2.4.1. Kỳ vọng
Nếu f ≥0 thì ta chọn dãy lượng tửqn như trong phần 2.3.1 và định nghĩa
kỳ vọngcủa biến ngẫu nhiên f theo công thức:
Emf = lim
n→∞
Em(qn(f)). (2.6)
Vì qn là các biến ngẫu nhiên rời rạc theo f nên qn(f) là biến ngẫu nhiên rời rạc trênΩ(qn(f)(x) =qn(f(x))là một hàm đơn giản), do đó kỳ vọng được định nghĩa tốt. Theo Bổ đề 2.2.2(e), vìqn(f)không giảm nênEm(qn(f))cũng không giảm. Do đó dãy phải hội tụ đến một giới hạn hữu hạn hoặc tăng không bị chặn, trong trường hợp này ta nói nó hội tụ đến∞. Trong cả hai trường hợp, kỳ vọng Emf được định nghĩa tốt mặc dù nó có thể vô hạn. Ta dễ dàng thấy rằng nếu f là biến ngẫu nhiên rời rạc thì (2.6) phù hợp với định nghĩa (2.2).
Nếu f là một biến ngẫu nhiên thực tuỳ ý, ta định nghĩa phần dương và phần âm của nó là
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 31 và f−(x) =−min(f(x),0)) sao cho f(x) = f+(x)− f−(x) và Emf =Emf+−Emf−, (2.7)
với điều kiện vế phải không có dạng +∞−∞, trường hợp này kỳ vọng không tồn tại.
Ta thấy rằng kỳ vọng tồn tại với tất cả các biến ngẫu nhiên không âm nhưng nó có thể là vô cùng. Bổ đề dưới đây cung cấp một định nghĩa thay thế của kỳ vọng như một định lý giới hạn cho thấy rằng không có sự kỳ diệu nào về dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc được sử dụng trong định nghĩa.
Bổ đề 2.4.1.
(a)Nếu f ≥0 thìEmf = sup
grời rạc:g≤f
Emg.
(b) Giả sử f ≥0 và fn là dãy không tăng bất kỳ của các biến ngẫu nhiên rời rạc mà limn→∞fn(x) = f(x) thì
Emf = lim
n→∞
Emfn.
Nhận xét: Phần (a) phát biểu rằng giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên không âm là cận trên đúng của kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên rời rạc không lớn hơn f. Tính chất này thường được sử dụng để định nghĩa kỳ vọng. Phần (b) phát biểu rằng xấp xỉ rời rạc chính xác tiệm cận tới f có thể được sử dụng để tính kỳ vọng. Đây là trường hợp đặc biệt của định lý hội tụ đơn điệu.
Với những đặc trưng thay thế như vậy của kỳ vọng, ta có thể khái quát hóa các tính chất cơ bản của Bổ đề 2.2.2 từ các biến ngẫu nhiên rời rạc cho các biến ngẫu nhiên tổng quát.
Bổ đề 2.4.2.
(a) Nếu f ≥0với xác xuất 1 thì Emf ≥0.
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 32
(c) Kỳ vọng có tính chất tuyến tính, tức là với các số thực bất kỳ α,β và các biến ngẫu nhiên bất kỳ f,gta có
Em(αf +βg) =αEmf +βEmg.
(d) Emf tồn tại hữu hạn khi và chỉ khiEm|f|hữu hạn và
|Emf| ≤Em|f|.
(e)Cho hai biến ngẫu nhiên f vàg mà f ≥g với xác suất 1 thì
Emf ≥Emg.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});