Trong chương này chúng ta sẽ định nghĩa tính chất egodic như là sự tồn tại giới hạn trung bình theo thời gian và nghiên cứu những hệ quả của tính chất đó. Chúng ta sẽ thấy rằng nếu trung bình theo thời gian hội tụ với một lớp đủ lớn các biến ngẫu nhiên, ví dụ, các hàm chỉ tiêu của tất cả các biến cố, thì quá trình ngẫu nhiên phải có tính chất được gọi là tiệm cận trung bình dừng và có một độ đo dừng gọi là trung bình dừng của quá trình mà có cùng trung bình theo thời gian. Ngoài ra, nó sẽ được xem như là giới hạn trung bình theo thời gian có thể được hiểu như xác suất có điều kiện hoặc kỳ vọng có điều kiện và các điều kiện hội tụ nhất định của trung bình theo thời gian, bao hàm sự hội tụ của các kỳ vọng tương ứng tới một kỳ vọng duy nhất đối với trung bình dừng. Cuối cùng, chúng ta sẽ định nghĩa tính egodic của một quá trình và chỉ ra rằng đó là điều kiện cần để giới hạn trung bình theo thời gian là hằng số thay vì là biến ngẫu nhiên.
Mặc dù chúng ta đã biết có một số kiểu hội tụ của các biến ngẫu nhiên, do đó có thể xét một số dạng của tính chất egodic nhưng chúng ta sẽ tập trung vào dạng hội tụ hầu khắp nơi và sau đó xem xét các tác động cho các hình thức hội tụ khác. Chương này phát triển các điều kiện cần để một quá trình ngẫu nhiên có tính chất egodic và tìm hiểu các hệ quả của tính chất đó. Trong phần trước, chúng ta tập trung vào trung bình theo thời gian và trung bình theo tập hợp của các biến ngẫu nhiên thực hiện trên hệ động lực. Cho (Ω,B,m,T) là một hệ động lực. Trường hợp quan tâm chủ yếu là
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 47
hệ động lực tương ứng với một quá trình ngẫu nhiên, tức là, hệ động lực (AI,B(A)I,m,T), với I là tập chỉ số (thường là Z hoặc Z+), T là phép dịch chuyển trên dãy không gian AI.
Cho f là một biến ngẫu nhiên (ví dụ, một ánh xạ đo được từ Ω vào R),
xác định trung bình theo thời gian
< f >n=n−1
n−1
∑
i=0
f(Tix)
Định nghĩa 3.1.1. Hệ động lực (Ω,B,m,T) được gọi là có tính chất egodic đối với biến ngẫu nhiên f nếu trung bình theo thời gian < f >n hội tụ hầu khắp nơi khi n→∞.
Hệ động lực gọi là có tính chất egodic đối với lớp các biến ngẫu nhiên M nếu trung bình theo thời gian < f >n hội tụ hầu khắp nơi khi n→∞ với mọi
f ∈M.
Nếu lim
n→∞ < f >n (x) tồn tại sẽ được kí hiệu là < f > (x) hoặc fˆ(x). Để thuận tiện ta coi < f >(x) là 0 nếu giới hạn không tồn tại. Từ Hệ quả 2.7.2 cho thấy giới hạn là duy nhất theo nghĩa hầu khắp nơi; tức là, nếu
< f >n→< f > và < f >n→g (h.k.n) thì < f >=g (h.k.n).
Lớp các hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu bao gồm lớp tất cả các hàm chỉ tiêu của các biến cố, lớp tất cả các biến ngẫu nhiên bị chặn và lớp tất cả các biến ngẫu nhiên khả tích.
Các tính chất của giới hạn dẫn đến các tính chất của giới hạn trung bình theo thời gian tương tự như của trung bình theo tập hợp.
Bổ đề 3.1.1. Cho một hệ động lực, gọiElà lớp các biến ngẫu nhiên mà hệ có tính chất egodic đối với lớp đó.
(a) Nếu f ∈Evà f Ti ≥ 0 hầu khắp nơi, với mọiithì cũng có< f > ≥0
hầu khắp nơi.
(b) Các hàm hằng f(x) =r,r∈RthuộcE. Đặc biệt,<1>=1.
(c) Nếu f,g∈Ethì<a f +bg>=a< f >+b<g >, do đóa f +bg∈E
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 48
(d) Nếu f ∈ E thì f Ti ∈ E,i= 1,2, ... và < f Ti > = < f >, tức là, nếu một hệ có tính chất egodic đối với các biến ngẫu nhiên thì nó cũng có tính chất egodic đối với tất cả các dịch chuyển của các biến ngẫu nhiên và có cùng giới hạn.
