hệ động lực được ứng dụng trong giao tiếp có một cấu trúc tương tự. Ta xét một dãy đầu vào {x n } và một trạng thái ban đầu u 0 , các trạng thái tiếp theo được mô tả bởi các phương trình vi phân dưới đây e n = x n − q(u n ), u n = e n−1 + u n−1 , CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 trong đó, q(u n ) nhận giá trị +b nếu đối số u n của nó không âm và nhận giá trị −b trong trường hợp ngược lại. Bộ giải mã được xác định bởi hệ thức ˆx n = 1 N N ∑ i=1 q(u n−i ) Ta xét một trường hợp đặc biệt là dãy đầu vào {x n } (có thể là luồng thông tin quan sát được theo thời gian), x n = x ∈ [−b,b) với mọi n thì hệ thống được mô tả như một hệ động lực với phép biến đổi T xác định bởi Tu =  u + x − b, nếu u ≥ 0 u + x + b, nếu u < 0. Từ đó cho thấy nếu cho trước một đầu vào x n = x, n = 1,2, ,N và một điều kiện u 0 ban đầu thì dãy u n được xác định bởi hệ thức u n = T n 0 . Nếu điều kiện ban đầu u 0 là ngẫu nhiên thì hệ thức trên cho ta xác định một hệ động lực mà có thể phân giải được. 1.3. Phép biến đổi bảo toàn độ đo 1.3.1. Một số khái niệm Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (Ω 1 ,B 1 ,m 1 ) và (Ω 2 ,B 2 ,m 2 ) là hai không gian xác suất. i) Phép biến đổi T : Ω 1 → Ω 2 được gọi là phép biến đổi bảo toàn độ đo nếu T đo được và đồng thời thỏa mãn m 1 (T −1 (A)) = m 2 (A),∀A ∈ B 2 ii) Phép biến đổi T : Ω 1 → Ω 2 được gọi là một phép biến đổi khả nghịch bảo toàn độ đo nếu T là phép biến đổi bảo toàn độ đo và T là song ánh và hơn nữa T −1 cũng bảo toàn độ đo. 1.3.2. Tính egodic của phép biến đổi bảo toàn độ đo Giả sử (Ω,B,m) là một không gian xác suất và T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo từ Ω vào chính nó. Nếu T −1 B = B,B ∈ B nào đó thì ta cũng có T −1 (Ω\B) = Ω\B và ta có thể nghiên cứu T bằng cách nghiên cứu hai phép biến đổi đơn giản hơn là T |B và T |Ω\B . Nếu B có độ đo nằm giữa 0 và 1 thì điều [...]... (a) và (c) bằng cách thay f bởi f − g Chương 2 Trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian 2.1 Giới thiệu Trọng tâm của lý thuyết egodic cổ điển là phát triển các điều kiện để trung bình theo thời gian là trung bình cộng của dãy các biến ngẫu nhiên trên một quá trình ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất hoặc trung bình theo tập hợp của biến ngẫu nhiên được mô tả bởi tích phân của biến ngẫu nhiên. .. với n > K ta có | f (x) − qn ( f (x))| ≤ 2−n 2.3.2 Tính đo được Như một điều kiện tiên quyết để nghiên cứu về trung bình, chúng ta sẽ dừng lại để xem xét một số tính chất của biến ngẫu nhiên giá trị thực Ta sẽ cần quan tâm đến tính chất của giới hạn của dãy fn các hàm khả tích Đặc biệt quan trọng là tính đo được của giới hạn của các biến ngẫu nhiên và các điều kiện để chúng ta có thể hóan đổi giới hạn... được (Ω, B) và f : Ω → A là biến ngẫu nhiên, khi đó biến ngẫu nhiên g : Ω → R thuộc M(σ ( f )) nếu và chỉ nếu có hàm BA /B(R) - đo được h : A → R sao cho g(x) = h( f (x)), ∀x ∈ Ω Như vậy ta đã phát biểu các tính chất của σ - trường sinh bởi các biến ngẫu nhiên và lớp các hàm đo được sinh bởi σ - trường 1.4.2 Thu hẹp của độ đo Ứng dụng đầu tiên của lớp các biến ngẫu nhiên hoặc biến cố được xét trong... vọng của f có thể tìm được theo hai bước: đầu tiên tìm kỳ vọng có điều kiện với σ - trường đã biết hoặc lớp các biến ngẫu nhiên (trong trường hợp G sinh ra σ - trường) và khi đó tích phân là kỳ vọng có điều