Trong phần này chúng ta tiếp tục phát triển các hệ quả của tính chất egodic. Ở đây nhấn mạnh vào lớp các biến ngẫu nhiên và các biến cố có quan hệ mật thiết với tính chất egodic và đóng vai trò cơ bản trong điều kiện cần của tính
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 58
chất đó cũng như thể hiện của các điều kiện đủ. Các biến ngẫu nhiên này giúp ta xây dựng quan hệ giữa độ đo AMSmvà trung bình dừngmcủa nó.
Ở phần trước, chúng ta có một hệ động lực(Ω,B,m,T)có tính chất egodic đối với biến ngẫu nhiên f thì sẽ tồn tại giới hạn trung bình theo thời gian
lim n→∞< f>n= lim n→∞ 1 n n−1 ∑ i=0 f Ti =< f > . (3.21)
Theo Hệ quả 3.1.1 thì< f >phải là một hàm bất biến. Ta định nghĩa biến cố F ={x: lim n→∞n−1 n−1 ∑ i=0 f(Tix)tồn tại}, (3.22) và giả sử m(F) =1. Tiếp theo, ta xét tập T−1F. Ta cóx∈T−1F hoặc T x∈F nếu và chỉ nếu giới hạn sau tồn tại
lim n→∞ n−1 n−1 ∑ i=0 f(Ti(T x)) =< f >(T x).
Với f là biến ngẫu nhiên giá trị thực thì nó không thể lấy giá trị vô hạn (tức là nó không là một biến ngẫu nhiên giá trị thực mở rộng). Khi đó theo Bổ đề 3.1.1 thì giới hạn ở vế trái chính xác giống như giới hạn
lim n→∞n−1 n−1 ∑ i=0 f(Tix).
Đặc biệt, một trong hai giới hạn tồn tại khi và chỉ khi giới hạn kia tồn tại, vì vậy, x ∈T−1F khi và chỉ khi x∈F. Ta chuẩn hóa tính chất này trong định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.3.1.Nếu biến cốF thỏa mãnT−1F =F thì biến cố đó được gọi làbất biếnhoặcT -bất biếnhaybất biến đối vớiT.
Như vậy, chúng ta đã thấy rằng biến cố mà giới hạn trung bình theo thời gian hội tụ là một biến cố bất biến và bản thân các giới hạn trung bình theo thời gian là các hàm bất biến. Nhận xét rằng, với mọixta có
< f >(x) =1F(x) lim n→∞ 1 n n−1 ∑ i=0 f(Tix).
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 59
Ta thấy rằng các biến cố bất biến và các biến ngẫu nhiên bất biến có quan hệ mật thiết với nhau. KhiT là phép dịch chuyển, các biến ngẫu nhiên bất biến có thể được hiểu là các biến ngẫu nhiên mà đầu ra không phụ thuộc vào thời điểm thực hiện biến ngẫu nhiên và các biến cố bất biến là các biến cố mà không bị ảnh hưởng bởi phép dịch chuyển.
Giới hạn trung bình theo thời gian không chỉ là các biến ngẫu nhiên bất biến. Một số ví dụ khác là lim sup n→∞ < f>n(x) và lim n→∞inf< f>n(x).
Nhận xét rằng, một biến cố là bất biến khi và chỉ khi hàm chỉ tiêu của nó là một biến ngẫu nhiên bất biến. Các biến ngẫu nhiên bất biến và các biến cố mang lại mối quan hệ đặc biệt giữa quá trình ngẫu nhiên AMS và tiệm cận trung bình của nó như được mô tả trong bổ đề dưới đây.
Bổ đề 3.3.1.Cho một hệ AMS với độ đom, trung bình dừngm, khi đó m(F) =m(F),với mọiF bất biến
và
Emf =Emf,với mọi f bất biến,
trong đó, phương trình trên có nghĩa là, nếu một trong hai tích phân tồn tại thì tích phân kia cũng tồn tại và khi đó chúng bằng nhau.
Chứng minh.
