Phần này cung cấp các điều kiện tổng quát hơn liên quan đến một tính chất được gọi là tính chất egodic cơ bản nhất của hệ động lực, đó là tính hồi quy.
Định lý hồi quy đầu tiên được Poincaré chứng minh từ thế kỷ 19. Chúng ta sẽ mô tả nó như sự thúc đẩy một số định nghĩa và các kết quả liên quan.
Định nghĩa 3.4.1.Cho hệ động lực(Ω,B,m,T)vàG∈B.
Điểmx∈Gđược gọi làhồi quy đối vớiGnếu có số hữu hạnn=nG(x)sao cho
TnG(x) ∈G,
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 62
Biến cố G có xác suất dương được gọi là hồi quy nếu hầu hết mọi điểm trongGhồi quy đối vớiG.
Để có một định nghĩa dùng được cho tất cả các biến cố, chúng ta sẽ phát biểu nó theo dạng âm.
Ta định nghĩa: G∗= ∞ [ n=1 T−nG, (3.23)
là tập tất cả các dãy trở lại trongGsau một hoặc nhiều phép dịch chuyển. Khi đó
B=G−G∗ (3.24)
là họ tất cả các điểm trongGmà không bao giờ trở lạiG, gọi làđiểm không hồi quy.
Biến cốGlà hồi quy nếum(G−G∗) =0.
Hệ động lực được gọi là hồi quy nếu mọi biến cố là biến cố hồi quy. Nếu một hệ là hồi quy thì với mọi biến cốGta có
m(G∩G∗) =m(G)−m(G∩G∗c) =m(G)−m(G−G∗) =m(G). (3.25)
Vì vậy, nếu m(G)> 0 thì xác suất có điều kiện để một điểm trở lại G lần cuối cùng là
m(G∗|G) = m(G∩G
∗) m(G) =1.
Trước khi phát biểu và chứng minh Định lý hồi quy Poincaré, chúng ta có hai nhận xét thú vị về các tập trên. Thứ nhất là nếu x ∈B thì ta không thể có Tkx∈Gvới mọi k≥1. VìBlà tập con củaGnên ta không thể cóTkx∈Bvới mọik≥1. Do đó, các biến cốBvàT−kBphải là cặp rời nhau, vớik =1,2, ..., tức là
B∩T−kB=Ø;k=1,2, ...
Nếu các tập này là tập rỗng thì phải có ảnh ngược của chúng đối vớiTn, với số nguyên dươngnbất kỳ. Tức là
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 63
với mọi số nguyênnvàk. Từ đó suy ra
T−kB∩T−jB=Ø; k, j=1,2, ... ,k6= j, (3.26)
tức là, các tậpT−nBđôi một rời nhau.
TậpW bất kỳ màT−nW đôi một rời nhau được gọi làtập di động.
Do đó, (3.26) nói rằng họ các dãy không hồi quy G−G∗ là tập di động. Cuối cùng, ta thấy rằng G∗ định nghĩa trong (3.23) có một tính chất đơn giản khi nó được dịch chuyển là:
T−1G∗ = ∞ [ n=1 T−n−1G= ∞ [ n=2 T−nG⊂G∗, suy ra T−1G∗⊂G∗. (3.27)
Do đó, G∗ có tính chất thu nhỏ hoặc nén bởi phép biến đổi ngược. Lặp lại điều này chỉ ra rằng T−kG∗= ∞ [ n=k+1 T−nG⊂T−(k+1)G∗. (3.28)
Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh định lý được xem là định lý egodic đầu tiên.
Định lý 3.4.1. (Định lý hồi quy Poincaré)Nếu một hệ động lực là dừng thì nó hồi quy.
Chứng minh.
Ta cần chỉ ra rằng biến cốB=G−G∗có độ đo 0, vớiGbất kỳ. Tuy nhiên, ta thấy B là tập di động nên các phép lặp của nó là rời nhau. Theo tính cộng tính đếm được của xác suất thì
m( ∞ [ n=0 T−nB) = ∞ ∑ n=0 m(T−nB).
Vì độ đo là dừng nên tất cả các số hạng của tổng giống nhau. Khi đó, tất cả chúng phải bằng 0 hoặc tổng sẽ tăng lên, trái với thực tế là vế trái nhỏ hơn 1.
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 64