kiện Các tính chất này tương tự như các tính chất của xác suất có điều kiện và làm yếu đi các tính chất này trong trường hợp của các hàm chỉ tiêu Bổ đề đơn giản sau đây chỉ ra rằng các tính chất. .. THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 33 và lim Em | f − qn ( f )| = 0 n→∞ Chứng minh Nếu f không âm thì hai kết quả trên là tương đương và được suy ra từ định nghĩa của kỳ vọng và tính tuyến tính của Bổ đề 2.4.2(c) Trong trường hợp tổng quát thì qn ( f ) = qn ( f + ) − qn ( f − ) và qn ( f + ) ↑ f + và qn ( f − ) ↑ f − do cách xây dựng Do đó, từ kết quả khi f không âm và tính tuyến tính của kỳ vọng... f , g) cũng là các biến ngẫu nhiên, tức là tất cả các hàm này đo được 2.4 Kỳ vọng (trung bình theo tập hợp) của biến ngẫu nhiên tổng quát 2.4.1 Kỳ vọng Nếu f ≥ 0 thì ta chọn dãy lượng tử qn như trong phần 2.3.1 và định nghĩa kỳ vọng của biến ngẫu nhiên f theo công thức: Em f = lim Em (qn ( f )) n→∞ (2.6) Vì qn là các biến ngẫu nhiên rời rạc theo f nên qn ( f ) là biến ngẫu nhiên rời rạc trên Ω (qn... vọng của biến ngẫu nhiên không âm là cận trên đúng của kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên rời rạc không lớn hơn f Tính chất này thường được sử dụng để định nghĩa kỳ vọng Phần (b) phát biểu rằng xấp xỉ rời rạc chính xác tiệm cận tới f có thể được sử dụng để tính kỳ vọng Đây là trường hợp đặc biệt của định lý hội tụ đơn điệu Với những đặc trưng thay thế như vậy của kỳ vọng, ta có thể khái quát hóa các tính. .. của kỳ vọng, ta có thể khái quát hóa các tính chất cơ bản của Bổ đề 2.2.2 từ các biến ngẫu nhiên rời rạc cho các biến ngẫu nhiên tổng quát Bổ đề 2.4.2 (a) Nếu f ≥ 0 với xác xuất 1 thì Em f ≥ 0 (b) Em 1 = 1 CHƯƠNG 2 TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 32 (c) Kỳ vọng có tính chất tuyến tính, tức là với các số thực bất kỳ α, β và các biến ngẫu nhiên bất kỳ f , g ta có Em (α f + β g) = αEm... để xác định kỳ vọng và các đặc trưng tuyến tính của nó Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên khả tích bất kỳ được coi như là giới hạn của các kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên đơn giản được hình thành bằng cách lượng tử hóa các biến ngẫu nhiên Đó là một ví dụ của định lý giới hạn khả tích, kết quả đưa ra điều kiện để giới hạn và tích phân có thể hoán đổi cho nhau Hệ quả 2.4.1 Gọi qn là dãy lượng tử xác định... suất có tính chất không âm, CHƯƠNG 2 TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 27 chuẩn hóa và cộng tính nên kỳ vọng cũng kế thừa những tính chất tương tự Tính chất (d) và (e) là các bất đẳng thức tích phân cơ bản Chứng minh (a) Nếu f ≥ 0 với xác suất 1 thì bi ≥ 0 trong (2.1), từ (2.2) và tính không âm của xác suất ta có Em f ≥ 0 (b) Vì 1 = 1Ω nên Em 1 = 1m(Ω) = 1, điều này suy ra từ tính chuẩn . số tính chất của trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian. • Chương 3. Hệ động lực có tính chất egodic. Trình bày tính chất egodic của hệ động lực cũng như của quá trình ngẫu nhiên. . Quá trình ngẫu nhiên và hệ động lực Bây giờ chúng ta xét hai mô hình toán học của quá trình ngẫu nhiên. Đầu tiên là một mô hình quen thuộc: một quá trình ngẫu nhiên là một dãy các biến ngẫu nhiên. . nhận hệ phương trình vi phân Otonom như một mô hình toán của một hệ vật lý tiến hóa theo thời gian với tính chất nhóm và nghiên cứu tính chất egodic của hệ. Lý thuyết hệ động lực được chia thành