Đẳng thức đầu tiên được suy ra trực tiếp bằng cách thay vào công thức xác định một độ đo AMS. Đẳng thức thứ hai được suy ra từ các đối số xấp xỉ chuẩn. Ví dụ, nó đúng với các hàm chỉ tiêu và các hàm đơn giản do tính tuyến tính. Với các hàm dương, lấy một dãy lượng tử tăng và áp dụng kết quả của hàm đơn giản. Hai giới hạn phải cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Với f tổng quát, ta phân tích nó thành phần âm và phần dương, sau đó áp dụng kết quả hàm dương.
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 60
Trong một số ứng dụng, chúng ra sẽ coi các biến ngẫu nhiên và các biến cố "hầu bất biến" theo nghĩa chúng bằng dịch chuyển của chúng với xác suất một thay cho bất biến theo nghĩa hẹp. Có hai độ đo được xét ở đây là độ đo AMS và trung bình dừng của nó. Chú ý hơn một chút là cần thiết để kết luận kết quả giống Bổ đề 3.3.1. Ví dụ, giả sử biến cố F là bất biến m - hầu khắp nơi theo nghĩa m(F∆T−1F) =0. Điều đó không suy ra rằng F cũng bất biến m - hầu khắp nơi haym(F) =m(F). Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 3.3.2.Biến cốFđược gọi là hoàn toàn bất biếnm- hầu khắp nơi nếu
m(F∆T−kF) =0, k=1,2, ....
Tương tự, một biến ngẫu nhiên f được gọi là hoàn toàn bất biến m - hầu khắp nơi nếu
m(f = f Tk) =1, k=1,2, ...
Giả sửm là AMS với trung bình dừngm. NếuF là hoàn toàn bất biếnm- hầu khắp nơi thì
m(F) =m(F)
và nếu f là hoàn toàn bất biếnm- hầu khắp nơi thì
Emf =Emf.
Hơn nữa, nếu f là hoàn toàn bất biếnm- hầu khắp nơi thì biến cố f−1(G) = {x: f(x)∈G}cũng là hoàn toàn bất biến và do đó ta có
m(f−1(G)) =m(f−1(G)).
Chứng minh.
Từ bất đẳng thức cơ bản
|m(F)−m(G)| ≤m(F∆G),
ta có, nếu F là hoàn toàn bất biếnm - hầu khắp nơi thì m(F) = m(T−kF)với mọi số nguyên dươngk. Từ điều này và định nghĩa củamsuy ra đẳng thức đầu tiên.
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 61
Đẳng thức thứ hai được suy ra từ đẳng thức thứ nhất của Bổ đề 3.3.1. Nếu mđặt xác suất 1 lên tậpDcủaxmà f(Tkx)đều bình đẳng thì vớikbất kỳ ta có
m(f−1(G)∆T−kf−1(G)) =m({x: f(x)∈G}∆{x: f(Tkx)∈G)})
=m({x:x∈D} ∩({: f(x)∈G}∆{x: f(Tkx)∈G})) =0
vì nếu x∈Dthì f(x) = f(Tkx)và các tập phân biệt cho trước là rỗng. Bổ đề 3.3.1 kéo theo hệ quả quan trọng sau:
Hệ quả 3.3.1Cho hệ AMS(Ω,B,m,T)với trung bình dừngm. Khi đó, hệ
có tính chất egodic đối với biến ngẫu nhiên f khi và chỉ khi hệ dừng(Ω,B,m,T)
có tính chất egodic đối với f. Hơn nữa, giới hạn trung bình theo thời gian có thể được chọn giống nhau cho cả hai hệ.
Chứng minh.
Tập F = {x : lim
n→∞ < f>ntồn tại} bất biến, do đó m(F) = m(F). Vì vậy, hoặc là cả hai độ đo gán xác suất 1 cho tập này và do đó cả hai hệ có tính chất egodic đối với f hoặc cả hai hệ đều không có tính chất egodic. Chọn< f >(x) là giới hạn với x∈F và là0nếu ngược lại để hoàn thành chứng minh.