Chứng minh.
Phần (a) - (c) suy ra từ Bổ đề 2.6.2. Để chứng minh phần (d) chúng ta chỉ cần xét trường hợp i=1, từ đó chỉ ra kết quả cho mọi i.
Nếu f ∈E thì lim n→∞ 1 n n−1 ∑ i=0 f(Tix) =< f >(x) hay |< f >n−< f >| → n→∞0.
Bất đẳng thức tam giác chỉ ra rằng < f T >n phải có cùng giới hạn:
|< f T >n −< f >|=|(n+1 n )< f >n+1−1 n f−< f >| ≤ ≤ |(n+1 n )< f >n+1−< f >n+1|+|< f >n+1−< f >|+1 n|f| ≤ 1 n|< f >n+1 |+|< f >n+1−< f >|+1 n|f| → n→∞0,
ở đây, số hạng ở giữa dần tới 0 theo giả thiết, số hạng đầu tiên phải dần tới 0 và số hạng bên phải dần tới 0 vì f không thể nhận giá trị∞.
Tính chất (b) và (c) của giới hạn trung bình theo thời gian được suy ra bởi kỳ vọng. Tính chất (a) tương tự như tính chất của kỳ vọng là f ≥0 (h.k.n) chỉ ra rằngE f ≥0, nhưng ở đây ta cần có f Ti ≥0 (h.k.n) với∀i∈Z+. Tính chất (d) thì không như vậy, tuy nhiên, nó được suy ra bởi kỳ vọng, nói chung từ tính khả tích của f không suy ra được tính khả tích của f Ti. Nếu độ đo là dừng thì theo Bổ đề 2.7.1, f khả tích nếu và chỉ nếu f Ti khả tích và nếu các tích phân tồn tại thì chúng bằng nhau. Thêm vào đó, nếu độ đo là dừng thì
m({x: f(Tnx)≥0}) =m(T−n{x: f(x)≥0}) =m(f ≥0)
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 49
kiện f ≥0(h.k.n). Vì vậy, có một sự song song chính xác giữa các tính chất (a) - (d) của các biến ngẫu nhiên trong Evà trongL1.
Việc chứng minh bổ đề mang lại một tính chất quan trọng của giới hạn trung bình theo thời gian. Chúng ta sẽ chuẩn hóa điều này như một hệ quả sau khi ta đưa ra định nghĩa cần thiết:
Định nghĩa 3.1.2.Cho hệ động lực(Ω,B,m,T), một hàm f :Ω→Ađược gọi làbất biến(đối vớiT) hoặcdừng(đối vớiT) nếu f(T x) = f(x)với∀x∈Ω.
Hệ quả 3.1.1. Nếu một hệ động lực có tính chất egodic đối với một biến ngẫu nhiên f thì giới hạn trung bình theo thời gian< f >là một hàm bất biến, tức là,< f >(T x) =< f >(x). Chứng minh. Nếu lim n→∞ < f >n (x) =< f >(x)thì theo bổ đề ta cũng có lim n→∞ < f T >n(x) =< f >(x)
nhưng giới hạn trung bình theo thời gian của f T(x) = f(T x)là< f T >(x). Hệ quả chỉ đơn giản là chính thức hóa quan sát sự dịch chuyển x một lần không thể thay đổi giới hạn trung bình theo thời gian, do đó trung bình này phải bất biến.
Lý tưởng nhất là người ta muốn xét các biến ngẫu nhiên tổng quát nhất có thể ngay từ đầu. Ví dụ, các biến ngẫu nhiên khả tích và bình phương khả tích. Tuy nhiên, ban đầu chúng ta thường để ý đến các biến ngẫu nhiên bị chặn. Lớp các biến ngẫu nhiên bị chặn thường đơn giản vì các biến ngẫu nhiên và trung bình theo thời gian của chúng luôn khả tích và lớp các biến ngẫu nhiên được xét không phụ thuộc vào độ đo cơ bản. Tất cả các kết quả giới hạn của lý thuyết xác suất được áp dụng dễ dàng. Điều đó cho phép chúng ta phát triển các tính chất của lớp các biến ngẫu nhiên độc lập với độ đo đang xét. Tuy nhiên, cuối cùng chúng ra sẽ giải thích các độ đo cụ thể mà trung bình theo thời gian hội tụ cho biến ngẫu nhiên tổng quát hơn.
Mặc dù các lớp phần nào đó còn hạn chế nhưng lớp các biến ngẫu nhiên bị chặn chứa một số ví dụ quan trọng. Cụ thể, nó chứa các hàm chỉ tiêu của
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 50
các biến cố, do đó, một hệ có tính chất egodic đối với các biến ngẫu nhiên bị chặn sẽ có giá trị giới hạn cho tất cả các tần số tương đối, tức là, giới hạn của
<1F >nkhin→∞. Dãy lượng tử của phần 2.3.1 có thể được sử dụng để chứng minh chiều ngược lại của phát biểu này: Nếu một hệ có tính chất egodic đối với các hàm chỉ tiêu của các biến cố thì nó cũng có tính chất egodic đối với tất cả các hàm đo được bị chặn.
Bổ đề 3.1.2.Một hệ động lực có tính chất egodic đối với lớp các biến ngẫu nhiên bị chặn nếu và chỉ nếu nó có tính chất egodic đối với lớp các hàm chỉ tiêu của các biến cố. Ví dụ, tất cả các hàm chỉ tiêu đo được.
Chứng minh.
Các hàm chỉ tiêu là lớp con của lớp tất cả các hàm bị chặn. Điều ngược lại được suy ra bởi biến xấp xỉ chuẩn mà chúng ta đã trình bày. Giả sử hệ có tính chất egodic đối với tất cả các hàm chỉ tiêu của các biến cố. Gọi E là lớp các biến ngẫu nhiên đối với hệ có tính chất egodic. Khi đó E chứa tất cả các hàm chỉ tiêu của các biến cố và theo bổ đề trước thì nó là không gian tuyến tính. Vì vậy, nó cũng chứa tất cả các hàm đo được đơn giản. Tổng quát, giới hạn trung bình theo thời gian có thể được xây dựng từ các hàm đơn giản theo cách tương tự mà ta sử dụng để định nghĩa trung bình theo tập hợp.
Giả sử f là một hàm đo được bị chặn,|f| ≤K. Gọi ql là dãy lượng tử của phần 2.3.1 và giả sửl >K, khi đó|ql(f(x))− f(x)| ≤2−l với mọilvàx. Điều này cũng chỉ ra rằng|ql(f(Tix))− f(Tix)| ≤2−l với mọii,l,x. Trước tiên, giả sử f không âm. Vì ql(f) là một hàm đơn giản nên nó có giới hạn trung bình theo thời gian, kí hiệu là<ql(f)>. Chúng ta có thể lấy các giới hạn trung bình theo thời gian từ việc tăng ltừ j≥lchỉ ra rằng
<qj(f)>n−<ql(f)>n = <qj(f)−qj(f)>n =n−1 n−1 ∑ i=0 (qj(f Ti)−ql(f Ti)) ≥0
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 51
theo Bổ đề 3.1.1 ta phải có
<qj(f)>−<ql(f)> = <qj(f)−qj(f)> ≥0
và <ql(f)>(x)=<ql(f(x)) >là hàm không giảm, vì thế phải có giới hạn, gọi là fˆ. Hơn nữa, từ f và doql(f), <ql(f)>n, <ql(f)>thuộc[0,K]nên phải có fˆ.
Từ bất đẳng thức tam giác với lbất kỳ, ta có
|< f >n −f| ≤
|< f >n−<ql(f)>n|+|<ql(f)>n−<ql(f)>|+|<ql(f)>−fˆ| Số hạng đầu tiên của vế phải bị chặn trên bởi 2−l. Vì chúng ta đã giả sử rằng <ql(f)>n hội tụ với một xác suất tới< ql(f) > nên với xác suất đó ta cóx để<ql(f)>n →<ql(f)>khin→∞, với∀l =1,2, ...(Giao của một số đếm được các tập với xác suất 1 cũng có xác suất 1). Giả sử có xthuộc tập này thì với ε cho trước, ta có thể chọnl đủ lớn để |<qlf >−fˆ| ≤ ε
2 và2
−l ≤ ε 2, khi đó lim
n→∞sup|< f>n− fˆ| ≤ε. Vì điều này đúng vớiε bất kỳ nên vớix cho trước thì< f>n(x)→ fˆ(x)chứng minh kết quả hầu khắp nơi cho f không âm. Kết quả chung cho f bị chặn thu được bằng cách áp dụng kết quả không âm vào f+ và f−trong phân tích f = f+− f− và sử dụng cho dãy lượng tử
ql(f) =ql(f+)−ql(f−).